高中一輪數(shù)學(xué)5 .5 正余弦定理

5.5正余弦定理（精練）

【題組一正余弦定理的選擇】

1.（2021?陜西高三三模）在△?1%中，內(nèi)角力，B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=l,6=百，

則c=（）

A.1或2B.1或6C.1D.3

【答案】A

【解析】1=3+C2—2GC-COS工，化簡(jiǎn)得，c2-3^2=0,解得c=l或2.故選：A.

6

2.（2021婀南商丘市）△/比的內(nèi)角48c的對(duì)邊分別為a",c,已知sin6-百cos8=0,a=3,b=l,

則c=.

【答案】8

【解析】由sinB-百cosB=0，得tanB=G，因?yàn)?e（0,%）,所以8=（,

由余弦定理得序=/+。2一2。8。$3,即49=9+。2—3c,解得c=8（c=-5舍去）.故答案為：8

3.（2021?上海華師大二附中高三三模）已知6c中，8C=2,A8=26,A=30°,則AC=.

【答案】2或4

【解析】-.BC=2,AB=2BA=3（）°,BCAB.廠ABxsinA2&、萬.

sinAsinCBC22

=>C=60°或C=120°

當(dāng)。=60。時(shí)，8=9（）。，AC=J/W2+BC2=V^TH=4,

當(dāng)C=120。時(shí)，B=30°,△A6c為等腰三角形，故AC=2故答案為：2或4

3

4.（2021?山東泰安市?高三三模）在AABC中，AC=3,BC=2,cosC=—,貝|tanA=

4

【答案】也

3

【解析】由余弦定理得：AB-=AC2+BC2-2BCACcosC=32+22-2x3x2x-=4,

4

所以AB=2,因?yàn)?3=3。，所以A=C，所以COSA=COSC=3,tanA=—

43

5.（2021?黑龍江齊齊哈爾市）在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,若4=逆，/,=拒，

3

B號(hào),則A等于.

【答案】-

4

【解析】因?yàn)锳MC中，a=巫,b=6,8=22，

33

由正弦定理，可得'_=_"，所以sinA=竺里0=也，

sinAsinBb2

27r7i

因?yàn)閍<b，所以A<8,所以Ae（O,_）,可得A=2.故答案為：一

344

6.（2021?山西晉城市）已知外接圓的直徑為&AB=4,AC=5,3。=7,則4=.

【答案】電5

12

【解析】由余弦定理得：cosA^4'-5—7"所以sinA=JI=嬴7=2匹，

2x4x555

由正弦定理得4=變>=變色.故答案為：電5

sinA1212

7.（多選）（2021?重慶市育才中學(xué)高三二模）已知在△45C中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為。，h,c,

且A=60°,b=2,C=6+1，則下列說法正確的是

A.C=75°或C=105°B.B=45°

C.a=V6D.該三角形的面積為

2

【答案】BC

【解析】由余弦定理得=〃~+c~—2Z?ccosA=4+4+2—2x2x（+1）x/=6,所以。="\/^.

卜）“百i—

nz

由正弦定理得——=——，所以.n_Z?sinA_2_V2，

sinAsinBsin〃=-----=-=——

a2

由于0<B<120°,所以B=45°.所以C=180-B—A=75°.

三角形ABC的面積為4csinA=』x2x（百+1卜走=三正.

22v>23

故BC選項(xiàng)正確，AD選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC

8.（多選）（2021?江蘇高三專題練習(xí)）在AABC中，角A,8,。的對(duì)邊分別為a,b,c,若〃二廿+灰,，則

角A可為（）

371717424

A.—B.-C.—D.—

44123

【答案】BC

【解析】由余弦定理得：a2=b24-c2-2/?ccosA?

c-h

又a?=〃+歷，.b?+be=b1+c2—2/?ccosA，整理可得：cosA=——；

2b

對(duì)于A,cosA=j=-走，則c=（l—加）b<0,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,cosA=￡a=也，則c=（l+J5）〃，B正確；

2b2V7

dT「Ac—hV2—V612+V2->/6「j-制

對(duì)寸C,cosA=------=------------，WrlJlc------------------b>0，C止確；

2b42

c—b1

對(duì)于D,cosA=------=一-,則c=0,D錯(cuò)誤.故選：BC.

