2024-2025高中數學第二章平面向量2.3.4平面向量共線的坐標表示學案含解析新人教A版必修4

PAGE1-2.3.4平面對量共線的坐標表示兩向量平行的條件(1)設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.(2)設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，假如向量b不平行于坐標軸，即x2≠0，y2≠0，則a∥b?eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).用語言可以表述為：兩個向量平行的條件是相應坐標成比例．eq\x(狀元隨筆)已知eq\o(a,\s\up10(→))＝(x1，y1)，eq\o(b,\s\up10(→))＝(x2，y2)，(1)當eq\o(b,\s\up10(→))≠0時，eq\o(a,\s\up10(→))＝λeq\o(b,\s\up10(→)).這是幾何運算，體現了向量eq\o(a,\s\up10(→))與eq\o(b,\s\up10(→))的長度及方向之間的關系．(2)x1y2－x2y1＝0.這是代數運算，用它解決向量共線問題的優(yōu)點在于不須要引入參數“λ”，從而削減未知數個數，而且使問題的解決具有代數化的特點、程序化的特征．(3)當x2y2≠0時，eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，即兩向量的對應坐標成比例．通過這種形式較易記憶向量共線的坐標表示，而且不易出現搭配錯誤．[小試身手]1．推斷下列命題是否正確.(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)設a＝(x1y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b等價于eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).()(2)向量(1,2)與向量(4,8)共線．()(3)向量(2,3)與向量(－4，－6)反向．()答案：(1)×(2)√(3)√2．下列各組向量相互平行的是()A．a＝(－1,2)，b＝(3,5)B．a＝(1,2)，b＝(2,1)C．a＝(2，－1)，b＝(3,4)D．a＝(－2,1)，b＝(4，－2)解析：D中，b＝－2a答案：D3．已知a＝(－6,2)，b＝(m，－3)，且a∥b，則m＝()A．－9B．9C．3D．－3解析：因為a＝(－6,2)，b＝(m，－3)，若a∥b，則－6×(－3)－2m＝0，解得m答案：B4．已知A(1,2)，B(4,5)．若eq\o(AP,\s\up10(→))＝2eq\o(PB,\s\up10(→))，則點P的坐標為________．解析：設P(x，y)，所以eq\o(AP,\s\up10(→))＝(x－1，y－2)，eq\o(PB,\s\up10(→))＝(4－x,5－y)，又eq\o(AP,\s\up10(→))＝2eq\o(PB,\s\up10(→))，所以(x－1，y－2)＝2(4－x,5－y)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝24－x，,y－2＝25－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝4.))答案：(3,4)類型一向量共線的判定例1(1)下列各對向量中，共線的是()A.a＝(2,3)，b＝(3，－2)B．a＝(2,3)，b＝(4，－6)C．a＝(eq\r(2)，－1)，b＝(1，eq\r(2))D．a＝(1，eq\r(2))，b＝(eq\r(2)，2)(2)已知點A(－1，－1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量eq\o(AB,\s\up10(→))與eq\o(CD,\s\up10(→))平行嗎？直線AB與直線CD平行嗎？【解析】(1)由向量共線的充要條件可知：非零向量a與b共線，當且僅當存在唯一實數λ，使得b＝λa.而只有D滿意：因為a＝(1，eq\r(2))，b＝(eq\r(2)，2)，所以b＝eq\r(2)a.(2)因為eq\o(AB,\s\up10(→))＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，eq\o(CD,\s\up10(→))＝(2－1,7－5)＝(1,2)，因為2×2－1×4＝0，所以eq\o(AB,\s\up10(→))∥eq\o(CD,\s\up10(→)).又eq\o(AC,\s\up10(→))＝(1－(－1)，5－(－1))＝(2,6)，eq\o(AB,\s\up10(→))＝(2,4)，2×4－2×6≠0，所以eq\o(AC,\s\up10(→))與eq\o(AB,\s\up10(→))不平行．所以A，B，C不共線，AB與CD不重合．所以直線AB與CD平行．【答案】(1)D(2)見解析(1)向量是否共線，利用向量共線的坐標表示或eq\o(b,\s\up10(→))＝λeq\o(a,\s\up10(→))驗證．(2)推斷eq\o(AB,\s\up10(→))∥eq\o(CD,\s\up10(→))，只要把點的坐標代入公式x1y2－x2y1＝0，看是否成立．方法歸納向量共線的判定方法跟蹤訓練1下列各組向量中，共線的是()A.a＝(－2,3)，b＝(4,6)B．a＝(2,3)，b＝(3,2)C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)解析：由兩向量共線的坐標表示知，對于D，(－3)×(－4)－2×6＝0，所以共線，其他均不滿意．答案：Deq\o(a,\s\up10(→))(x1，y1)，eq\o(b,\s\up10(→))(x2，y2)，若x1y2－x2y1＝0，則eq\o(a,\s\up10(→))，eq\o(b,\s\up10(→))共線．類型二三點共線問題例2設向量eq\o(OA,\s\up10(→))＝(k,12)，eq\o(OB,\s\up10(→))＝(4,5)，eq\o(OC,\s\up10(→))＝(10，k)，求當k為何值時，A，B，C三點共線．【解析】方法一∵A，B，C三點共線，∴存在實數λ，使得eq\o(AB,\s\up10(→))＝λeq\o(AC,\s\up10(→)).∵eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→))＝(4－k，－7)，eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→))＝(10－k，k－12)，∴(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－k＝λ10－k，,－7＝λk－12，))解得k＝－2或k＝11.方法二由題意知eq\o(AB,\s\up10(→))，eq\o(AC,\s\up10(→))共線．∵eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→))＝(4－k，－7)，eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→))＝(10－k，k－12)，∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，∴k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11.