高考數(shù)學(xué)理科二輪總復(fù)習(xí)練習(xí)專題六　立體幾何第2講

第2講立體幾何的綜合問題1．(2014·江蘇)設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2.若它們的側(cè)面積相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，則eq\f(V1,V2)的值是________．答案eq\f(3,2)解析設(shè)兩個(gè)圓柱的底面半徑和高分別為r1，r2和h1，h2，由eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，得eq\f(πr\o\al(2,1),πr\o\al(2,2))＝eq\f(9,4)，則eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).由圓柱的側(cè)面積相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr\o\al(2,1)h1,πr\o\al(2,2)h2)＝eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).2．(2015·江蘇)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2，高為8的圓柱各一個(gè)．若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè)，則新的底面半徑為________．答案eq\r(7)解析設(shè)新的底面半徑為r，由題意得eq\f(1,3)πr2·4＋πr2·8＝eq\f(1,3)π×52×4＋π×22×8，解得r＝eq\r(7).3．(2017·江蘇)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是________．答案eq\f(3,2)解析設(shè)球半徑為R，則圓柱底面圓半徑為R，母線長為2R，又V1＝πR2·2R＝2πR3，V2＝eq\f(4,3)πR3，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(2πR3,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2).江蘇高考對(duì)空間幾何體體積的計(jì)算是高頻考點(diǎn)，一般考查幾何體的體積或體積之間的關(guān)系．對(duì)翻折問題和探索性問題考查較少，但是復(fù)習(xí)時(shí)仍要關(guān)注．熱點(diǎn)一空間幾何體的計(jì)算例1(1)已知一個(gè)圓錐的底面積為2π，側(cè)面積為4π，則該圓錐的體積為________．(2)如圖，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，F(xiàn)C＝4，AE＝5，則此幾何體的體積為________．答案(1)eq\f(2\r(6),3)π(2)96解析(1)設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則πr2＝2π，πrl＝4π，解得r＝eq\r(2)，l＝2eq\r(2)，故高h(yuǎn)＝eq\r(6)，所以V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×2×eq\r(6)＝eq\f(2\r(6),3)π.(2)用“補(bǔ)形法”把原幾何體補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V幾何體＝eq\f(1,2)V三棱柱＝eq\f(1,2)×S△ABC×AA′＝eq\f(1,2)×24×8＝96.思維升華(1)求多面體的表面積的基本方法就是逐個(gè)計(jì)算各個(gè)面的面積，然后求和．(2)求體積時(shí)，一是可以把空間幾何體進(jìn)行分解，把復(fù)雜的空間幾何體的體積分解為一些簡單幾何體體積的和或差；二是把幾何體通過“補(bǔ)形”，補(bǔ)成一個(gè)完整的幾何體或置于一個(gè)更熟悉的幾何體中，巧妙地破解空間幾何體的體積．求解時(shí)注意不要多算也不要少算．跟蹤演練1(1)(2017·江蘇宿遷三模)如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，點(diǎn)P在棱CC1上，則三棱錐P－ABA1的體積為________．答案eq\f(9\r(3),4)解析三棱錐P－ABA1的體積等于三棱錐B－APA1的體積，點(diǎn)B到面APA1的距離為eq\f(3\r(3),2)，△APA1的面積為eq\f(9,2)，故三棱錐P－ABA1的體積為eq\f(9\r(3),4).(2)(2017·江蘇南京三模)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，點(diǎn)D為側(cè)棱BB1上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)AD＋DC1最小時(shí)，三棱錐D－ABC1的體積為________．