2025《初中數(shù)學》專題突破專題53 一次函數(shù)背景下的搭橋模型（含答案及解析）

模型介紹模型介紹方法點撥二、求線段之和的最小值已知A、B是兩個定點，P、Q是直線m上的兩個動點，P在Q的左側,且PQ間長度恒定,在直線m上要求P、Q兩點，使得PA+PQ+QB的值最小.(原理用平移知識解)（1）點A、B在直線m兩側：過A點作AC∥m,且AC長等于PQ長，連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點.（2）點A、B在直線m同側：過A點作AE∥m,且AE長等于PQ長，作B關于m的對稱點B’,連接B’E,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點.例題精講例題精講【例1】．如圖，已知A（3，1），B（1，0），PQ是直線y＝x上的一條動線段且PQ＝（Q在P的下方），當AP+PQ+QB取最小值時，點Q坐標為．變式訓練【變1-1】．如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，點A，C，E的坐標分別為（0，4），（8，0），（8，2），點P，Q是OC邊上的兩個動點，且PQ＝2，要使四邊形APQE的周長最小，則點P的坐標為（）A．（2，0） B．（3，0） C．（4，0） D．（5，0）【變1-2】．A、B兩村之間隔一條河，現(xiàn)在要在河上架一座橋．（1）要使這兩村A、B之間的行程最短，橋應修在何處？請幫他們設計出來．（2）若兩村A、B到河邊的距離分別為50米和20米，河寬為30米，AC＝40米，你能求出兩村的最短路程嗎？若能，請求出來．【例2】．如圖，平面直角坐標系中，直線y＝x+8分別交x軸，y軸于A，B兩點，點C為OB的中點，點D在第二象限，且四邊形AOCD為矩形．動點P為CD上一點，PH⊥OA，垂足為H，點Q是點B關于點A的對稱點，當BP+PH+HQ值最小時，點P的坐標為．變式訓練【變2-1】．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝﹣x+與x軸，y軸分別交于點A，B，Q為△AOB內(nèi)部一點，則AQ+OQ+BQ的最小值等于（）A．2 B． C． D．【變2-2】．如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O在坐標原點，頂點A，C分別在x軸，y軸上，B，D兩點坐標分別為B（﹣4，6），D（0，4），線段EF在邊OA上移動，保持EF＝3，當四邊形BDEF的周長最小時，點E的坐標為．1．如圖，CD是直線y＝x上的一條動線段，且CD＝2，點A（2+，1），連接AC、AD，則△ACD周長的最小值是．2．如圖，在直角坐標系中，直線y＝x+4分別交x軸，y軸于A，B兩點，C為OB的中點，點D在第二象限，且四邊形AOCD為矩形，P是CD上一個動點，過點P作PH⊥OA于H，Q是點B關于點A的對稱點，則BP+PH+HQ的最小值為．3．如圖，在平面直角坐標系中，有二次函數(shù)，頂點為H，與x軸交于A、B兩點（A在B左側），易證點H、B關于直線l：對稱，且A在直線l上．過點B作直線BK∥AH交直線l于K點，M、N分別為直線AH和直線l上的兩個動點，連接HN、NM、MK，則HN+NM+MK的最小值為4．如圖，已知點A（4，0）、B（0，2），線段OA＝OC且點C在y軸負半軸上，連接AC．（1）如圖1，求直線AB的解析式；（2）如圖1，點P是直線CA上一點，若S△ABC＝3S△ABP，求滿足條件的點P坐標；（3）如圖2，點M為直線l：x＝上一點，將點M水平向右平移6個單位至點N，連接BM、MN、NC．求BM+MN+NC的最小值及此時點N的坐標．5．如圖，在平面直角坐標系中，直線l的解析式為y＝﹣x+4，與x軸交于點C，直線l上有一點B的橫坐標為，點A是OC的中點．（1）求直線AB的函數(shù)表達式；（2）在直線BC上有兩點P、Q，且PQ＝4，使四邊形OAPQ的周長最小，求周長的最小值；（3）直線AB與y軸交于點H，將△OBH沿AB翻折得到△HBG，M為直線AB上一動點，N為平面內(nèi)一點，是否存在這樣的點M、N，使得以H、M、N、G為頂點的四邊形是菱形，若存在，直接寫出點M的坐標，若不存在，說明理由．6．如圖，在平面直角坐標系中，直線l1：y＝與x軸，y軸分別交于點A，D，直線l2與直線y＝﹣x平行，交x軸于點B（7，0），交l1于點C．（1）直線l2的解析式為，點C的坐標為；（2）若點P是線段BC上一動點，當S△PAB＝時，在x軸上有兩動點M、N（M在N的左側），且MN＝2，連接DM，PN，當四邊形DMNP周長最小時，求點M的坐標；（3）在（2）的條件下，將OD繞O點順時針旋轉(zhuǎn)60°得到OG，點E是y軸上的一個動點，點F是直線l1上的一個動點，是否存在這樣的點F，使以G，M，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．7．如圖1，直線l：交x軸于點A，交軸y于點B，交直線m：y＝x+3于點C，直線m交x軸于點D．（1）求點A、點C的坐標；（2）如圖1，點E為第一象限內(nèi)直線l上一點，滿足△ACE的面積為6．①求點E的坐標；②線段PQ＝1（點P在點Q的上方）為直線x＝﹣1上的一條動線段，當EP+PQ+AQ的值最小時，求這個最小值及此時點P的坐標．（3）如圖2，將直線l繞點C旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線l交x軸于點M，是否存在某個時刻，使得△CDM為等腰三角形？若存在，求出線段OM的長度；若不存在，請說明理由．8．如圖1，在平面直角坐標系xOy中，直線與x軸交于點A，與直線l2交于點C，C點到x軸的距離CD為，直線l2交x軸于點B，且∠ABC＝30°．