一次函數?？冀獯痤}

一次函數?？冀獯痤}

一.解答題(共15小題)

1.一次函數)“=依+6和*=-4)+a的圖象如圖所示，且A(0,4),C(-2,0).

(1)由圖象可知不等式依+bV0的解集是；

(2)若不等式區(qū)+b>-4x+a的解集是x>l,求點8的坐標.

2.如圖，四邊形O4BC是矩形，點A、C分別在x軸、y軸上，△OOE是△0C5繞點。順

時針旋轉90°得到的，點。在x軸上，直線5。交y軸于點尸，交OE于點H,點4的

坐標為(-2,4).

(1)求直線BD的表達式；

(2)求△。以7的面積；

(3)點M在x軸上，平面內是否存在點N,使以點。、F、M、N為頂點的四邊形是矩

形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

3.如圖，將矩形紙片04BC放在平面直角坐標系中，。為坐標原點.點A在y軸上，點C

在x軸上，。408的長是I6x+6O=O的兩個根，P是邊A8上的一點，將△OAP沿

0P折疊，使點A落在08上的點Q處.

(1)求點B的坐標：

(2)求直線。。的解析式；

(3)點M在直線0尸上，點N在直線尸。上，是否存在點M,N,使以4,C.M,N為

頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

4.如圖，在平面直角坐標系中，已知A（0,4）,點B、C都在x軸上，BC=\2,AD//BC,

CD所在直線的函數表達式為）=?x+9,E是的中點，點P是8c邊上一個動點.

（1）當P8=時，以點P、A、。、E為頂點的四邊形為平行四邊形；

（2）點P在4C邊上運動過程中，以點P、A、。、E為頂點的四邊形能否構成菱形？試

5.如圖，已知函數），="1的圖象與y軸交于點A,一次函數y=^+b的圖象經過點5（0,

-1）,與工軸以及y=x+l的圖象分別交于點GD,且點。的坐標為（1,〃）.

⑴則k=,b=,n=；

（2）求四邊形AOC。的面積；

（3）在x軸上是否存在點P,使得以點P,C,。為頂點的三角形是直角三角形，請求

出點P的坐標.

6.如圖，在平面直角坐標系中，直線八：），=-上+4分別與x軸，y軸交于點B,C.直線

h：y=-=-

3

（1）直接寫出點B,C的坐標：B,C.

（2）若Q是直線上上的點，且4。。。的面積為6,求直線8的函數表達式；

（3）在（2）的條件下，且當點。在第一象限時，設P是射線CD上的點，在平面內存

在點Q.使以O,C,P,。為頂點的四邊形是菱形，請直接求點。的坐標.

7.在平面直角坐標系中，直線I1：y巫x+4與1軸，＞,軸相交于人、B兩點，直線

3

：yf6x+6與工軸、y軸相交于C、。兩點，與直線/|交于點￡

（1）求七點的坐標；

（2）在直線CQ上是否存在一點P,使得△附。的面積等于△5QE面積的2倍.若存在,

求出P點的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）作點。關于直線C。的對稱點0：點M為宜線8上一動點，在y軸上是否存在

一點M使得△MNO是以M為直角頂點的等腰直角三角形.若存在，請直接寫出M點

8.如圖，四邊形0ABe是矩形，點A、C在坐標軸上，△。。上是由AOCB繞點0順時針

旋轉90°得到的，點。在x軸上，直線BO交），軸于點F,交0E于點H,線段BC、0C

的長是2和4；

（1）求直線8。的表達式；

（2）求△OF”的面積；

（3）點M在坐標軸上，平面內是否存在點N,使以點。、尸、M、N為頂點的四邊形是

9.在直角坐標系中，直線八：），=-%+4與4軸、y軸分別交于點4,點8.直線/2：y

=nix+m（;n>0）與x軸，y軸分別交于點。，點。，直線1\與11交于點E.

（1）若點E坐標為（2,〃）.

3

i）求加的值;

ii）點P在直線/2上，若SMEP=3SABDE,求點P的坐標；

（2）點尸是線段CE的中點，點G為y軸上一動點，是否存在點尸使aOFG為以尸。為

直角邊的等腰直角三角形.若存在，求出〃?的值，若不存在，請說明理由.

10.如圖，直線），=履+方經過點A（號，0），點8（0,25）,與直線了4%交于點。，點O

為直線AB上一動點，過D點作x軸的垂線交直線OC于點E.