答案eq\f(1,3)解析幾何體展開圖如圖所示：△ABD∽△ACC1，∴eq\f(BD,CC1)＝eq\f(AB,AC)，∵AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∴AC＝3，CC1＝3，∴BD＝1，則＝＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×2×1＝eq\f(1,3).熱點(diǎn)二翻折問題例2如圖1，在邊長為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，AD＝AE，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)G.將△ABF沿AF折起，得到如圖2所示的三棱錐A－BCF，其中BC＝eq\f(\r(2),2).(1)證明：DE∥平面BCF；(2)證明：CF⊥平面ABF；(3)當(dāng)AD＝eq\f(2,3)時(shí)，求三棱錐F－DEG的體積VF－DEG.(1)證明如圖1，在等邊三角形ABC中，AB＝AC.因?yàn)锳D＝AE，所以eq\f(AD,DB)＝eq\f(AE,EC)，所以DE∥BC，所以DG∥BF.如圖2，DG?平面BCF，BF?平面BCF，所以DG∥平面BCF.同理可證GE∥平面BCF.因?yàn)镈G∩GE＝G，所以平面DEG∥平面BCF，又因?yàn)镈E?平面DEG，所以DE∥平面BCF.(2)證明如圖1，在等邊三角形ABC中，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，所以AF⊥FC，所以BF＝FC＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2).在圖2中，因?yàn)锽C＝eq\f(\r(2),2)，所以BC2＝BF2＋FC2，所以∠BFC＝90°，所以FC⊥BF.因?yàn)锽F∩AF＝F，BF，AF?平面ABF，所以CF⊥平面ABF.(3)解因?yàn)锳D＝eq\f(2,3)，所以BD＝eq\f(1,3)，AD∶BD＝2∶1，在圖2中，AF⊥FC，AF⊥BF，所以AF⊥平面BCF，由(1)知平面DEG∥平面BCF，所以AF⊥平面DEG，且GE⊥DG.在等邊三角形ABC中，AF＝eq\f(\r(3),2)AB＝eq\f(\r(3),2)，所以FG＝eq\f(1,3)AF＝eq\f(\r(3),6)，DG＝eq\f(2,3)BF＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)＝GE，所以S△DGE＝eq\f(1,2)DG·GE＝eq\f(1,18)，所以VF－DEG＝eq\f(1,3)S△DGE·FG＝eq\f(\r(3),324).思維升華平面圖形經(jīng)過翻折成為空間圖形后，原有的性質(zhì)有的發(fā)生變化、有的沒有發(fā)生變化，這些發(fā)生變化和沒有發(fā)生變化的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．一般地，在翻折后還在一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化，解決這類問題就是要根據(jù)這些變與不變，去研究翻折以后的空間圖形中的線面關(guān)系和各類幾何量的度量值，這是化解翻折問題的主要方法．跟蹤演練2如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CD，CB的中點(diǎn)，AC∩EF＝O，沿EF將△CEF翻折到△PEF，連結(jié)PA，PB，PD，得到如圖的五棱錐P－ABFED，且PB＝eq\r(10).(1)求證：BD⊥PA；(2)求四棱錐P－BFED的體積．(1)證明∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CD，CB的中點(diǎn)，∴BD∥EF.∵菱形ABCD的對(duì)角線互相垂直，∴BD⊥AC.∴EF⊥AC，∴EF⊥AO，EF⊥PO.∵AO?平面POA，PO?平面POA，AO∩PO＝O，∴EF⊥平面POA，∴BD⊥平面POA，又PA?平面POA，∴BD⊥PA.(2)解設(shè)AO∩BD＝H，連結(jié)BO.∵∠DAB＝60°，∴△ABD為等邊三角形，∴BD＝4，BH＝2，HA＝2eq\r(3)，HO＝PO＝eq\r(3)，在Rt△BHO中，BO＝eq\r(BH2＋HO2)＝eq\r(7)，在△PBO中，BO2＋PO2＝10＝PB2，∴PO⊥BO.∵PO⊥EF，EF∩BO＝O，EF?平面BFED，BO?平面BFED，∴PO⊥平面BFED，梯形BFED的面積S＝eq\f(1,2)(EF＋BD)·HO＝3eq\r(3)，∴四棱錐P－BFED的體積V＝eq\f(1,3)S·PO＝eq\f(1,3)×3eq\r(3)×eq\r(3)＝3.熱點(diǎn)三探索性問題例3(2017·江蘇無錫天一中學(xué)模擬)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)．