（1）求直線l2的函數(shù)表達式；（2）如圖2，y軸上的兩個動點E、F（E點在F點上方）滿足線段EF的長為，連接CE、AF，當線段CE+EF+AF有最小值時，求出此時點F的坐標，以及CE+EF+AF的最小值；（3）如圖3，將△ACB繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△BGH，使點A與點H重合，點C與點G重合，將△BGH沿直線BC平移，記平移中的△BGH為△B'G'H'，在平移過程中，設直線B'H'與x軸交于點M，是否存在這樣的點M，使得△B'MG'為等腰三角形？若存在，求出此時點M的坐標；若不存在，說明理由．9．如圖1，直線AB分別與x軸，y軸交于A，B兩點，OA＝6，∠BAO＝30°，過點B作BC⊥AB交x軸于點C．（1）請求出直線BC的函數(shù)解析式．（2）如圖1，取AC中點D，過點D作垂直于x軸的直線DE，分別交直線AB和直線BC于點F，E，過點F作關于x軸的平行線交直線BC于點G，點M為直線DE上一動點，作MN⊥y軸于點N，連接AM，NG，當AM+MN+NG最小時，求M點的坐標及AM+MN+GN的最小值．（3）在圖2中，點P為線段AB上一動點，連接PD，將△PAD沿PD翻折至△PA'D，連接A'B，A'C，是否存在點P，使得△A'BC為等腰三角形，若存在，請直接寫出點P的坐標，若不存在，請說明理由．10．如圖1，在平面直角坐標系xOy中，直線l2：y＝﹣x+與x軸交于點B，與直線l1：y＝x+b交于點C，C點到x軸的距離CD為2，直線l1交x軸于點A．（1）求直線l1的函數(shù)表達式；（2）如圖2，y軸上的兩個動點E、F（E點在F點上方）滿足線段EF的長為，連接CE、AF，當線段CE+EF+AF有最小值時，求出此時點F的坐標以及CE+EF+AF的最小值；（3）如圖3，將△ACB繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△BGH，使點A與點H對應，點C與點G對應，將△BGH沿著直線BC平移，平移后的三角形為△B′G′H′，點M為直線AC上的動點，是否存在分別以C、O、M、G′為頂點的平行四邊形，若存在，請求出M的坐標；若不存在，說明理由．11．如圖，在平面直角坐標系中，直線分別交x軸，y軸于A，B兩點，點C為OB的中點，點D在第二象限，且四邊形AOCD為矩形．（1）直接寫出點A，B的坐標，并求直線AB與CD交點的坐標；（2）動點P從點C出發(fā)，沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動；同時，動點M從點A出發(fā)，沿線段AB以每秒個單位長度的速度向終點B運動，過點P作PH⊥OA，垂足為H，連接MP，MH．設點P的運動時間為t秒．①若△MPH與矩形AOCD重合部分的面積為1，求t的值；②點Q是點B關于點A的對稱點，問BP+PH+HQ是否有最小值？如果有，求出相應的點P的坐標；如果沒有，請說明理由．12．如圖1，在平面直角坐標系中，直線l1：y＝x+4分別與x軸、y軸交于點A、點B，過點B作直線l2⊥l1交x軸于點C，將直線l2沿y軸正方向平移2個單位得到直線l3，直線l1與直線l3交于點D．（1）求△ABC的面積；（2）如圖2，點F在直線l1上，點F的縱坐標為7，點M、點N分別為直線l3、l2上的兩個動點（點M的橫坐標小于點N的橫坐標），且∠MNB＝30°，連接FM、NO，求FM+MN+NO的最小值；（3）如圖3，將△BOC繞著點（2，0）逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△B'O′C'，作點B'關于直線C'O'的對稱點B″，設動點K在直線l4：y＝x﹣2上，點T在直線C′O′上，是否存在點K，使得△B″KT為等邊三角形？若存在，請直接寫出點K的坐標；若不存在，請說明理由．13．閱讀并解答下列問題；在學習完《中心對稱圖形》一章后，老師給出了以下一個思考題：如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，3），B（5，1），C（a，0），D（a+2，0），連接AC，CD，DB，求AC+CD+DB最小值．【思考交流】小明：如圖2，先將點A向右平移2個單位長度到點A1，作點B關于x軸的對稱點B1，連接A1B1交x軸于點D，將點D向左平移2個單位長度得到點C，連接AC．BD．此時AC+CD+DB的最小值等于A1B1+CD．小穎：如圖3，先將點A向右平移2個單位長度到點A1，作點A1關于x軸的對稱點A2，連接A2B可以求解．小亮：對稱和平移還可以有不同的組合…．【嘗試解決】在圖2中，AC+CD+DB的最小值是．【靈活應用】如圖4，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，3），B（5，1），C（a，1），D（a+2，0），連接AC，CD，DB，則AC+CD+DB的最小值是，此時a＝，并請在圖5中用直尺和圓規(guī)作出AC+CD+DB最小時CD的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）．【拓展提升】如圖6，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，3），C是一次函數(shù)y＝x圖象上一點，CD與y軸垂直且CD＝2（點D在點C右側），連接AC，CD，AD，直接寫出AC+CD+DA的最小值是，此時點C的坐標是．14．已知拋物線C1：y＝（x﹣m）2的頂點A在x軸正半軸上，與y軸交于B（0，1）．（1）求拋物線C1的解析式；（2）如圖1，平移直線AB交x軸于F，交y軸于E，交拋物線C1于點M、N，若ME＝NF，求直線EF的解析式；（3）如圖2，把拋物線C1向下平移4個單位的拋物線C2交x軸于C、D兩點，交y軸于點G，在拋物線C2的對稱軸上一條動線段PQ＝1（P點在Q點上方），當四邊形GCPQ的周長最小時，求P點坐標．15．在平面直角坐標系中，點A（0，3），B（5，0），連接AB．（1）將繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△OCD，（點A落到點C處），求經(jīng)過B、C、D三點的拋物線的解析式．