2b2

【題組二邊角互換】

L（2021?廣西高三）銳角△A5C內(nèi)角A,民C的對(duì)邊分別為a,"c,已知3sin23=%sinAcos5,則。二

（）

A.1B.2C.3D.6

【答案】C

【解析】3sin2B=2Z?sinAcosB,/.6sinBcosB=2Z?sinAcosB，

?「△ABC為銳角三角形，「.cosBwO,.,.3sinB=〃sinA,.?.30=/??a,/.a=3.故選：C.

2.（2021?湖南株洲市?高三二模）在AABC中，內(nèi)角4及。所對(duì)的邊分別為26、c,若

2y/3acosC-3Z?cosC=3ccosB，則角。的大小為（）

【答案】A

【解析】121^92cosC-3bcosC=3ccosB，所以2GsinAcosC-3sinBcosC=3sinCeosB，

所以2GsinAcosC=3sin(C+3)=3sinA,

因?yàn)锳Ce(O,?),所以sinAwO,cosC=*又C?0,兀)所以故選：A

3.(2021?寧夏銀川市?銀川二中高三三模(文))△ABC的內(nèi)角A8,C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知

acosB+y/3hsinA=a?則8=()

a冗71n2萬

A.-c.一D.—

623

【答案】D

【解析】由正弦定理知：sinA(cosB+V3sinB)=sinA,而sinAwO,

cosB+V3sinB=2sin(B+-)=\,又2<3+2〈女，即8+2=名，...8=空.故選：D.

6666663

4.(2021?吉林吉林市)已知仇c分別為AABC三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且

acosC+y/3asinC-/?-c=0?貝！J力為()

.冗cn「2"c71

A.-B.-C.—D.一

6334

【答案】B

【解析】因?yàn)椤╟osC+6asinC-b-c=0,所以sinAcosC+百sinAsinC—sinB-sinC=0，

因?yàn)?=萬一(A+C),所以sin3=sin[萬一(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以sinAcosC+GsinAsinC-(sinAcosC+cosAsinC)-sinC=0,

V3sinAsinC-cosAsinC-sinC=0，

因?yàn)閟inC/0,所以百sinA—cosA=l,所以sin(4-吃)=；,

62

因?yàn)?--<A-----<—,所以A—§=得4=一故選：B

666663

5.（2021?四川成都市）在ZkABC中，內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列，則sin'A+sin?。一sin4sinC=，

3

【答案】二

4

【解析】由內(nèi)角A氏C成等差數(shù)列，知：2B=A+C,而A+B+C=〃，

兀

，8=3■，而由余弦定理知:b2=a2+C2-2accosB=a2+c2-ac

33

由正弦定理邊角關(guān)系，得：sin?8=sii?A+sin?C-sinAsinC=—.故答案為：一.

44

6.（2021?陜西西安市）已知在△ABC中，sir?A+sin?8—side=叵叫竺世2,貝ijcos2C=

cosC

【答案】百-1

【解析】因?yàn)镾il?A+sir?8—Sil?c=6?山8,

cosC

所以由正弦定理得=避殮，即4+/工=出,

cosC2ab2cosC

由余弦定理得cosC=及一，所以cos2c=",從而sin2c=l-cos2c=三二叵，

2cosC22

所以cos2C=cos2?！猻in2C=且一2-6=6一i，故答案為：出八

22

【題組三三角形的面積】

1.（2021?四川內(nèi)江市）在△ABC中，AC=3,BC*，AB=2,則△ABC的面積為（）

A.2A/3B.述C.15D.-

222

【答案】B

【解析】由余弦定理得，co「,4-A82+AC25C2_2+3一（夕）一1，所以

2ABAC2x2x32

sinA=Vl-cos2A--,所以△ABC的面積為，A8?AC-sinA=2x2x3x^=述.故選：B.

