2023屆山東省臨沂市高考模擬考試（一模）數(shù)學試題（解析版）

高考模擬試題PAGEPAGE12023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（模擬）數(shù)學注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標號．回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則下列集合為空集的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別求出集合，然后利用集合的運算逐項進行判斷即可求解.〖詳析〗集合，集合，所以，，對于，，故選項不滿足題意；對于，，故選項滿足題意；對于，，故選項不滿足題意；對于，，故選項不滿足題意，故選：.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點分別是，則的虛部是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗由復(fù)數(shù)對應(yīng)的點分別求出，代入化簡計算，進而可得的虛部．〖詳析〗復(fù)數(shù)對應(yīng)的點分別是，則，，其虛部為故選：D3.某工廠隨機抽取名工人,對他們某天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)進行統(tǒng)計,數(shù)據(jù)如下表,則該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是（）件數(shù)7891011人數(shù)37541A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)百分位數(shù)的求法求解即可.〖詳析〗抽取的工人總數(shù)為,,那么第百分位數(shù)是所有數(shù)據(jù)從小到大排序的第項與第項數(shù)據(jù)的平均數(shù),第項與第項數(shù)據(jù)分別為,所以第百分位數(shù)是,故選:C.4.已知向量滿足，且，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗向量在向量上的投影向量的定義計算即可.〖詳析〗解：因為向量，且，那么，所以向量在向量上的投影向量為，故選：C.5.“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.〖詳析〗因為或或，所以，，因此，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6.古希臘亞歷山大時期的數(shù)學家帕普斯在《數(shù)學匯編》第3卷中記載著一個確定重心的定理：“如果同一平面內(nèi)的一個閉合圖形的內(nèi)部與一條直線不相交，那么該閉合圖形圍繞這條直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積等于閉合圖形面積乘以該閉合圖形的重心旋轉(zhuǎn)所得周長的積”，即（表示平面圖形繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的體積，表示平面圖形的面積，表示重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長）．如圖，直角梯形，已知，則其重心到的距離為（）A. B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意，用式子分別表示出直角梯形繞旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積、梯形面積以及重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長，進而求解〖答案〗.〖詳析〗設(shè)，直角梯形繞旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為；梯形的面積，故記重心到的距離為，則重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長為，則，則，故選：C.7.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗構(gòu)造，由零點存在定理求得零點x的范圍，即可結(jié)合指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)比較的大小.〖詳析〗令，則在R上單調(diào)遞增，由，則時，即，而，∵，∴..綜上：.故選：B.8.已知雙曲線的左、右焦點分別為，過的直線與的左、右兩支分別交于點，且，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗由，設(shè)，利用雙曲線的定義得到，然后設(shè)，與雙曲線方程聯(lián)立，利用弦長公式求解.〖詳析〗解：因為，所以，由雙曲線的定義得，解得，則，設(shè)，，，聯(lián)立，消去x得，由韋達定理得：，由，得，解得，所以，，解得，則，故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知為定義在上的偶函數(shù)，則函數(shù)的〖解析〗式可以為（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗〖祥解〗利用奇函數(shù)和偶函數(shù)定義進行判斷.