(1)證明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；(2)在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F，使B1F∥平面A1BE？證明你的結(jié)論．(1)證明如圖，因?yàn)锳BCD－A1B1C1D1為正方體，所以B1C1⊥平面ABB1A1.因?yàn)锳1B?平面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B.又因?yàn)锳1B⊥AB1，B1C1∩AB1＝B1，AB1，B1C1?平面ADC1B1，所以A1B⊥平面ADC1B1.因?yàn)锳1B?平面A1BE，所以平面ADC1B1⊥平面A1BE.(2)解當(dāng)點(diǎn)F為C1D1的中點(diǎn)時(shí)，可使B1F∥平面A1BE.證明如下：設(shè)A1B∩AB1＝O，連結(jié)EO，EF，B1F.易知EF∥C1D，且EF＝eq\f(1,2)C1D，B1O∥C1D且B1O＝eq\f(1,2)C1D，所以EF∥B1O且EF＝B1O，所以四邊形B1OEF為平行四邊形．所以B1F∥OE.又因?yàn)锽1F?平面A1BE，OE?平面A1BE.所以B1F∥平面A1BE.思維升華探索性問題，一般把要探索的結(jié)論作為條件，然后根據(jù)條件和假設(shè)進(jìn)行推理論證．跟蹤演練3在正三棱柱ABC－A1B1C1中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，BC＝BB1.(1)求證：A1C∥平面AB1D；(2)棱CC1上是否存在一點(diǎn)M，使BM⊥AB1？說明你的理由．(1)證明連結(jié)A1B，交AB1于點(diǎn)O，連結(jié)OD.∵O，D分別是A1B，BC的中點(diǎn)，∴A1C∥OD.∵A1C?平面AB1D，OD?平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.(2)解當(dāng)M為CC1的中點(diǎn)時(shí)，可使BM⊥AB1.證明如下：∵在正三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝BB1，∴四邊形BCC1B1是正方形．∵M(jìn)為CC1的中點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，∴△B1BD≌△BCM，∴∠BB1D＝∠CBM，∠BDB1＝∠CMB.又∵∠BB1D＋∠BDB1＝eq\f(π,2)，∴∠CBM＋∠BDB1＝eq\f(π,2)，∴BM⊥B1D.∵△ABC是正三角形，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC.∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，AD?平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C.∵BM?平面BB1C1C，∴AD⊥BM.∵AD∩B1D＝D，∴BM⊥平面AB1D.∵AB1?平面AB1D，∴MB⊥AB1.1．若α，β是兩個(gè)相交平面，則在下列命題中，真命題的序號(hào)為________．(寫出所有真命題的序號(hào))①若直線m⊥α，則在平面β內(nèi)，一定不存在與直線m平行的直線；②若直線m⊥α，則在平面β內(nèi)，一定存在無數(shù)條直線與直線m垂直；③若直線m?α，則在平面β內(nèi)，不一定存在與直線m垂直的直線；④若直線m?α，則在平面β內(nèi)，一定存在與直線m垂直的直線．答案②④解析若α⊥β，則在平面β內(nèi)，存在與直線m平行的直線，故①錯(cuò)誤；在平面β與平面α，β的交線平行的直線一定與直線m垂直，故②正確；若α⊥β，則在平面β內(nèi)，存在無數(shù)條與直線m垂直的直線，故③不正確；若α⊥β，顯然④成立，若α，β不垂直，則在平面α內(nèi)任作與m垂直的直線n，過n作平面γ⊥平面α交平面β于l，則可得l⊥m，從而④正確．2．(2017·江蘇南京考前指導(dǎo)卷)如圖正△ABC的邊長為2，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別為邊AC與BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折，使平面ADC⊥平面DCB，則棱錐E－DFC的體積為__________．答案eq\f(\r(3),24)解析S△DFC＝eq\f(1,4)S△ABC＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)×22))＝eq\f(\r(3),4)，E到面DFC的距離h等于eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2).VE－DFC＝eq\f(1,3)×S△DFC×h＝eq\f(\r(3),24).3．如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知AD＝4，BD＝4eq\r(3)，AB＝2CD＝8.