22222

2.（2021?河南高三月考）在AABC中，=J萬，AC=3,cosA=g,則△A5C的面積為（）

9

A.45/2B.2C.4D.—

【答案】A

【解析】因?yàn)锽C=JF7，AC=3,cosA=；,由余弦定理得602=4^+402AC-cosA，

1,r>

所以AB?—2A8—8=0，所以AB=4.又因?yàn)閏osA=-,Ae（0,萬），所以sinA=，二，所以

33

i[?

S,?=-A6,AC-sinA=-x4x3x-^-=40?故選：A.

A"C223

冗

3.（2021?四川雅安市）在“IBC1中，角4B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=0cosC且c=6,A=一,

3

則AABC的面積為（）

A.3673B.27C.20V3D.18百

【答案】D

【解析】在△A6C中，o=Z?cosC,所以sinA=sin8cosC,

又因?yàn)閟in（B+C）=sin5cosC+cosBsinC,所以cosBsinC=0,

因?yàn)?,Ce（O,乃），所以sinC/0,且cos3=0,所以5=',

又因?yàn)閏=6,a=6tanA=6g，所以AABC的面積為S.^c==186,故選：D

jr

4.（2021?北京高三二模）在AABC中，BC=6,A=—,sinB=2sinC.則AABC的面積為（）

3

A.6GB.6C.973D.4夜

【答案】A

a2=b2+c2-2bccosA>:.36=c2+b2—be>

sin3=2sinC,Z?=2c.解得：c=26,b=40,

AABC的面積為5=工兒8m4=,*26*4百x走=66.故選：A.

222

5.（2021?安徽黃山市）在AABC中，角A,3,C所對(duì)的邊分別為。，h,c,若sin3sinC=sinA,

△ABC的面積為a+h=3,則角C=（）

2

A.30°B.120°C.30?；?50°D.60°或120°

【答案】C

cinAci

【解析】因?yàn)閟in5sinC=sinA,由正弦定理得sinC=^——=—,

sin8b

因?yàn)椤鰽SC的面積S--ahsinC=—ahx---,所以a=i,

22h2

因?yàn)閍+Z?=3,所以b=2,sinC=—,故C=30°或150°.故選：C.

2

6.（2021?河南高三）在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是。，b,c,已知A=60°,b+c=6,

且ATWC的面積為百，則ATWC的內(nèi)切圓的半徑為.

【答案】V3-V2

【解析】因?yàn)锳ABC的面積為百，所以gbcsinA=后，解得歷=4.

又Z?+c=6,由余弦定理可得/=/+/-2/?ccosA=（b+c）2-3824,所以。=2幾，

所以zkABC的周長(zhǎng)為a+/?+c=2Jd+6，

設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為「，則5入"0=：（。+。+。）〃=3（2遙+6）r=百，

解得「=8-夜.故答案為：V3-V2.

7.（多選）（2021?全國(guó)高三專題練習(xí)）a,b,。分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊.已知

〃sinA=（36-c）sinB,且cosA=；,貝ij（）

A.a+c=3bB.tanA=2&

C.△A5C的周長(zhǎng)為4cD.AMC的面積為漢Ze?

9

【答案】ABD

【解析】VfesinA=（3b-c）sinB,；.ab=（3b-c）b,Aa=3b-c.

921

由余弦定理得（3Z?—c）~=h2+c2—2〃ccosA,整理得。=-c,又cosA=§,

oB

??sinA=----，tanA=2>/2?周長(zhǎng)為。+人+c=4b.

3

故AABC的面積為L(zhǎng)/>csinA=24?c2故選：ABD

29

8（多選）（2021?湖南高三月考）在AABC中，角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若片@爐3,B=2C,

2

則下列結(jié)論正確的是（）

A.sinC=^-B.a=—C.a=cD.Siar—2-^2

33AAOC▼

【答案】AB

bc

【解析】?：B=2C,/.sin^sin2C^2sinCcosC由正弦定理知，-----=-----，

sinBsinC

B2

\c=^-bf.\cosC=^-,sinC=^/l-cosC=^~,即選項(xiàng)A正確；

233

由余弦定理知，S-2ab?cosC,???9=孑+（26）2-2夕（2百）即4-4尹3=0,解得華3或k1,

3

若年3,則在信4，此時(shí)cos小YZ,與題意不符，

42

??.，^￡,即選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

3

△A8C的面積S’ABC?-;a?sin心;X1X2&X巫即選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AB