〖詳析〗因為是偶函數(shù)，所以，即，所以是奇函數(shù).對于A，定義域為，所以不滿足題意；對于B，定義域為，，符合題意；對于C，定義域為，，不符合題意；對于D，定義域為，，而，符合題意.故選：BD.10.已知圓，點，點在圓上，為坐標原點，則（）A.線段長的最大值為6 B.當直線與圓相切時，C.以線段為直徑的圓不可能過原點 D.的最大值為20〖答案〗ABD〖解析〗〖祥解〗由定點到圓上點的距離范圍可得A正確；根據(jù)切線長公式即可求得，根據(jù)直徑所對圓周角為直角可知，當在軸上時以線段為直徑的圓過原點；利用向量數(shù)量積的坐標表示即可得出結(jié)論.〖詳析〗根據(jù)題意可知的圓心，半徑，如下圖所示：易知，當且僅當三點共線（且點在中間）時，等號成立，即A正確；當直線與圓相切時，由勾股定理可得，所以B正確；若以線段為直徑的圓過原點，由直徑所對圓周角為直角可得，易知當在軸上時，滿足題意；所以以線段為直徑的圓可能過原點，即C錯誤；設(shè)點，易知，則所以，即的最大值為20，即D正確；故選：ABD11.拋物線有如下光學性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出．反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線，為坐標原點，一束平行于軸的光線從點射入，經(jīng)過上的點反射后，再經(jīng)過上另一點反射后，沿直線射出，經(jīng)過點，則（）AB.延長交直線于點，則，，三點共線C.D.若平分，則〖答案〗AB〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題設(shè)和拋物線和性質(zhì)得到點，，將點代入拋物線的方程得到，從而求出直線的方程，聯(lián)立直線和拋物線得到點的坐標，即可判斷選項A和C，又結(jié)合直線和直線得到點，即可判斷B選項，若平分，得到，轉(zhuǎn)化為直線斜率和直線的斜率的關(guān)系式即可求出.〖詳析〗由題意知，點，，如圖：將代入，得，所以，則直線的斜率，則直線的方程為，即，聯(lián)立，得，解得，，又時，，則所以，所以A選項正確；又，所以C選項錯誤；又知直線軸，且，則直線的方程為，又，所以直線的方程為，令，解得，即，在直線上，所以，，三點共線，所以B選項正確；設(shè)直線的傾斜角為（），斜率為，直線的傾斜角為，若平分，即，即，所以，則，且，解得，又，解得：，所以D選項錯誤；故選：AB.12.已知正方體的棱長為4，點分別是的中點，則（）A.直線是異面直線 B.平面截正方體所得截面的面積為C.三棱錐的體積為 D.三棱錐的外接球的表面積為〖答案〗ACD〖解析〗〖祥解〗對于A，取的中點，連接，取的中點，連接，證明，即可判斷；對于B，延長交于點，連接交點，連接，說明平面截正方體所得截面為四邊形，從而可以判斷；對于C，連接，證明平面，再根據(jù)即可判斷；對于D，如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，設(shè)為的中點，為三棱錐的外接球的球心，利用空間中兩點的距離公式求出球心及半徑即可判斷.〖詳析〗對于A，如圖，取的中點，連接，取的中點，連接，則，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因，所以直線異面直線，故A正確；對于B，如圖，延長交于點，連接交點，連接，因為為的中點，則，所以為的中點，因為，所以為的中點，則，因為，所以為平行四邊形，所以，所以，則平面截正方體所得截面為等腰梯形，在等腰梯形中，，則梯形高為，所以等腰梯形的面積為，故B錯誤；對于C，連接，則，因為平面，平面，所以，又平面，所以平面，又因為為的中點，所以三棱錐的高為，，所以，故C正確；對于D，如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，設(shè)為的中點，則為的外心，則三棱錐的外接球的球心在過點且垂直平面的直線上，設(shè)為，則平面，因為平面，所以，設(shè)，則，，因為，所以，所以，故，由，得，解得，所以三棱錐的外接球的半徑，表面積為，故D正確.故選：ACD.〖『點石成金』〗關(guān)鍵『點石成金』：本題D選項的突破口是，建立空間直角坐標系，先由球心與截面圓心連線垂直于截面得到平面，從而求出，由此得解.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高時，發(fā)現(xiàn)株高（單位：）服從正態(tài)分布，若測量10000株水稻，株高在的約有_______．（若，）〖答案〗1359株〖解析〗〖祥解〗由正態(tài)分布及其對稱性求得，即可求得結(jié)果.〖詳析〗由題意，，由正態(tài)分布的對稱性可得故株高在的約有株.故〖答案〗為：1359株.14.的展開式中常數(shù)項為_______．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗求出的展開式的通項，再分別求出常數(shù)項和的系數(shù)即可求解.〖詳析〗展開式中通項為，令，則，令，則，所以常數(shù)項為．故〖答案〗為：.15.將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，如圖所示，圖中陰影部分的面積為，則___________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)三角函數(shù)圖象的對稱性，得到，求得，進而求得，得到，結(jié)合，即可求得的值.