2025年高考數學復習解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題01圓錐曲線中的軌跡方程問題練習(學生版+解析)

專題01圓錐曲線中的軌跡方程問題(典型題型歸類訓練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：定義法求軌跡方程 2題型二：直接法 3題型三：代入法（相關點法） 4題型四：點差法 5三、專項訓練 6一、必備秘籍1、曲線方程的定義一般地，如果曲線與方程之間有以下兩個關系：①曲線上的點的坐標都是方程的解；②以方程的解為坐標的點都是曲線上的點．此時，把方程叫做曲線的方程，曲線叫做方程的曲線．2、求曲線方程的一般步驟：（1）建立適當的直角坐標系（如果已給出，本步驟省略）；（2）設曲線上任意一點的坐標為；（3）根據曲線上點所適合的條件寫出等式；（4）用坐標表示這個等式，并化簡；（5）確定化簡后的式子中點的范圍．上述五個步驟可簡記為：求軌跡方程的步驟：建系、設點、列式、化簡、確定點的范圍．3、求軌跡方程的方法：3.1定義法：如果動點的運動規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設出軌跡方程，再根據已知條件，待定方程中的常數，即可得到軌跡方程。3.2直接法：如果動點的運動規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點滿足的等量關系易于建立，則可以先表示出點所滿足的幾何上的等量關系，再用點的坐標表示該等量關系式，即可得到軌跡方程。3.3代入法（相關點法）：如果動點的運動是由另外某一點的運動引發(fā)的，而該點的運動規(guī)律已知，（該點坐標滿足某已知曲線方程），則可以設出，用表示出相關點的坐標，然后把的坐標代入已知曲線方程，即可得到動點的軌跡方程。3.4點差法：圓錐曲線中與弦的中點有關的軌跡問題可用點差法，其基本方法是把弦的兩端點的坐標代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得，，，等關系式，由于弦的中點的坐標滿足，且直線的斜率為，由此可求得弦中點的軌跡方程.二、典型題型題型一：定義法求軌跡方程1．（23-24高二上·安徽蕪湖·階段練習）已知動圓過定點，并且在定圓B：的內部與其相切，則動圓圓心的軌跡方程是（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·河南洛陽·階段練習）已知動圓過動點，并且在定圓：的內部與其相內切，則動圓圓心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．3．（24-25高二上·上海·課堂例題）已知動圓P與圓M：，圓N：均外切，記圓心P的運動軌跡為曲線C，則C的方程為（

）A． B．C． D．4．（23-24高二上·新疆烏魯木齊·期末）一動圓過定點，且與已知圓：相切，則動圓圓心P的軌跡方程是（

）A． B． C． D．5．（23-24高二上·寧夏石嘴山·階段練習）一個動圓與定圓：相內切，且與定直線相切，則此動圓的圓心M的軌跡方程是（）A． B． C． D．6．（23-24高二上·全國·課前預習）已知動圓M與直線y=2相切，且與定圓外切，則動圓圓心M的軌跡方程為（

）A． B． C． D．題型二：直接法1．（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知，若動點P滿足直線與直線的斜率之積為，則動點P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．2．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知點的坐標分別為，直線相交于點,且直線的斜率與直線的斜率的差是1，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．3．（23-24高二上·河北邯鄲·期末）在平面直角坐標系中，已知定點，，直線與直線的斜率之積為-4，則動點的軌跡方程為A． B．C． D．4．（23-24高二上·浙江金華·期末）已知在平面直角坐標系xOy中，，動點P滿足則P點的軌跡Γ為圓，過點A的直線交圓Γ于兩點C，D，且，則.5．（2024高三·全國·專題練習）已知點，，直線PM，PN的斜率乘積為，P點的軌跡為曲線C，則曲線C的方程為.題型三：代入法（相關點法）1．（23-24高三上·湖南婁底·期末）已知雙曲線的兩個焦點分別為，離心率等于，設雙曲線的兩條漸近線分別為直線；若點分別在上，且滿足，則線段的中點的軌跡的方程為A． B．C． D．2．（23-24高二下·江西宜春·期中）已知圓與軸交于點、，過圓上動點(不與、重合)作圓的切線，過點、分別作軸的垂線，與切線分別交于點，直線與交于點，關于的對稱點為，則點的軌跡方程為3．（23-24高二下·江西上饒·期末）已知橢圓