（2）現(xiàn)將（1）中拋物線向右平移兩個單位，點C的對應點為E，點B的對應點為N，平移后的拋物線與原拋物線相交于點F；P、Q為平移后拋物線對稱軸上的兩個動點，（點Q在點P的上方），且PQ＝1，要使四邊形PQFE的周長最小，求出P、Q兩點的坐標．16．如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸分別相交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，與y軸相交于點C（0，3）．（1）求出這條拋物線的解析式及頂點M的坐標；（2）PQ是拋物線對稱軸上長為1的一條動線段（點P在點Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；（3）如圖2，點D是第四象限內(nèi)拋物線上一動點，過點D作DF⊥x軸，垂足為F，△ABD的外接圓與DF相交于點E．試問：線段EF的長是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．

模型介紹模型介紹方法點撥二、求線段之和的最小值已知A、B是兩個定點，P、Q是直線m上的兩個動點，P在Q的左側,且PQ間長度恒定,在直線m上要求P、Q兩點，使得PA+PQ+QB的值最小.(原理用平移知識解)（1）點A、B在直線m兩側：過A點作AC∥m,且AC長等于PQ長，連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點.（2）點A、B在直線m同側：過A點作AE∥m,且AE長等于PQ長，作B關于m的對稱點B’,連接B’E,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點.例題精講例題精講【例1】．如圖，已知A（3，1），B（1，0），PQ是直線y＝x上的一條動線段且PQ＝（Q在P的下方），當AP+PQ+QB取最小值時，點Q坐標為（，）．解：作點B關于直線y＝x的對稱點B'（0，1），過點A作直線MN，并沿MN向下平移單位后得A'（2，0）連接A'B'交直線y＝x于點Q如圖理由如下：∵AA'＝PQ＝，AA'∥PQ，∴四邊形APQA'是平行四邊形．∴AP＝A'Q．∵AP+PQ+QB＝B'Q+A'Q+PQ且PQ＝．∴當A'Q+B'Q值最小時，AP+PQ+QB值最小．根據(jù)兩點之間線段最短，即A'，Q，B'三點共線時A'Q+B'Q值最?。連'（0，1），A'（2，0），∴直線A'B'的解析式y(tǒng)＝﹣x+1．∴x＝﹣x+1．即x＝，∴Q點坐標（，）．故答案是：（，）．變式訓練【變1-1】．如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，點A，C，E的坐標分別為（0，4），（8，0），（8，2），點P，Q是OC邊上的兩個動點，且PQ＝2，要使四邊形APQE的周長最小，則點P的坐標為（）A．（2，0） B．（3，0） C．（4，0） D．（5，0）解：如圖，將點E（8，2）往左平移2個單位得到F（6，2），則EF＝2＝PQ，EF∥PQ，∴四邊形EFPQ是平行四邊形，∴FP＝QE，作點F關于x軸的對稱點F'，連接PF'，則PF'＝PF，F(xiàn)'（6，﹣2），∴當點A、P、F在同一直線上上時，AP+PF'最小，即AP+EQ最小，∵A（0，4），F(xiàn)'（6，﹣2），∴直線AF'解析式：y＝﹣x+4，∴P（4，0），故選：C．【變1-2】．A、B兩村之間隔一條河，現(xiàn)在要在河上架一座橋．（1）要使這兩村A、B之間的行程最短，橋應修在何處？請幫他們設計出來．（2）若兩村A、B到河邊的距離分別為50米和20米，河寬為30米，AC＝40米，你能求出兩村的最短路程嗎？若能，請求出來．解：（1）橋應該建在如圖所示MN處，四邊形AMKN是平行四邊形．（2）作MH⊥BC垂足為H．兩村A、B之間的最短路程＝AN+KN+BK，∵四邊形AMKN是平行四邊形，∴AN＝MK，在RT△BMH中，∵BH＝70，MH＝40，∴BM＝＝10，∴AN+KN+BK＝BM+KN＝10+30，∴兩村的最短路程為（10+30）米．【例2】．如圖，平面直角坐標系中，直線y＝x+8分別交x軸，y軸于A，B兩點，點C為OB的中點，點D在第二象限，且四邊形AOCD為矩形．動點P為CD上一點，PH⊥OA，垂足為H，點Q是點B關于點A的對稱點，當BP+PH+HQ值最小時，點P的坐標為（﹣4，4）．解：BP+PH+HQ有最小值，理由是：∵直線y＝x+8分別交x軸，y軸于A，B兩點，點C為OB的中點，∴OB＝8，OA＝6，OC＝4，連接PB，CH，HQ，則四邊形PHCB是平行四邊形，如圖，∵四邊形PHCB是平行四邊形，∴PB＝CH，∴BP+PH+HQ＝CH+HQ+4，∵BP+PH+HQ有最小值，即CH+HQ+4有最小值，∴只需CH+HQ最小即可，∵兩點之間線段最短，∴當點C，H，Q在同一直線上時，CH+HQ的值最小，過點Q作QM⊥y軸，垂足為M，∵點Q是點B關于點A的對稱點，∴OA是△BQM的中位線，∴QM＝2OA＝12，OM＝OB＝8，∴Q（﹣12，﹣8），設直線CQ的關系式為：y＝kx+b，將C（0，4）和Q（﹣12，﹣8）分別代入上式得：，解得：，∴直線CQ的關系式為：y＝x+4，令y＝0得：x＝﹣4，∴H（﹣4，0），∵PH∥y軸，∴P（﹣4，4），故答案為：（﹣4，4）．變式訓練【變2-1】．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝﹣x+與x軸，y軸分別交于點A，B，Q為△AOB內(nèi)部一點，則AQ+OQ+BQ的最小值等于（）A．2 B． C． D．