河北省衡水中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期第二次綜合素養(yǎng)評價數(shù)學(xué)試題

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁河北省衡水中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期第二次綜合素養(yǎng)評價數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．若函數(shù)，則（

）A．0 B． C． D．2．設(shè)曲線在點處的切線與直線垂直，則的值為（

）A． B． C． D．3．函數(shù)在上是（

）A．偶函數(shù)、增函數(shù) B．奇函數(shù)、減函數(shù)C．偶函數(shù)、減函數(shù) D．奇函數(shù)、增函數(shù)4．如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，下列結(jié)論正確的是（

）

A．在處取得極大值 B．是函數(shù)的極值點C．是函數(shù)的極小值點 D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減5．函數(shù)在區(qū)間的極大值、極小值分別為（

）A．， B．，C．， D．，6．已知直線與拋物線：（）交于，兩點，為坐標(biāo)原點，且，交于點，點的坐標(biāo)為，則拋物線的焦點坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．7．若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為（

）A．2 B． C．3 D．8．某種生命體M在生長一天后會分裂成2個生命體M和1個生命體N，1個生命體N生長一天后可以分裂成2個生命體N和1個生命體M，每個新生命體都可以持續(xù)生長并發(fā)生分裂.假設(shè)從某個生命體M的生長開始計算，記表示第n天生命體M的個數(shù)，表示第n天生命體N的個數(shù)，則，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列C． D．若為等比數(shù)列，則二、多選題9．設(shè)函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的可能取值是（

）A．5 B．4 C．3 D．210．已知數(shù)列，記的前項和為，下列說法正確的是（

）A． B．是一個等差數(shù)列C． D．11．已知為雙曲線的左、右焦點，為平面上一點，若，則（

）A．當(dāng)為雙曲線上一點時，的面積為4B．當(dāng)點坐標(biāo)為時，C．當(dāng)在雙曲線上，且點的橫坐標(biāo)為時，的離心率為D．當(dāng)點在第一象限且在雙曲線上時，若的周長為，則直線的斜率為12．設(shè)，且，則下列關(guān)系式可能成立的是（

）A． B． C． D．三、填空題13．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則．14．已知等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前8項和等于.15．拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，定理內(nèi)容是：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點c，使得成立，其中c叫做在上“拉格朗日中值點”，根據(jù)這個定理，判斷函數(shù)在區(qū)間上的“拉格朗日中值點”的個數(shù)為.16．已知函數(shù)，關(guān)于的不等式有且只有四個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是．四、解答題17．已知數(shù)列的前項和為.(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.18．已知函數(shù)在和處取得極值．(1)求的值.(2)若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍．19．已知函數(shù)，其中參數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)，存在實數(shù)，使得不等式成立，求a的取值范圍．20．已知橢圓的右焦點為，且過點.(1)求C的方程；(2)若過點的直線與交于兩點，為坐標(biāo)原點，求面積的最大值.21．已知函數(shù).(1)若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍；(2)設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，證明：.22．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；(2)討論在區(qū)間上的零點個數(shù)．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．A2．B3．B4．C5．D6．A7．B8．B9．CD10．BD11．ABD12．AC13．/14．7215．216．由，可得，令，解得，令，解得，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，故的最大值為，當(dāng)趨于時，趨于；當(dāng)趨于時，趨于，且，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)的圖象如圖，

①當(dāng)時，由不等式，得或，當(dāng)時，，有無數(shù)多個整數(shù)解；當(dāng)時，其解集為的子集，不含有整數(shù)解；所以不合題意；②當(dāng)時，由不等式，當(dāng)?shù)?，得，則解集為，整數(shù)解有無數(shù)多個，不合題意；③當(dāng)時，由不等式，得或，當(dāng)時，解集為，無整數(shù)解；當(dāng)時，因為不等式有且僅有四個整數(shù)解，又，，，，且，又因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以四個整數(shù)解只能為、、、，所以，即．所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.17．(1)(2)【解析】（1）解：且，有，當(dāng)時，有，兩式相減得，當(dāng)時，由，適合，所以.（2）由（1）知，，所以.18．(1)，.(2).【解析】（1）由，可得，由在和處取得極值，可得，，解得，.代入檢驗，可得，令，解得，.所以時，，函數(shù)單調(diào)遞增，時，，函數(shù)單調(diào)遞減，時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以是的極大值點，是的極小值點，符合題意.所以，.（2）由（1）可得，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.要使對任意，不等式恒成立，只需恒成立，即大于的最大值.令，顯然在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以.所以，解得或.所以c的取值范圍為.19．(1)答案見解析(2)【解析】（1），（1）當(dāng)時，，，的減區(qū)間是．（2）當(dāng)時，，的減區(qū)間是．（3）當(dāng)時，，，的增區(qū)間是，，的減區(qū)間是．綜上，當(dāng)時，減區(qū)間是；當(dāng)時，增區(qū)間是，減區(qū)間是.（2），，因為存在實數(shù)，使得不等式成立，，，，,，，單減，，，單增．．，，，．20．(1)(2)【解析】（1）橢圓的右焦點為，則橢圓的半焦距為，由于，則橢圓的方程變?yōu)椋?，將點的坐標(biāo)代入，，解得：或（舍去），得，所以橢圓的方程為.（2）依題意，直線l的斜率不為0，則設(shè)直線l的方程為，，，由消去x并整理得：，，，的面積，，設(shè)，，，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，時取得“=”，于是得，，所以面積的最大值為1.21．(1)(2)證明過程見解析.【解析】（1），該方程有兩個不等實根，由，所以直線與函數(shù)的圖象有兩個不同交點，由，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，因此，當(dāng)時，，當(dāng)，，如下圖所示：所以要想有兩個不同交點，只需，即的取值范圍為；（2）因為是函數(shù)的兩個極值點，所以，由（1）可知：，不妨設(shè)，要證明，只需證明，顯然，由（2）可知：當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以只需證明，而，所以證明即可，即證明函數(shù)在時恒成立，由，顯然當(dāng)時，，因此函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，有，所以當(dāng)時，恒成立，因此命題得以證明.【點睛】關(guān)鍵點睛：常變量分離構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性求解證明是解題的關(guān)鍵.22．(1)(2)答案見解析【解析】（1）當(dāng)時，，其定義域為，，所以，，函數(shù)在處的切點坐標(biāo)為，切線斜率為，因此，函數(shù)在處的切線方程為，即．（2）令，則．因為，則，則．當(dāng)時，則，故，從而在上單調(diào)遞減；而，故當(dāng)