第六章 幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用課件

第六章

幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用DistributionandApplicationofDiscreteData第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用BinomialdistributionPoissindistributionContent第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用

隨機(jī)變量有連續(xù)型和離散型之分，相應(yīng)的概率分布就可分為連續(xù)型分布和離散型分布。有關(guān)連續(xù)型分布如正態(tài)分布、t分布和F分布等在前面的章節(jié)中已作了介紹。本章主要介紹在醫(yī)學(xué)中較為常用的離散型分布，即二項分布、Poisson分布。第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用第一節(jié)

二項分布

第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用二項分布（binomialdistribution）是指在只會產(chǎn)生兩種可能結(jié)果如“陽性”或“陰性”之一的n次獨立重復(fù)試驗（常常稱為n重Bernoulli試驗）中，當(dāng)每次試驗的“陽性”概率保持不變時，出現(xiàn)“陽性”的次數(shù)X=0，1，2，…，n的一種概率分布。

第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用

在醫(yī)學(xué)中類似如這種n重Bernoulli試驗的情形較為常見。如用某種藥物治療某種疾病，其療效分為有效或無效；在動物的致死性試驗中，動物的死亡或生存；接觸某種病毒性疾病的傳播媒介后，感染或非感染等。

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若從陽性率（死亡率、感染率等）為π的總體中隨機(jī)抽取大小為n的樣本，則出現(xiàn)陽性數(shù)為X的概率分布即呈二項分布，記為X～B(n，π).第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用二項分布有兩個參數(shù)：總體率樣本含量記作：X～B(n，π)

第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用在n個獨立的個體中出現(xiàn)X個陽性的概率可由下式求出：

第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用例6-1某種藥物治療某種非傳染性疾病的有效率為0.70。今用該藥治療該疾病患者10人，試分別計算這10人中有6人、7人、8人有效的概率。本例n=10，π=0.70，X=6，7，8。按公式（6-1）計算相應(yīng)的概率為

0.20012第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用一、二項分布的適用條件和性質(zhì)(一)二項分布的適用條件1.每次試驗只會發(fā)生兩種對立的可能結(jié)果之一，即分別發(fā)生兩種結(jié)果的概率之和恒等于1；2.每次試驗產(chǎn)生某種結(jié)果（如“陽性”）的概率π固定不變；3.重復(fù)試驗是相互獨立的，即任何一次試驗結(jié)果的出現(xiàn)不會影響其它試驗結(jié)果出現(xiàn)的概率。第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用

在上面的例6-1中，對這10名非傳染性疾病患者的治療，可看作10次獨立的重復(fù)試驗，其療效分為有效與無效，且每一名患者治療有效的概率（π=0.70）是恒定的。這樣，10人中發(fā)生有效的人數(shù)X～B(10，0.70)。第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用(二)二項分布的性質(zhì)1.二項分布的均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差在n次獨立重復(fù)試驗中，出現(xiàn)“陽性”次數(shù)X的總體均數(shù)為總體方差為總體標(biāo)準(zhǔn)差為

第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用若以率表示，則樣本率p的總體均數(shù)為總體方差為總體標(biāo)準(zhǔn)差為

第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用樣本率的標(biāo)準(zhǔn)差也稱為率的標(biāo)準(zhǔn)誤，可用來描述樣本率的抽樣誤差，率的標(biāo)準(zhǔn)誤越小，則率的抽樣誤差就越小。在一般情形下，總體率π往往并不知道。此時若用樣本資料計算樣本率p=X/n作為π的估計值，則的估計為:第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用2.二項分布的圖形

對于二項分布而言，當(dāng)π=0.5時，分布是對稱的，見圖6-1；

第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用當(dāng)0.5時，分布是偏態(tài)的，但隨著n的增大，分布趨于對稱。當(dāng)n時，只要π不太靠近0或1，二項分布則接近正態(tài)分布，見圖6-2。第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用二、二項分布的應(yīng)用(一)總體率的區(qū)間估計1.查表法2.正態(tài)近似法第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用1.查表法

