大學(xué)物理課件：剛體力學(xué)

剛體

3.1定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)3.2轉(zhuǎn)動(dòng)定理3.3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功與能3.4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律1、剛體的概念剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的連線在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持平行，剛體的這種運(yùn)動(dòng)稱為平動(dòng)。1.剛體的平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)在力作用下，大小和形狀都保持不變的物體稱為剛體。即物體內(nèi)任意兩點(diǎn)之間的距離不因外力而改變。3.1定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)當(dāng)剛體內(nèi)所有點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)稱為轉(zhuǎn)動(dòng)。若轉(zhuǎn)軸的位置和方向是固定不動(dòng)的，此時(shí)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)稱為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

描述剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量角速度角加速度

按照勻變速直線直線運(yùn)動(dòng)公式得勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)相應(yīng)公式

(運(yùn)動(dòng)學(xué)方程)離轉(zhuǎn)軸距離為的質(zhì)元線速度和剛體角速度關(guān)系加速度與剛體的角加速度和角速度關(guān)系質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)或剛體平動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)速度角速度加速度角加速度位移角位移vvrrxx11tt22xx(())ttxx(())rr11tt22(())tt(())qqqqqqwwddddttwwddddttqqaabbddddttvvddddtt勻速直線運(yùn)動(dòng)ssssvvtt勻角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)qqwwtt勻變速直線運(yùn)動(dòng)勻變角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)ss002211++vvtt22aattqqww00++tt2211bb22tt22vvvv002222aassww22ww002222bbqqvvvv00++aattwwww00++bbtt例3-1

一條繩索繞過一個(gè)定滑輪拉動(dòng)升降機(jī)，如圖3-1(a)所示?；喌陌霃綖閞=0.5m，如果升降機(jī)從靜止開始以加速度a=0.4m·s-2勻加速上升，求：（1）滑輪的角加速度；（2）開始上升后t=5s末滑輪的角速度；（3）在這5s內(nèi)滑輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)；（4）開始上升后t’=1s末滑輪邊緣上一點(diǎn)的加速度（假定繩索和滑輪之間不打滑且繩索不伸長(zhǎng)）。（a）（b）解：為了圖示清晰，將滑輪放大為如圖3-1（b）所示。（1）由于升降機(jī)的加速度和滑輪邊緣上的一點(diǎn)的切向加速度相等，所以滑輪的角加速度為(rad·s-2)（2）由于所以5s末滑輪的角速度為(rad·s-1)（3）在這5s內(nèi)滑輪轉(zhuǎn)過的角度為(rad)所以在這5s內(nèi)滑輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為(圈)（4）結(jié)合題意，由圖3-1（b）可以看出由此可得滑輪邊緣上一點(diǎn)在升降機(jī)開始上升后t’=1s時(shí)的加速度為這個(gè)加速度的方向與滑輪邊緣的切線方向的夾角為解:(1)將轉(zhuǎn)速化為弧度

例

一飛輪半徑為0.2m，轉(zhuǎn)速為，因受到制動(dòng)而均勻減速，經(jīng)30停止運(yùn)動(dòng)。求(1)角加速度和此時(shí)間內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)圈數(shù)；(2)制動(dòng)開始后飛輪的角速度；(3)時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度、切向加速度和法向加速度。飛輪勻減速運(yùn)動(dòng)負(fù)號(hào)表示方向相反飛輪在30s內(nèi)轉(zhuǎn)過角度為飛輪總共轉(zhuǎn)過角度為(2)(3)課后習(xí)題3-1一、力矩力的作用線通過轉(zhuǎn)軸或是平行于轉(zhuǎn)軸，無法使物體轉(zhuǎn)動(dòng)。力的大小、方向和力的作用點(diǎn)相對(duì)于轉(zhuǎn)軸位置，是決定轉(zhuǎn)動(dòng)效果的幾個(gè)重要因素。3.2轉(zhuǎn)動(dòng)定理力的大小與力臂乘積為力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩。用表示在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)只考慮垂直與轉(zhuǎn)軸的作用力1.定義：力矩有大小和方向是矢量(運(yùn)動(dòng)學(xué)方程)力矩矢量可用矢徑和力的矢積表示。即由右手螺旋法則確定。

方向垂至于和所構(gòu)成平面。2.力矩的矢量表示二、轉(zhuǎn)動(dòng)定理從牛頓第二定律出發(fā)推導(dǎo)剛體角加速度和外力矩之間關(guān)系遍及剛體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)1.推導(dǎo)：由于內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)，故剛體內(nèi)所有力矩綜合為零