解：∵直線y＝﹣x+與x軸，y軸分別交于點A，B，當x＝0時，y＝；當y＝0時，x＝1；∴OB＝，OA＝1，∴AB＝＝＝2，∴∠OBA＝30°，∠OAB＝60°，任取△AOB內(nèi)一點Q，連接AQ、BQ、OQ，將△ABQ繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AB′Q′，過B′作B′C⊥x軸于C，如圖所示：∴AB′＝AB＝2，AQ＝AQ′，BQ＝B′Q′，∠BAB′＝∠QAQ′＝60°，∴△QAQ′是等邊三角形，∴AQ＝QQ′，∴OQ+AQ+BQ＝OQ+QQ′+Q′B′，∴當OQ、QQ′、Q′B′這三條線段在同一直線時最短，即AQ+OQ+BQ的最小值＝OB′，∵∠BAO＝∠BAB′＝60°，∴∠B′AC＝60°，∴AC＝AB′＝1，B′C＝，∴OC＝OA+AC＝2，∴OB′＝＝＝，∴AQ、OQ、BQ之和的最小值是；故選：D．【變2-2】．如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O在坐標原點，頂點A，C分別在x軸，y軸上，B，D兩點坐標分別為B（﹣4，6），D（0，4），線段EF在邊OA上移動，保持EF＝3，當四邊形BDEF的周長最小時，點E的坐標為（﹣，0）．解：在BC上截取BH＝3，作點D關于x軸的對稱點D'，連接D'H交AO于點E，∴BH＝EF＝3，BC∥AO，∴四邊形BHEF是平行四邊形，∴BF＝EH，∵點D與點D'關于x軸對稱，∴DE＝D'E，點D'坐標為（0，﹣4），∵四邊形BDEF的周長＝EF+BF+BD+DE，∴四邊形BDEF的周長＝EH+ED'+BD+EF，∵EF和BD是定值，∴當EH+D'E有最小值時，四邊形BDEF的周長有最小值，∴當點E，點H，點D'共線時，EH+D'E有最小值，∵點B（﹣4，6），∴點H（﹣1，6），設直線D'H的解析式為y＝kx+b，則，解得：，∴直線D'H的解析式為y＝﹣10x﹣4，∴當y＝0時，x＝﹣，∴點E（﹣，0），故答案為：（﹣，0）．1．如圖，CD是直線y＝x上的一條動線段，且CD＝2，點A（2+，1），連接AC、AD，則△ACD周長的最小值是2+2．解：在x軸上取點B（2，0），連接BC，AB，作AF⊥x軸于點F，∵點A（2+，1），∴Rt△ABF中，AF＝1，BF＝，∴AB＝2，∠ABF＝30°，∵CD是直線y＝x上的一條動線段，∴∠COB＝30°，∴AB∥CD，且AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，要使得△ACD周長最小，只要AC+AD最小，也就是AC+BC最小，作點B關于直線CD的對稱點E，根據(jù)對稱得OE＝OB，且∠EOB＝60°，∴△EOB是等邊三角形，∴點E坐標為（1，），當E，C，A三點共線時，EC+AC最小，此時AC+BC最小，∴EC+AC的最小值＝＝＝2，∴AC+AD最小值＝2，∴△ACD的周長＝2+2．2．如圖，在直角坐標系中，直線y＝x+4分別交x軸，y軸于A，B兩點，C為OB的中點，點D在第二象限，且四邊形AOCD為矩形，P是CD上一個動點，過點P作PH⊥OA于H，Q是點B關于點A的對稱點，則BP+PH+HQ的最小值為6+2．解：如圖，連接CH，∵直線y＝x+4分別交x軸，y軸于A，B兩點，∴OB＝4，OA＝3，∵C是OB的中點，∴BC＝OC＝2，∵∠PHO＝∠COH＝∠DCO＝90°，∴四邊形PHOC是矩形，∴PH＝OC＝BC＝2，∵PH∥BC，∴四邊形PBCH是平行四邊形，∴BP＝CH，∴BP+PH+HQ＝CH+HQ+2，要使CH+HQ的值最小，只需C、H、Q三點共線即可，∵點Q是點B關于點A的對稱點，∴Q（﹣6，﹣4），又∵點C（0，2），根據(jù)勾股定理可得CQ＝＝6，此時，BP+PH+HQ＝CH+HQ+PH＝CQ+2＝6+2，即BP+PH+HQ的最小值為6+2；故答案為：6+2．3．如圖，在平面直角坐標系中，有二次函數(shù)，頂點為H，與x軸交于A、B兩點（A在B左側），易證點H、B關于直線l：對稱，且A在直線l上．過點B作直線BK∥AH交直線l于K點，M、N分別為直線AH和直線l上的兩個動點，連接HN、NM、MK，則HN+NM+MK的最小值為8解：設＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∵B點在A點右側，∴A點坐標為（﹣3，0），B點坐標為（1，0），∵＝﹣（x+1）2+2，∴頂點H的坐標是（﹣1，2），設直線AH的解析式為y＝kx+b，把A和H點的坐標代入求出k＝，b＝3，∵過點B作直線BK∥AH，∴直線BK的解析式為y＝mx+n中的m＝，又因為B在直線BK上，代入求出n＝﹣，∴直線BK的解析式為：y＝x﹣，聯(lián)立解得：，∴交點K的坐標是（3，2），則BK＝4，∵點H、B關于直線AK對稱，K（3，2），∴HN+MN的最小值是MMB，KD＝KE＝2，過K作KD⊥x軸于D，作點K關于直線AH的對稱點Q，連接QK，交直線AH于E，KD＝KE＝2，則QM＝MK，QE＝EK＝2，AE⊥QK，∴根據(jù)兩點之間線段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的長是HN+NM+MK的最小值，∵BK∥AH，∴∠BKQ＝∠HEQ＝90°，由勾股定理得QB＝＝8，∴HN+NM+MK的最小值為8．答：HN+NM+MK和的最小值是8．故答案為：8．4．如圖，已知點A（4，0）、B（0，2），線段OA＝OC且點C在y軸負半軸上，連接AC．（1）如圖1，求直線AB的解析式；（2）如圖1，點P是直線CA上一點，若S△ABC＝3S△ABP，求滿足條件的點P坐標；（3）如圖2，點M為直線l：x＝上一點，將點M水平向右平移6個單位至點N，連接BM、MN、NC．求BM+MN+NC的最小值及此時點N的坐標．解：（1）直線AB的解析式為y＝kx+2，得4k+2＝0，解得k＝﹣，∴直線AB的解析式為y＝﹣x+2；（2）由OA＝OC＝4，得點C的坐標為（0，﹣4），設直線AC的解析式為y＝k'x﹣4，得4k'﹣4＝0，解得k'＝1，∴直線AC的解析式為y＝x﹣4，由題意得，∠OAC＝∠ACO＝45°，AC＝OC＝4，∵S△ABC＝3S△ABP，∴AP＝AC＝，則點P的縱坐標應為或﹣，當點P的縱坐標應為時，得x﹣4＝，解得x＝；當點P的縱坐標應為﹣時，得x﹣4＝﹣，解得x＝．∴滿足條件的點P坐標為（，）或（，﹣）．