13核心考點(diǎn)突破訓(xùn)練二次根式的應(yīng)用（原卷版）

1.3突破訓(xùn)練：二次根式應(yīng)用類(lèi)型體系類(lèi)型1：二次根式性質(zhì)的應(yīng)用典例：（2022·四川省蒲江縣蒲江中學(xué)八年級(jí)期中）若直角三角形的邊長(zhǎng)分別是3，m，5．(1)求m；(2)求的值．鞏固練習(xí)1．（2022·重慶·西南大學(xué)附中八年級(jí)期中）實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)結(jié)果為（）．A． B． C． D．無(wú)法確定2．（2022·上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬大境初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中）已知，則二次根式化簡(jiǎn)后的結(jié)果為（

）．A． B． C． D．3．（2022·上海市淞誼中學(xué)八年級(jí)期中）當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)__________．4．（2022·北京市順義區(qū)第五中學(xué)八年級(jí)期中）化簡(jiǎn)：______，______．5．（2022·山東棗莊·八年級(jí)期中）當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)的結(jié)果是______．6．（2022·山東棗莊·八年級(jí)期中）如果，則________．7．（2022·四川省蒲江縣蒲江中學(xué)八年級(jí)期中）實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖，化簡(jiǎn)_____．8．（2022·重慶市珊瑚初級(jí)中學(xué)校八年級(jí)期中）已知a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)代數(shù)式：的值為_(kāi)____．9．（2022·河南·鄭州市第四十七初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中）當(dāng)時(shí)，求的值．如圖是小亮和小芳的解答過(guò)程：(1)的解法是錯(cuò)誤的；(2)錯(cuò)誤的原因在于未能正確地運(yùn)用二次根式的性質(zhì)：；(3)當(dāng)時(shí)，求的值．10．（2022·福建漳州·九年級(jí)期中）求代數(shù)式，，如圖是小亮和小芳的解答過(guò)程：(1)______的解法是正確的；(2)化簡(jiǎn)代數(shù)式，（其中）；(3)若，直接寫(xiě)出的取值范圍．11．（2021·山東·德州市第五中學(xué)八年級(jí)期中）閱讀下面的解題過(guò)程體會(huì)如何發(fā)現(xiàn)隱含條件并回答下面的問(wèn)題化簡(jiǎn)∶解∶隱含條件，解得：∴∴原式【啟發(fā)應(yīng)用】（1）按照上面的解法，試化簡(jiǎn)【類(lèi)比遷移】（2）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：．（3）已知a，b，c為ABC的三邊長(zhǎng)．化簡(jiǎn)：類(lèi)型2：二次根式的規(guī)律探究問(wèn)題典例：（2022·河南平頂山·八年級(jí)期中）觀察以下等式：觀察下列等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：(1)寫(xiě)出第6個(gè)等式：；(2)寫(xiě)出你猜想的第個(gè)等式：用含的式子表示，并證明這個(gè)結(jié)論？鞏固練習(xí)1．（2022·安徽宿州·七年級(jí)期中）圖是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME7）的會(huì)徽?qǐng)D案，它是由一串有公共頂點(diǎn)O的直角三角形演化而成的．若圖中的，按此規(guī)律繼續(xù)演化，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為_(kāi)__________

2．（2022·北京市育英中學(xué)八年級(jí)期中）小桃桃根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”積累的經(jīng)驗(yàn)，想通過(guò)“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運(yùn)算規(guī)律．以下為小桃桃的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：具體運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，特例1：特例2：特例3：（1）如果n為正整數(shù)，用含n的式子表示上述的運(yùn)算規(guī)律為：___________；（2）應(yīng)用運(yùn)算規(guī)律化簡(jiǎn)：___________．3．（2022·山西臨汾·九年級(jí)期中）閱讀與思考閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：法國(guó)數(shù)學(xué)家愛(ài)德華?盧卡斯以研究斐波那契數(shù)列而著名，他曾給出了求斐波那契數(shù)列第n項(xiàng)的表達(dá)式，創(chuàng)造出了檢驗(yàn)素?cái)?shù)的方法，還發(fā)明了漢諾塔問(wèn)題．“盧卡斯數(shù)列”是以盧卡斯命名的一個(gè)整數(shù)數(shù)列，在股市中有廣泛的應(yīng)用．盧卡斯數(shù)列中的第n個(gè)數(shù)可以表示為，其中．