2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱三中高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱三中高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合A={y|y=24?x2}，A.(0,4] B.[1,4] C.[1,+∞) D.(0,+∞)2.已知3+i是關(guān)于x的方程2x2?mx+n=0(m,n∈R)的一個(gè)根，則m+n=A.20 B.22 C.30 D.323.已知x>0，y>0，lg2x+lg4y=lg2A.2 B.22 C.24.數(shù)列{an}中，若a1=2，a2=4，an+A.1348 B.1350 C.1354 D.26985.在△ABC中，D為BC中點(diǎn)，CP=λCB，AQ=23AB+A.12 B.13 C.146.在三棱柱ABC?A1B1C1中，點(diǎn)D在棱BB1上，且BB1=4BD，點(diǎn)M為A1CA.2 B.3 C.4 D.57.已知偶函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽，且f(3x)=f(2?3x)，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)=x2，則函數(shù)g(x)=|cos(πx)|?f(x)在區(qū)間[?A.?7 B.?6 C.?3 D.?28.已知平面向量a，b，c，滿足|a|=|b|=1，且cos?a,bA.?1 B.0 C.1 D.2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.對(duì)于函數(shù)f(x)=sinxcos(x+π6)+sinA.函數(shù)f(x)的最大值為34

B.(π12,0)是函數(shù)f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

C.D.將函數(shù)y=12cos2x+1410.在正方形ABCD中，AB=2，E為AB中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折至△A1DE位置，使得二面角A1?DE?C為直二面角，若M為線段A1A.若點(diǎn)P在線段DE上，則|A1P|+|PC|的最小值為22

B.三棱錐B?MCE的體積為510

C.異面直線BM、A111.已知函數(shù)f(x)=?xlnxx+1，則下列結(jié)論中正確的是(

)A.函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)

B.f(x)<13恒成立

C.若方程f(x)=kx2+x有兩個(gè)不等實(shí)根，則k的范圍是(0,1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.等差數(shù)列{an}中，Sn是其前n項(xiàng)和.若a1+a213.在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分線與BC交于點(diǎn)D，且AD=1，BC=6，則△ABC的面積為______．14.已知三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，PA=3，PB=2，PC=7，∠BAC=60°，M、N分別為該三棱錐的內(nèi)切球和外接球上的動(dòng)點(diǎn)，則線段四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB1=BB1=B1C=5，AB=4，AC=6，AB⊥BC，D為AC中點(diǎn)．

16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=lnx+x2?ax．

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+ex?2lnx，若g(x)≥0在17.(本小題15分)

已知在銳角△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，2acosB=2c?b．

(1)求A；

(2)若c=2，D為BC中點(diǎn)，AD=7，求b；

(3)若a=2，求△ABC內(nèi)切圓半徑的取值范圍．18.(本小題17分)

某汽車銷售公司為了提升公司的業(yè)績(jī)，將最近一段時(shí)間內(nèi)每日的汽車銷售情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如圖所示．

(1)求a的值，并求該公司這段時(shí)間內(nèi)每日汽車銷售量的第60百分位數(shù)；

(2)以頻率估計(jì)概率，若在這段時(shí)間內(nèi)隨機(jī)選擇4天，設(shè)每日汽車銷售量在[200,250)內(nèi)的天數(shù)為X，在恰有1天的汽車銷售量不超過150輛的條件下，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(3)為增加銷售量，公司規(guī)定顧客每購買一輛汽車可以進(jìn)行一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)則如下：在三棱錐A?BCD中，△BCD、△ACD均是邊長(zhǎng)為2的正三角形，AB=3，現(xiàn)從寫有數(shù)字1～8的八個(gè)標(biāo)簽中隨機(jī)選擇兩個(gè)分別貼在A、B兩個(gè)頂點(diǎn)，記頂點(diǎn)A、B上的數(shù)字分別為m和n，若E為側(cè)棱AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足|AE||EB|=mn，當(dāng)“二面角E?CD?A19.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，PA=PD，O是AD中點(diǎn)，PO⊥平面ABCD，PO+AB=4．