（3）設點M的坐標為（，y），則N的坐標為（，y），由點B離直線x＝的距離是，故在N處向右平移個單位長度出作直線x＝11，在該直線上取B′（11，2），連接CB'，則BM＝B′N，MN＝6，設直線CB'的解析式為y＝k″x﹣4，得11k″﹣4＝2，解得k″＝，∴直線CB'的解析式為y＝x﹣4，將x＝代入得y＝＝×﹣4＝，即此時點N的坐標為（，），BM+MN+NC的最小值為MN+B'C＝6+＝6+．5．如圖，在平面直角坐標系中，直線l的解析式為y＝﹣x+4，與x軸交于點C，直線l上有一點B的橫坐標為，點A是OC的中點．（1）求直線AB的函數(shù)表達式；（2）在直線BC上有兩點P、Q，且PQ＝4，使四邊形OAPQ的周長最小，求周長的最小值；（3）直線AB與y軸交于點H，將△OBH沿AB翻折得到△HBG，M為直線AB上一動點，N為平面內(nèi)一點，是否存在這樣的點M、N，使得以H、M、N、G為頂點的四邊形是菱形，若存在，直接寫出點M的坐標，若不存在，說明理由．解：（1）對于y＝﹣x+4，令y＝0，則y＝﹣x+4＝0，解得x＝4，故點C（4，0），∵點A是OC的中點，則點A（2，0），當x＝時，y＝﹣x+4＝3，故點B（，3），設直線AB的表達式為y＝sx+t，則，解得，故直線AB的表達式為y＝﹣x+6；（2）過點A作點A關于直線BC的對稱點A′，將點A′沿CB方向平移4個單位得到點A″，連接OA″交BC于點P，將點P沿BC方向平移4個單位得到Q，此時四邊形OAPQ的周長最?。牲cA、B、O的坐標知，OA＝AB＝OB＝2，故△OAB為等邊三角形，由直線BC的表達式知∠BCO＝30°，則∠A′AC＝60°，故∠BAA′＝60°＝∠ABC+∠ABC＝30°+∠ABC，故∠ABA′＝60°，故△ABA′為等邊三角形，則A′B＝AB＝2且A′B∥x軸，故點A′（3，3）；將點A′沿CB方向平移4個單位，相等于沿x軸負半軸方向平移2個單位向上平移3個單位，故點A″（，5）；由點A的平移知，A″A′＝PQ且A′A″∥PQ，故四邊形OAQP為平行四邊形，故A′Q＝A″P，此時，四邊形OAQP的周長＝OA+PQ+AQ+OP＝OA+4+A′Q+OP＝2+4+OA″為最小，而OA″＝2，故以四邊形OAQP的最小周長為2+4+2；（3）存在，理由：對于y＝﹣x+6，令x＝0，則y＝6，故點H（0，6），如圖2，按照（2）方法同理可得點G（3，3），則HG＝＝6，設點N（a，b），點M（m，6﹣m），①當GH是邊時，點H向右平移3個單位向下平移3個單位得到點G，同樣點M（N）向右平移3個單位向下平移3個單位得到點N（M），當點N在點M的下方時，由題意得：m+3＝a，6﹣m﹣3＝b①且HG＝HM，而HG＝HM，即36＝m2+（6﹣m﹣6）2②，聯(lián)立①②并解得m＝±3，故點M（3，6﹣3）或（﹣3，6+3）；當點N在點M的下方時，同理可得點M（3，﹣3）；②當GH是對角線時，由中點公式得：（0+3）＝（a+m），（6+3）＝（b+6﹣m）③，由HM＝HN得：m2+（6﹣m﹣6）2＝a2+（b﹣6）2④，聯(lián)立③④并解得：m＝，故點M（，3）；綜上，點M的坐標為（3，6﹣3）或（﹣3，6+3）或（3，﹣3）或（，3）．6．如圖，在平面直角坐標系中，直線l1：y＝與x軸，y軸分別交于點A，D，直線l2與直線y＝﹣x平行，交x軸于點B（7，0），交l1于點C．（1）直線l2的解析式為y＝﹣x+，，點C的坐標為（1，3）；（2）若點P是線段BC上一動點，當S△PAB＝時，在x軸上有兩動點M、N（M在N的左側），且MN＝2，連接DM，PN，當四邊形DMNP周長最小時，求點M的坐標；（3）在（2）的條件下，將OD繞O點順時針旋轉(zhuǎn)60°得到OG，點E是y軸上的一個動點，點F是直線l1上的一個動點，是否存在這樣的點F，使以G，M，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）∵直線l2與直線y＝﹣x平行，∴設直線l2的解析式為y＝﹣x+b，∵直線l2交x軸于點B（7，0），∴﹣×7+b＝0，解得b＝，∴直線l2的解析式為y＝﹣x+，∵直線l2交l1于點C，∴，解得，∴C（1，3），故答案為：y＝﹣x+，C（1，3）；（2）∵S△PAB＝S△ABC，∴AB?yP＝×AB?yC，即yP＝，∴P（5，），∵l1：y＝與y軸交于點D，∴D（0，2），∴PD＝＝2，∴C四邊形DMNP＝2+2+DM+PN，當DM+PN最小時，四邊形DMNP的周長最小，將DM向右平移兩個單位至D'N，則D'（2，2），過x軸作點P的對稱點P'（5，﹣），連接D'P'交x軸于點N，此時D'N+P'N最小，即DM+PN最小，設直線D'P'的解析式為y＝mx+n，代入D'、P'坐標，得，解得，∴直線D'P'的解析式為y＝﹣x+4，∴N（4，0），∴M（2，0）；（3）存在，過G作GH⊥x軸，由題知，OG＝OD＝2，∵∠DOG＝60°，∴∠GOH＝30°，∴GH＝，OH＝3，∴G（3，），設E（0，a），F(xiàn)（b，），當GM為對角線時，，，解得，∴F（5，7），當GE為對角線時，，∴，解得，∴F（1，3），當GF為對角線時，，∴，解得，∴F（﹣1，3），綜上，F(xiàn)點的坐標為（5，7）或（1，3）或（﹣1，）．7．如圖1，直線l：交x軸于點A，交軸y于點B，交直線m：y＝x+3于點C，直線m交x軸于點D．（1）求點A、點C的坐標；（2）如圖1，點E為第一象限內(nèi)直線l上一點，滿足△ACE的面積為6．①求點E的坐標；②線段PQ＝1（點P在點Q的上方）為直線x＝﹣1上的一條動線段，當EP+PQ+AQ的值最小時，求這個最小值及此時點P的坐標．（3）如圖2，將直線l繞點C旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線l交x軸于點M，是否存在某個時刻，使得△CDM為等腰三角形？若存在，求出線段OM的長度；若不存在，請說明理由．