（說(shuō)明：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列）任務(wù)：(1)盧卡斯數(shù)列中的第1個(gè)數(shù)___________，第2個(gè)數(shù)___________；(2)盧卡斯數(shù)列有一個(gè)重要特征：當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足．請(qǐng)根據(jù)這一規(guī)律寫(xiě)出盧卡斯數(shù)列中的第6個(gè)數(shù)．4．（2022·福建莆田·八年級(jí)期中）閱讀下列解題過(guò)程：；；；……解答下列各題：(1)______；(2)觀察上面的解題過(guò)程，請(qǐng)計(jì)算.(3)利用這一規(guī)律計(jì)算：.5．（2022·四川·射洪中學(xué)九年級(jí)期中）閱讀材料：像這種兩個(gè)含二次根式的代數(shù)式相乘，積不含二次根式，我們稱(chēng)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．在進(jìn)行二次根式運(yùn)算時(shí)，利用有理化因式可以化去分母中的根號(hào)．解答下列問(wèn)題：(1)的有理化因式是；(2)觀察下面的變形規(guī)律，請(qǐng)你猜想：，，，‥‥‥，(3)利用上面的方法，請(qǐng)化簡(jiǎn)：6．（2022·山東濟(jì)南·八年級(jí)期中）觀察下列等式，解答后面的問(wèn)題：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；……(1)根據(jù)以上的規(guī)律，寫(xiě)出第10個(gè)等式；(2)利用上面的規(guī)律比較大?。憨仼仯ㄌ睿尽ⅲ蓟颍剑?；(3)計(jì)算：++…+．7．（2022·廣東·肇慶市頌德學(xué)校八年級(jí)期中）先觀察下列等式，再回答下列問(wèn)題：①；②；③．(1)請(qǐng)你根據(jù)上面三個(gè)等式提供的信息，猜想的結(jié)果，并驗(yàn)證；(2)請(qǐng)你按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫(xiě)出一個(gè)用n（n為正整數(shù)）表示的等式；(3)請(qǐng)利用上述規(guī)律來(lái)計(jì)算（仿照上式寫(xiě)出過(guò)程）．8．（2022·湖南永州·八年級(jí)期末）觀察下列各式及其化簡(jiǎn)過(guò)程：，．(1)按照上述兩個(gè)根式的化簡(jiǎn)過(guò)程的基本思路，將化簡(jiǎn)；(2)化簡(jiǎn)；(3)針對(duì)上述各式反映的規(guī)律，請(qǐng)你寫(xiě)出中，m，n與a，b之間的關(guān)系．9．（2022·北京通州·八年級(jí)期中）根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”的經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)由“特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運(yùn)算規(guī)律．以下是探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整．(1)具體運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．特例1．．特例2．，特例3．，特例4．，特例5．___________．(2)觀察、歸納，得出猜想．如果n為正整數(shù)，用含n的式子表示上述的運(yùn)算規(guī)律為：__________．(3)證明你的猜想．10．（2022·福建省漳州第一中學(xué)八年級(jí)期中）觀察下列各式及其驗(yàn)證過(guò)程：，驗(yàn)證：；，驗(yàn)證：；，驗(yàn)證：(1)仿照上述三個(gè)等式的變形，對(duì)下列式子進(jìn)行變形：____________，____________．(2)根據(jù)上述規(guī)律，寫(xiě)出用n（n為正整數(shù)且）表示的等式，并加以驗(yàn)證．11．（2022·北京昌平·八年級(jí)期中）小石根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”積累的經(jīng)驗(yàn)，想通過(guò)“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運(yùn)算規(guī)律．下面是小石的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：(1)具體運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．特例1：，特例2：，特例3：，特例4：，特例5：____________（填寫(xiě)運(yùn)算結(jié)果）；(2)觀察、歸納，得出猜想．如果n為正整數(shù)，用含n的式子表示上述的運(yùn)算規(guī)律為：____________；(3)證明你的猜想．(4)應(yīng)用運(yùn)算規(guī)律：①化簡(jiǎn)：____________；②若（a，b均為正整數(shù)），則的值為_(kāi)___________．12．（2022·安徽宿州·八年級(jí)期中）小麗根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”積累的經(jīng)驗(yàn)，想通過(guò)“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運(yùn)算規(guī)律.下面是小麗的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：(1)具體運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，特例：特例：特例：特例：______填寫(xiě)一個(gè)符合上述運(yùn)算特征的例子；(2)觀察、歸納，得出猜想.如果為正整數(shù)，用含的式子表示上述的運(yùn)算規(guī)律為：______；(3)證明你的猜想；(4)應(yīng)用運(yùn)算規(guī)律化簡(jiǎn)：______.