浙江省杭州市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月期末考試數(shù)學(xué)試題

2023學(xué)年第二學(xué)期杭州市高二年級教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題卷考生須知：1．本試卷分試題卷和答題卡兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2．答題前，必須在答題卡指定位置上用黑筆填寫學(xué)校名、姓名、試場號、座位號、準(zhǔn)考證號，并用2B鉛筆將準(zhǔn)考證號所對應(yīng)的數(shù)字涂黑.3．答案必須寫在答題卡相應(yīng)的位置上，寫在其他地方無效.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，（為虛數(shù)單位，），則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)減法運(yùn)算求解，可得復(fù)平面對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，可得結(jié)論.【詳解】因復(fù)數(shù)，，所以復(fù)數(shù)，所以對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.故選：D.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為特稱命題，即可求解.【詳解】命題“，”的否定是，,故選：D3.下列函數(shù)中，以為最小正周期的奇函數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意，利用三角函數(shù)的奇偶性和周期性，得出結(jié)論．【詳解】由于是最小正周期為π的奇函數(shù)，則A正確；由于為最小正周期為2π的偶函數(shù)，則B錯誤；由于是偶函數(shù)，不符合題意，C錯誤；由于是偶函數(shù)，不符合題意，D錯誤．故選：A．4.若甲、乙、丙三人排成一行拍照，則甲不在中間的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)排列組合計算個數(shù)，結(jié)合古典概型的概率公式即可求解.詳解】甲、乙、丙三人排成一行，共有種方法，甲不在中間的，共有,故概率為,故選：C5.在正方體中，，分別是棱和上的點(diǎn)，，，那么正方體中過點(diǎn)，，的截面形狀為（）A.三角形 B.四邊形 C.五邊形 D.六邊形【答案】B【解析】【分析】畫出圖形，然后判斷即可.【詳解】在正方體中，取，，連接，，，，，，如下圖所示：因?yàn)樵谡襟w中，，分別是棱和上的點(diǎn)，，，所以，且，則四邊形為平行四邊形，則，，又因?yàn)?，且，所以四邊形為平行四邊形，則，，所以，，所以為平行四邊形，則正方體中過點(diǎn)，，的截面形狀為四邊形.故選：B6.在同一個坐標(biāo)系中，函數(shù)，，的圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)的單調(diào)性相反排除AD，然后根據(jù)冪函數(shù)圖象判斷出的范圍，由此可得答案.【詳解】因?yàn)樵谕蛔鴺?biāo)系中，所以函數(shù)，的單調(diào)性一定相反，且圖象均不過原點(diǎn)，故排除AD；在BC選項(xiàng)中，過原點(diǎn)圖象為冪函數(shù)的圖象，且由圖象可知，所以單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故排除B，所以C正確.故選：C.7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)和差角公式以及弦切互化公式即可求解.【詳解】，故，故，故選：A8.已知經(jīng)過圓錐SO的軸的截面是頂角為的等腰三角形，用平行于底面的截面將圓錐SO分成兩部分，若這兩部分幾何體都存在內(nèi)切球（與各面均相切），且上、下兩部分幾何體的體積之比是1：7，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出圓錐的軸截面，根據(jù)題意推出圓臺的上、下底面半徑之比為，設(shè)圓臺上底面半徑為，圓臺存在內(nèi)切球可得圓臺的母線，在中，由余弦定理可求．【詳解】如圖，作出圓錐的軸截面，上部分小圓錐一定有內(nèi)切球，故只需下部分圓臺有內(nèi)切球即可，設(shè)圓臺的內(nèi)切球的球心，由上、下兩部分幾何體的體積之比是，可得截得的小圓錐與原圓錐的體積之比為，從而可得圓臺上下底面圓半徑之比為，設(shè)圓臺上底面半徑為，則圓臺下底面半徑為，圓臺存在內(nèi)切球時，由切線長定理可得圓臺母線長，則可得圓錐的母線，所以圓錐的軸截面等腰三角形底邊，在中，由余弦定理可得.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.本學(xué)期某校舉行了有關(guān)垃圾分類知識競賽，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行成績統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績都在50分至100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（）A.圖中x的值為0.030B.被抽取的學(xué)生中成績在的人數(shù)為15C.估計樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為90D.估計樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于中位數(shù)【答案】AB【解析】【分析】對于A，結(jié)合頻率分布直方圖的性質(zhì)，即可求解，對于B，結(jié)合頻率與頻數(shù)的關(guān)系，即可求解，對于C，結(jié)合眾數(shù)的計算公式，即可求解，對于D，結(jié)合平均數(shù)的計算公式，以及中位數(shù)的計算公式，即可比較大小求解D．【詳解】對于A，結(jié)合頻率分布直方圖的性質(zhì)可得，，解得，故A正確，對于B，成績在區(qū)間的頻率為，人數(shù)為，故B正確，對于C，眾數(shù)為，故C錯誤，對于D，平均成績?yōu)?，低?0分的頻率為，設(shè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為分，則，解得，平均數(shù)小于中位數(shù)，D錯誤，故選：AB．10.已知向量，且，則（）A.B.C.向量與向量的夾角是D.向量在向量上的投影向量坐標(biāo)是【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)向量坐標(biāo)線性運(yùn)算與垂直關(guān)系，列出方程，求出，A正確；B選項(xiàng)，利用模長公式進(jìn)行計算；C選項(xiàng)，利用向量夾角余弦公式求出夾角；D選項(xiàng)，利用投影向量公式求出答案.【詳解】A選項(xiàng)，，∴，，∴，解得，故，選項(xiàng)A正確；B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，故，選項(xiàng)B錯誤；C選項(xiàng)，，向量與向量的夾角是，選項(xiàng)C正確；D選項(xiàng)，向量在向量上的投影向量，選項(xiàng)D正確.故選：ACD.11.已知，設(shè)函數(shù)滿足，則（）A.B.當(dāng)時，不一定是常數(shù)函數(shù)C.若，則D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】聯(lián)立方程可得，即可代入求解A，根據(jù)時，，即可求解B，取代入題中式子即可求解C,分類討論，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義，代入即可判斷D.