解：（1）由﹣x+＝0得，x＝3，∴A（3，0），由得，，∴C（﹣1，2）；（2）①如圖1，過點C作OB的平行線交OD于G，作EF⊥CG于F，設點E（x，x+3）∵C（﹣1，2），A（3，0），∴PE＝x+1，PC＝x+1，CG＝2，AG＝4，∵S△ACE＝S梯形AEPG﹣S△PCE﹣S△ACG，∴（AG+PE）?PG﹣﹣＝6，∴x＝1，∴E（1，4）；②如圖2，作E點關于x＝﹣1的對稱點I，將I向下平移1個單位至J，連接AJ，交x＝﹣1于Q，Q點向上平移1個單位是點P，∴EP＝IP，∵IJ＝PQ，IJ∥PQ，∴四邊形PQJI是平行四邊形，∴IP＝JQ，EP＝JQ，此時EP+PQ+AQ最小，∵E（1，4），∴I（﹣3，4），J（﹣3，3），∴AK＝6，JK＝3，∴AJ＝＝3，∴EP+PQ+AQ＝JQ+AQ+1＝AJ+1＝3+1，∴EP+PQ+AQ最小＝3+1，∵AJ的解析式是：y＝﹣x，∴P（﹣1，）；（3）∵D（﹣3，0），C（﹣1，2），∴CD＝2，當CD＝CM時，作CT⊥DM于T，如圖3，∴TM＝DT＝2，∴M（1，0），∴OM＝1，當DM＝CD＝2時，如圖4，M（2﹣3），∴OM＝3﹣2，當CM＝DM時，如圖5，∵OD＝ON＝3，∴∠ODN＝45°，作CM⊥OD于M，∴∠DCM＝∠ODN＝45°，∴CM＝DM，∴M（﹣1，0），∴OM＝1，綜上所述：當OM＝1或3﹣2時，△CDM為等腰三角形．8．如圖1，在平面直角坐標系xOy中，直線與x軸交于點A，與直線l2交于點C，C點到x軸的距離CD為，直線l2交x軸于點B，且∠ABC＝30°．（1）求直線l2的函數(shù)表達式；（2）如圖2，y軸上的兩個動點E、F（E點在F點上方）滿足線段EF的長為，連接CE、AF，當線段CE+EF+AF有最小值時，求出此時點F的坐標，以及CE+EF+AF的最小值；（3）如圖3，將△ACB繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△BGH，使點A與點H重合，點C與點G重合，將△BGH沿直線BC平移，記平移中的△BGH為△B'G'H'，在平移過程中，設直線B'H'與x軸交于點M，是否存在這樣的點M，使得△B'MG'為等腰三角形？若存在，求出此時點M的坐標；若不存在，說明理由．解：（1）點C的縱坐標為2，點C在直線l1上，則點C（﹣1，2），∴CD＝2，OD＝1，∵∠ABC＝30°，∴CD＝BD，BD＝CD＝6，∴OB＝BD﹣OD＝5，則l2的表達式為：y＝﹣x+b，將點C的坐標代入l2表達式并解得：b＝，故直線l2的表達式為：y＝﹣x+；（2）直線l2的表達式為：y＝﹣x+，則點B（5，0），直線與x軸交于點A，則點A（﹣3，0），作點A關于y軸的對稱點A′（3，0），過點A′作x軸的垂線并取A′E′＝，連接E′C交y軸于點E，在E下方取EF＝，則點F是所求點，將點C、E′的坐標代入一次函數(shù)表達式，同理可得：CE′的函數(shù)表達式為：y＝﹣x+，故點E（0，），點F（0，）；CE+EF+AF的最小值＝FE+CE′＝+；（3）AB＝8，BC＝4，AC＝4，如圖3，過點H作HR⊥x軸于點R，過點H作HK⊥y軸于點K，△ACB繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△BGH，則∠ABH＝60°，則RH＝HBsin60°＝ABsin60°＝8×＝4，同理HK＝1，故點H（1，﹣4），同理點G（﹣1，﹣2）；設△BHG向右平移m個單位，則向下平移m個單位，則點B′（5+m，﹣m）、點H′（1+m，﹣4﹣m）、點G′（﹣1+m，﹣2﹣m），將點H′、B′的坐標代入一次函數(shù)表達式，同理可得直線H′B′的表達式為：y＝x﹣（5+4m），則點M（5+m，0），則B′M2＝（）2+m2＝，同理G′M2＝m2+48+8m，B′G′2＝BC2＝48，①當B′M＝G′M時，＝m2+48+8m，解得m＝﹣2；②當B′M＝B′G′時，＝48，解得：m＝±6；③當G′M＝B′G′，m2+48+8m＝48，解得：m＝0（舍去）或﹣6；故存在，點M（5+8，0）或（5﹣8，0）或（﹣3，0）或（﹣19，0）．故點M（5+8，0）或（5﹣8，0）或（﹣3，0）或（﹣19，0）．9．如圖1，直線AB分別與x軸，y軸交于A，B兩點，OA＝6，∠BAO＝30°，過點B作BC⊥AB交x軸于點C．（1）請求出直線BC的函數(shù)解析式．（2）如圖1，取AC中點D，過點D作垂直于x軸的直線DE，分別交直線AB和直線BC于點F，E，過點F作關于x軸的平行線交直線BC于點G，點M為直線DE上一動點，作MN⊥y軸于點N，連接AM，NG，當AM+MN+NG最小時，求M點的坐標及AM+MN+GN的最小值．（3）在圖2中，點P為線段AB上一動點，連接PD，將△PAD沿PD翻折至△PA'D，連接A'B，A'C，是否存在點P，使得△A'BC為等腰三角形，若存在，請直接寫出點P的坐標，若不存在，請說明理由．解：（1）∵x軸⊥y軸，OA＝6，∠BAO＝30°，∴∠BOA＝90°，∠ABO＝60°，則BO＝tan30°?OA＝?6＝，∴B（0，）；∵過點B作BC⊥AB交x軸于點C，∴∠CBA＝90°，∠CBO＝∠CBA﹣∠ABO＝90°﹣60°＝30°，∴CO＝tan30°?OB＝?＝2，∴C（﹣2，0）；設直線BC的函數(shù)解析式為：y1＝kx+b，將點B（0，），C（﹣2，0）代入得，，解得，，∴直線BC的函數(shù)解析式為：y1＝x+．（2）∵MN⊥y軸，GF∥x軸，∴GF⊥y軸，直線GF上所有點的縱坐標都相等；將點G在直線GF上平移至點G'，使得GG'＝MN，連接AG'，交DE于點M'，過M'作M'N'∥MN交y軸于點N'，連接GN'，則MN＝M'N'，GN'＝G'M'，當M位于點M'時，AM+MN+NG有最小值；∵點D為線段AC的中點，C（﹣2，0），A（6，0），∴D（2，0），AD＝4，∵DE⊥x軸，∴GG'＝MN＝M'N'＝2，∠FDA＝90°，直線DE上所有點的橫坐標都為2；∵AD＝2，∠BAO＝30°，∴DF＝tan30°?AD＝?4＝，則F（2，），∴設點G（x，），代入y＝x+得，x+＝，解得，x＝，則G（，），∴G'（，），則AG'＝＝，∴AM+MN+NG的最小值為：AM+MN+NG＝AM'+M'N'+N'G＝AG'+MN＝+2，設直線G'A的函數(shù)解析式為：y2＝kx+b，將點G（，），A（6，0），代入得，，解得，∴直線AG'的函數(shù)解析式為：y2＝﹣x+，設點M'（2，m），將點M'代入y2＝﹣x+得，m＝，當AM+MN+NG最小時，M點的坐標為：（2，）．