方法一由已知求eq\o(AB,\s\up10(→))、eq\o(AC,\s\up10(→))，利用eq\o(AB,\s\up10(→))＝λeq\o(AC,\s\up10(→))，求k.方法二eq\o(AB,\s\up10(→))與eq\o(AC,\s\up10(→))共線，則x1y2－x2y1＝0，求k.方法歸納推斷向量(或三點)共線的三個步驟跟蹤訓練2已知eq\o(OA,\s\up10(→))＝(3,4)，eq\o(OB,\s\up10(→))＝(7,12)，eq\o(OC,\s\up10(→))＝(9,16)，求證點A，B，C共線．證明：由題意知eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→))＝(4,8)，eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→))＝(6,12)，所以eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AB,\s\up10(→))，即eq\o(AB,\s\up10(→))與eq\o(AC,\s\up10(→))共線．又因為eq\o(AB,\s\up10(→))與eq\o(AC,\s\up10(→))有公共點A，所以點A，B，C共線．由已知求eq\o(AB,\s\up10(→))、eq\o(AC,\s\up10(→))，若eq\o(AB,\s\up10(→))＝λeq\o(AC,\s\up10(→))，則A、B、C共線．類型三向量共線的應用例3如圖所示，已知△AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，eq\o(OC,\s\up10(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up10(→))，eq\o(OD,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up10(→))，AD與BC相交于點M，求點M的坐標．【解析】∵eq\o(OC,\s\up10(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up10(→))＝eq\f(1,4)(0,5)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4)))，∴C(0，eq\f(5,4))．∵eq\o(OD,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)(4,3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)))，∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2))).設M(x，y)，則eq\o(AM,\s\up10(→))＝(x，y－5)，eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－0，\f(3,2)－5))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(7,2))).∵eq\o(AM,\s\up10(→))∥eq\o(AD,\s\up10(→))，∴－eq\f(7,2)x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.①又eq\o(CM,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y－\f(5,4)))，eq\o(CB,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(7,4)))，∵eq\o(CM,\s\up10(→))∥eq\o(CB,\s\up10(→))，∴eq\f(7,4)x－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(5,4)))＝0，即7x－16y＝－20.②聯立①②解得x＝eq\f(12,7)，y＝2，故點M的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,7)，2)).先求C、D坐標，設出M(x，y)，利用eq\o(AM,\s\up10(→))與eq\o(AD,\s\up10(→))共線，求M.方法歸納應用向量共線的坐標表示求解幾何問題的步驟跟蹤訓練3若平行四邊形ABCD的三個頂點為A(1,5)，B(－1，－2)，C(3，－1)，求頂點D的坐標．解析：設D點的坐標為(x，y)，則eq\o(AD,\s\up10(→))＝(x－1，y－5)，eq\o(BC,\s\up10(→))＝(4,1)，由題意知eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(BC,\s\up10(→))，即(x－1，y－5)＝(4,1)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝4，,y－5＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝6.))因此，D點的坐標為(5,6).設D(x，y)，由已知得eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(BC,\s\up10(→))，求D.[基礎鞏固](25分鐘，60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．已知A(2，－1)，B(3,1)，則與eq\o(AB,\s\up10(→))平行且方向相反的向量a是()A．(2,1)B．(－6，－3)C．(－1,2)D．(－4，－8)解析：eq\o(AB,\s\up10(→))＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)與(1,2)不平行；(－4，－8)與(1,2)平行且方向相反．答案：D2．已知平面對量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3bA．(－2，－4)B．(－3，－6)C．(－4，－8)D．(－5，－10)解析：由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)，解得m＝－4，所以b＝(－2，－4)，所以2a＋3b答案：C3．已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，則λA.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C．1D．2解析：a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a＋2b)∥(2a－2b)，可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝eq\f(1,2)，故選A.答案：A4．