〖詳析〗如圖所示，根據(jù)三角函數(shù)圖象的對稱性，可得陰影部分的面積等于矩形和的面積之和，即，因為函數(shù)的圖像向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，所以，又因為圖中陰影部分的面積為，所以，解得，又由圖象可得，可得，所以，所以，所以，因為，可得，即，因為，所以.故〖答案〗為：16.已知是函數(shù)的一個零點，且，則的最小值為________．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗將代入，構(gòu)造直線方程，運用點到直線的距離求解.〖詳析〗因為是的一個零點，，將看作直線上一個點的坐標，則原題就變?yōu)椋呵螽敃r，點到原點的距離的平方的最小值，原點到直線的距離為，，令，，當時，,是增函數(shù)，在時，；故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在中，角所對的邊分別為，已知．（1）求；（2）若，求面積的取值范圍．〖答案〗（1）；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦化簡作答.（2）由（1）的結(jié)論，利用余弦定理結(jié)合均值不等式求出三角形面積范圍作答.〖小問1詳析〗在中，由已知及正弦定理得：，即有，即，而，，則，所以．〖小問2詳析〗在中，由余弦定理得：，因此，即，當且僅當時取等號，又，所以面積的取值范圍是．18.為慶祝神舟十四號載人飛船返回艙成功著陸，某學校開展了航天知識競賽活動，已知所有學生的成績均位于區(qū)間，從中隨機抽取1000名學生的競賽成績作為樣本，繪制如圖所示的頻率分布直方圖．（1）若此次活動中獲獎的學生占參賽總?cè)藬?shù)，試估計獲獎分數(shù)線；（2）采用比例分配分層隨機抽樣的方法，從成績不低于80的學生中隨機抽取7人，再從這7人中隨機抽取2人，記成績在的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．〖答案〗（1）82（2）分布列見〖解析〗，〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)頻率分布直方圖先判斷出獲獎的分數(shù)線所在的區(qū)間，設(shè)為，則成績在的概率為0.3，列出方程即可得解；（2）先寫出隨機變量的所有可能取值，求出對應(yīng)概率，從而可得分布列，再根據(jù)期望的計算公式計算期望即可.〖小問1詳析〗根據(jù)直方圖可知，成績在的頻率為，大于0.3，成績的頻率為0.1，小于0.2，因此獲獎的分數(shù)線應(yīng)該介于之間，設(shè)分數(shù)線為，使得成績在的概率為0.3，即，可得，所以獲獎分數(shù)線劃定為82；〖小問2詳析〗成績在的人數(shù)有人，成績在的人數(shù)為人，則的可能取值為0，1，2，，，，的分布列為012∴數(shù)學期望．19.已知數(shù)列為等比數(shù)列，是與的等差中項，為的前項和．（1）求的通項公式及；（2）集合A為正整數(shù)集的某一子集，對于正整數(shù)，若存在正整數(shù)，使得，則，否則．記數(shù)列滿足，求的前20項和．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由等比數(shù)列通項公式結(jié)合等差中項性質(zhì)求基本量，即可由公式法寫出通項公式及；（2）解對數(shù)方程得，即可求得A，即可對數(shù)列分組求和.〖小問1詳析〗設(shè)的公比為是與的等差中項，，，∴，．〖小問2詳析〗由題意知，，又，，即，故．又，．20.如圖，三棱錐，平面平面，點為的中點．（1）若，求直線與平面所成角的正弦值；（2）若，求的長．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗由面面垂直證平面，以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．（1）由向量法求線面角得正弦值；（2）由向量法表示垂直，解得，由余弦定理求BC.〖小問1詳析〗取得中點，由于，因此，又∵平面平面，平面，平面．以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．，則．當時，，取平面的一個法向量為，，設(shè)直線與平面所成的角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為．〖小問2詳析〗由題意知．又，．即，在中，，．21.已知動點與點的距離和它到直線的距離之比是，點的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）若點在上，且與交于點，點在橢圓上，證明：的面積為定值．〖答案〗（1）（2）證明見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗(1)由題意，應(yīng)用兩點間距離公式化簡即可；(2)先設(shè)點的坐標再應(yīng)用點在橢圓上求出兩直線方程，利用兩點間的距離公式、點到直線的距離公式以及三角形面積公式求面積，化簡即可證得結(jié)論.〖小問1詳析〗由題意知，化簡整理得曲線的軌跡方程為．〖小問2詳析〗設(shè)，由題意知．由，可知分別為的中點，所以，．由

得，．同理，所以都在直線上．由