(1)設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，證明：平面MBD⊥平面PAD；(2)當(dāng)M點(diǎn)位于線段PC什么位置時(shí)，PA∥平面MBD?(1)證明在△ABD中，∵AD＝4，BD＝4eq\r(3)，AB＝8，∴AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD?平面ABCD，∴BD⊥平面PAD.又BD?平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD.(2)解當(dāng)CM＝eq\f(1,3)CP時(shí)，PA∥平面MBD.證明如下：連結(jié)AC，交BD于點(diǎn)N，連結(jié)MN.∵AB∥DC，∴四邊形ABCD是梯形．∵AB＝2CD，∴CN∶NA＝1∶2.又∵CM∶MP＝1∶2，∴CN∶NA＝CM∶MP，∴PA∥MN.∵M(jìn)N?平面MBD，∴PA∥平面MBD.A組專題通關(guān)1．(2017·江蘇連云港期中)已知圓臺(tái)的母線長為4cm，母線與軸的夾角為30°，上底面半徑是下底面半徑的eq\f(1,2)，則這個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面積是________cm2.答案24π解析如圖是將圓臺(tái)還原為圓錐后的軸截面，由題意知AC＝4cm，∠ASO＝30°，O1C＝eq\f(1,2)OA，設(shè)O1C＝r，則OA＝2r，又eq\f(O1C,SC)＝eq\f(OA,SA)＝sin30°，∴SC＝2r，SA＝4r，∴AC＝SA－SC＝2r＝4cm，∴r＝2cm.∴圓臺(tái)的側(cè)面積為S＝π(r＋2r)×4＝24π(cm2)．2．(2017·江蘇海安中學(xué)質(zhì)檢)三棱錐P－ABC中，D，E分別為PB，PC的中點(diǎn)，記三棱錐D－ABE的體積為V1，P－ABC的體積為V2，則eq\f(V1,V2)＝________.答案eq\f(1,4)解析V1＝VD－ABE＝VE－ABD＝eq\f(1,2)VE－ABP＝eq\f(1,2)VA－BEP＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)VA－BCP＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)VP－ABC＝eq\f(1,4)V2.3．考察下列三個(gè)命題，在“________”處都缺少同一個(gè)條件，補(bǔ)上這個(gè)條件使其構(gòu)成真命題(其中l(wèi)，m為不同直線，α，β為不重合平面)，則此條件為________．①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m?α,l∥m,))?l∥α；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥m,m∥α,))?l∥α；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥β,α⊥β,))?l∥α.答案l?α解析線面平行的判定中指的是平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，故此條件為l?α.4．如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，且AD＝3BC，過A1，C，D三點(diǎn)的平面記為α，BB1與平面α的交點(diǎn)為Q，則eq\f(B1Q,QB)的值為________．答案2解析設(shè)A1Q∩DC＝P，則點(diǎn)P∈AB，因?yàn)锳D∥BC，且AD＝3BC，所以eq\f(BC,AD)＝eq\f(BP,AP)＝eq\f(1,3)，又BB1∥AA1，BB1＝AA1，所以eq\f(BP,AP)＝eq\f(BQ,AA1)＝eq\f(BQ,BB1)＝eq\f(1,3)，從而BB1＝3BQ，即eq\f(B1Q,QB)＝2.5．設(shè)m，n是平面α外的兩條直線，給出三個(gè)論斷：①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中的兩個(gè)為條件，余下的一個(gè)為結(jié)論，構(gòu)造三個(gè)命題，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：________.(用序號(hào)表示)答案①②?③(或①③?②)解析設(shè)過m的平面β與α交于l，∵m∥α，∴m∥l，∵m∥n，∴n∥l.∵n?α，l?α，∴n∥α.6．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等于________．答案eq\r(2)解析因?yàn)橹本€EF∥平面AB1C，EF?