對于n50的小樣本資料，直接查附表6百分率的95%或99%可信區(qū)間表，即可得到其總體率的可信區(qū)間。例6-2在對13名輸卵管結(jié)扎的育齡婦女經(jīng)壺腹部-壺腹部吻合術(shù)后，觀察其受孕情況，發(fā)現(xiàn)有6人受孕，據(jù)此資料估計該吻合術(shù)婦女受孕率的95%可信區(qū)間。第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用

本例n=13，X=6。查附表6，取0.05時，在n=13（橫行）與X=6（縱列）的交叉處數(shù)值為19～75，即該吻合術(shù)婦女受孕率的95%可信區(qū)間為（19%，75%）。附表6只列出

的部分。當(dāng)時，可先按“陰性”數(shù)n-X查得總體陰性率的可信區(qū)間QL～QU，再用下面的公式轉(zhuǎn)換成所需的陽性率的可信區(qū)間。

PL=1-QU，PU=1-QL

第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用2.正態(tài)近似法

根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的中心極限定理可得，當(dāng)n較大、π不接近0也不接近1時，二項分布B(n，π)近似正態(tài)分布，而相應(yīng)的樣本率p的分布也近似正態(tài)分布。為此，當(dāng)n較大、p和1-p均不太小，如np和n(1-p)均大于5時，可利用樣本率p的分布近似正態(tài)分布來估計總體率的可信區(qū)間。

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的可信區(qū)間為：如：的95%可信區(qū)間為的99%可信區(qū)間為第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用例6-3在觀測一種藥物對某種非傳染性疾病的治療效果時，用該藥治療了此種非傳染性疾病患者100人，發(fā)現(xiàn)55人有效，試據(jù)此估計該藥物治療有效率的95%可信區(qū)間。第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用(二)樣本率與總體率的比較1.直接法

在諸如療效評價中，利用二項分布直接計算有關(guān)概率，對樣本率與總體率的差異進(jìn)行有無統(tǒng)計學(xué)意義的比較。比較時，經(jīng)常遇到單側(cè)檢驗，即“優(yōu)”或“劣”的問題。那么，在總體陽性率為π的n次獨立重復(fù)試驗中，下面兩種情形的概率計算是不可少的。第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用（1）出現(xiàn)“陽性”的次數(shù)至多為k次的概率為:（2）出現(xiàn)“陽性”的次數(shù)至少為k次的概率為第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用例6-4據(jù)報道，對輸卵管結(jié)扎了的育齡婦女實施壺腹部-壺腹部吻合術(shù)后，受孕率為0.55。今對10名輸卵管結(jié)扎了的育齡婦女實施峽部-峽部吻合術(shù)，結(jié)果有9人受孕。問實施峽部-峽部吻合術(shù)婦女的受孕率是否高于壺腹部-壺腹部吻合術(shù)？顯然，這是單側(cè)檢驗的問題，其假設(shè)檢驗為H0：π=0.55H1：π>0.55=0.05第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用對這10名實施峽部-峽部吻合術(shù)的婦女，按0.55的受孕率，若出現(xiàn)至少9人受孕的概率大于0.05，則不拒絕H0；否則，拒絕H0，接受H1。本例n=10，π=0.55，k=9。按公式（6-12）有:第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用

按=0.05水準(zhǔn)，拒絕H0，接受H1，即認(rèn)為實施峽部-峽部吻合術(shù)婦女的受孕率要高于壺腹部-壺腹部吻合術(shù)。第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用2.正態(tài)近似法

當(dāng)n較大、p和1-p均不太小，如np和n(1-p)均大于5時，利用樣本率的分布近似正態(tài)分布的原理，可作樣本率p與已知總體率π0的比較。檢驗統(tǒng)計量u值的計算公式為:

第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用例6-6對某疾病采用常規(guī)治療，其治愈率為45%。現(xiàn)改用新的治療方法，并隨機(jī)抽取180名該疾病患者進(jìn)行了新療法的治療，治愈117人。問新治療方法是否比常規(guī)療法的效果好？本例是單側(cè)檢驗，記新治療方法的治愈率為π，而π0=0.45。其假設(shè)檢驗為H0：π=0.45H1：π>0.45=0.05第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用本例n=180，p=117/180=0.65查u界值表（t界值表中為∞的一行）得單側(cè)。按а=0.05水準(zhǔn)，拒絕H0，接受H1，即新的治療方法比常規(guī)療法的效果好。第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用(三)兩樣本率的比較兩樣本率的比較，目的在于對相應(yīng)的兩總體率進(jìn)行統(tǒng)計推斷。設(shè)兩樣本率分別為p1和p2，當(dāng)n1與n2均較大，且p1、1-p1及p2、1-p2均不太小，如n1p1、n1(1-p1)及n2p2、n2(1-p2)均大于5時，可利用樣本率的分布近似正態(tài)分布，以及獨立的兩個正態(tài)變量之差也服從正態(tài)分布的性質(zhì)，采用正態(tài)近似法對兩總體率作統(tǒng)計推斷。

第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用檢驗統(tǒng)計量u的計算公式為：

第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用例6-7為研究某職業(yè)人群頸椎病發(fā)病的性別差異，今隨機(jī)抽查了該職業(yè)人群男性120人和女性110人，發(fā)現(xiàn)男性中有36人患有頸椎病，女性中有22人患有頸椎病。試作統(tǒng)計推斷。記該職業(yè)人群頸椎病的患病率男性為π1，女性為π2，其檢驗假設(shè)為H0：π1=π2H1：π1≠π2

=0.05第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用本例n1=120，X1=36，p1=X1/n1=36/120=0.30；n2=110，X2=22，p2=X2/n2=22/110=0.20查u界值表得0.05<P<0.10。按=0.05水準(zhǔn)，不拒絕H0，即尚不能認(rèn)為該職業(yè)人群頸椎病的發(fā)病有性別差異。第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用(四)研究非遺傳性疾病的家族集聚性非遺傳性疾病的家族集聚性(clusteringinfamilies)，系指該種疾病的發(fā)生在家族成員間是否有傳染性？如果沒有傳染性，即該種疾病無家族集聚性，家族成員患病應(yīng)是獨立的。此時以家族為樣本，在n個成員中，出現(xiàn)X個成員患病的概率分布呈二項分布；否則，便不服從二項分布。第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用例6-8某研究者為研究某種非遺傳性疾病的家族集聚性，對一社區(qū)82戶3口人的家庭進(jìn)行了該種疾病患病情況調(diào)查，所得數(shù)據(jù)資料見表6-1中的第（1）、（2）欄。試分析其家族集聚性。第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用

表6-1患病數(shù)據(jù)資料與二項分布擬合優(yōu)度的2c檢驗

X

（1）

實際戶數(shù)A

（2）

概率P(X)

（3）

理論戶數(shù)T=82P(X)

（4）

AT-

（5）

2)(AT-

（6）

TAT2)(-（7）

0

26

0.13265

10.8774

-15.1226

228.6936

21.0247

1

10

0.38235

31.3525

21.3525

455.9273

14.5420

2

28

0.36735

30.1229

2.1229

4.5069

0.1496

3

18

0.11765

9.6472

-8.3528

69.7690

7.2320

合計

82

—

82.0000

—

—

42.9483

第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用如果該社區(qū)的此種疾病存在家族集聚性，則以每戶3口人的家庭為樣本，在3個家庭成員中，出現(xiàn)X（=0，1，2，3）個成員患病的概率分布即不服從二項分布。為此，可作如下假設(shè)檢驗。H0：該疾病的發(fā)生無家族集聚性H1：該疾病的發(fā)生有家族集聚性