為剛體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)所受到外力對(duì)轉(zhuǎn)軸力矩之和，即合外力矩，用M表示。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量——表示剛體相對(duì)于確定轉(zhuǎn)軸的特征的物理量——繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，其角加速度與它所受合外力矩成正比，與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比。這一結(jié)論就是剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理。剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的分布決定2.說明：三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與其到轉(zhuǎn)軸距離平方的乘積之和。質(zhì)量連續(xù)分布質(zhì)量不連續(xù)分布例3-2有一質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l

的均勻細(xì)桿，求：（1）以桿的中垂線為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；（2）過桿的端點(diǎn)與桿垂直的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解（1）建立如圖所示坐標(biāo)系在x處取質(zhì)元dx，其質(zhì)量為由于軸通過桿中心該質(zhì)量元繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為建立如圖所示坐標(biāo)系在x處取質(zhì)元dx，其質(zhì)量為該質(zhì)量元繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為(2)轉(zhuǎn)軸通過桿的一端并與桿垂直。結(jié)果表明同一剛體對(duì)不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同。對(duì)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理

剛體繞任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

剛體繞通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

兩軸間垂直距離dC

細(xì)棒(轉(zhuǎn)動(dòng)軸通過中心與棒垂直)

圓柱體(轉(zhuǎn)動(dòng)軸沿幾何體)

薄圓環(huán)(轉(zhuǎn)動(dòng)軸沿幾何體)

球體(轉(zhuǎn)動(dòng)軸沿球的任一直徑)細(xì)棒(轉(zhuǎn)動(dòng)軸通過棒的一端與與棒垂直)

圓筒(轉(zhuǎn)動(dòng)軸沿幾何軸)解：引入質(zhì)量面密度，單位面積質(zhì)量為整個(gè)圓盤對(duì)該軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為薄圓盤可以看成是許多同心圓盤的集合，在圓盤上任取一半徑為，寬度為的窄圓環(huán)，圓環(huán)的面積為，圓環(huán)質(zhì)量.此窄圓環(huán)上各點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸距離都為，該圓環(huán)對(duì)通過盤心垂直與圓盤的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為例3-3

如圖所示，一質(zhì)量為m半徑為R的均質(zhì)圓盤，求：①通過圓心且垂直于盤面的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J0②通過圓盤邊緣(A點(diǎn))且垂直于盤面軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JA。（1）②求JA，只需要應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理確定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的三個(gè)要素:(1)與剛體總質(zhì)量有關(guān)。總質(zhì)量越大，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大。(2)與質(zhì)量分布有關(guān)。剛體上質(zhì)量分布離軸越遠(yuǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大。(3)與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。四、轉(zhuǎn)動(dòng)定理應(yīng)用舉例解：將三個(gè)物體隔離出來受力分析其中和大小不能假定相等，但對(duì)平動(dòng)物體應(yīng)用牛頓第二定律例3-4如圖所示，一不能伸長(zhǎng)的輕繩跨過一軸承光滑的定滑輪，滑輪視為圓盤，繩的兩端分別懸有質(zhì)量為m1和m2的物體，且m1<m2,設(shè)滑輪的質(zhì)量為M，半徑為R，繩與輪之間無相對(duì)滑動(dòng)，求物體的加速度和繩中張力。

對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)滑輪，由于轉(zhuǎn)軸通過輪中心，所以僅有張力和對(duì)它有力矩作用。由轉(zhuǎn)動(dòng)定律其中滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Olm

Cx解重力對(duì)整個(gè)棒的合力矩等于重力全部集中于質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩對(duì)于細(xì)直棒質(zhì)心位于處合力矩：由轉(zhuǎn)動(dòng)定律：例3-5

一根長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m的均勻細(xì)直桿，可繞通過其一端且與桿垂直的光滑水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖將桿由水平位置靜止釋放，求它下擺角為θ時(shí)的角加速度和角速度。課后習(xí)題3-23-33-43-15一、力矩做功對(duì)于有限角位移，外力做功用積分表示外力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所做的元功等于相應(yīng)的力矩和角位移的乘積力所做元功表示為O3.3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能二、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和重力勢(shì)能1.繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能剛體的總動(dòng)能正是剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體受到保守力作用，可引入勢(shì)能概念。重力場(chǎng)中剛體就具有一定重力勢(shì)能。根據(jù)質(zhì)心定義，該剛體質(zhì)心高度為重力勢(shì)能可以表示為2.