，，3

3

9.（2021?上海高三三模）在6c中，AB=2,AC=3,且ABC的面積為一，則/BAC=

2

【答案】m或苧

66

3

【解析】AA6c中，AB=2,AC=3,且AA6c的面積為一，

2

13131

所以一AB-AC-sin/4=-,所以一x2x3sin/A=—,整理得：sinZA=-,

22222

因?yàn)锳e（O,〃），所以N84C=工或當(dāng)，故答案為：”或包

6666

10.（2021?廣西）在AA6c中，BC=2,ZABC=y,AABC的面積為空，則AC=

63

【答案譽(yù)

【解析】因?yàn)镾3=；A8.BC.si吟=殛，BC=2,所以.=生叵，

由余弦定理得AC?=BC2+A82-2AB-8CCOSNABC=4+3—2x2x迪x3=&，

3323

所以AC=2叵.故答案為：空

33

【題組四判斷三角形的形狀】

1.(2021?全國(guó)高三專題練習(xí)(理))在AABC中，內(nèi)角A、8所對(duì)的邊分別為。、。，若acosA=Z?cosB,

則△45。的形狀是()

A.等腰直角三角形B.等腰三角形或直角三角形

C.等腰三角形D.直角三角形

【答案】B

【解析】：acosA=bcosB，:.a-—c———=b-"+’———.

2bclac

22222222442222

apa(b+c-a)=b(a+c-b),HPa-h+bc-ac=0，

整理得-Z?2)(a2-c?)=0,=。或/+》2=0，

因此，△ABC是等腰三角形或直角三角形.故選：B.

2.(2021?全國(guó)(文))若△48C中，sin(A+B)sin(A-5)=sin2C,則此三角形的形狀是()

A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【解析】「AABC中,sin(A+B)=sinC,

己知等式變形得：sinCsin(A-B)=sin2C,HPsin(A-B)=sinC=sin(A+B),

整理得：sinAcosB-cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB,即2cosAsinB=0,

.?.cosA=0或sin3=0(不合題意，舍去)，

?.-0<A<7T:.A=90°,則此三角形形狀為直角三角形.故選：A

3.(2021?福建)設(shè)AA3C的三個(gè)內(nèi)角A氏C成等差數(shù)列，sinA、sinB、sinC成等比數(shù)列，則這個(gè)

三角形的形狀是()

A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰直角三角形D.鈍角三角形

【答案】B

【解析】因?yàn)锳ABC的三個(gè)內(nèi)角A,8,C成等差數(shù)列，所以B=M,A+C=‘，

33

、3

又因?yàn)閟inA、sinB>sinC成等比數(shù)列，所以sirr8=sinA-sinC=—

4

匚.人.12萬八.1.2乃.2乃］

所以sinA?sin―AJ=sinA?(sin—cosA-sinAcos—I

7r

V3...1.AG.CA111?(cA萬、13?(o人li

——sin2A+—sin*^2A=——sin2A——cos2AH■—=—sin2A---+—=—即p1snin2A--=1

424442I3J44I3；

又因?yàn)?<A<口所以A=工故選B

33

4.(2021?甘谷縣第四中學(xué))在△ABC中，若1一叫J如土則△ABC的形狀是()

1-sin-BccosB

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【答案】D

*1-sin2Ccos2CbcosCcosCbcosCcosCb

【解析】由已知.....-=——=-------,得za------=一或------=0,即C=9()°或------=一，由

1-sin-Bcos-BccosBcos8ccos8cosBc

cosCsinB

正弦定理得-----=-----,即sinCcosC=sin3cos3,即sin2C=sin23，丁B,。均為△A6C的內(nèi)

cosBsinC

角，???2C=28或2C+2B=180。，???8=。或5+C=90。，1?△ABC為等腰三角形或直角三角形.