=0.10第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用本例調(diào)查的總?cè)藬?shù)為：N=82×3=246（人）其中患病人數(shù)為：D=0×26+1×10+2×28+3×18=120（人）以這246人的患病率估計總體的患病率，即π=D/N=120/246=0.49。

第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用在n=3、π=0.49時，利用二項分布，求得X=0，1，2，3的概率P(X)，并以此得到相應(yīng)的理論戶數(shù)。對理論戶數(shù)與實際戶數(shù)進(jìn)行擬合優(yōu)度（goodnessoffit）的檢驗。此時，自由度為=組數(shù)－2=4－2=2。計算結(jié)果列于表6-1中的第（3）至（7）欄。第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用(五)群檢驗在工作中有時會遇到需對收集的一大批標(biāo)本進(jìn)行實驗室檢驗，以了解其陽性率的問題。但要在實驗室對所有標(biāo)本一一作陽性認(rèn)定往往需要大量的人力和物力，也不切實際，使用所謂的群檢驗技術(shù)即可解決這一問題。第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用群檢驗的具體做法是，將N個標(biāo)本分成n群，每群m個標(biāo)本，即N=mn。每個群都送試驗室檢驗是否為陽性群。對于某群，一旦檢驗出陽性標(biāo)本就停止此群中剩余標(biāo)本的檢驗，該群即為陽性群。顯然，只有對陰性群，才需檢驗群中所有的m個標(biāo)本，這樣可大大地減少檢驗標(biāo)本的個數(shù)。

第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用若記每個標(biāo)本為陽性的概率為π，則1-π=Q是每個標(biāo)本為陰性的概率，Qm便是某群m個標(biāo)本均為陰性的概率，即一個群為陰性群的概率，而1-Qm就是一個群為陽性群的概率。假定受檢的n個群中有X個群是陽性群，用X/n作為一個群為陽性群概率的估計值，于是便有第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用這樣，陽性概率π的估計值為：第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用第二節(jié)Poisson分布第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用Poisson分布（Poissondistribution）作為二項分布的一種極限情況，已發(fā)展成為描述小概率事件發(fā)生規(guī)律性的一種重要分布。Poisson分布是描述單位面積、體積、時間、人群等內(nèi)稀有事件（或罕見事件）發(fā)生數(shù)的分布。第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用

醫(yī)學(xué)上:諸如人群中遺傳缺陷、癌癥等發(fā)病率很低的非傳染性疾病的發(fā)病或患病人數(shù)的分布，

單位時間內(nèi)（或單位空間、容積內(nèi)）某罕見事件發(fā)生次數(shù)的分布，如分析在單位面積或容積內(nèi)細(xì)菌數(shù)的分布，在單位空間中某種昆蟲或野生動物數(shù)的分布等。

第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用

所謂隨機(jī)變量X服從Poisson分布，是指在足夠多的n次獨立Bernoulli試驗中，取值X的概率為第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用

一、Poisson分布的適用條件和性質(zhì)第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用(二)Poisson分布的性質(zhì)1.總體均數(shù)與總體方差相等是Poisson分布的重要特征。2.當(dāng)n很大，而π很小，且n/π=為常數(shù)時，二項分布近似Poisson分布。3.當(dāng)增大時，Poisson分布漸近正態(tài)分布。一般而言，≥20時，Poisson分布資料可作為正態(tài)分布處理。第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用4.Poisson分布具備可加性。即對于服從Poisson分布的m個互相獨立的隨機(jī)變量X1，X2，……，Xm，它們之和也服從Poisson分布，且其均數(shù)為這m個隨機(jī)變量的均數(shù)之和。第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用(三)Poisson分布的圖形不同的參數(shù)對應(yīng)不同的Poisson分布，即的大小決定了Poisson分布的圖形特征，見圖6-3。當(dāng)越小，分布就越偏態(tài)；當(dāng)越大時，Poisson分布則越漸近正態(tài)分布。當(dāng)≥1時，隨X取值的變大，P(X)值反而變??；當(dāng)<1時，隨X取值的變大，P(X)值先增大而后變小。如若是整數(shù)，則P(X)在X=和X=-1位置取得最大值。

第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用二、Poisson分布的應(yīng)用(一)總體均數(shù)的區(qū)間估計利用服從Poisson分布的樣本資料可估計其總體均數(shù)的可信區(qū)間。估計方法如下：1.