【詳解】由可得，聯(lián)立兩式可得，對于A,取，則，A正確，對于B，若時，，故，B錯誤，對于C，取，則，解得，故C正確，對于D，若且時，此時，則，故顯然滿足，若，則，此時，故成立，若，則，此時，故成立，故D正確，故選：ACD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)與的圖象關(guān)于直線______對稱．【答案】【解析】【分析】根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由于與互為反函數(shù)，所以與圖象關(guān)于對稱，故答案為：13.若某扇形的圓心角為，面積為，則該扇形的半徑是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)扇形面積公式直接求解即可.【詳解】設(shè)扇形的面積為，則扇形面積，解得：.故答案為：.14.記的內(nèi)角的對邊分別為．已知，，若的面積為，則______．【答案】##【解析】【分析】由余弦定理和已知求出，再由正弦定理得出用表示出的，利用面積求出可得答案.【詳解】因?yàn)?，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，可得，因?yàn)?，所以，所以，，由正弦定理，得，，若的面積為，則，解得，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用正余弦定理邊角轉(zhuǎn)化解三角形.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最大值、最小值及相應(yīng)的x的值．【答案】（1），，；（2）時，有最小值0，時，有最大值3．【解析】【分析】（1）化簡函數(shù)解析式，由正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出周期、單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)自變量的范圍，求出的范圍，利用正弦函數(shù)求出最值即可得解.【小問1詳解】（1），故；由，令，，則，，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；【小問2詳解】當(dāng)時，，則，即，即在區(qū)間上的最小值和最大值分別為0，3，當(dāng)，即時，有最小值0，當(dāng)，即時，有最大值3．16.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，⊥平面，與底面所成的角為45°，為的中點(diǎn)．（1）求證：⊥平面；（2）若，求平面與平面的夾角大?。敬鸢浮浚?）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）由題意可得與底面所成的角即為，即，則,再由題意得出⊥平面，則，即可得到答案.（2）由二面角的定義可得平面與平面的夾角即為，即可得出夾角大小.【小問1詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)槠矫?，則為與平面所成角，與平面所成的角為45°，所以，則，又為的中點(diǎn)，所以．因?yàn)?，又?平面，平面，故⊥平面，平面，所以，平面，所以平面．【小問2詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，平面，平面，故平?平面，所以，又，則即為所求，由（1）知：，而，則，故,,所以．17.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，求在處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，可得，，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析求解；（2）求導(dǎo)可得，分和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性.【小問1詳解】當(dāng)時，則，，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，所以在處的切線方程為：．【小問2詳解】由題意可得：，注意到，①若，，則在上單調(diào)遞減，②若，令時，解得，當(dāng)，；當(dāng)，；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．18.已知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，上頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)F，離心率．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)．（i）若直線l與MF垂直，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程；（ii）是否存在直線l，使F恰為垂心？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）（i）；（ii）存在，．【解析】【分析】（1）由已知易求，進(jìn)而可得橢圓方程；（2）（i）設(shè)直線，再聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理得到：，，設(shè)線段PQ中點(diǎn)為，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求中點(diǎn)的軌跡方程；（ii）由F恰為的垂心，有，可得，代入即可求得直線方程.【小問1詳解】由題意得：，，則，所以，解得，故橢圓方程為．【小問2詳解】（i）由題意得：，因?yàn)?，所以，則，設(shè)直線，，，聯(lián)立，可得，，所以，由韋達(dá)定理得：，，，設(shè)線段PQ中點(diǎn)為，則，，則PQ中點(diǎn)的軌跡方程為．（ii）因?yàn)镕恰為的垂心，有所以又，得，即，代入韋達(dá)定理得，解得或．經(jīng)檢驗(yàn)符合條件，則直線l的方程為：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.19.已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，．（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）定義：已知數(shù)列，，當(dāng)時，稱為“4一偶數(shù)項(xiàng)和整除數(shù)列”．（i）計算，，其中，．（ii）若為“4偶數(shù)項(xiàng)和整除數(shù)列”，求的最小值．【答案】（1），．（2）（i），；（ii）【解析】【分析】（1）因式分解得到，變形得到，故為公比為3的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式；（2）（i）利用等差數(shù)列求和公式得到，并利用等比數(shù)列求和公式得到；（ii）方法一，根據(jù)得到，2，3不滿足題意，滿足要求，進(jìn)一步得到，變形后結(jié)合二項(xiàng)式定理得到，并得到，得到結(jié)論；方法二：根據(jù)得到，2，3不滿足題意，滿足要求，當(dāng)時，，故，根據(jù)且，證明出結(jié)論.【小問1詳解】由可得，根據(jù)可得，由可得，且，所以是以首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，故．【小問2詳解】（i），．（ii）方法一：當(dāng)