的左右焦點為、，點為橢圓上任意一點，過作的外角平分線的垂線，垂足為點，過點作軸的垂線，垂足為，線段的中點為，則點的軌跡方程為.4．（23-24高二上·四川成都·期中）點M為橢圓上一點，為橢圓的兩個焦點，則的內心軌跡方程為.5．（22-23高二上·廣東·階段練習）已知圓上的動點M在x軸上的投影為N，點C滿足．(1)求動點C的軌跡方程C；4．（2024·陜西寶雞·模擬預測）已知雙曲線：的右焦點為，過點的直線交雙曲線E于A、B兩點.若的中點坐標為，則E的方程為（

）A． B．C． D．5．（23-24高二上·廣東廣州·階段練習）已知雙曲線的中心為原點，是的焦點，過的直線與相交于，兩點，且的中點為，則的方程為（

）A． B． C． D．6．（23-24高二·全國·課后作業(yè)）過拋物線的焦點作直線交拋物線于、兩點，則線段的中點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．三、專項訓練1．（23-24高三下·重慶·期中）長為2的線段的兩個端點和分別在軸和軸上滑動，則點關于點的對稱點的軌跡方程為（

）A． B． C． D．2．（23-24高三下·江西·開學考試）已知面積為的正方形的頂點、分別在軸和軸上滑動，為坐標原點，，則動點的軌跡方程是（

）A． B．C． D．3．（23-24高二上·廣東佛山·期末）長為的線段的兩個端點和分別在軸和軸上滑動，則點關于點的對稱點的軌跡方程為（

）A． B． C． D．4．（23-24高二上·安徽合肥·階段練習）平面上動點到定點的距離比點到軸的距離大，則動點的軌跡方程為（

）A． B．C．或 D．或5．（23-24高二上·河南·期中）已知動點P在曲線上，則點與點P連線的中點的軌跡方程是（

）A． B． C． D．6．（23-24高二上·河南南陽·階段練習）已知點P是圓上的動點，作軸于點H，則線段PH的中點M的軌跡方程為（

）A． B． C． D．7．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知直線交拋物線：于軸異側兩點，，且，過向作垂線，垂足為，則點的軌跡方程為（

）A．（） B．（）C．（） D．（）8．（23-24高二·遼寧沈陽·階段練習）已知圓的方程為，若拋物線過點A（﹣1，0），B（1，0），且以圓的切線為準線，則拋物線的焦點軌跡方程為（