查表法

對于獲得的樣本計數(shù)X，當(dāng)X≤50時，直接查附表7的Poisson分布可信區(qū)間表，即可得到其總體均數(shù)的95%或99%可信區(qū)間。第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用

例6-10某工廠在環(huán)境監(jiān)測中，對一實施了技術(shù)改造的生產(chǎn)車間作空氣中粉塵濃度的檢測，1立升空氣中測得粉塵粒子數(shù)為21。假定車間空氣中的粉塵分布均勻，試估計該車間平均每立升空氣中所含粉塵顆粒數(shù)的95%和99%可信區(qū)間。本例，X=21，查查附表7，該車間平均每立升空氣所含粉塵顆粒數(shù)的95%可信區(qū)間為13.0～32.0；99%可信區(qū)間為11.0～35.9。第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用2.正態(tài)近似法

當(dāng)X>50時，可采用正態(tài)近似法估計總體均數(shù)的可信區(qū)間，計算公式為:如：的95%可信區(qū)間為第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用例6-11某研究者對某社區(qū)12000名居民進(jìn)行了健康檢查，發(fā)現(xiàn)其中有68名胃癌患者。估計該社區(qū)胃癌患病數(shù)的95%和99%可信區(qū)間。第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用(二)樣本均數(shù)與總體均數(shù)的比較對于Poisson分布資料而言，進(jìn)行樣本均數(shù)與總體均數(shù)的比較有兩種方法。1.直接法

當(dāng)總體均數(shù)<20時，可采用直接計算概率的方式對樣本均數(shù)與已知總體均數(shù)間的差別進(jìn)行有無統(tǒng)計學(xué)意義的比較，這實質(zhì)上是對以樣本計數(shù)X為代表的總體率π與已知的總體率π0是否有差別進(jìn)行推斷。第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用例6-12一般人群先天性心臟病的發(fā)病率為8‰，某研究者為探討母親吸煙是否會增大其小孩的先天性心臟病的發(fā)病危險，對一群20～25歲有吸煙嗜好的孕婦進(jìn)行了生育觀察，在她們生育的120名小孩中，經(jīng)篩查有4人患了先天性心臟病。試作統(tǒng)計推斷。

第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用對于這樣一種低發(fā)病率的樣本計數(shù)資料可看作服從Poisson分布。在120名被調(diào)查的小孩中，按π0=0.008的發(fā)病水平，若有4名及以上的小孩患先天性心臟病的概率大于0.05，則尚不能認(rèn)為母親吸煙會增大其小孩的先天性心臟病的發(fā)病危險；否則，即說明母親吸煙會增大其小孩的先天性心臟病的發(fā)病危險。為此，本例可作如下的假設(shè)檢驗。第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用2.正態(tài)近似法

根據(jù)Poisson分布的性質(zhì)，當(dāng)l320時，可用正

態(tài)分布來近似。樣本計數(shù)X與已知總體均數(shù)l的比較，采用下式計算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)檢驗統(tǒng)計量

第六章幾種離散型變量的分布及其應(yīng)用例6-13有研究表明，一般人群精神發(fā)育不全的發(fā)生率為3‰，今調(diào)查了有親緣血統(tǒng)婚配關(guān)系的后代25000人，發(fā)現(xiàn)123人精神發(fā)育不全，問有親緣血統(tǒng)婚配關(guān)系的后代其精神發(fā)育不全的發(fā)生率是否要高于一般人群？可以認(rèn)為人群中精神發(fā)育不全的發(fā)生數(shù)服從Poisson分布。本例n=25000，X=123，π0=0.003，=nπ0=2500