等式性質(zhì)與不等式性質(zhì) 教案

2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)教案教學(xué)目標(biāo)1.通過具體情境，感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在大量的數(shù)量關(guān)系.2.了解不等式（組）的實(shí)際背景.3.了解不等式一些基本的性質(zhì).教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：用不等式（組）表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系，初步會(huì)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小.教學(xué)難點(diǎn)：用不等式或不等式組準(zhǔn)確地表示出不等關(guān)系，以及作差法的應(yīng)用.教學(xué)過程新課導(dǎo)入在日常生活中，我們經(jīng)?？吹较铝袠?biāo)志：師：你知道圖中的兩個(gè)標(biāo)志有何作用嗎？其含義分別是什么？你能用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示上述關(guān)系嗎？如何表示？生：限速行駛和限高行駛，，.新知積累探究一：從實(shí)際問題所蘊(yùn)含的不等關(guān)系中抽象出不等式你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關(guān)系嗎？（1）某路段限速40km/h；（2）某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不小于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%；（3）三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊；（4）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．答：對(duì)于（1），設(shè)在該路段行駛的汽車的速度為vkm/h，“限速40km/h”就是v的大小不能超過40，于是0＜v≤40.對(duì)于(2)某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.對(duì)于（3），設(shè)△ABC的三條邊為a，b，c，則a+b＞c，a-b＜c.對(duì)于（4），如圖，設(shè)C是線段AB外的任意一點(diǎn)，CD垂直于AB，垂足為D，E是線段AB上不同于D的任意一點(diǎn)，則CD＜CE.探究二：利用不等式研究問題某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷售，可以售出8萬(wàn)本，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，雜志的單價(jià)每提高0.1元，銷售就可能減少2000本．如何定價(jià)才能使提價(jià)后的銷售總收入不低于20萬(wàn)？答：設(shè)提價(jià)后每本雜志的定價(jià)為元，則銷售總收入為萬(wàn)元．于是不等關(guān)系“銷售總收入不低于20萬(wàn)元”可以用不等式表示為．①．師：求出不等式①的解集，就能知道滿足條件的雜志的定價(jià)范圍.如何解不等式①呢？與解方程要用等式的性質(zhì)一樣，解不等式要用不等式的性質(zhì).為此，我們需要先研究不等式的性質(zhì).實(shí)際上，在初中我們已經(jīng)通過具體實(shí)例歸納出了一些不等式的性質(zhì).那么這些性質(zhì)為什么是正確的？還有其他不等式的性質(zhì)嗎？回答這些問題要用到關(guān)于兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí).由于數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，所以可以利用數(shù)軸上點(diǎn)的位置關(guān)系來規(guī)定實(shí)數(shù)的大小關(guān)系：如圖，設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，它們?cè)跀?shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A，B.那么，當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊時(shí)，a＜b；當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊時(shí)，a＞b.探究三：比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小的方法如果是正數(shù)，那么；如果等于0，那么；如果是負(fù)數(shù)，那么，反過來也對(duì).這個(gè)基本事實(shí)可以表示為?；?；?.從上述基本事實(shí)可知，要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小.例題點(diǎn)撥例1比較和的大小.分析：通過考察這兩個(gè)多項(xiàng)式的差與0的大小關(guān)系，可以得出它們的大小關(guān)系.解：因?yàn)?，所?本題借助多項(xiàng)式減法運(yùn)算，得出了一個(gè)明顯大于0的數(shù)（式），這是解決不等式問題的常用方法——作差法.探究四：重要不等式的探究和證明如圖是在北京召開的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客．你能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎？將圖中的“風(fēng)車”抽象成下圖.在正方形ABCD中有4個(gè)全等的直角三角形.設(shè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)為a，b（a≠b），那么正方形的邊長(zhǎng)為.這樣，4個(gè)直角三角形的面積和為2ab，正方形的面積為.由于正方形ABCD的面積大于4個(gè)直角三角形的面積和，我們就得到了一個(gè)不等式.當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危磿r(shí)，正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有.于是就有.一般地，，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.事實(shí)上，利用完全平方差公式，得.因?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.因此，由兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.通過等式性質(zhì)可以發(fā)現(xiàn)，等式在運(yùn)算中的不變性.類比等式的基本性質(zhì)，你能猜想不等式的基本性質(zhì)，并加以證明嗎？探究五：不等式的性質(zhì)性質(zhì)1如果，那么；如果，那么.即.性質(zhì)2如果，，那么.即.性質(zhì)3如果，那么.性質(zhì)4如果，，那么；如果，，那么.性質(zhì)5如果，，那么.性質(zhì)6如果，，那么.性質(zhì)7如果，那么.例題點(diǎn)撥例2已知，，求證.分析：要證明，因?yàn)?，所以可以先證明.利用已知和性質(zhì)3，即可證明.證明：因?yàn)?，所以，，于是，?由，得.課堂練習(xí)1.已知，，那么a，b，，的大小關(guān)系是()A. B. C. D.答案：C解析：由，知，.又，，.2.若,,則下列不等關(guān)系中不一定成立的是()

A. B.

C. D.答案：A解析：對(duì)于A，若,，，，顯然，故A不一定成立；

對(duì)于B，由,，知，故B一定成立；

對(duì)于C，由，知，故C一定成立；

對(duì)于D，由，知，則，故D一定成立.3.如果，那么下列不等式成立的是()A. B.C. D.答案：B解析：對(duì)于選項(xiàng)A，由，兩邊同乘，得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，由，兩邊同乘，得，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由，兩邊同乘a，得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，由，兩邊同乘b，得，故D錯(cuò)誤.故選B.4已知且，則的取值范圍是______