故選：D.

5.(2021?全國(guó)高三專題練習(xí))已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,滿足

cos?A-cos?B+cos?C=1+sinAsinC，且sinA+sinC=1,則△ABC的形狀為()

A.等邊三角形B.等腰直角三角形

C.頂角為120°的非等腰三角形D.頂角為120。的等腰三角形

【答案】D

【解析】因?yàn)閏os?A-cos2B+cos2C=l+sinAsinC?

所以l-sin?A—(1—sin2B)+l—sin2C=1+sinAsinC>

所以sin?A4-sin2C-sin2B=-sinAsinC，

〃2*2_序1

根據(jù)正弦定理可得a2+c2-b2=-ac，即巴士~~—=

2ac2

所以cosb=一大，因?yàn)?<8<乃，所以8=120°，所以A+C=60，

2

由sinA+sinC=1得sinA+sin(60—A)=1,

J3I?J3

得sinA+sin6(PcosA-cos6()"sinA=1，得sinA+^—cosA——sinA=1，得一sinA+^—cosA=1，

2222

得sin(A+6())=l,因?yàn)锳為三角形的內(nèi)角，所以A=30“，C=30。，

所以△ABC為頂角為120。的等腰三角形.故選：D

6.(多選)(2021?全國(guó)高三專題練習(xí))在AABC中，角A,B,。的對(duì)邊分別為。，。，J若

孚=萼=電工，則下列結(jié)論正確的是()

A.當(dāng)％=5時(shí)，A48c是直角三角形B.當(dāng)左=3時(shí)，AABC是銳角三角形

C.當(dāng)％=2時(shí)，AA3C是鈍角三角形D.當(dāng)攵=1時(shí)，A4BC是鈍角三角形

【答案】ABC

［解析】對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)人=5時(shí)，sm"=sm8=sin^,根據(jù)正弦定理不妨設(shè)a=5m<b=3m,c=4m,

534

顯然AA3C是直角三角形，故命題正確；

對(duì)于選項(xiàng)3,當(dāng)左=3時(shí)，處4=吧0=/￡,根據(jù)正弦定理不妨設(shè)。=3m，6=3加，c=4m,

334

顯然AABC是等腰三角形，a2+b2-c2=9nr+9m~-16m2=2m2>0-

說明NC為銳角，故AABC是銳角三角形，故命題正確；

sinAqinRsinC

對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)左=2時(shí)，-——=-————，根據(jù)正弦定理不妨設(shè)a=2m,b=3m,c=4m,

234

可得〃+/一。2=4加2+9m2_i6m2=_3m2<o,說明NC為鈍角，故AABC是鈍角三角形，故命題正

qinAsinRqin

確；對(duì)于選項(xiàng)。，當(dāng)上=1時(shí)，——=——=——，根據(jù)正弦定理不妨設(shè)a=lm,b=3m,c=4〃z,

134

此時(shí)a+Z?=c，不等構(gòu)成三角形，故命題錯(cuò)誤.故選：ABC.

【題組五三角形的個(gè)數(shù)】

1.(2021?廣東若AABC的內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,a=8(),8=100,A=30°,則8的

解的個(gè)數(shù)是()

A.2B.1C.0D.不確定

【答案】A

【解析】由正弦定理知，一乙=—2—,即一=解得sin5=g,

sinAsinBsin30sinB8

乂8e（0,乃），由三角函數(shù)性質(zhì)知角8由兩個(gè)解,

當(dāng)角力為銳角時(shí)，滿足A+B<〃，即存在;

叵，”儼然與目乂…一商〉。,

當(dāng)角6為鈍角時(shí)，cos8=

882（8）216

則滿足A+B<〃，即存在；故有兩個(gè)解.故選：A

2.（2021?重慶巴蜀中學(xué)）在AAbC中，角4,B,C的對(duì)邊分別是a,8,c,若，滿足條件。=3,4=60,

的三角形有兩個(gè)，則6的取值范圍是（）

A.（2,3）B.（3,36）C.（3,273）D.（2也,26）

【答案】C

【解析】因?yàn)椤?3,4=6（）、

由正弦定理可得￡■=，一,所以sinB=絲電4=立匕，

sinAsinBa6

又滿足題意的三角形有兩個(gè)，所以只需sinA<sinb<l,即走〈且匕<1,解得3〈人<2百.故選：C.