已知A(1，－3)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,2)))，且A，B，C三點共線，則點C的坐標可以是()A．(－9,1)B．(9，－1)C．(9,1)D．(－9，－1)解析：設點C的坐標是(x，y)，因為A，B，C三點共線，所以eq\o(AB,\s\up10(→))∥eq\o(AC,\s\up10(→)).因為eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,2)))－(1，－3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(7,2)))，eq\o(AC,\s\up10(→))＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)，所以7(y＋3)－eq\f(7,2)(x－1)＝0，整理得x－2y＝7，經檢驗可知點(9,1)符合要求，故選C.答案：C5．已知向量eq\o(OA,\s\up10(→))＝(3，－4)，eq\o(OB,\s\up10(→))＝(6，－3)，eq\o(OC,\s\up10(→))＝(2m，m＋1)，若eq\o(AB,\s\up10(→))∥eq\o(OC,\s\up10(→))，則實數m的值為()A.eq\f(3,5)B．－eq\f(3,5)C．3D．－3解析：向量eq\o(OA,\s\up10(→))＝(3，－4)，eq\o(OB,\s\up10(→))＝(6，－3)，∴eq\o(AB,\s\up10(→))＝(3,1)，∵eq\o(OC,\s\up10(→))＝(2m，m＋1)，eq\o(AB,\s\up10(→))∥eq\o(OC,\s\up10(→))，∴3m＋3＝2m，解得答案：D二、填空題(每小題5分，共15分)6．已知向量a＝(3x－1,4)與b＝(1,2)共線，則實數x的值為________．解析：因為向量a＝(3x－1,4)與b＝(1,2)共線，所以2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.答案：17．已知A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，給出下列結論：①直線OC與直線BA平行；②eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(CA,\s\up10(→))；③eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))；④eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))－2eq\o(OA,\s\up10(→)).其中，正確結論的序號為________．解析：①因為eq\o(OC,\s\up10(→))＝(－2,1)，eq\o(BA,\s\up10(→))＝(2，－1)，所以eq\o(OC,\s\up10(→))＝－eq\o(BA,\s\up10(→))，又直線OC，BA不重合，所以直線OC∥BA，所以①正確；②因為eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))≠eq\o(CA,\s\up10(→))，所以②錯誤；③因為eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＝(0,2)＝eq\o(OB,\s\up10(→))，所以③正確；④因為eq\o(AC,\s\up10(→))＝(－4,0)，eq\o(OB,\s\up10(→))－2eq\o(OA,\s\up10(→))＝(0,2)－2(2,1)＝(－4,0)，所以④正確．答案：①③④8．已知向量a＝(1,2)，b＝(1，λ)，c＝(3,4)．若a＋b與c共線，則實數λ＝________.解析：因為a＋b＝(1,2)＋(1，λ)＝(2,2＋λ)，所以依據a＋b與c共線得2×4－3×(2＋λ)＝0，解得λ＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)三、解答題(每小題10分，共20分)9．已知a＝(x,1)，b＝(4，x)，a與b共線且方向相同，求x.解析：∵a＝(x,1)，b＝(4，x)，a∥b.∴x2－4＝0，解得x1＝2，x2＝－2.當x＝2時，a＝(2,1)，b＝(4,2)，a與b共線且方向相同；當x＝－2時，a＝(－2,1)，b＝(4，－2)，a與b共線且方向相反．∴x＝2.10．已知A，B，C三點的坐標分別為(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且eq\o(AE,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up10(→))，eq\o(BF,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up10(→))，求證：eq\o(EF,\s\up10(→))∥eq\o(AB,\s\up10(→)).證明：設E(x1，y1)，F(x2，y2)，依題意有eq\o(AC,\s\up10(→))＝(2,2)，eq\o(BC,\s\up10(→))＝(－2,3)，eq\o(AB,\s\up10(→))＝(4，－1)．∵eq\o(AE,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up10(→))，∴eq\o(AE,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，∵eq\o(BF,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up10(→))，∴eq\o(BF,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1)).∵eq\o(AE,\s\up10(→))＝(x1＋1，y1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，∴Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(2,3)))，∵eq\o(BF,\s\up10(→))＝(x2－3，y2＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1))，∴Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，0))，∴eq\o(EF,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，－\f(2,3))).又∵4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－eq\f(8,3)×(－1)＝0，∴eq\o(EF,\s\up10(→))∥eq\o(AB,\s\up10(→)).[實力提升](20分鐘，40分)11．已知向量a＝(m,1)，b＝(m2,2)．若存在λ∈R，使得a＋λb＝0，則m＝()A．0B．2C．0或2D．0或－2解析：方法一∵a＝(m,1)，b＝(m2,2)，a＋λb＝0，∴(m＋λm2,1＋2λ)＝(0,0)，即e