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的勢(shì)能三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理對(duì)于一有限過程合外力矩對(duì)剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。這就是剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理設(shè)作用于剛體的合外力矩為M，剛體轉(zhuǎn)過角位移dθ時(shí)，合外力矩的功為

由轉(zhuǎn)動(dòng)定律：例3-6

某一沖床利用飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能通過曲柄連桿機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)，帶動(dòng)沖頭在鐵板上穿孔。已知飛輪為均勻圓盤，其半徑為r=0.4m，質(zhì)量為m=600kg，飛輪的正常轉(zhuǎn)速是，沖一次孔轉(zhuǎn)速降低20%。求沖一次孔沖頭做的功。解：以和分別表示沖孔前后的飛輪的角速度由轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理又例3-7半徑R質(zhì)量M的圓盤滑輪可繞通過盤心的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，滑輪上繞有輕繩，繩的一端懸掛質(zhì)量為m的物體。當(dāng)物體從靜止下降距離h時(shí)，物體速度是多少？解：以滑輪、物體和地球組成系統(tǒng)為研究對(duì)象。由于只有保守力做功，故機(jī)械能守恒。初態(tài)：動(dòng)能為零，重力勢(shì)能為末態(tài)：動(dòng)能包括滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和物體平動(dòng)動(dòng)能設(shè)終態(tài)時(shí)重力勢(shì)能為零由機(jī)械能守恒課后習(xí)題3-63-17定義：力矩與力矩作用時(shí)間的乘積稱為沖量矩。1.沖量矩3.4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律

數(shù)學(xué)表達(dá)：

一、沖量矩角動(dòng)量

2.角動(dòng)量整個(gè)剛體的角動(dòng)量就是剛體上每一個(gè)質(zhì)元的角動(dòng)量——即每個(gè)質(zhì)元的動(dòng)量對(duì)轉(zhuǎn)軸之矩的和。2.1質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定義質(zhì)點(diǎn)相對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量定義為方向由右手螺旋法則得到：右手拇指伸直，其余四指由矢徑通過小于的角彎向，拇指所指方向就是的方向。質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量剛體對(duì)軸的角動(dòng)量為剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量等于其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度乘積。剛體繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2.2剛體的角動(dòng)量1.質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理及守恒定律質(zhì)點(diǎn)所受合外力矩等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率對(duì)時(shí)間求導(dǎo)矢積定義二、角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定理若質(zhì)點(diǎn)所受合外力矩為零，即如果質(zhì)點(diǎn)所受合外力矩為零，則質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量保持不變，這就是質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律。解：衛(wèi)星在運(yùn)動(dòng)過程中，所受力主要是萬有引力，其它力忽略不計(jì)，故衛(wèi)星在運(yùn)動(dòng)過程中對(duì)地心角動(dòng)量守恒。例：我國(guó)第一顆人造地球衛(wèi)星沿橢圓軌道繞地球運(yùn)動(dòng)，地心為該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)。已知地球半徑，衛(wèi)星的近地點(diǎn)到地面距離，衛(wèi)星的遠(yuǎn)地點(diǎn)到地面距離。若衛(wèi)星在近地點(diǎn)速率為，求它在遠(yuǎn)地點(diǎn)速率。在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)，所以2.剛體的角動(dòng)量定理及守恒定律剛體所受合外力矩與角加速度關(guān)系為利用角動(dòng)量表示剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，作用于剛體的合外力矩等于剛體繞此軸的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率。這是剛體角動(dòng)量定理的一種形式。當(dāng)合外力矩為零時(shí)如果物體所受合外力矩為零，或不受外力矩的作用，物體的角動(dòng)量保持不變，這就是角動(dòng)量守恒定律。注意(1)角動(dòng)量守恒定律不僅適用于剛體，對(duì)非剛體同樣適用(2)角動(dòng)量守恒定律對(duì)天體運(yùn)動(dòng)以及微觀粒子運(yùn)動(dòng)同樣適用例3-8

如圖，一均質(zhì)桿，長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為M?？衫@水平光滑轉(zhuǎn)軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。今有一質(zhì)量為m，速度為v0的子彈，沿水平方向距水平轉(zhuǎn)軸距離為a射入豎直、靜止的桿內(nèi)。桿能擺起的最大角度θmax=60°，求v0。解：把子彈與桿作系統(tǒng)。由于子彈入射桿的瞬間，系統(tǒng)合外力矩為零故角動(dòng)量守恒。設(shè)子彈射入后桿起擺的角速度為ω，則有：

子彈射入后一起擺動(dòng)的過程只有重力做功，故系統(tǒng)機(jī)械能守恒。

課后習(xí)題3-93-103-18一.剛體的概念剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的連線在在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持平行，剛體的這種運(yùn)動(dòng)稱為平動(dòng)。1.剛體的平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)在力作用下，大小和形狀都保持不變的物體稱為剛體。當(dāng)剛體內(nèi)所有點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)稱為轉(zhuǎn)動(dòng)。若轉(zhuǎn)軸的位置和方向是固定不動(dòng)的，此時(shí)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)稱為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。二.力矩力的大小與力臂乘積為力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩。用表示力矩矢量可用矢徑和力的矢積表示?！@定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，其角加速度與它所受合外力矩成正比，與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比。這一結(jié)論就是剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理。三.轉(zhuǎn)動(dòng)定理四