26

JT

3.（2021?浙江）在△A6C中，A=-,b=2,則“”>1”是“AABC有兩個(gè)解”的（）

6

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

TT

【解析】???4=一/=2,

6

若△ABC有兩個(gè)解，則bsinA<。<〃，即2x,<q<2,即1<"2,

2

.??是“△ABC有兩個(gè)解”的必要不充分條件.

故選：B.

4.（2021?天津南開中學(xué)）在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,"c,下列條件使△MC有兩解的

是（）

A.0=2,c=l,A=30

B.a=8,B=45',C=65°

C.a=3;c=2,A=30°

D.a=30,b=4,5=45。

【答案】D

%

【解析】選項(xiàng)A.由余弦定理可得"=〃2+。2-2〃ccosA=4+1-2xlx2xy二=5-26

2

△ABC的三邊分別為人=2,c=La=J5-2g，所以滿足條件的三角形只有一個(gè).

bcaQ

選項(xiàng)B.8=45°,C=65°,則A=70°,由正弦定理可得「不二丁二二二一;;^^；

sinBsmCsmAsin700

8sin45°8sin65°

所以\=,C=二c，6c的三邊為定值，三個(gè)角為定值，所以滿足條件的三角形只有一個(gè).

sm700sin700

hcci3

選項(xiàng)C.由。=3;c=2,A=30,則由正弦定理可得二=----=-----------—=6

sinBsinCsinAsin30

21

所以sinC=：=彳，由a>G則A>C,所以角C為一確定的角，月.30°>C>0°，

則角角5為一確定的角，從而邊匕也為定值，所以滿足條件的：角形只有一個(gè).

選項(xiàng)D.作/B=45°,在08的一條邊上取8C=a=3近，過點(diǎn)。作C”垂直于的另一邊，垂足為”.

貝ij|CH|=3,以點(diǎn)C為圓心，4為半徑畫圓弧，

因?yàn)閨8卜4<30=。，所以圓弧與B8的另一邊有兩個(gè)交點(diǎn)A，&

所以均滿足條件，所以所以滿足條件的三.角形有兩個(gè).

故選：D

jr

5.（2021?天津）已知△ABC的內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,C,若.=及，b=2,A=-,則

6

滿足條件的小鉆。（）

A.無解B.有一個(gè)解

C.有兩個(gè)解D.不能確定

【答案】C

兀

【解析】因?yàn)閍=0<b=2,A=—

6

由正弦定理可得，一==b^,B>A，所以sinB=2sinA=>

sinAsinBa2

7TSjr3乃

因?yàn)?為三角形內(nèi)角，所以:<5v;萬，因此3=—或5=<，

6644

若3=巴jr,則C=7—乃符合題意；若8=3——7r，則。=—,符合題意;

412412

因此AABC有兩個(gè)解；故選：C.

6.（2021?河南高三月考（理））AABC中，角46,C的對(duì)邊分別是。，b,c,A=30°,a=6若

這個(gè)三角形有兩解，則匕的范圍是（）

A.y/3<b<2s/3B?$<b<2^C.b<2y/3D.h<2y/3

【答案】B

【解析】由題意得：△ABC有兩解時(shí)需要：hsinA<a<b,則從in30°<6<6，解得:也<b<2后.

故選：B.

7.（2021?黑龍江哈爾濱市）在5c中，已知：a=4,b=x,A=60'，如果解該三角形有兩解，則

（）

A.x〉4B.0<x<4C.4<x<-^D.4Vx（包

33

【答案】D

【解析】如圖：CD1AB.

因?yàn)槿切蜛3C有兩解，

所以C￡)v3C<AC,

所以bsinAvavZ?，

由I”^3.ZH,8^3

所以——x<4<x，符4<x<-----.