（1）求直.線AB的表達式和點C的坐標;

（2）當DEN~OA時，求△CDE的面積；

3

（3）連接OD,當△OA。沿著OO折疊，使得點A的對應點A落在直線OC上，直接寫

出此時點D的坐標.

11.如圖，在平面直角坐標系xQy中，直線），=?x+4分別交工軸，），軸于點4,B,點。在

x軸的負半軸上，且0C=2QB,點P是線段上的動點（點P不與B,C重合），以

2

BP為斜邊在直線BC的右側作等腰RtABPD.

（1）求直線BC的函數表達式；

（2）如圖1,當S^BPD=—S^ABC時，求點P的坐標：

5

（3）如圖2,連接AP,點七是線段4P的中點，連接OE,0D試探究NODE的大小

是否為定值，若是，求出NODE的度數；若不是，請說明理由.

12.已知，在平面直角坐標系xQy中，直線1：y二~x+3交工軸于點4，B兩點，直線/2：

14

、=區(qū)+8交x軸于點C,。兩點，已知點C為（2,0）,。為（0,6）.

（1）求直線/2的解析式.

（2）設/1與/2交于點石，試判斷△4CE的形狀，并說明理由.

（3）點P,。在△ACE的邊上，且滿足△OPC與△OP。全等（點。異于點C）,直接寫

出點。的坐標.

13.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點4（4,2）在正比例函數），=〃比（機W0）的圖象

上，過點A的另一條直線分別交工軸，y軸的正半軸于點8,C.

（1）求機的值；

（2）若SAOBC=3S&OAB.

①求直線A8的解析式；

?

②動點P在線段0A和射線AC上運動時，是否存在點P,使得SAQpcU-SA0AC若存

在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由.

14.如圖，直線八：5=h+1與X軸交于點。，直線拉：y=-X+方與X軸交于點4,且經過

定點8（?1,5）,直線/1與/2交于點C（2,用）.

（1）填空：k=；b=；m=；

（2）在x軸上是否存在一點E,使aBCE的周長最短？若存在，請求出點E的坐標；若

不存在，請說明理由.

（3）若動點P在射線OC上從點。開始以每秒1個單位的速度運動，連接AP,設點P

的運動時間為，秒，是否存在I的值，使△ACP和△AOP的面積比為1：2?若存在，直

接寫出I的值；若不存在，請說明理由.

15.如圖1,在平面直角坐標系火力中，點0是坐標原點，直線AB：丁=履+旦與直線AC：

y=-2x+A交于點4,兩直線與x軸分別交于點B(?3,0)和C(2,0).

(1)求直線4B和AC的表達式.

(2)點P是)，軸上一點，當朋+PC最小時，求點尸的坐標.

(3)如圖2,點。為線段BC上一動點，將沿直線翻折得到△AOE,線段AE

交x軸于點F,若△。石戶為直用三角形，求點。坐標.

圖1

圖2備用圖

一次函數常考解答題

參考答案與試題解析

一.解答題（共15小題）

1.一次函數yi=Ax+b和*=-4x+a的圖象如圖所示，且A（0,4）,C（-2,0）.

（1）由圖象可知不等式米+6V0的解集是4?2；

（2）若不等式-4x+〃的解集是x>l,求點8的坐標.

【分析】（1）根據函數圖象和題意可以直接寫出不等式依+力>0的解集；

（2）①由題意可以求得&、b的值，然后將x=l代入川=區(qū)+6即可求得點8的坐標；

②根據點B也在函數中=-4x+a的圖象上，從而可以求得。的值.

【解答】解：（1）V4（0,4）,C（-2,0）在一次函數戶=日+人上，

??.不等式kx+b>0的解集是x>-2,

故答案為：x>~2；

（2）①???A（0,4）,C（-2,0）在一次函數），1=履+5上，

???尸，得產

I-2k+b=0Ib=4

??.一次函數y1=2r+4,

,:不等式kx+b>-4x+a的解集是x>L

???點8的橫坐標是x=l,

當x=l時，yi=2X1+4=6,

，點3的坐標為（1,6）.

【點評】本題考查一次函數與一元一次不等式、一次函數的圖象，解答本題的關鍵是明

確題意，找出所求問題需要的條件，利用數形結合的思想解答.

