242圓的一般方程（導(dǎo)學(xué)案）

2.4.2圓的一般方程導(dǎo)學(xué)案教學(xué)目標(biāo)理解圓的一般方程及其特點(diǎn)掌握?qǐng)A的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化會(huì)根據(jù)給定的條件求圓的一般方程，并能用圓的一般方程解決簡(jiǎn)單問(wèn)題會(huì)求圓的一般方程以及與圓有關(guān)的簡(jiǎn)單的軌跡方程問(wèn)題教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：理解圓的一般方程及其特點(diǎn)，掌握?qǐng)A的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化．難點(diǎn)：會(huì)根據(jù)給定的條件求圓的一般方程，并能用圓的一般方程解決簡(jiǎn)單問(wèn)題，會(huì)求圓的一般方程以及與圓有關(guān)的簡(jiǎn)單的軌跡方程問(wèn)題.教學(xué)過(guò)程新課探究思考：前面我們學(xué)習(xí)直線方程時(shí)，所有的二元一次方程都可表示直線，那么，類比學(xué)習(xí)，是否所有的二元二次方程表示的就是圓呢？探究：觀察以下三個(gè)方程：(1)x2＋y2＋2x＋2y＋8＝0；(2)x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0；(3)x2＋y2＋2x＋2y＝0.先將它們分別按圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式進(jìn)行配方，分析它們分別表示什么圖形？按要求進(jìn)行配方，并分析表示的圖形：(1)配方得(x＋1)2＋(y＋1)2＝－6，>不表示任何圖形．(2)配方得(x＋1)2＋(y＋1)2＝0，>表示點(diǎn)(－1，－1)(3)配方得(x＋1)2＋(y＋1)2＝2，>表示圓探究：有些二元二次方程不表示任何圖形，有些表示點(diǎn)，有些表示圓，對(duì)于以下二元二次方程，如果它要表示圓，系數(shù)D、E、F需要滿足什么條件呢？思考：分析方程②，思考：方程①表示的一定是圓嗎？若要表示圓，需要滿足什么條件呢？得出結(jié)論：方程①表示的不一定是圓，只有當(dāng)時(shí)才能表示圓.師生：總結(jié)歸納，并得出圓的一般方程：當(dāng)時(shí)，二元二次方程：此時(shí)，我們稱方程:為圓的一般方程.思考：當(dāng)、時(shí)，方程①分別表示什么圖形？當(dāng)時(shí)，方程①只有實(shí)數(shù)解，，它表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)解，它不表示任何圖形．思考：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的一般方程各有什么特點(diǎn)？圓的標(biāo)準(zhǔn)方程明確給出了圓心坐標(biāo)和半徑，重“形”；圓的一般方程則明確表明其形式是一種特殊的二元二次方程,方程的代數(shù)特征非常明顯，重“數(shù)”，這兩個(gè)方程充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的具象提現(xiàn).應(yīng)用新知例4求過(guò)三點(diǎn)，，的圓的方程，并求這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑．預(yù)設(shè)：設(shè)圓的方程是．①因?yàn)椋?，三點(diǎn)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都是方程①的解．把它們的坐標(biāo)依次代入方程①，得到關(guān)于，，的一個(gè)三元一次方程組解這個(gè)方程組，得所以，所求圓的方程是．由前面的討論可知，所求圓的圓心坐標(biāo)是，半徑．思考：與P83頁(yè)例2的方法比較，你有什么體會(huì)？面對(duì)兩次使用待定系數(shù)法，學(xué)生通過(guò)解題過(guò)程的分析與比較，體會(huì)其中的相同點(diǎn)和不通點(diǎn)，并得出結(jié)論：都是用待定系數(shù)法求圓的方程，只是設(shè)的方程形式不同，待定的系數(shù)不同.師生：結(jié)合兩次使用待定系數(shù)法，總結(jié)待定系數(shù)法求圓的方程的步驟：①設(shè)：根據(jù)題意，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；②列：根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組；③解：解方程組得到a，b，r或D，E，F(xiàn)的值；④代：代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程，即可得解；跟蹤練習(xí)：的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，，求的外接圓的一般方程，并寫(xiě)出圓心坐標(biāo)和半徑．預(yù)設(shè)：設(shè)圓的方程是．①因?yàn)?，，三點(diǎn)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都是方程①的解．把它們的坐標(biāo)依次代入方程①，得到關(guān)于，，的一個(gè)三元一次方程組解這個(gè)方程組，得所以，所求圓的方程是．由前面的討論可知，所求圓的圓心坐標(biāo)是，半徑．