）A． B．C． D．9．（24-25高二上·上海·課堂例題）已知，，，第三個頂點C在曲線上移動，則的重心的軌跡方程是．10．（23-24高二上·上?！て谀┮阎獧E圓上有一點，是軸上的定點，若有一點滿足，則的軌跡方程為．11．（23-24高二·全國·課后作業(yè)）已知點是曲線上任意一點，，連接并延長至，使得，求動點Q的軌跡方程．12．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）設圓的圓心為A，點P在圓上，則PA的中點M的軌跡方程是.專題01圓錐曲線中的軌跡方程問題(典型題型歸類訓練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：定義法求軌跡方程 2題型二：直接法 5題型三：代入法（相關點法） 8題型四：點差法 14三、專項訓練 18一、必備秘籍1、曲線方程的定義一般地，如果曲線與方程之間有以下兩個關系：①曲線上的點的坐標都是方程的解；②以方程的解為坐標的點都是曲線上的點．此時，把方程叫做曲線的方程，曲線叫做方程的曲線．2、求曲線方程的一般步驟：（1）建立適當的直角坐標系（如果已給出，本步驟省略）；（2）設曲線上任意一點的坐標為；（3）根據曲線上點所適合的條件寫出等式；（4）用坐標表示這個等式，并化簡；（5）確定化簡后的式子中點的范圍．上述五個步驟可簡記為：求軌跡方程的步驟：建系、設點、列式、化簡、確定點的范圍．3、求軌跡方程的方法：3.1定義法：如果動點的運動規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設出軌跡方程，再根據已知條件，待定方程中的常數，即可得到軌跡方程。3.2直接法：如果動點的運動規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點滿足的等量關系易于建立，則可以先表示出點所滿足的幾何上的等量關系，再用點的坐標表示該等量關系式，即可得到軌跡方程。3.3代入法（相關點法）：如果動點的運動是由另外某一點的運動引發(fā)的，而該點的運動規(guī)律已知，（該點坐標滿足某已知曲線方程），則可以設出，用表示出相關點的坐標，然后把的坐標代入已知曲線方程，即可得到動點的軌跡方程。3.4點差法：圓錐曲線中與弦的中點有關的軌跡問題可用點差法，其基本方法是把弦的兩端點的坐標代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得，，，等關系式，由于弦的中點的坐標滿足，且直線的斜率為，由此可求得弦中點的軌跡方程.二、典型題型題型一：定義法求軌跡方程1．（23-24高二上·安徽蕪湖·階段練習）已知動圓過定點，并且在定圓B：的內部與其相切，則動圓圓心的軌跡方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，動圓的半徑為，由圓與圓的位置關系可得，判斷出的軌跡為以為焦點，長軸長為8的橢圓，即可求出的軌跡方程.【詳解】設動圓圓心為，動圓的半徑為，則，因為動圓在定圓：的內部與其相內切，所以,所以，即，因為，,所以，由橢圓的定義可知：的軌跡為以為焦點，長軸長為8的橢圓，所以，所以動圓圓心的軌跡方程為.故選：A2．（23-24高二上·河南洛陽·階段練習）已知動圓過動點，并且在定圓：的內部與其相內切，則動圓圓心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設，動圓的半徑為，由圓與圓的位置關系可得，判斷出的軌跡為以為焦點，長軸長為8的橢圓，即可求出的軌跡方程.【詳解】設，動圓的半徑為，則，因為動圓在定圓：的內部與其相內切，所以,所以，即，因為，,所以,由橢圓的定義可知：的軌跡為以為焦點，長軸長為8的橢圓，所以，所以動圓圓心的軌跡方程為.故選：A3．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）已知動圓P與圓M：，圓N：均外切，記圓心P的運動軌跡為曲線C，則C的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設圓P的半徑為r，外切關系可得，，進而得，從而利用雙曲線的定義即可求解.【詳解】由圓M：，得圓心，半徑，由圓N：，得圓心，半徑．設圓P的半徑為r，則有，．兩式相減得，所以圓心P的運動軌跡為以、為焦點的雙曲線的左支，又，所以C的方程為．故選：B．4．（23-24高二上·新疆烏魯木齊·期末）一動圓過定點，且與已知圓：相切，則動圓圓心P的軌跡方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據兩圓相切，得，結合，得動點的軌跡是以、為焦點的雙曲線，再根據求出，可得結果.【詳解】圓：的圓心，半徑為，當動圓與圓相外切時，則，即當動圓與圓相內切時，因為定點在圓外，所以只能是圓內切于動圓，所以，即綜上所述：，又，所以動點的軌跡是以、為焦點的雙曲線，因為，，所以，，所以，所以動圓圓心P的軌跡方程是.故選：D5．（23-24高二上·寧夏石嘴山·階段練習）一個動圓與定圓：相內切，且與定直線相切，則此動圓的圓心M的軌跡方程是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用圓與圓的位置關系，直線與圓的位置關系找到動點M的幾何條件，再根據拋物線的定義確定動點M的軌跡，最后利用拋物線的標準方程寫出軌跡方程．【詳解】設動圓M的半徑為r，依題意：，點M到定直線的距離為，所以動點M到定點的距離等于到定直線的距離，即M的軌跡為以F為焦點，為準線的拋物線，所以此動圓的圓心M的軌跡方程是.故選：D．6．（23-24高二上·全國·課前預習）已知動圓M與直線y=2相切，且與定圓外切，則動圓圓心M的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據動圓M與直線y=2相切，且與定圓外切，可得動點M到C（0，-3）的距離與到直線y=3的距離相等，由拋物線的定義知，點M的軌跡是拋物線，由此易得軌跡方程．【詳解】設動圓圓心為M(x，y)，半徑為r，由題意可得M到C(0，－3)的距離與到直線y＝3的距離相等,由拋物線的定義可知，動圓圓心的軌跡是以C(0，-3)為焦點，以y＝3為準線的一條拋物線，所以，其方程為，故選：A題型二：直接法1．（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知，若動點P滿足直線與直線的斜率之積為，則動點P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設出動點，利用條件直接建立關系，化簡得出，從而得出結論.【詳解】設，因為，所以，又因為直線與直線的斜率之積為，所以，整理得.故選：C.2．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知點的坐標分別為，直線相交于點,且直線的斜率與直線的斜率的差是1，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設，分別求出直線的斜率，結合題意列出方程，整理即可得解.【詳解】解：設，直線的斜率為，直線的斜率為，有直線的斜率與直線的斜率的差是1，所以，通分得：，整理得：，即點的軌跡方程為.故選：B.3．（23-24高二上·河北邯鄲·期末）在平面直角坐標系中，已知定點，，直線與直線的斜率之積為-4，則動點的軌跡方程為A． B．C． D．【答案】A【詳解】設動點P的坐標為（x，y），則由條件得即（x≠0）．所以動點P的軌跡C的方程為故選A．4．（23-24高二上·浙江金華·期末）已知在平面直角坐標系xOy中，，動點P滿足則P點的軌跡Γ為圓，過點A的直線交圓Γ于兩點C，D，且，則.【答案】【分析】設，根據可得圓的方程，利用垂徑定理可求.【詳解】設，則，整理得到，即.因為，故為的中點，過圓心作的垂線，垂足為，則為的中點，則，故，解得，故答案為：，.5．（2024高三·全國·專題練習）已知點，，直線PM，PN的斜率乘積為，P點的軌跡為曲線C，則曲線C的方程為.【答案】【分析】有已知條件結合斜率公式求解即可【詳解】設P點坐標為，∵，∴，∴，∴，∴曲線C的方程為.故答案為：.題型三：代入法（相關點法）1．（23-24高三上·湖南婁底·期末）已知雙曲線的兩個焦點分別為，離心率等于，設雙曲線的兩條漸近線分別為直線；若點分別在上，且滿足，則線段的中點的軌跡的方程為A． B．C． D．【答案】A【分析】根據離心率得到雙曲線方程，漸近線方程為．設，，線段的中點，根據得到軌跡方程.【詳解】由已知，求得，得雙曲線方程為，從而其漸近線方程為．設，，線段的中點，由已知不妨設，，從而，，由得，所以，即，則M的軌跡C的方程為．【點睛】本題考查了軌跡方程，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.2．（23-24高二下·江西宜春·期中）已知圓與軸交于點、，過圓上動點(不與、重合)作圓的切線，過點、分別作軸的垂線，與切線分別交于點，直線與交于點，關于的對稱點為，則點的軌跡方程為【答案】【分析】相關點法求軌跡方程：設，先根據條件，求出，兩點的坐標，再聯立直線和求出交點，根據，兩點關于對稱，確定用，表示點的坐標，再由點在圓上，列方程整理即可.【詳解】依題意作圖，有，，設()，.過點的圓的切線的方程為，所以，.聯立解得，所以點.又點，關于點對稱，所以，即，又點在圓上，所以，把代入整理得，，又，所以點的軌跡方程().故答案為：().3．（23-24高二下·江西上饒·期末）已知橢圓