2.如圖，四邊形0A8C是矩形，點A、C分別在x軸、y軸上，△。力E是△OCB繞點。順

時針旋轉90°得到的，點。在x軸上，直線交y軸于點F,交OE于點H,點B的

坐標為（?2,4）.

（1）求直彼BD的表達式:

（2）求的面積;

（3）點M在x軸上，平面內是否存在點M使以點。、尸、M、N為頂點的四邊形是矩

形？若存在，請直接寫出點N的坐標：若不存在，請說明理由.

【分析】（1）根據矩形的性質和旋轉的性質可得點。坐標,再利用待定系數法求直線RD

的表達式即可;

1

y=yx

（2）先利用待定系數法求出直線0E的解析式，再聯立《，求出點〃坐標,

28

F7

再根據△OE"的面積=』^E?HG求解即可;

2

（3）先求出點尸坐標，以點D、F、M、N為頂點的四邊形是矩形，分情況討論：①當

尸。是矩形的對角線時，②當FD為矩形的邊時，分別求出點M的坐標，根據平移的性質

即可確定點N坐標.

【解答】解：（1）在矩形A8C。中，NOC4=90°，

???點5坐標為（-2,4）,

，OC=4,BC=2,

根據旋轉的性質可得，0D=0C=4,DE=BC=2,/ODE=NOCB=90°

???點。坐標為（4,0）,點E坐標為(4,2),

設直線8。的解析式為y=h+力（攵W0,匕人為常數）,

代入點8（-2,4）,點。（4,0）,

得卜2k+b=4,

4k+b=0

3

?,?直線BD的解析式為y=《x+|：

設直線OE的解析式為CnWO.相為常數）.

代入點E（4,2）,

得4m=2,

解得m=l,

2

直線OE的解析式為y=lx,

1

聯立《

28'

Tx4T

16

解得

8，

yy

??.點H坐標為（生，旦）

77

，”G=4-西=￡

77

?:DE=2,

:?4DEH的面積=9證?*/X2乂券=多

乙乙II

（3）存在點N,點N坐標為（4,1）或（空，-1）,理由如下:

393

當x=0時，丫=」_犬金=@,

y333

???點尸坐標為（0,旦），

3

以點。、F、M、N為頂點的四邊形是矩形，分情況討論:

①當尸。是矩形的對角線時，如圖所示：

點坐標為（4,—）；

3

②當尸。為矩形的邊時，如圖所示:

設OM=m,

在RgOMF中，根據勾股定理，得MF2=IR2+嗎~）2,

；DF2=42+（當），M尸=4+〃?，

在中，根據勾股定理，得M尸+。尸=。加2,

?**m2+（-|-）2+42+（y）2=（m+4）2,

解得加=西，

9

???點M坐標為（-兇，0）,

9

根據平移的性質，可得點N坐標為（9，-1）,

93

綜上所述，點N坐標為（4,1）或（歿，-1）.

393

【點評】本題考查了一次函數的綜合題，涉及待定系數法求解析式，旋轉的性質，矩形

的性質，三角形的面積，存在性問題等，本題綜合性較強，難度較大.

3.如圖，將矩形紙片Q4BC放在平面直角坐標系中，0為坐標原點.點A在y軸上，點C

在x軸上，0A,。8的長是16彳+60=0的兩個根，P是邊AB上的一點,將△OAP沿

0戶折疊，使點A落在08上的點Q處.

（1）求點8的坐標；

（2）求直線PQ的解析式；

（3）點M在直線0P上，點N在直線尸Q上，是否存在點M,N,使以4,C.M,N為

頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

【分析】（1）由f?16x+60=0得04=6,08=10,在中，^=7oB2-OA2

=8,故8（8,6）；

（2）過。作QG_LAB于G,交OC于”，根據將△OAP沿0P折疊，使點4落在0B

上的點。處，可得BQ=OB-0Q=4,設4P=QP=x,有f+42=（8-x）2,解得4P

=PQ=3,BP=8-x=5,知尸（3,6）,用面積法可得。6=9辿=衛(wèi)，用勾股定理

BP5

得PG=1PQ2_QG2=9,即可得。（2￡2&）,再用待定系數法即得直線PQ解析式

555

為），=--x+10：

3

（3）由尸（3,6）得直線0P解析式為y=2x,設M（機，2.），N（〃，-爭+10）,分

tn+n=0+8

三種情況：①若MMAC為龍角線，則MMAC的中點重合，A，②

2m飛n+10=6+0

m+0=n+8

若M4,NC為對角線，則M4,NC的中點重合，4，③若MCNA為

2m+6=—^-n+10+O

m+8=n+0

對角線，則MC,NA的中點重合，|4，分別解方程組可得答案.