得，又因為直線過坐標原點，所以，又點到直線的距離，所以，．又，故．所以的面積為定值．22.已知函數(shù)．（1）若恒成立，求實數(shù)的最小值；（2）證明：有且只有兩條直線與函數(shù)的圖象都相切．〖答案〗（1）（2）證明見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）分類討論、時恒成立問題，其中時，構(gòu)建，將原命題轉(zhuǎn)為恒成立問題，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)法研究單調(diào)性，將命題轉(zhuǎn)為恒成立，最后分離參數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)法求最值即可.（2）設(shè)出切點，由導(dǎo)數(shù)法針對不同切點求公切線方程，即可利用切線方程為同一條直線列方程組，最后結(jié)合零點存在定理討論方程組解的個數(shù).〖小問1詳析〗顯然，恒成立，即恒成立，即恒成立，即恒成立，即恒成立．當時，上式顯然成立，故只需滿足時恒成立即可．設(shè)，則上式化為.而，可得在，，單調(diào)遞減，在，，單調(diào)遞增．因此（*）式恒成立，只需恒成立，即對恒成立，于是恒成立，即．設(shè)，則，可得在，，單調(diào)遞增，在，，單調(diào)遞減，則，于是，∴實數(shù)的最小值為．〖小問2詳析〗證明：設(shè)直線分別切的圖象于點，由可得，得的方程為，即．由可得，得的方程為，即．比較的方程，得，消去，得．令，則．當時，；當時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，．，在上有一個零點．由，得，在上有一個零點，在上有且只有兩個零點，故有且只有兩條直線與函數(shù)的圖象都相切．〖『點石成金』〗（1）恒成立問題，一般可用參數(shù)分離法，轉(zhuǎn)化為討論不含參的部分的最值；或者對參數(shù)分類討論，逐個擊破；（2）公切線條數(shù)問題，設(shè)出切點，由導(dǎo)數(shù)法針對不同切點求公切線方程，利用切線方程為同一條直線列方程組，最后結(jié)合零點存在定理討論方程組解的個數(shù).高考模擬試題PAGEPAGE12023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（模擬）數(shù)學注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標號．回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則下列集合為空集的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別求出集合，然后利用集合的運算逐項進行判斷即可求解.〖詳析〗集合，集合，所以，，對于，，故選項不滿足題意；對于，，故選項滿足題意；對于，，故選項不滿足題意；對于，，故選項不滿足題意，故選：.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點分別是，則的虛部是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗由復(fù)數(shù)對應(yīng)的點分別求出，代入化簡計算，進而可得的虛部．〖詳析〗復(fù)數(shù)對應(yīng)的點分別是，則，，其虛部為故選：D3.某工廠隨機抽取名工人,對他們某天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)進行統(tǒng)計,數(shù)據(jù)如下表,則該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是（）件數(shù)7891011人數(shù)37541A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)百分位數(shù)的求法求解即可.〖詳析〗抽取的工人總數(shù)為,,那么第百分位數(shù)是所有數(shù)據(jù)從小到大排序的第項與第項數(shù)據(jù)的平均數(shù),第項與第項數(shù)據(jù)分別為,所以第百分位數(shù)是,故選:C.4.已知向量滿足，且，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗向量在向量上的投影向量的定義計算即可.〖詳析〗解：因為向量，且，那么，所以向量在向量上的投影向量為，故選：C.5.“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.〖詳析〗因為或或，所以，，因此，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6.古希臘亞歷山大時期的數(shù)學家帕普斯在《數(shù)學匯編》第3卷中記載著一個確定重心的定理：“如果同一平面內(nèi)的一個閉合圖形的內(nèi)部與一條直線不相交，那么該閉合圖形圍繞這條直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積等于閉合圖形面積乘以該閉合圖形的重心旋轉(zhuǎn)所得周長的積”，即（表示平面圖形繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的體積，表示平面圖形的面積，表示重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長）．