的左右焦點為、，點為橢圓上任意一點，過作的外角平分線的垂線，垂足為點，過點作軸的垂線，垂足為，線段的中點為，則點的軌跡方程為.【答案】【分析】先利用橢圓的幾何性質得到的軌跡方程為：，再根據的坐標與的坐標關系可得的軌跡方程.【詳解】如圖，延長交的延長線于，連接.因為為的平分線且，故為等腰三角形且，，所以.在中，因為，所以，故的軌跡方程為：.令，則，所以即，故答案為：【點睛】本題考查橢圓的幾何性質以及動點的軌跡方程，注意遇到與焦點三角形有關的軌跡問題或計算問題時，要利用好橢圓的定義，另外，求動點的軌跡，注意把要求的動點的軌跡轉移到已知的動點的軌跡上去.4．（23-24高二上·四川成都·期中）點M為橢圓上一點，為橢圓的兩個焦點，則的內心軌跡方程為.【答案】【分析】設的內心為，連接交軸于點，由內角平分線性質定理得到，設，再由焦半徑公式及內角平分線定理得到，則，然后利用向量關系把的坐標用的坐標表示出來，代入橢圓方程求解.【詳解】如圖，設的內心為，連接交軸于點，連接在中是的角平分線.根據內角平分線性質定理得到.同理可得.所以，根據等比定理得：在橢圓中，所以設，則同理又，則，可得所有由，得，所以，代入橢圓方程.得，由，則.所以的內心軌跡方程為：故答案為：【點睛】本題考查橢圓的簡單性質，考查焦半徑公式，內角平分線定理的應用，屬于難題.5．（22-23高二上·廣東·階段練習）已知圓上的動點M在x軸上的投影為N，點C滿足．(1)求動點C的軌跡方程C；【答案】(1)【分析】（1）設出點，根據已知列式得出點與點坐標的關系，即可根據點是圓上的動點，代入化簡即可得出答案；【詳解】（1）設，，則，則，，，，即，點是圓上的動點，，整理得，則動點C的軌跡方程C為：.6．（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系中，△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別為，，平面內兩點G，M同時滿足以下3個條件：①G是△ABC三條邊中線的交點：②M是△ABC的外心；③(1)求△ABC的頂點C的軌跡方程；【答案】(1)；【分析】（1）設出點的坐標，利用兩點間的距離公式即可求得軌跡方程；【詳解】（1）設C（x，y），G（，），M（，），因為M是△ABC的外心，所以所以M在線段AB的中垂線上，所以，因為，所以，又G是△ABC三條邊中線的交點，所以G是△ABC的重心，所以，所以，又，所以，化簡得，所以頂點C的軌跡方程為；題型四：點差法1．（2024·貴州·模擬預測）已知橢圓的右焦點為，過點且斜率為1的直線交橢圓于兩點.若的中點坐標為，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設，利用點差法可得的關系，從而可求得，即可的解.【詳解】設，則，由已知有，，作差得，則，所以，解得，則的方程為.故選：D．2．（2024·四川巴中·模擬預測）已知橢圓四個頂點構成的四邊形的面積為，直線與橢圓C交于A，B兩點，且線段的中點為，則橢圓C的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設代入橢圓方程相減，利用，，，得出等量關系，即可求解.【詳解】設，，則，，兩式作差并化簡整理得，因為線段AB的中點為，所以，，所以，由，得，又因為，解得，，所以橢圓C的方程為．故選：A．3．（23-24高二上·浙江杭州·階段練習）焦距為，并且截直線所得弦的中點的橫坐標是的橢圓的標準方程為（

