福建省邵武七中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題含解析

福建省邵武七中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．復(fù)數(shù)，且z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)m的值可以為（）A.2 B.C. D.02．函數(shù)圖象如圖所示,則的解析式可以為A. B.C. D.3．已知雙曲線方程為，過點(diǎn)的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則符合題意的直線的條數(shù)共有（）A.4條 B.3條C.2條 D.1條4．已知全集，集合，，則（）A. B.C. D.5．已知F是拋物線x2＝y(tǒng)的焦點(diǎn)，A、B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點(diǎn)到x軸的距離為（）A. B.C.1 D.6．關(guān)于實(shí)數(shù)a，b，c，下列說法正確的是（）A.如果，則，，成等差數(shù)列B.如果，則，，成等比數(shù)列C.如果，則，，成等差數(shù)列D.如果，則，，成等差數(shù)列7．①“若，則互為相反數(shù)”的逆命題；②“若，則”的逆否命題；③“若，則”的否命題.其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1C.2 D.38．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A. B.C. D.19．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則等于（）A. B.C. D.10．對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則11．在等差數(shù)列中，，，則使數(shù)列的前n項(xiàng)和成立的最大正整數(shù)n=（）A.2021 B.2022C.4041 D.404212．已知拋物線，則其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A. B.C.1 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在區(qū)間上隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)小于2的概率為___________.14．已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，分別是該橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，則的最小值為__________.15．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為______16．已知、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上一點(diǎn)，滿足，直線與圓有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)的和.18．（12分）我國(guó)是世界最大的棉花消費(fèi)國(guó)、第二大棉花生產(chǎn)國(guó)，其中，新疆棉產(chǎn)量約占國(guó)內(nèi)產(chǎn)量的87%，消費(fèi)量約占國(guó)內(nèi)消費(fèi)量的67%．新疆棉的品質(zhì)高：纖維柔長(zhǎng)，潔白光澤，彈性良好，各項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)均超國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)．尤其是被授予“中國(guó)彩棉之鄉(xiāng)”稱號(hào)的新疆建設(shè)兵團(tuán)一四八團(tuán)生產(chǎn)的天然彩棉，株型緊湊，吐絮集中，品質(zhì)優(yōu)良，色澤純正、艷麗，手感柔軟，適合中高檔紡織．新疆彩棉根據(jù)色澤、手感、纖維長(zhǎng)度等評(píng)分指標(biāo)打分，得分在區(qū)間內(nèi)分別對(duì)應(yīng)四級(jí)、三級(jí)、二級(jí)、一級(jí)．某經(jīng)銷商從采購(gòu)的新蚯彩棉中隨機(jī)抽取20包（每包1kg），得分?jǐn)?shù)據(jù)如圖（1）試統(tǒng)計(jì)各等級(jí)數(shù)量，并估計(jì)各等級(jí)在該批彩棉中所占比例；（2）用樣本估計(jì)總體，經(jīng)銷商參考以下兩種銷售方案進(jìn)行銷售：方案1：不分等級(jí)賣出，單價(jià)為1.79萬元/噸；方案2：分等級(jí)賣出，不同等級(jí)的新疆彩棉售價(jià)如下表所示：等級(jí)一級(jí)二級(jí)三級(jí)四級(jí)售價(jià)（萬元/噸）若從經(jīng)銷商老板的角度考慮，采用哪種方案較好？并說明理由19．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F且斜率大于0的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)（其中A在B的上方），過線段AB的中點(diǎn)M且與x軸平行的直線依次交直線OA、OB，l于點(diǎn)P、Q、N（1）試探索PM與NQ長(zhǎng)度的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)P、Q是線段MN的三等分點(diǎn)時(shí)，求直線AB的斜率；（3）當(dāng)P、Q不是線段MN的三等分點(diǎn)時(shí)，證明：以點(diǎn)Q為圓心、線段QO長(zhǎng)為半徑的圓Q不可能包圍線段NP20．（12分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)且前項(xiàng)和為，求22．（10分）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．