（3）存在點P，使得△A'BC為等腰三角形．點A，D是定點，則AD是定長，△PAD沿PD翻折至△PA'D，則點A'是⊙D上的動點，（1）當A'C＝A'B時，如圖，點P在x軸上方，點P（8﹣，2﹣）；（2）當BC＝BA'時，A'也在⊙B上，點P（4，）；（3）當CB＝CA'時，點A'也在⊙C上，點P（0，）．10．如圖1，在平面直角坐標系xOy中，直線l2：y＝﹣x+與x軸交于點B，與直線l1：y＝x+b交于點C，C點到x軸的距離CD為2，直線l1交x軸于點A．（1）求直線l1的函數(shù)表達式；（2）如圖2，y軸上的兩個動點E、F（E點在F點上方）滿足線段EF的長為，連接CE、AF，當線段CE+EF+AF有最小值時，求出此時點F的坐標以及CE+EF+AF的最小值；（3）如圖3，將△ACB繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△BGH，使點A與點H對應，點C與點G對應，將△BGH沿著直線BC平移，平移后的三角形為△B′G′H′，點M為直線AC上的動點，是否存在分別以C、O、M、G′為頂點的平行四邊形，若存在，請求出M的坐標；若不存在，說明理由．解：（1）∵CD＝2，將y＝2代入y＝﹣得x＝﹣1，∴點C坐標為（﹣1，2），將（﹣1，2）代入y＝x+b，解得b＝3，∴直線l1的函數(shù)表達式為y＝x+3．（2）由y＝x+3得點A坐標為（﹣3，0），關于y軸作點A對稱點再向上移動個單位得到A'（3，），連接CA'與y軸交點即為點E．設CA'所在直線解析式為y＝kx+b，將點（﹣1，2），（3，）代入可得，，解得，∴y＝﹣x+，∵x＝0時y＝，∴點E坐標為（0，），點F坐標為（0，）．作CG垂直于y軸于點G，在Rt△CGE和Rt△AFO中，由勾股定理得，CE＝＝＝，AF＝＝＝，∴CE+EF+AF＝+．（3）如圖，直線BC交y軸于點K，點K坐標為（0，），∵點B坐標為（5，0），∴＝，∴∠KBO＝30°，∵將△ACB繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，∴∠GOB＝30°，BK，BG關于x軸對稱，∴點G坐標為（﹣1，﹣2），∴點G軌跡為過點G（﹣1，﹣2）且與BC平行的一條直線，設y＝﹣x+b，將（﹣1，﹣2）代入得b＝﹣，∴y＝﹣x﹣．設點M橫坐標為m，則縱坐標為（m，m+3），點G'坐標為（a，b），∵點C坐標為（﹣1，2），點O坐標為（0，0），當CMG'O是平行四邊形時，，解得，∴點G坐標為（m+1，）．將（m+1，）代入y＝﹣x﹣，解得m＝﹣，∴m+3＝，∴M坐標為（﹣，）．當G'MOC為平行四邊形時，同理可得，解得，將（m﹣1，m+5）代入y＝﹣x﹣，解得m＝﹣，∴m+3＝﹣，∴M坐標為（﹣，﹣）．當CG'OM為平行四邊形時，可得，解得，將（﹣m﹣1，﹣m﹣）代入y＝﹣x﹣，解得m＝，∴m+3＝，∴M坐標為（，）．綜上所述，M點坐標為（﹣，）或（﹣，﹣）或（，）．11．如圖，在平面直角坐標系中，直線分別交x軸，y軸于A，B兩點，點C為OB的中點，點D在第二象限，且四邊形AOCD為矩形．（1）直接寫出點A，B的坐標，并求直線AB與CD交點的坐標；（2）動點P從點C出發(fā)，沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動；同時，動點M從點A出發(fā)，沿線段AB以每秒個單位長度的速度向終點B運動，過點P作PH⊥OA，垂足為H，連接MP，MH．設點P的運動時間為t秒．①若△MPH與矩形AOCD重合部分的面積為1，求t的值；②點Q是點B關于點A的對稱點，問BP+PH+HQ是否有最小值？如果有，求出相應的點P的坐標；如果沒有，請說明理由．解：（1）A（﹣3，0），B（0，4）．當y＝2時，，．所以直線AB與CD交點的坐標為．（2）①當0＜t＜時，△MPH與矩形AOCD重合部分的面積即△MPH的面積．過點M作MN⊥OA，垂足為N．由△AMN∽△ABO，得．∵AO＝3，BO＝4，∴AB＝＝5，∴．∴AN＝t．∴△MPH的面積為．當3﹣2t＝1時，t＝1．當＜t≤3時，設MH與CD相交于點E，△MPH與矩形AOCD重合部分的面積即△PEH的面積．過點M作MG⊥AO于G，MF⊥HP交HP的延長線于點F．FM＝AG﹣AH＝AM×cos∠BAO﹣（AO﹣HO）＝．．由△HPE∽△HFM，得．∴．∴．∴△PEH的面積為．當時，．經(jīng)檢驗，t＝是原方程的解，綜上所述，若△MPH與矩形AOCD重合部分的面積為1，t為1或．②BP+PH+HQ有最小值．連接PB，CH，則四邊形PHCB是平行四邊形．∴BP＝CH．∴BP+PH+HQ＝CH+HQ+2．當點C，H，Q在同一直線上時，CH+HQ的值最?。唿cC，Q的坐標分別為（0，2），（﹣6，﹣4），∴直線CQ的解析式為y＝x+2，∴點H的坐標為（﹣2，0）．因此點P的坐標為（﹣2，2）．12．如圖1，在平面直角坐標系中，直線l1：y＝x+4分別與x軸、y軸交于點A、點B，過點B作直線l2⊥l1交x軸于點C，將直線l2沿y軸正方向平移2個單位得到直線l3，直線l1與直線l3交于點D．（1）求△ABC的面積；（2）如圖2，點F在直線l1上，點F的縱坐標為7，點M、點N分別為直線l3、l2上的兩個動點（點M的橫坐標小于點N的橫坐標），且∠MNB＝30°，連接FM、NO，求FM+MN+NO的最小值；（3）如圖3，將△BOC繞著點（2，0）逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△B'O′C'，作點B'關于直線C'O'的對稱點B″，設動點K在直線l4：y＝x﹣2上，點T在直線C′O′上，是否存在點K，使得△B″KT為等邊三角形？