如圖，直角梯形，已知，則其重心到的距離為（）A. B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意，用式子分別表示出直角梯形繞旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積、梯形面積以及重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長，進而求解〖答案〗.〖詳析〗設(shè)，直角梯形繞旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為；梯形的面積，故記重心到的距離為，則重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長為，則，則，故選：C.7.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗構(gòu)造，由零點存在定理求得零點x的范圍，即可結(jié)合指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)比較的大小.〖詳析〗令，則在R上單調(diào)遞增，由，則時，即，而，∵，∴..綜上：.故選：B.8.已知雙曲線的左、右焦點分別為，過的直線與的左、右兩支分別交于點，且，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗由，設(shè)，利用雙曲線的定義得到，然后設(shè)，與雙曲線方程聯(lián)立，利用弦長公式求解.〖詳析〗解：因為，所以，由雙曲線的定義得，解得，則，設(shè)，，，聯(lián)立，消去x得，由韋達定理得：，由，得，解得，所以，，解得，則，故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知為定義在上的偶函數(shù)，則函數(shù)的〖解析〗式可以為（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗〖祥解〗利用奇函數(shù)和偶函數(shù)定義進行判斷.〖詳析〗因為是偶函數(shù)，所以，即，所以是奇函數(shù).對于A，定義域為，所以不滿足題意；對于B，定義域為，，符合題意；對于C，定義域為，，不符合題意；對于D，定義域為，，而，符合題意.故選：BD.10.已知圓，點，點在圓上，為坐標原點，則（）A.線段長的最大值為6 B.當直線與圓相切時，C.以線段為直徑的圓不可能過原點 D.的最大值為20〖答案〗ABD〖解析〗〖祥解〗由定點到圓上點的距離范圍可得A正確；根據(jù)切線長公式即可求得，根據(jù)直徑所對圓周角為直角可知，當在軸上時以線段為直徑的圓過原點；利用向量數(shù)量積的坐標表示即可得出結(jié)論.〖詳析〗根據(jù)題意可知的圓心，半徑，如下圖所示：易知，當且僅當三點共線（且點在中間）時，等號成立，即A正確；當直線與圓相切時，由勾股定理可得，所以B正確；若以線段為直徑的圓過原點，由直徑所對圓周角為直角可得，易知當在軸上時，滿足題意；所以以線段為直徑的圓可能過原點，即C錯誤；設(shè)點，易知，則所以，即的最大值為20，即D正確；故選：ABD11.拋物線有如下光學性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出．反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線，為坐標原點，一束平行于軸的光線從點射入，經(jīng)過上的點反射后，再經(jīng)過上另一點反射后，沿直線射出，經(jīng)過點，則（）AB.延長交直線于點，則，，三點共線C.D.若平分，則〖答案〗AB〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題設(shè)和拋物線和性質(zhì)得到點，，將點代入拋物線的方程得到，從而求出直線的方程，聯(lián)立直線和拋物線得到點的坐標，即可判斷選項A和C，又結(jié)合直線和直線得到點，即可判斷B選項，若平分，得到，轉(zhuǎn)化為直線斜率和直線的斜率的關(guān)系式即可求出.〖詳析〗由題意知，點，，如圖：將代入，得，所以，則直線的斜率，則直線的方程為，即，聯(lián)立，得，解得，，又時，，則所以，所以A選項正確；又，所以C選項錯誤；又知直線軸，且，則直線的方程為，又，所以直線的方程為，令，解得，即，在直線上，所以，，三點共線，所以B選項正確；設(shè)直線的傾斜角為（），斜率為，直線的傾斜角為，若平分，即，即，所以，則，且，解得，又，解得：，所以D選項錯誤；故選：AB.12.已知正方體的棱長為4，點分別是的中點，則（）A.直線是異面直線 B.平面截正方體所得截面的面積為C.三棱錐的體積為 D.三棱錐的外接球的表面積為〖答案〗ACD〖解析〗〖祥解〗對于A，取的中點，連接，取的中點，連接，證明，即可判斷；對于B，延長交于點，連接交點，連接，說明平面截正方體所得截面為四邊形，從而可以判斷；對于C，連接，證明平面，再根據(jù)即可判斷；對于D，如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，設(shè)為的中點，為三棱錐的外接球的球心，利用空間中兩點的距離公式求出球心及半徑即可判斷.