定義為不超過x的最大整數(shù)，例如．當(dāng)時(shí)，求n的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求出的范圍，即可得出答案.【詳解】解：當(dāng)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限時(shí)，則有，可得，結(jié)合選項(xiàng)可知，B正確故選：B2、A【解析】利用排除法：對(duì)于B,令得,,即有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；對(duì)于C,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，不符合題意；對(duì)于D,的定義域?yàn)椋环项}意；本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的識(shí)辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性．(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項(xiàng)3、A【解析】利用雙曲線漸近線的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解即可.【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，右頂點(diǎn)為.①直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；②過點(diǎn)平行于漸近線時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；③設(shè)過的切線方程為與雙曲線聯(lián)立，可得，由，即，解得，直線的條數(shù)為1.綜上可得，直線的條數(shù)為4.故選：A,.4、A【解析】先求，然后求.【詳解】，，.故選：A5、B【解析】根據(jù)拋物線的方程求出準(zhǔn)線方程，利用拋物線的定義拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，列出方程求出，的中點(diǎn)縱坐標(biāo)，求出線段的中點(diǎn)到軸的距離【詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)準(zhǔn)線方程，設(shè)，，，解得，線段的中點(diǎn)縱坐標(biāo)為，線段的中點(diǎn)到軸的距離為，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查解決拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問題，利用拋物線的定義將到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，屬于基礎(chǔ)題6、B【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合取特值、推理計(jì)算等方法逐一分析各個(gè)選項(xiàng)并判斷即可作答.【詳解】對(duì)于A，若，取，而，即，，不成等差數(shù)列，A不正確；對(duì)于B，若，則，即，，成等比數(shù)列，B正確；對(duì)于C，若，取，而，，，不成等差數(shù)列，C不正確；對(duì)于D，a，b，c是實(shí)數(shù)，若，顯然都可以為負(fù)數(shù)或者0，此時(shí)a，b，c無對(duì)數(shù)，D不正確.故選：B7、B【解析】寫出逆命題判斷①；寫出逆否命題判斷②；寫出否命題判斷③.【詳解】①:“若，則互為相反數(shù)”的逆命題為：“若互為相反數(shù)，則”，是真命題；②：“若，則”的逆否命題為：“若，則”.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，但不成立.故“若，則”是假命題.③：“若，則”的否命題為：“若，則”.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，但是，即不成立.故“若，則”是假命題..故選：B8、B【解析】由可得拋物線標(biāo)椎方程為：，由焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程即可得解.【詳解】由可得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，故選：B【點(diǎn)睛】本題考了拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了焦點(diǎn)和準(zhǔn)線相關(guān)基本量，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】根據(jù)裂項(xiàng)求和法求得，再計(jì)算即可.【詳解】解：由題意得====所以.故選：D10、D【解析】判斷不等式的真假，就是要考慮在不等式的變形過程中是否遵守不等式變形的規(guī)則.【詳解】若，令，，，，，故A錯(cuò)誤；若，令c=0，則，故B錯(cuò)誤；若，令a=-1，b=-2，，，故C錯(cuò)誤；∵，故，根據(jù)不等式運(yùn)算規(guī)則，在不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以一個(gè)正數(shù)，不等式的方向不變，故D正確.故選：D.11、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)易得，，再應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及等差中項(xiàng)、下標(biāo)和的性質(zhì)可得、，即可確定答案.【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列且，，所以，，.故選：C.12、B【解析】化簡(jiǎn)拋物線的方程為，求得，即為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.