若存在，請直接寫出點K的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）y＝x+4分別與x軸、y軸交于點A、點B，當x＝0時，y＝4，當y＝0時，x＝﹣，則A（﹣，0），B（0，4），OA＝，OB＝4，∴tan∠ABO＝＝，∠ABO＝30°，∵l2⊥l1，∴∠CBO＝60°，∴OC＝OB?tan60°＝4，∴△ABC的面積＝×（+4）×4＝；（2）由（1）可知C（4，0），B（0，4），∴l(xiāng)2解析式為：y＝﹣x+4，∵將直線l2沿y軸正方向平移2個單位得到直線l3，設直線l3與y軸交點為W，∴l(xiāng)3解析式為：y＝﹣x+6，l1和l3聯(lián)立方程組得，，解得：，∴D點坐標為（，），點F的縱坐標為7，代入y＝x+4得，x＝，∴F點坐標為（，7），∵B（0，4），∴D為BF中點，∵BW＝2，BD＝BW?cos30°＝，過點M作MP⊥BC于P，作FQ∥MN交直線l3于點Q，連接OQ，∵∠MNB＝30°，∴MP＝BD＝，MN＝2，∵FD＝BD＝MP，∠FDQ＝∠MPN＝90°，∠MNB＝∠FQD＝30°，∴MN＝FQ，∴四邊形FMNQ是平行四邊形，∴FM＝NQ，∴FM+MN+NO＝FQ+ON+NQ，當O、N、Q共線時，值最小，如圖所示，最小值為OQ+FQ，∵QD⊥BF，BD＝FD，∠FQD＝30°，∴QF＝QB＝2，∠FQB＝60°，∴∠FBQ＝60°，∴∠QBO＝90°，∴OQ＝＝2，∴FM+MN+NO的最小值為：2+2；（3）連接B″C′、B″O'，由對稱性可知△B″C'B'是等邊三角形，如圖所示，當△B″KT是等邊三角形時，如圖3，圖4；B″T＝B″K，B″C'＝B″B'，∠B'B″C'＝∠KB'T＝60°，∴∠B'B″K＝∠C'B″T，∴△B'B″K≌△C'B″T（SAS），∴∠B″B'K＝∠B″C'T＝30°，∴∠C′B'K＝90°，由旋轉(zhuǎn)可知，B'的坐標為（﹣2，﹣2），C′的坐標為（2，4﹣2），如圖3，圖4，過點K作KS⊥B′B″于S，設K（x，x﹣2），則S（x，﹣2），∵∠B″B'K＝30°，∴tan∠B″B'K＝＝，即＝或＝，解得，x＝1﹣或x＝，∴x﹣2＝﹣1﹣或x﹣2＝﹣1，∴點K的坐標為（1﹣，﹣1﹣）或（+1，﹣1）．13．閱讀并解答下列問題；在學習完《中心對稱圖形》一章后，老師給出了以下一個思考題：如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，3），B（5，1），C（a，0），D（a+2，0），連接AC，CD，DB，求AC+CD+DB最小值．【思考交流】小明：如圖2，先將點A向右平移2個單位長度到點A1，作點B關于x軸的對稱點B1，連接A1B1交x軸于點D，將點D向左平移2個單位長度得到點C，連接AC．BD．此時AC+CD+DB的最小值等于A1B1+CD．小穎：如圖3，先將點A向右平移2個單位長度到點A1，作點A1關于x軸的對稱點A2，連接A2B可以求解．小亮：對稱和平移還可以有不同的組合…．【嘗試解決】在圖2中，AC+CD+DB的最小值是7．【靈活應用】如圖4，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，3），B（5，1），C（a，1），D（a+2，0），連接AC，CD，DB，則AC+CD+DB的最小值是，此時a＝2，并請在圖5中用直尺和圓規(guī)作出AC+CD+DB最小時CD的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）．【拓展提升】如圖6，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，3），C是一次函數(shù)y＝x圖象上一點，CD與y軸垂直且CD＝2（點D在點C右側），連接AC，CD，AD，直接寫出AC+CD+DA的最小值是，此時點C的坐標是（）．解：【嘗試解決】由題意得A1（2，3），B1（5，﹣1），則A1B1＝＝5，故A1B1+CD＝5+2＝7，故答案為：7．【靈活應用】先將A點向下平移1個單位長度，再向右平移2個單位長度，得到A1，作點B關于x軸的對稱點B1，連接A1B1，與x軸的交點就是D點，以D點為圓心，AA1的長為半徑畫圓，與直線y＝1的交點就是C點，連接AC，CD，DB，此時AC+CD+DB最小，最小值即為A1B1+CD，作圖如下：由作圖得，AA1＝DC，且AA1∥DC，∴四邊形AA1DC是平行四邊形，且A1（2，2），B1（5，﹣1），C（2，1），D（4，0），∴最小值為A1B1+CD＝+＝3+，此時a為C點的橫坐標2，故答案為：；2；【拓展提升】先將點A向右平移2個單位長度得到點A1，得到平行四邊形AA1DC，AC＝A1D，而AC+CD+DA中，CD為定值2，即求AC+DA＝A1D+AD的最小值，由題意得：D點在直線y＝x﹣2上，作點A關于直線y＝x﹣2的對稱點A′，連接AA'交直線y＝x﹣2于B，連接A1A'，交直線y＝x﹣2的交點為D點，D點往左平移2個單位為C點．如圖：∵AA'與直線y＝x﹣2垂直，∴設直線AA'解析式為y＝﹣x+m，將A（0，3）代入得：3＝m，∴直線AA'解析式為y＝﹣x+3，解得，∴B（2.5，0.5），∵B（2.5，0.5）是AA'中點，設A′（x，y），∴，解得，∴A′（5，﹣2）設A1A'所在直線的解析式為y＝kx+b，將A1（2，3）、A'（5，﹣2）代入得：得，解得，∴，∵D點是直線與直線y＝x﹣2的交點，解得，∴D（，），∵C點是將D點向左平移2個單位長度，∴C（，），∴此時AC+CD+AD＝＝，故答案為；（）．14．已知拋物線C1：y＝（x﹣m）2的頂點A在x軸正半軸上，與y軸交于B（0，1）．（1）求拋物線C1的解析式；（2）如圖1，平移直線AB交x軸于F，交y軸于E，交拋物線C1于點M、N，若ME＝NF，求直線EF的解析式；（3）如圖2，把拋物線C1向下平移4個單位的拋物線C2交x軸于C、D兩點，交y軸于點G，在拋物線C2的對稱軸上一條動線段PQ＝1（P點在Q點上方），當四邊形GCPQ的周長最小時，求P點坐標．解：（1）將點B