平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC，因?yàn)镋是DA的中點(diǎn)，所以F是DC的中點(diǎn)，由中位線定理可得EF＝eq\f(1,2)AC，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AC＝2eq\r(2)，所以EF＝eq\r(2).7．如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1B1B為正方形，BB1C1C為菱形，∠BB1C1＝60°，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C.(1)求證：B1C⊥AC1；(2)設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是B1C，AA1的中點(diǎn)，試判斷直線EF與平面ABC的位置關(guān)系，并說明理由．(1)證明連結(jié)BC1.在正方形ABB1A1中，AB⊥BB1.因?yàn)槠矫鍭A1B1B⊥平面BB1C1C，平面AA1B1B∩平面BB1C1C＝BB1，AB?平面AA1B1B，所以AB⊥平面BB1C1C.因?yàn)锽1C?平面BB1C1C，所以AB⊥B1C.在菱形BB1C1C中，BC1⊥B1C.因?yàn)锽C1?平面ABC1，AB?平面ABC1，BC1∩AB＝B，所以B1C⊥平面ABC1.因?yàn)锳C1?平面ABC1，所以B1C⊥AC1.(2)解EF∥平面ABC，理由如下：取BC的中點(diǎn)G，連結(jié)GE，GA.因?yàn)镋是B1C的中點(diǎn)，所以GE∥BB1，且GE＝eq\f(1,2)BB1.因?yàn)镕是AA1的中點(diǎn)，所以AF＝eq\f(1,2)AA1.在正方形AA1B1B中，AA1∥BB1，AA1＝BB1.所以GE∥AF，且GE＝AF.所以四邊形GEFA為平行四邊形．所以EF∥GA.因?yàn)镋F?平面ABC，GA?平面ABC，所以EF∥平面ABC.8．如圖，△BCD是等邊三角形，AB＝AD，∠BAD＝90°，M，N，G分別是BD，BC，AB的中點(diǎn)，將△BCD沿BD折疊到△BC′D的位置，使得AD⊥C′B.(1)求證：平面GNM∥平面ADC′；(2)求證：C′A⊥平面ABD.證明(1)因?yàn)镸，N分別是BD，BC′的中點(diǎn)，所以MN∥DC′.因?yàn)镸N?平面ADC′，DC′?平面ADC′，所以MN∥平面ADC′.同理NG∥平面ADC′.又因?yàn)镸N∩NG＝N，所以平面GNM∥平面ADC′.(2)因?yàn)椤螧AD＝90°，所以AD⊥AB.又因?yàn)锳D⊥C′B，且AB∩C′B＝B，所以AD⊥平面C′AB.因?yàn)镃′A?平面C′AB，所以AD⊥C′A.因?yàn)椤鰾CD是等邊三角形，AB＝AD，不妨設(shè)AB＝1，則BC＝CD＝BD＝eq\r(2)，可得C′A＝1.由勾股定理的逆定理，可得AB⊥C′A.因?yàn)锳B∩AD＝A，所以C′A⊥平面ABD.B組能力提高9．如圖，把邊長為2的正六邊形ABCDEF沿對(duì)角線BE折起，使AC＝eq\r(6)，則五面體ABCDEF的體積為________．答案4解析作AO⊥BE，F(xiàn)O′⊥BE，連結(jié)OC，O′D.由BE⊥OA，BE⊥OC知，BE⊥平面AOC，同理BE⊥平面FO′D，∴平面AOC∥平面FO′D，故AOC－FO′D是側(cè)棱長(高)為2的直三棱柱，且三棱錐B－AOC和E－FO′D為大小相同的三棱錐，由題意得OA＝OC＝eq\r(3)，又∵AC＝eq\r(6)，∴△OAC與△O′FD為直角三角形，∴VABCDEF＝2VB－AOC＋VAOC－FO′D＝2×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(eq\r(3))2×1＋eq\f(1,2)×(eq\r(3))2×2＝4.10．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，DC＝PD＝2，E是棱PB上一點(diǎn)，且PE＝2EB，則三棱錐P－DEC的體積為________．答案eq\f(4,9)解析如圖，連結(jié)BD，取DC的中點(diǎn)F，連結(jié)BF.由題意可得AB⊥AD，AB＝AD＝1，則BD＝eq\r(2).則四邊形ABFD是邊長為1的正方形．在△BCF中，BF⊥FC，BF＝FC＝1，則BC＝eq\r(2)，又CD＝2，則BD2＋BC2＝CD2，BC⊥BD.又PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC，又BD∩PD＝D，則BC⊥平面PBD，所以BC⊥PB，即BC⊥DE.又PB＝eq\r(PD2＋BD2)＝eq\r(6)，E是棱PB上一點(diǎn)，且PE＝2EB，則PE＝eq\f(2,3)PB＝eq\f(2\r(6),3)，△PEC的面積為S△PEC＝eq\f(1,2)PE·BC＝eq\f(1,2)×eq\f(2\r(6),3)×eq\r(2)＝eq\f(2\r(3),3).在△EBD和△DBP中，eq\f(EB,BD)＝eq\f(\f(\r(6),3),\r(2))＝eq\f(\r(3),3)，eq\f(BD,PB)＝eq\f(\r(2),\r(6))＝eq\f(\r(3),3)，則eq\f(EB,BD)＝eq\f(BD,PB)，又∠EBD＝∠DBP，則△EBD∽△DBP，所以∠DEB＝∠PDB＝90°，即DE⊥PB.