【詳解】由題意，拋物線，即，解得，即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)“區(qū)間上隨機(jī)取1個(gè)數(shù)”，對(duì)應(yīng)集合為，區(qū)間長(zhǎng)度為3，“取到的數(shù)小于2”，對(duì)應(yīng)集合為，區(qū)間長(zhǎng)度為1，所以.故答案為：14、【解析】由題可設(shè)，則，然后利用數(shù)量積坐標(biāo)表示及二次函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】由題可得，，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)P在線段AB上，所以，∴，∴當(dāng)時(shí)，的最小值為.故答案為：.15、5【解析】畫出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求解【詳解】畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)如圖所示：根據(jù)平移知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，有最小值為5.故答案為：5.16、【解析】過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，利用雙曲線的定義以及勾股定理可求得，由已知可得，可得出關(guān)于、的齊次不等式，結(jié)合可求得的取值范圍.【詳解】過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，故，又因?yàn)椋?，所以，因此，所以，又因?yàn)橹本€與圓有公共點(diǎn)，所以，故，即，則，所以，又因?yàn)殡p曲線的離心率，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2），.【解析】（1）證明出，即可證得結(jié)論成立；（2）由（1）的結(jié)論并確定數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用分組求和法可求得.【小問1詳解】證明：因?yàn)閿?shù)列滿足，，則，且，則，，，以此類推可知，對(duì)任意的，，所以，，故數(shù)列為等比數(shù)列.【小問2詳解】解：由（1）可知，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，所以，，因此，.18、（1）答案見解析；（2）答案、理由見解析【解析】（1）根據(jù)莖葉圖計(jì)算出數(shù)量以及比例.（2）計(jì)算出方案的彩棉售價(jià)平均值，由此作出決策.【詳解】（1）得分在（0，25]內(nèi)的有19，21，共2個(gè)，所以四緩彩棉在該批彩棉中所占比例為；得分在（25，50]內(nèi)的有27，31，36，42，45，48，共6個(gè)，所以三級(jí)彩棉在該批彩棉中所占比例為；得分在（50，75]內(nèi)的有51，51，58，63，65，68，73，共7個(gè)，所以二級(jí)彩棉在該批彩棉中所占比例為；得分在（75，100]內(nèi)的有76，79，83，85，92，共5個(gè)，所以一級(jí)彩棉在該批彩棉中所占比例（2）解答一：選用方案2，理由如下：方案1：不分等級(jí)賣出，單價(jià)為1.79萬元/噸；設(shè)方案2的彩棉售價(jià)平均值為萬元/噸，則因?yàn)?，所以從?jīng)銷商老板角度考慮，采用方案2時(shí)銷售利潤(rùn)比較大，應(yīng)選方案2解答二：選用方案1，理由如下：方案1：不分等級(jí)賣出，單價(jià)為1.79萬元/噸；設(shè)方案2的彩棉售價(jià)平均值為則，因?yàn)?，但（萬元）差別較小所以從經(jīng)銷商老板后期對(duì)彩棉分類的人力資源和時(shí)間成本角度考慮，采用方案1比較好19、（1），證明見解析（2）（3）證明見解析【解析】（1）根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程及，與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，三點(diǎn)共線的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)已知條件得出，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，可得出直線的斜率；（3）根據(jù)（1）的結(jié)論及求根公式，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合的表達(dá)式，結(jié)合圖形可知,由的范圍和的取值即可證明.【小問1詳解】由題意可知，拋物線的焦點(diǎn)為,設(shè)直線的方程為，則，消去，得，，，所以直線的方程為，由因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，，同理，，,所以，所以.【小問2詳解】因?yàn)镻、Q是線段MN的三等分點(diǎn)，所以，，，又，，所以，所以，解得或（舍）所以直線AB的斜率為.【小問3詳解】由（1）知，，得，所以，，又,,,,當(dāng)時(shí)，,由圖可知，,而只要，就有,所以當(dāng)P、Q不是線段MN的三等分點(diǎn)時(shí)，以點(diǎn)Q為圓心、線段QO長(zhǎng)為半徑的圓Q不可能包圍線段NP20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）化簡(jiǎn)得到，由此證得數(shù)列為等差數(shù)列.（2）先求得，然后利用錯(cuò)位相減求和法求得.【小問1詳解】.又?jǐn)?shù)列是以1為首項(xiàng)，4為公差等差數(shù)列.【小問2詳解】由（1）知：，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則，①，②，①-②得：，，，，.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由已知變形得出，即可證得結(jié)論成立；（2）計(jì)算，利用并項(xiàng)求和法可求得.【小問1詳解】證明：對(duì)任意的，，則，且，故數(shù)列為等比數(shù)