2m+0=—^n+10+6

【解答】解：(1)由，-16x+60=0得x=6或x=10,

；?0A=6,08=10,

???四邊形OA8C是矩形，

：.ZOAB=90°,

在RIZXA08中，AB=7OB2-0A2=7102-62=8,

：.B(8,6)；

(2)過。作QG_L48于G,交0C于〃，如圖：

???將AOAP沿。尸折疊，使點A落在08上的點。處，

，NOQP=NQ4P=90°=/BQP,AP=QP,0Q=0A=6,

：.BQ=OB-0。=10-6=4,

設AP=QP=x,貝lj4P=A8-4P=8-x,

在RtZXBPQ中，PgBd=B?,

.,.^+42=(8-x)2,

解得x=3,

???AP=PQ=3,BP=S-x=5,

：.P(3,6),

YIS^BPQ=BP*QG=PQ*BQ,

?C「_PQ?BQ_3X4_12

??C/w—,1一，-1'?

BP55

,PG=JPQ2_QG2=括—導2="1,

VD0

:.AG=AP+PG=21,

5

?：/HGB=/ABC=/BCO=90°,

???四邊形G8C”是矩形，

：.GH=BC=OA=6,ZGHC=90°,

：.QH=GH-QG=6-衛(wèi)=四，

55

：.Q（空，歿）,

55

些）代入得:

5

r3k+b=6

<24,,18，

IVk+b=T

解得K3,

b=10

，直線尸。解析式為y=-g計10：

（3）存在點M,N,使以A,C.M,N為頂點的四邊形是平行四邊形，理由如下:

由（2）得P（3,6）,直線PQ解析式為丁=?￡+10,

???直線0P解析式為），=2%,

設M（w,2機），N（〃，?9〃+10）,

又A(0,6),C(8,0),

①若MMAC為對角線，則MMAC的中點重合,

m+n=0+8

**?4，

2m-^n+10=6+0

m=2

n=6

:?N(6,2)；

②若M4,NC為對角線，則M4,NC的中點重合,

m+0=n+8

4>

2m+6=—^-n+10+0

解得＜

74);

③若MC,NA為對角線，則MC,NA的中點重合，

m+8=n+0

??,4?

2m+0=—^-n+10+6

解得3

n-5

???N（組-B）；

55

綜上所述，N的坐標為（6,2）或（-」邑，=1）或（壁，-11）.

5555

【點評】本題考查一次函數的綜合應用，涉及待定系數法，一元二次方程，平行四邊形

等知識，解題的關鍵是分類討論思想和方程思想的應用.

4.如圖.在平面百角坐標系中,已知4（0.4）,點山。都在x軸卜，RC=U,AD//RC,

CD所在直線的函數表達式為）=-x+9,E是的中點，點尸是8C邊上一個動點.

（1）當PB=1或11時,以點P、A、。、E為頂點的四邊形為平行四邊形；

（2）點P在8c邊上運動過程中，以點P、A、D、七為頂點的四邊形能否構成菱形？試

【分析】（1）若以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形，則AD=PE,有兩種

情況：①當P在七的左邊，利用已知條件可以求出B尸的長度；②當尸在E的右邊，利

用已知條件也可求出8P的長度；

（2）以點P、A、D、E為頂點的四邊形能構成菱形.由（1）知，當B尸=11時，以點P、

A、。、E為頂點的四邊形是平行四邊形，根據已知條件分別計算一組鄰邊，證明它們相

等即可證明是菱形.

【解答】解：（1）???AO〃BC,點A坐標是（0,4）,CO所在直線的函數關系式為y=?

工+9,

點的縱坐標為4,y=4時，4=-x+9,x=5,

，力點的橫坐標為5,

：.D(5,4),

TCD所在直線的函數關系式為y=-x+9,,=0時，0=-x+9,x=9,

AC(9,0),

???OC=9,

作DALL8c交于N,如圖1所示，

則四邊形04力N為矩形.