例5已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程．知識(shí)小貼士：點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是指點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式．軌跡是指點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中形成的圖形．在解析幾何中，我們常常把圖形看作點(diǎn)的軌跡（集合）．師生：共同分析；如圖，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)引起點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)在已知圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程．建立點(diǎn)與點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，就可以利用點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式得到點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，求出點(diǎn)的軌跡方程．預(yù)設(shè)：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是．由于點(diǎn)的坐標(biāo)是，且是線段的中點(diǎn)，所以，于是有，．①因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓的方程，即．②把①代入②得．整理，得．這就是點(diǎn)的軌跡方程，它表示以為圓心，半徑為1的圓．教師：這種求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法稱之為相關(guān)點(diǎn)法師生：共同總結(jié)分析，用相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的有哪些步驟：①設(shè)坐標(biāo)：設(shè)所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，另一動(dòng)點(diǎn)為；②找關(guān)系：根據(jù)已知條件找到與、與的等式關(guān)系；③代方程：將第二步中的兩個(gè)等式關(guān)系代入另一動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；④標(biāo)準(zhǔn)化：將所得新的方程進(jìn)行整理成標(biāo)準(zhǔn)化方程；跟蹤練習(xí)：已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程．預(yù)設(shè)：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是．由于點(diǎn)的坐標(biāo)是，且是線段的中點(diǎn)，所以，于是有，．①因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓的方程，即．②把①代入②得．整理，得．這就是點(diǎn)的軌跡方程，它表示以為圓心，半徑為的圓．能力提升題型一：根據(jù)圓的一般方程，求圓心坐標(biāo)和半徑例題1、求下列圓的圓心坐標(biāo)和半徑.

預(yù)設(shè)：（1）因?yàn)椋淼茫?，所以，圓心坐標(biāo)為：，半徑為2.（2）因?yàn)?，整理得：，所以，圓心坐標(biāo)為：，半徑為.方法總結(jié)：方法一：先將一般方程按照?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式配方好，然后寫(xiě)出圓心坐標(biāo)和半徑即可；方法二：記住圓心坐標(biāo)公式和半徑公式，代入計(jì)算而得.題型二：根據(jù)圓的一般方程求參數(shù)（值）范圍例題2，若方程表示圓，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．.預(yù)設(shè)：因?yàn)榉匠瘫硎緢A，所以，即，解得；故選：D方法總結(jié)：利用圓的條件，建立不等式，解不等式即可得解題型三：直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程例題3，已知，若動(dòng)點(diǎn)P滿足直線與直線的斜率之積為，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.預(yù)設(shè)：設(shè)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)橹本€與直線的斜率之積為，所以，整理得.思考：為何要x≠±2？學(xué)生：可以從如果x=2和x=2，會(huì)得出怎樣的結(jié)論？從而得出答案：當(dāng)x=2時(shí)，直線PB的斜率不存在，不合題意當(dāng)x=2時(shí)，直線PA的斜率不存在，不合題意方法總結(jié)：直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的步驟：①設(shè)坐標(biāo)：設(shè)所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)；②符號(hào)化：將已知條件中的等式關(guān)系符號(hào)化：即用含x與y式子表示等式；③標(biāo)準(zhǔn)化：將第二步中的兩個(gè)等式關(guān)系代入另一動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；④剔點(diǎn)：剔除不滿足題意的點(diǎn)，比如斜率不存在，不能構(gòu)成三角形等；課堂小結(jié)隨堂限時(shí)小練判斷列方程能否表示一個(gè)圓？