23

故選：D

8.(2021?全國(guó)高三專題練習(xí)(文))在△A5C中，角A3,C所對(duì)的邊分別為。泊,。，下列條件使得6c

無法唯一確定的是()

A.。=3,3=15"=25。B.Q=3,Z?=4,C=40。

C.。=3,b=4,A=40°D.a=31=4,3=40°

【答案】C

【解析】對(duì)于A：???4=3,B=15°,C=25°,???力=140°,

由正弦定理得：一三h_c

sinAsinBsinC

/.Z?=sinBx---=sin15°x---------,c=sinCx---=sin25°x------——

sinAsin140sinAsin140°

???△ABC唯?確定；故A正確.

對(duì)于B：Va=3,Z?=4,C=40°,

由余弦定理，可得：c7a2+加一2"cos40=，25—24COS40

a，25-24cos40

由正弦定理:二上,有：3=」-

sinAnBsinCsinAsin3sin40

可以求出角小8,，△ABC唯一確定；故B正確.

對(duì)于C：：a=3*=4,A=40°

由正弦定理：三上」，有：_A_=-J_

sinAsin8sinCsin40sinB

4xsin40'

:.sinB-

3

?.?。=3,力=4,.?.。<。，40。=4<5,這樣的角8有2個(gè)，所以^至。不唯一，故C錯(cuò)誤.

對(duì)于D：?;a=3,8=4,8=40°

a_b_c34

由正弦定理:有:

sinAsinBsinCsinAsin40'

3xsin40

sinA=

4

?：a^3,b=4,：.a<h：.A<B=40,這樣的角A有唯一一個(gè)，

...角C唯一，所以△ABC唯一，故D正確.

故選：C

9.（2021?全國(guó)高三專題練習(xí)（文））在AA5c1中，若a=18，8=24,4=45。，則此三角形有（）

A.無解B.兩解C.一解D.解的個(gè)數(shù)不確定

【答案】B

ah

【解析】???在AABC中，。=18,〃=24,A=45。，.?.由正弦定理一一=——，

sinAsinB

得：.bsinA24x22夜r4r1,

sinB=---=----=-->—

a1832

???〃</?,.?.Av3，.?.3的度數(shù)有兩解，則此三角形有兩解.故選：B.

10.（多選）（2021?全國(guó)高三專題練習(xí)）在aA6c中，內(nèi)角ARC所對(duì)的邊分別為內(nèi)瓦。.根據(jù)下列條件

解三角形，其中有兩解的是（）

A.Z?=10,A=450,C=70。B.〃=45,c=48,3=60。

C.a=14,Z?=16,A=45°I）,a=7,Z?=5,A=8O°

【答案】BC

【解析】對(duì)于選項(xiàng)4中：由4=45。,。=70。，所以5=180-4一。=65°,即三角形的三個(gè)角是確定的值,

故只有一解：

對(duì)于選項(xiàng)6中：因?yàn)?由。=幽包=迪<1，且C>。，所以角C有兩解；

b15

Acin44、/^

對(duì)于選項(xiàng)C中：因?yàn)閟inB=224=*<l，且b>a，所以角3有兩解；

a7

/?sin4

對(duì)于選項(xiàng)〃中：因?yàn)閟inB=-----<1,且8<a，所以角8僅有一解.

a

故選：BC.

【題組六幾何問題】

1.(2021?安徽高三一模)如圖所示，在四邊形4比。中，AOAD-CI^l,/胸=120°,sin/胡信二丫一且

14

即為NA比的平分線,則8廬()

A.6B.9C.70D.8

【答案】D

BCACBC7?u

_____________.____________—_______—6c=5

【解析】由正弦定理得sinN84C-sinNABC錄一耳一，

TTT

由AC=A￡)=C￡)=7,可得ZADC=60°，ZABC=120°.

所以A,B,C,O四點(diǎn)共圓，ZDBC=ZZMC=60°,

由余弦定理cosNOBC=+8C一℃=8￡>=8.故選：D.

2BDBC

2.(2021?新安縣第一高級(jí)中學(xué))如圖，在