：,CN=0C-ON=OC-AD=9-5=4,DN=4,

???△ONC為等腰直角三角形，

,CO=^42+42=4V2?

若以點P、A、。、E為頂點的四邊形為平行四邊形，則AO=PE=5,

有兩種情況：①當P在七的左邊，

YE是BC的中點，

:?BE=6,

：?PB=BE-PE=6-5=1；

②當尸在E的右邊，

PB=BE+PE=6+5=\1；

故當P8=l或11時，以點P、A、。、E為頂點的四邊形為平行四邊形，

故答案為：1或II；

(2)點P在5c邊上運動過程中，以點P、4、。、E為頂點的四邊形能構成菱形，理由

如下：

①當BP=1時，此時CN=DN=4,NE=6-4=2,

???力￡：=山川2+/=3+22=2仁50，

故不能構成菱形.

②當3P=11時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形,

：.EP=AD=5,

**?￡)7)=VDN2+NP2=V42+32=5,

：.EP=DP=AD=5,

故此時平行四邊形PDA月是菱形.

即以點P、A、。、E為頂點的四邊形能構成菱形.

【點評】本題是一次函數綜合題，考查了等腰直角三角形的判定與性質、勾股定理、平

行四邊形的判定、矩形的判定、菱形的判定等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思

想思考問題，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考壓軸題.

5.如圖，已知函數)，=x+l的圖象與y軸交于點A,一次函數y=Ax+b的圖象經過點8(0,

-1),與x軸以及y=x+l的圖象分別交于點C,D,且點。的坐標為(1,〃).

(1)則■=3,b=-1,n=2；

(2)求四邊形AOCD的面積；

(3)在x軸上是否存在點P,使得以點P,C,。為頂點的三角形是直角三角形，請求

出點尸的坐標.

【分析】(1)由條件求得C、。的坐標即可求得答案；

(2)由A、B、C、D的坐標可求得△48。和△OBC的面積，利用S^AOCD=SAABD

-可求得答案；

(3)可設P(x,0),表示出PC.PD和CD的長，分NPDC=90°和ND尸。=90°兩

種情況，利用勾股定理可得到關于％的方程，可求得P點坐標.

【解答】解：(1)丁點。在直線y=x+l上，

.*.?=1+1=2,

：.D(I,2),

???一次函數y="+6的圖象經過點B(0,-1)和點0(1,2),

*=-1,

lk+b=2

解得(k=3,

Ib=_l

故答案為：2；3；-1；

(2)在y=x+l中，令x=0可得y=l,

?"(0,1)

由(1)可知一次函數解析式為y=3x?1,

令)，=0,可求得x=2，

3

:.c(A,o),

3

VB(0,-1),D(1,2),

：.AB=2,OC=A,08=1,

3

，S四邊形AOCD=SaA8￡>-SA6>SC=—X2X1-Ax1X■！=■§■；

2236

(3)如圖2所示，設尸(p,U),

:,pd=(p-A)2,

3

P￡>2=22+(p-1)2,

CD1=21+(1-A)2,

3

分兩種情況考慮：

①當尸'O_LDC時，P'd=P'Dr+CD1,

:.（p~-）2=22+（p?1）2+22+（1-A）2,

33

???p=7,

：.P'（7,0）；

②當。P_LCP時，由。橫坐標為1,得到P橫坐標為1,

???尸在x軸上，

???？的坐標為（1,0）,

綜上，尸的坐標為（1,0）或（7,0）.

【點評】本題為一次函數的綜合應用，涉及函數圖象與坐標軸的交點、函數圖象的交點、

三角形的面積、勾股定理、方程思想及分類討論思想等知識.在（1）中注意函數圖象與

坐標軸的交點的求法，在（2）中求得和△08C的面積是解題的關鍵，在（3）中

設出尸點坐標表示出尸。、尸。的長是解題的關鍵，注意分兩種情況.本題考查知識點較

多，綜合性較強，難度適中.

6.如圖，在平面直角坐標系中，直線A：丁=-*+4分別與式軸，y軸交于點8,C.直線

出y=%

（1）直接寫出點3,C的坐標：B（8,0）,C（0,4）.

（2）若。是直線/2上的點，且△COO的面積為6,求直線CO的函數表達式；

（3）在（2）的條件下，且當點。在第一象限時，設P是射線CD上的點，在平面內存

在點。.使以。，C,P,。為頂點的四邊形是菱形，請直接求點。的坐標.