：(1)2x2＋y2－7x＋5＝0；(2)x2＋xy＋y2＋6x＝0；(3)2x2＋2y2－3x＋4y＋16＝0；(4)3x2＋3y2－2x＋4y－9＝0.分析：要判斷一個(gè)方程是否表示圓，關(guān)鍵是看如下三點(diǎn)：(1)x2和y2的系數(shù)相同，但不等于零；(2)沒(méi)有xy這樣的二次項(xiàng)；(3)D2＋E2－4F>0.預(yù)設(shè)(1)x2，y2的系數(shù)不相等，故(1)表示的不是圓．(2)方程含有xy項(xiàng)，故(2)表示的不是圓．(3)原方程可化為.故(3)構(gòu)不成任何圖形，不是圓．(4)原方程可化為,∴(4)表示一個(gè)圓．2、圓的半徑等于（

）．A． B． C． D．預(yù)設(shè)：把圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，圓，所以圓的半徑為．故選：B．3、若方程表示圓，則下列四個(gè)數(shù)中不能取的是（

）A． B． C． D．預(yù)設(shè)：方程表示圓，，或，不能取，故選：A4、已知圓過(guò)，，三點(diǎn)，求圓的一般方程.預(yù)設(shè)：設(shè)圓的方程為，由題意得，解得，，．圓的方程是．5、已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P在圓C：(x－2)2＋y2＝1上運(yùn)動(dòng)，求線段OP的中點(diǎn)M的軌跡方程．預(yù)設(shè)：設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，O點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得x＝eq\f(x0＋0,2)，y＝eq\f(y0＋0,2).于是x0＝2x，y0＝2y.①∵點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝1上運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足方程(x－2)2＋y2＝1，即(x0－2)2＋y02＝1.②把①代入②，得(2x－2)2＋(2y)2＝1，整理，得(x－1)2＋y2＝eq\f(1,4).∴點(diǎn)M的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝eq\f(1,4)6、已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，直線相交于點(diǎn),且直線的斜率與直線的斜率的差是1，求點(diǎn)的軌跡方程.預(yù)設(shè)：設(shè)，直線的斜率為，直線的斜率為，有直線的斜率與直線的斜率的差是1，所以，通分得：，整理得：，即點(diǎn)的軌跡方程為.課后作業(yè)布置作業(yè)1：完成教材：第88頁(yè)練習(xí)1,2,3,4作業(yè)2：配套輔導(dǎo)資料對(duì)應(yīng)的《圓的一般方程》課后作業(yè)答案練習(xí)（第88頁(yè)）1．求下列各圓的圓心坐標(biāo)和半徑：（1）；（2）；（3）．解析：（1）圓心坐標(biāo)為，半徑長(zhǎng)為3；（2）圓心坐標(biāo)為，半徑長(zhǎng)為；（3）圓心坐標(biāo)為，半徑長(zhǎng)為．2．判斷下列方程分別表示什么圖形，并說(shuō)明理由：（1）；（2）；（3）．解析：（1）方程表示一個(gè)點(diǎn)；（2）方程表示圓心坐標(biāo)是，半徑長(zhǎng)是的圓；（3）當(dāng)時(shí)，方程表示圓心坐標(biāo)是，半徑長(zhǎng)是的圓；當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)．3．如圖，在四邊形中，，，且，，與間的距離為3．求等腰梯形的外接圓的方程，并求這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑．解析：（方法1)由題意可知，，，設(shè)所求圓的方程為．則，解得．故所求圓的方程為，其圓心坐標(biāo)為，半徑長(zhǎng)為．(方法2)由題意，可得點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是，直線的斜率，線段的垂直平分線的方程是，與方程聯(lián)立，解得，所以四邊形外接圓的圓心的坐標(biāo)是，半徑長(zhǎng)為，所以四邊形的外接圓的方程是，這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)為，半徑長(zhǎng)為．習(xí)題2.4（第88頁(yè)）1．求下列各圓的圓心坐標(biāo)和半徑，并畫(huà)出它們的圖形：（1）；（2）；（3）；（4）．解析：（1）圓的圓心坐標(biāo)是，半徑長(zhǎng)；（2）圓的圓心坐標(biāo)是，半徑長(zhǎng)；（3）圓的圓心坐標(biāo)是，半徑長(zhǎng)；（4）圓的圓心坐標(biāo)是，半徑長(zhǎng)．2． 求下列各圓的方程，并畫(huà)出圖形：（1）圓心為點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)；（2）過(guò)，，三點(diǎn)．解析：（1）半徑長(zhǎng)，圓的方程是．