）A． B．C． D．或【答案】A【分析】設橢圓方程為，且，及交點，將兩點代入橢圓方程可得，根據弦中點坐標關系可得，結合直線方程得，再由橢圓的焦距求得的值，即可得橢圓標準方程.【詳解】解：設橢圓方程為，且設直線與橢圓相交的兩點坐標為，由題意可知，即，所以，又在橢圓上，可得：，兩式相減得，整理得：，則，所以，又直線的斜率為，所以，即，所以橢圓的焦距為，所以，則，故可得：解得，故橢圓的標準方程為：.故選：A.4．（2024·陜西寶雞·模擬預測）已知雙曲線：的右焦點為，過點的直線交雙曲線E于A、B兩點.若的中點坐標為，則E的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設，由，利用點差法求解.【詳解】解：設，則，兩式相減得，即，化簡得，又，解得，所以雙曲線的方程為：.故選：D.5．（23-24高二上·廣東廣州·階段練習）已知雙曲線的中心為原點，是的焦點，過的直線與相交于，兩點，且的中點為，則的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】先根據，，的關系得出，設出，兩點的坐標，代入雙曲線方程，兩式相減利用中點坐標公式，求出，再根據直線過點，求出，即可得出，進而求出，得出雙曲線的標準方程.【詳解】解：設雙曲線的標準方程為：，由題意知：，即①設，，的中點為，，，又，在雙曲線上，則，兩式作差得：，即，即，又，即，解得：②，由①②解得：，，雙曲線的標準方程為：.故選：B.【點睛】方法點睛：解決雙曲線有關弦以及弦中點的問題，常利用根與系數的關系以及“點差法”，但前提必須保證直線與雙曲線有兩個不同的交點.6．（23-24高二·全國·課后作業(yè)）過拋物線的焦點作直線交拋物線于、兩點，則線段的中點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分析可知直線不與軸重合，設點、，設直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯立，列出韋達定理，求出線段的中點坐標，進而可得出線段的中點的軌跡方程.【詳解】拋物線的焦點為，設點、，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，設直線的方程為，聯立可得，，由韋達定理可得，所以，，設線段的中點為，則，，則，所以，，化簡可得.因此，線段的中點的軌跡方程為.故選：D.三、專項訓練1．（23-24高三下·重慶·期中）長為2的線段的兩個端點和分別在軸和軸上滑動，則點關于點的對稱點的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設出、、點坐標，由題意可得、兩點坐標間的關系，用點的橫縱坐標替換、點坐標代入計算即可得.【詳解】設、，，則有，，即，，由題意可得，即，即.故選：D.2．（23-24高三下·江西·開學考試）已知面積為的正方形的頂點、分別在軸和軸上滑動，為坐標原點，，則動點的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設點、、，由平面向量的坐標運算可得出，由正方形的面積公式可得出，將代入等式整理可得出點的軌跡方程.【詳解】設點、、，由，所以，，可得，因為正方形的面積為，即，即，整理可得，因此，動點的軌跡方程為.故選：C.3．（23-24高二上·廣東佛山·期末）長為的線段的兩個端點和分別在軸和軸上滑動，則點關于點的對稱點的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設點、、，由已知條件可得出，分析可知，為的中點，可得出，代入等式化簡可得出點的軌跡方程.【詳解】設點、、，則，可得，因為點關于點的對稱點為，則為的中點，所以，，可得，將代入可得，即，因此，點的軌跡方程為.故選：C.4．（23-24高二上·安徽合肥·階段練習）平面上動點到定點的距離比點到軸的距離大，則動點的軌跡方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】設點，可得出，分、兩種情況討論，化簡可得出點的軌跡方程.【詳解】設點，因為平面上動點到定點的