(1)求四棱錐P?ABCD體積的最大值；

(2)設(shè)PO=2，E為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)．

①求平面PAD與平面PEC的夾角余弦值的取值范圍；

②四棱錐P?ABCD的外接球記為球M，當(dāng)E為線段AB中點(diǎn)時(shí)，求平面PEC截球M所得的截面面積．

參考答案1.B

2.D

3.D

4.C

5.C

6.B

7.A

8.B

9.ACD

10.AC

11.BCD

12.5

13.314.715.解：(1)證明：如圖，連接BD，

因?yàn)锳B⊥BC，D為AC中點(diǎn)，所以AD=CD=BD=12AC=3，

因?yàn)锳B1=B1C=5，所以B1D⊥AC，所以B1D=52?32=4，

又BB1=5，所以BD2+B1D2=B1B2，所以B1D⊥BD，

又BD∩AC=D，BD，AC?平面ABC，

所以B1D⊥平面ABC；

(2)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC，BA所在直線為x，y軸，

過B作DB1的平行線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)锳B⊥BC，所以BC=6216.解：(1)由題意，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，f′(x)=2x2?ax+1x，

當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

當(dāng)a>0且a2?8<0，即0<a<22時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

當(dāng)a=22時(shí)，f′(x)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=22時(shí)，f′(x)=0，

函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

當(dāng)a>22時(shí)，方程2x2?ax+1=0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，設(shè)其根為x1，x2，x1<x2，

則x1=a?a2?84，x2=a+a2?84，

由x1+x2=a2>0，x1x2=12>0知，x1>0，x2>0，

所以當(dāng)0<x<x1或x>x2時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x1<x<x2時(shí)，f′(x)<0，

所以函數(shù)f(x)在(0,x1)和(x2,+∞)上單調(diào)遞增，在(x1,x2)上單調(diào)遞減，

綜上，當(dāng)a≤22時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

當(dāng)a>22時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,a?17.解：(1)已知在銳角△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，

因?yàn)?acosB=2c?b，

根據(jù)正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R，

得2sinAcosB=2sinC?sinB?2sinAcosB=2sin(A+B)?sinB，

所以2sinAcosB=2sinAcosB+2cosAsinB?sinB?2cosAsinB=sinB，

因?yàn)閟inB≠0，所以cosA=12，

又0°<A<180°，

所以A=60°；

(2)因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，所以AD=12AB+12AC，

所以|AD|2=14(|AB|2+|AC|2+2AB?AC)，

又AD=7，AB=c=2，A=60°，

所以7=14(4+b2+2×2?bcos60°)，

所以b2+2b?24=0，解得b=4或b=?6(舍去)，

故b=4；

(3)由正弦定理：bsinB=csinC=asinA=2sin60°=433，

所以b=433sinB，c=433sinC，

18.解：(1)根據(jù)頻率分布直方圖可得(0.001+0.002+0.003+2a+0.006)×50=1，∴a=0.004，

∵前幾組的頻率依次為0.1，0.15，0.2，0.3，

∴每日汽車銷售量的第60百分位數(shù)在[150,200)，且為150+0.6?0.450.75?0.45×50=175(輛)；

(2)∵抽取的1天汽車銷售量不超過150輛的概率為0.45，

抽取的1天汽車銷售量在[200,250)內(nèi)的概率為0.2．

∴在恰有1天的汽車銷售量不超過150輛的條件下，抽取的1天汽車銷售量在[200,250)內(nèi)的概率為p=0.21?0.45=411．

∴由題意可得X的值可以為0，1，2，3，

又P(X=0)=C30×(X0123P34358833664∴E(X)=3×411=1211；

(3)如圖：取CD中點(diǎn)F，鏈接BF，EF，AF，CE，DE，

∵△BCD，△ACD都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

∴CD⊥BF，CD⊥AF，又BF∩AF=F，

∴CD⊥平面ABF，又EF?平面ABF，∴CD⊥EF，

∴∠EFA為二面角E?CD?ADE的平面角，

∵在△ABF中，AB=BF=AF=3，∴∠BFA=60°，又∠EFA=45°，

∴在△AEF中，由正弦定理可得msin45°=3sin75°，

∴m=3sin45°sin75°=3?3，此時(shí)n=3?(3?3)=23?3，mn=3+1，

∴要想中獎(jiǎng)，須有mn>3+1，

∵m19.解：(1)設(shè)AB=x，則PO=4?x，

所以四棱錐P?ABCD體積V=13x2(4?x)=?13x3+43x2，0<x<4，

所以V′=?x2+83x，

令V′>0，則0<x<83，所以V在(0,83)上單調(diào)遞增；

令V′<0，則83<x<4，所以V在(83,4)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x=83時(shí)，V取得極大值，也是最大值，

所以四棱錐P?ABCD體積的最大值為?13×(83)3+43×(83)2=25681．

(2)①以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，