【分析】（1）對于直線/i解析式，分別令X與y為。求出y與工的值，確定出C與8的

坐標，聯立兩直線解析式求出A的坐標即可；

（2）由三角形的面積公式可求點O坐標，由待定系數法可求解析式；

（3）分0C為邊和0C為對角線兩種情況討論，由菱形的性質和兩點距離公式可求解.

【解答】解：（1）??》=?*+4分另ij與x軸、y軸交于點氏C,

???點C坐標為（0,4）,點B坐標為（8,0）,

故答案為:（8,0）,（0,4）；

（2）設點。坐標為（x,工），

3

??,△COO的面積為6,

.\JLX4X|x|=6,

2

±3,

???點。（3,1）或（-3,-I）,

當點。的坐標是（3,1）時，

設直線8解析式為：〉=履+4,

???1=32+4,

：.k=-1,

???直線CD解析式為：y=-x+4；

當點。的坐標是（-3,-I）,

同理可得：CO的表達式為：尸與+4；

3

綜上，直線CD解析式為：y=-x+4或y=—x+4；

3

(3)若以OC為邊，設點P(a,-G+4)(a20),

如圖,

???0C=CP=4,PQ//OC,尸。=。。=4,

???4=Va2+（-a+4-4）2,

.*.a\=2^/2,a2=-2^2（不合題意,舍去），

工點P（2加，4-2揚，

，點。（2心-2揚；

當四邊形OCQ戶是菱形，

AOC=OP'=4,P'。=0。=4,P'QV/OC,

?.?直線CD解析式為：y=-x+4,

，直線。。與x軸交點坐標為（4,0）,

，點P坐標為（4,0）,

:?/COP'=90°,

???四邊形OCQ戶為正方形，

此時0'P'=OP'=OC=4,

，點。'（4,4）；

???CO與尸〃Q”互相垂直平分,

???點P"的縱坐標為2,

.,.點P"(2,2),

?,?點Q"坐標為(?2,2)；

綜上所述：點。的坐標為(?2,2)或(4,4)或(2近，-2A/2).

【點評】此題屬于一次函數綜合題，涉及的知識有：一次函數與坐標軸的交點，待定系

數法確定一次函數解析式，一次函數圖象的交點，一次函數圖象與性質，菱形的性質，

坐標與圖形性質，熟練掌握待定系數法，利用分類討論思想解決問題是本題的關鍵.

7.在平面直角坐標系中，直線I1：應x+4與“軸，)'軸相交于A、B兩點，直線

1：了=百x+6與“軸、y軸相交于,、。兩點，與直線/i交于點￡

乙

(1)求E點的坐標；

(2)在直線CO上是否存在一點尸，使得△必C的面積等于△灰無血枳的2倍.若存在，

求出P點的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)作點0關于直線CO的對稱點O',點M為直線CO上一動點，在y軸上是否存在

一點M使得△MNO,是以M為直角頂點的等腰直角三角形.若存在，請直接寫出M點

的坐標；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)由待定系數法即可求解；

(2)

因為S.E卷BD,|XEKX2X拜好SAPAC=2SABDE=2>/3>而

SAPAc4ACilypH即可求解；

(3)當點M在。'N的上方時,求出點0'(-3<§,3),證明△A/GO'0△N7M(A4S),

得到MT=G。'，即-m=“m+3,即可求解；當點M在。'N的下方時，同理可解.