〖詳析〗對于A，如圖，取的中點，連接，取的中點，連接，則，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因，所以直線異面直線，故A正確；對于B，如圖，延長交于點，連接交點，連接，因為為的中點，則，所以為的中點，因為，所以為的中點，則，因為，所以為平行四邊形，所以，所以，則平面截正方體所得截面為等腰梯形，在等腰梯形中，，則梯形高為，所以等腰梯形的面積為，故B錯誤；對于C，連接，則，因為平面，平面，所以，又平面，所以平面，又因為為的中點，所以三棱錐的高為，，所以，故C正確；對于D，如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，設(shè)為的中點，則為的外心，則三棱錐的外接球的球心在過點且垂直平面的直線上，設(shè)為，則平面，因為平面，所以，設(shè)，則，，因為，所以，所以，故，由，得，解得，所以三棱錐的外接球的半徑，表面積為，故D正確.故選：ACD.〖『點石成金』〗關(guān)鍵『點石成金』：本題D選項的突破口是，建立空間直角坐標系，先由球心與截面圓心連線垂直于截面得到平面，從而求出，由此得解.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高時，發(fā)現(xiàn)株高（單位：）服從正態(tài)分布，若測量10000株水稻，株高在的約有_______．（若，）〖答案〗1359株〖解析〗〖祥解〗由正態(tài)分布及其對稱性求得，即可求得結(jié)果.〖詳析〗由題意，，由正態(tài)分布的對稱性可得故株高在的約有株.故〖答案〗為：1359株.14.的展開式中常數(shù)項為_______．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗求出的展開式的通項，再分別求出常數(shù)項和的系數(shù)即可求解.〖詳析〗展開式中通項為，令，則，令，則，所以常數(shù)項為．故〖答案〗為：.15.將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，如圖所示，圖中陰影部分的面積為，則___________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)三角函數(shù)圖象的對稱性，得到，求得，進而求得，得到，結(jié)合，即可求得的值.〖詳析〗如圖所示，根據(jù)三角函數(shù)圖象的對稱性，可得陰影部分的面積等于矩形和的面積之和，即，因為函數(shù)的圖像向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，所以，又因為圖中陰影部分的面積為，所以，解得，又由圖象可得，可得，所以，所以，所以，因為，可得，即，因為，所以.故〖答案〗為：16.已知是函數(shù)的一個零點，且，則的最小值為________．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗將代入，構(gòu)造直線方程，運用點到直線的距離求解.〖詳析〗因為是的一個零點，，將看作直線上一個點的坐標，則原題就變?yōu)椋呵螽敃r，點到原點的距離的平方的最小值，原點到直線的距離為，，令，，當時，,是增函數(shù)，在時，；故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在中，角所對的邊分別為，已知．（1）求；（2）若，求面積的取值范圍．〖答案〗（1）；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦化簡作答.（2）由（1）的結(jié)論，利用余弦定理結(jié)合均值不等式求出三角形面積范圍作答.〖小問1詳析〗在中，由已知及正弦定理得：，即有，即，而，，則，所以．〖小問2詳析〗在中，由余弦定理得：，因此，即，當且僅當時取等號，又，所以面積的取值范圍是．18.為慶祝神舟十四號載人飛船返回艙成功著陸，某學校開展了航天知識競賽活動，已知所有學生的成績均位于區(qū)間，從中隨機抽取1000名學生的競賽成績作為樣本，繪制如圖所示的頻率分布直方圖．（1）若此次活動中獲獎的學生占參賽總?cè)藬?shù)，試估計獲獎分數(shù)線；（2）采用比例分配分層隨機抽樣的方法，從成績不低于80的學生中隨機抽取7人，再從這7人中隨機抽取2人，記成績在的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．〖答案〗（1）82（2）分布列見〖解析〗，〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)頻率分布直方圖先判斷出獲獎的分數(shù)線所在的區(qū)間，設(shè)為，則成績在的概率為0.3，列出方程即可得解；（2）先寫出隨機變量的所有可能取值，求出對應(yīng)概率，從而可得分布列，再根據(jù)期望的計算公式計算期望即可.〖小問1詳析〗根據(jù)直方圖可知，成績在的頻率為，大于0.3，成績的頻率為0.1，小于0.2，因此獲獎的分數(shù)線應(yīng)該介于之間，設(shè)分數(shù)線為，使得成績在的概率為0.3，即，可得，所以獲獎分數(shù)線劃定為82；〖小問2詳析〗成績在的人數(shù)有人，成績在的人數(shù)為人，則的可能取值為0，1，2，，，，的分布列為012∴數(shù)學期望．19.已知數(shù)列為等比數(shù)列，是與的等差中項，為的前項和．（1）求的通項公式及；（2）集合A為正整數(shù)集的某一子集，對于正整數(shù)，若存在正整數(shù)，使得，則，否則．記數(shù)列滿足，求的前20項和．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由等比數(shù)列通項公式結(jié)合等差中項性質(zhì)求基本量，即可由公式法寫出通項公式及；（2）解對數(shù)方程得，即可求得A，即可對數(shù)列分組求和.〖小問1詳析〗設(shè)的公比為是與的等差中項，，，∴