又PB∩BC＝B，則DE⊥平面PBC，且DE＝eq\r(BD2－BE2)＝eq\r(2－\f(2,3))＝eq\f(2\r(3),3)，則三棱錐P－DEC的體積VP－DEC＝VD－PEC＝eq\f(1,3)S△PEC·DE＝eq\f(1,3)×eq\f(2\r(3),3)×eq\f(2\r(3),3)＝eq\f(4,9).11．(2017·江蘇南京、鹽城一模)將矩形ABCD繞邊AB旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓柱，AB＝3，BC＝2，圓柱上底面圓心為O，△EFG為下底面圓的一個(gè)內(nèi)接直角三角形，則三棱錐O－EFG體積的最大值是________．答案4解析三棱錐的體積公式VO－EFG＝eq\f(1,3)·S△EFG·h.由題意可得h＝AB＝3，當(dāng)?shù)酌嫒切螢榈妊苯侨切螘r(shí)，S△EFG最大，三角形的斜邊長為4，故有S△EFG＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,\r(2))))2＝4，∴VO－EFG＝eq\f(1,3)·S△EFG·h＝eq\f(1,3)·4·3＝4.12．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝eq\r(2)，將△ABD沿矩形的對(duì)角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中，下列說法正確的是________．(填序號(hào))①存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線BD垂直；②存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線CD垂直；③存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直；④對(duì)任意位置，三對(duì)直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直．答案②解析找出圖形在翻折過程中變化的量與不變的量．對(duì)于①，過點(diǎn)A作AE⊥BD，垂足為E，過點(diǎn)C作CF⊥BD，垂足為F，在圖(1)中，由邊AB，BC不相等可知點(diǎn)E，F(xiàn)不重合．在圖(2)中，連結(jié)CE，若直線AC與直線BD垂直，∵AC∩AE＝A，∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥CE，與點(diǎn)E，F(xiàn)不重合相矛盾，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，若AB⊥CD，∵AB⊥AD，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ADC，∴AB⊥AC，由AB<BC可知存在這樣的等腰直角三角形，使得直線AB與直線CD垂直，故②正確；對(duì)于③，若AD⊥BC，∵DC⊥BC，AD∩DC＝D，∴BC⊥平面ADC，∴BC⊥AC.已知BC＝eq\r(2)，AB＝1，BC>AB，∴不存在這樣的直角三角形，∴③錯(cuò)誤．由上可知④錯(cuò)誤，故正確的說法只有②.13．降水量是指水平地面上單位面積降雨的深度，用上口直徑為38cm，底面直徑為24cm，深度為35cm的圓臺(tái)形水桶(軸截面如圖所示)來測(cè)量降水量，如果在一次降雨過程中，此桶盛得的雨水正好是桶深的eq\f(1,7)，則本次降雨的降水量是________mm.(精確到1mm)答案22解析桶內(nèi)水的深度為eq\f(1,7)×35＝5(cm)，設(shè)水面半徑為xcm，則有eq\f(x－12,19－12)＝eq\f(5,35)，解得x＝13.V水＝eq\f(1,3)π·5(122＋12×13＋132)＝eq\f(2345,3)π.設(shè)單位面積雨水的深度為h，則V水＝π·192·h，∴π·192·h＝eq\f(2345,3)π，∴h≈2.2cm＝22mm.14．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，點(diǎn)D為側(cè)棱BB1上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)AD＋DC1最小時(shí)，三棱錐D－ABC1的體積為________．答案eq\f(1,3)解析將側(cè)面展開如圖所示，所以由平面幾何性質(zhì)可得：AD＋DC1≥AC1，當(dāng)且僅當(dāng)A，D，C1三點(diǎn)共線取到等號(hào)．此時(shí)BD＝1，所以S△ABD＝eq\f(1,2)×AB×BD＝eq\f(1,2).在直三棱柱ABC－A1B1C1中有BB1⊥CB，又AB⊥CB，易得CB⊥平面ABD，所以C1B1⊥平面ABD，即C1B1是三棱錐C1－ABD的高，所以＝＝eq\f(1,3)×C