類(lèi)型3：應(yīng)用二次根式求面積典例：（2022·陜西·西安市五環(huán)中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，在中，，，，垂足分別為點(diǎn)、．(1)求的度數(shù)．(2)若的面積為，，求的長(zhǎng)．鞏固練習(xí)1．（2022·山西呂梁·八年級(jí)期末）如圖，從一個(gè)大正方形中裁去面積為6cm2和15cm2的兩個(gè)小正方形，則留下陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．2．（2022·江蘇江蘇·八年級(jí)期中）如圖，在矩形內(nèi)有兩個(gè)相鄰的正方形，面積分別為2和4，則圖中陰影部分的面積是______________．3．（2022·山西省運(yùn)城市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，將矩形紙片沿虛線(xiàn)折成3個(gè)矩形，其中左右兩側(cè)矩形的寬都等于，中間矩形的寬為4，將其圍成如圖2所示的三棱柱形物體，若底面三角形的面積為8，則圖中的值為_(kāi)_________．4．（2022·福建龍巖·九年級(jí)期中）《數(shù)書(shū)九章》是中國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，書(shū)中提出了已知三角形三邊、、求面積的公式，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)．一為從隅，開(kāi)平方得積．”若把以上這段文字寫(xiě)成公式，即為．現(xiàn)有周長(zhǎng)為9的三角形的三邊滿(mǎn)足，則用以上給出的公式求得這個(gè)三角形的面積為_(kāi)______．5．（2022·上海寶山·八年級(jí)期中）我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，即三角形的三邊長(zhǎng)為、、，記，那么其面積．如果某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，時(shí)，其面積介于整數(shù)和之間，那么的值是______．6．（2022·山東淄博·八年級(jí)期末）我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，即三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則其中三角形的面積．此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，如果設(shè)，那么其三角形的面積，這個(gè)公式便是海倫公式，也被稱(chēng)為海倫—秦九韶公式．若，，，則此三角形的面積為_(kāi)_____．7．（2022·江西贛州·八年級(jí)期末）有一塊矩形木板，木工采用如圖的方式，在木板上截出兩個(gè)面積分別為和的正方形木板．(1)截出的兩塊正方形木料的邊長(zhǎng)分別為_(kāi)_______，________．(2)求剩余木料的面積．(3)如果木工想從剩余的木料中截出長(zhǎng)為1.5dm，寬為1dm的長(zhǎng)方形木條，最多能截出________塊這樣的木條．8．（2022·陜西西安·八年級(jí)期中）如圖，在中，，，以為一條邊向三角形外部作正方形，已知正方形的面積是45，求的周長(zhǎng)．9．（2022·湖南永州·八年級(jí)期末）閱讀：若等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，則此三角形的面積．(1)運(yùn)用：現(xiàn)將邊長(zhǎng)分別為，，，的等邊三角形的面積分別記作，，，，計(jì)算，；(2)推導(dǎo)：邊長(zhǎng)為的等邊三角形的面積記作，邊長(zhǎng)為的等邊三角形的面積記作，其中n是正整數(shù)，通過(guò)計(jì)算，可以得出：（用含n的代數(shù)式表示）；(3)拓展：在（2）的條件下，若，求n的值．10．（2022·江蘇·蘇州市振華中學(xué)校八年級(jí)期中）我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶約約曾提出利用三角形的三邊求面積的秦九韶公式：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，，記，那么三角形的面積在中，已知，，．(1)如圖，利用秦九韶公式求的面積；(2)如圖，的兩條角平分線(xiàn)，交于點(diǎn)，求點(diǎn)到邊的距離．11．（2022·福建寧德·八年級(jí)期中）細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答下列問(wèn)題：，（是的面積）；，（是的面積）；，（是的面積）；…(1)請(qǐng)你直接寫(xiě)出______，______；(2)請(qǐng)用含有（為正整數(shù)）的式子填空：______，______；(3)在線(xiàn)段、、、…、中，長(zhǎng)度為正整數(shù)的線(xiàn)段共有______條．(4)我們已經(jīng)知道，因此將分子、分母同時(shí)乘以，分母就變成了4，請(qǐng)仿照這種方法求的值；類(lèi)型4：二次根式的混合運(yùn)算典例：（2022·安徽宿州·八年級(jí)期末）計(jì)算：(1)；(2)．鞏固練習(xí)1．（2022·廣東·陽(yáng)江市實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）計(jì)算：2．（2022·四川瀘州·八年級(jí)期末）計(jì)算：．3．（2022·上海市曹楊第二中學(xué)附屬學(xué)校八年級(jí)期中）計(jì)算：．4．（2022·四川瀘州·八年級(jí)期末）計(jì)算：．5．（2022·廣東·東莞市中堂中學(xué)七年級(jí)期中）計(jì)算：．6．（2022·上海金山·八年級(jí)期末