（2）（方法1)設(shè)經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的圓的方程為．①把，，的坐標(biāo)分別代入①，得，解此方程組，得．所以，經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的圓的方程是．（方法2)設(shè)圓的方程為，則，解得，所以圓的方程為．（方法3)已知，，，所以，，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以的垂直平分線方程為，的垂直平分線方程為，即．由，解得所以圓心坐標(biāo)為，半徑，所以經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的圓的方程是．3．已知圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)，并且圓心在直線上，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解析：（方法1）設(shè)所求圓的方程為，由題設(shè)，得，解此方程組，得，所以，所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（方法2）因?yàn)閳A心在直線上，所以可設(shè)圓心的坐標(biāo)為．因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)，所以．即，解得．所以圓心坐標(biāo)為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．說(shuō)明：本題也可以先求出線段的垂直平分線的方程，然后與方程聯(lián)立，求出圓心坐標(biāo)為，再求出半徑長(zhǎng)，從而求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．4．圓的圓心在軸上，并且過(guò)和兩點(diǎn)，求圓的方程．解析：由題設(shè)，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是，直線的斜率．所以線段的垂直平分線的方程是與軸的方程聯(lián)立，解得，即圓心的坐標(biāo)是，半徑長(zhǎng)．所以所求圓的方程為．5．已知圓的一條直徑的端點(diǎn)分別是，，求證此圓的方程是．證明：（方法l)因?yàn)橹睆降膬蓚€(gè)端點(diǎn)為，，所以圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)分別為，．所以圓的方程，化簡(jiǎn)得．（方法2)設(shè)是圓上不同于，的任意一點(diǎn)由知，，即①反過(guò)來(lái)，坐標(biāo)滿足①式的點(diǎn)，一定滿足，即該點(diǎn)在以為直徑的圓上．又因?yàn)辄c(diǎn)，的坐標(biāo)也滿足上式，所以所求圓的方程為．6．平面直角坐標(biāo)系中有，，，四點(diǎn)，這四點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上？為什么？解析：是．設(shè)經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的圓的方程為．①把，，的坐標(biāo)分別代入①，得，解此方程組，得，所以經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．把點(diǎn)的坐標(biāo)代入上面方程的左邊，得．所以點(diǎn)在經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的圓上，即，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．7．已知等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)為，底邊的一個(gè)端點(diǎn)為，求底邊的另一個(gè)端點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么圖形．解析：如圖，根據(jù)題意，等腰三角形的底邊另一個(gè)端點(diǎn)在以為圓心，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓上，且除去點(diǎn)以及點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)．設(shè)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)是，則有，解得，所以點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)是．又．所以的軌跡是圓且，．8．長(zhǎng)為的線段的兩個(gè)端點(diǎn)和分別在軸和軸上滑動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡的形狀．解析：如圖，設(shè)線段的中點(diǎn)為，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，到原點(diǎn)的距離為定長(zhǎng)，即的斜邊上的中線長(zhǎng)．因?yàn)椋袋c(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑長(zhǎng)的圓．根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)的軌跡方程為．9．已知