河南省南陽市2024-2025學年高二上學期期中適應性考試數學試題含答案

2024年秋季高二年級期中數學適應性考試卷注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．本試卷主要考試內容：北師大版選擇性必修第一冊第一、二章。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．直線的傾斜角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°2．已知直線，直線．若，則（）A．－3 B．－2 C．2 D．2或－33．已知橢圓的短軸長為4，則（）A．2 B．4 C．8 D．164．如圖，吊車梁的魚腹部分是拋物線的一部分，寬6m，高1m，根據圖中的坐標系．可得這條拋物線的準線方程為（）A． B． C． D．5．已知圓，過直線上一點向圓作切線，切點為，則的最小值為（）A． B．4 C．5 D．66．已知橢圓，則橢圓上的點到直線的距離的最大值為（）A． B． C． D．7．已知圓，直線，為圓上一動點．為直線上一動點，定點，則的最小值為（）A． B． C． D．8．已知為曲線上任意一點，，，則的最小值為（）A． B．5 C． D．7二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知雙曲線，下列選項正確的是（）A．雙曲線的漸近線方程為 B．雙曲線的實軸長為8C．雙曲線的焦距為 D．雙曲線的離心率為10．已知直線經過點，且在兩坐標軸上的截距的絕對值相等，則直線的方程可能是（）A． B． C． D．11．在平面直角坐標系中，的頂點，，且，記的頂點的軌跡為，則下列說法正確的是（）A．軌跡的方程為B．面積的最大值為3C．邊上的高的最大值為D．若為直角三角形，則直線被軌跡截得的弦長的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．雙曲線的虛軸長為______，以的左焦點為圓心，1為半徑的圓的標準方程為______。13．若點在圓的外部，則正實數的取值范圍是______。14．拋物線的焦點為，準線為，過焦點且斜率為的直線與交于點（在第一象限內），為上一動點，則周長的最小值為______。四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知圓經過，，三點．（1）求圓的標準方程；（2）判斷圓與圓的位置關系．16．（15分）已知雙曲線的一條漸近線方程為，且經過點．（1）求雙曲線的方程；（2）直線與雙曲線相交于，兩點，若線段的中點坐標為，求直線的方程．17．（15分）已知圓（為常數）．（1）當時，求直線被圓截得的弦長．（2）證明：圓經過兩個定點．（3）設圓經過的兩個定點為，，若，且，求圓的標準方程．18．（17分）已知不在軸下方的動點到點的距離比到軸的距離長，記動點的軌跡為．（1）求軌跡的方程．（2）已知直線與軌跡交于，兩點，以，為切點作兩條切線，切線分別為，．直線，相交于點．若．求．19．（17分）已知為坐標原點，動點到軸的距離為，且，其中，均為常數，動點的軌跡稱為曲線．（1）判斷曲線為何種圓錐曲線．（2）若曲線為雙曲線，試問，應滿足什么條件？（3）設曲線為曲線，斜率為（且）的直線過的右焦點，且與交于，兩個不同的點．（ⅰ）若，求；（ⅱ）若點關于軸的對稱點為，試證明直線過定點．南陽地區(qū)2024年秋季高二年級期中適應性考試卷數學參考答案1．C由，得傾斜角為120°．2．A因為，所以，解得或．當時，，，，重合；當時，，，符合題意．故．3．B由的短軸長為4，得，即，則，所以或，解得或．經檢驗，當時，橢圓的短軸長為4．4．B設這條拋物線的方程為，由圖可知點的坐標為，所以，得，故這條拋物線的準線方程為．5．B記圓心到直線的距離為，則．因為，所以當直線與垂直，即時，的值最小，故．6．D設橢圓上的點為，則點到直線的距離為，其中，故橢圓上的點到直線的距離的最大值為．7．C設關于的對稱點為，則解得即，所以，故的最小值為．8．D由，得，所以為雙曲線的右支，為該雙曲線的左焦點．設右焦點為，則，所以．所以，當且僅當點在線段上時，等號成立，所以的最小值為7．9．BD因為，，焦點在軸上，所以雙曲線的漸近線方程為，實軸長為8，故A錯誤，B正確；因為，所以雙曲線的焦距為，離心率為，故C錯誤，D正確．10．ABD當直線的截距為0時，直線的方程為，即．當直線的截距不為0時，設直線的方程為，則解得或當，時，直線的方程為；當時，直線的方程為．11．BD因為．所以．設，則，整理得，所以頂點的軌跡方程為，且，故A錯誤．當的坐標為時，，所以B正確．當與圓相切時，到的距離最大，如圖1，作于點，因為，所以，所以邊上的高的最大值為，故C錯誤．如圖2，當時，，此時直線被圓截得的弦長為；當時，由得不妨設，顯然當在處時，直線被圓截得的弦長更長，此時直線的方程為，圓心到直線的距離，所以弦長為．故D正確．12．；由，得，則，，，所以雙曲線的虛軸長為，左焦點的坐標為，則所求圓的標準方程為．13．由，得．14．過作直線的垂線，垂足為，則．因為直線的斜率為，所以為正三角形，所以，所以．記關于直線的對稱點為，則．當，，三點共線時，，所以周長的最小值為．15．解：（1）設圓的方程為，則解得故圓的方程為，標準方程為．（2）圓的圓心為，半徑為．圓的圓心為，半徑為4．設兩圓圓心之間的距離為，則．因為，所以圓與圓相交．16．解：（1）由題意可知解得故雙曲線的方程為．（2）設，則兩式相減得，整理可得．因為線段的中點坐標為，所以，所以直線的斜率，故直線的方程為，即．經檢驗，直線與雙曲線相交，所以直線的方程為，17．（1）解：當時，圓，此時，圓的圓心為，半徑．則圓心到直線的距離，所以直線被圓截得的弦長為．（2）證明：由，得，令，得，解得或所以圓經過兩個定點，且這兩個定點的坐標為．（3）解：（方法一）設的中點為，則點的坐標為．因為，所以，所以，解得，所以圓的標準方程為．（方法二）因為，所以，解得，所以圓的標準方程為．18．解：（1）由題意知動點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，所以軌跡的方程為．（2）設，，聯(lián)立方程組得，則，．易知直線的斜率存在，設直線的方程為，聯(lián)立方程組得．由，解得，所以切線的方程為．同理可得，直線的方程為，由解得即點．因為，，，且，所以，即，化簡得，因此或故．19．解：（1）設，由，得，當，時，，即，所以曲線為橢圓．（2