v=------x+4

【解答】解：（1）聯立AB、CD解析式，'3

y=V3x+6

解得：（x=W5,

y=3

???點E的坐標為：（-3）；

（2）.?'直線I］：y-芯x+4與x軸，丁軸相交于A、8兩點,

3

AA（-4V3,0）,B（0,4）,

?直線】2：y=V§x+6與x軸、y軸相交于。、D兩點,

AC（-2V3,0）,D（0,6）,

S

,ABDEIxEI=yX2xV3=V3>

一^APAC=2S/^BDE二W^，

又'&PAC卷AC,|yp|，

；?yp=±2,

???P（專歷，2）或（?乎，?2）；

（3）當點M在O'N的上方時，

由直線CO的表達式知，tan/DCO=J§,

則NOCO=60°，NCOO=30°，

,：CD±Of。交CO于點R,則NRCO=30°,

由（2）知，CO=2“，OD=6,

設CR=ko=y,

2

由勾股定理得：0R=3,則00'=6,

過點M作M7\Ly軸于點。過點0'作O'”_Lx軸于點H,交7M于點G,

則0,H=1OO'=3,同理可得：H0=-3“，

2

即點。'(-3近，3),

設點M的坐標為：(〃i,

??'△O'MN為等腰直角三角形，則NO'MN=90°,MN=M0‘，

VZGMO'+NTMN=90°,ATMN+ZMNT=W,

AAGMO'=NTMN,

VZ.MGO'=NN7M=90°,MN=M0',

???△MG。'迫ANTM(A45),

???MT=G0'，

即-6=

解得：〃?=2z還

2

-3^+33+3V3_s

則點H（?-2-'-"-)'

2

當點M在O'N的下方時，

同理可得，點H（筲,*巨）；

綜上，從（W2弊，頭應）或H（第基3+3^3

乙乙乙2

【點評】本題是一次函數綜合題，考查了一次函數的性質，全等二角形的性質，等腰三

角形的性質等，利用分類討論思想解決問題是本題的關鍵.

8.如圖，四邊形0A8C是矩形，點A、C在坐標軸上，△ODE是由AOCB繞點0順時針

旋轉90°得到的，點。在x軸上，直線8。交），軸于點R交0E于點“，線段BC、0C

的長是2和4；

（1）求宜線8。的表達式；

（2）求△0切的面積；

（3）點M在坐標軸上，平面內是否存在點N,使以點。、F、M、N為頂點的四邊形是

矩形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

備用圖

【分析】（1）根據旋轉的性質求出O點坐標，根據矩形的性質求出B點坐標，再用待定

系數法求函數的解析式即可；

（2）分別求出尸（0,1）,E（4,2）,先確定直線OE的解析式，從而求出“點坐標，

3

再求△0777的面積即可；

（3）分三種情況討論：當M點在工軸負半軸上時，知（?西，0）,再由尸點平移到M

9

點，。點平移到N點，求出N（里，?@）；當M點在y軸負半軸上時，M（0,-6）,

93

再由。點平移到M點，尸點平移到N點，求出N（-4,-曲）；當M點與原點重合時，

3

此時FD為矩形的對角線，N（4,

3

【解答】解：（1）:四邊形。ABC是矩形，8c=2,OC=4,

:?B(-2,4),

:△OOE是由AOCB繞點O順時針旋轉90°得到的,

：.OD=OC=4,

：.D(4,0),

設直線BD的解析式為y=kx+b,

.f4k+b=0,

1-2k+b=4

解得［3,

吟

???直線BD的解析式為尸-2r+@；

33

(2)???直線BD的解析式為y=-2x+8,

33

：.F(0,旦)，

3

TAOCB是矩形，

：.AO=BC,AB=CO,

:?△ABO妾MOBCSSS),

由旋轉可知，△ODE%AOCB.

:.△ABO@XDOE,

：,ED=AO=2,

：.E(4,2),

???直線OE的解析式為j=-lx,

當工=-21+@時，x=—,

2337

（3）存在點N,使以點。、AM、N為頂點的四邊形是矩形，理由如下:

當M點在x軸負半軸上時，

?；MFLFD,FO±MD,

：.FO1=MO*DO,即（@）2=4MO,

3

解得。例=兇，

9

：.M（■也0）,

9

???廠點平移到M點，。點平移到N點，

.??N（皎，-@）；

93

當M點在），軸負半軸上時，ON=MO?FO,即42=電0,

解得MO=6,

：.M（0,-6）,

???。點平移到M點，尸點平移到N點，

：.N（-4,-西）；

3

當“點與原點重合時，此時如為矩形的對角線,

:?N(4,6);

3

綜上所述：N點坐標為（毀,

【點評】本題考查一次函數的圖象及性質，熟練掌握一次函數的圖象及性質，矩形的性

質,平移的性質,二角形全等的判定及性質.二角形旋轉的性質是解題的關鍵.

9.在直角坐標系X。），中，直線八：y=-x+4與x軸、y軸分別交于點A,點B.直線/2：y

=nix+m（m>0）與x軸，y軸分別交于點C,點D,直線1\與11交于點E.

（1）若點E坐標為（2,加.

3

i）求機的值；

ii）點P在直線/2上，若SMEP=3S4BDE,求點P的坐標；

（2）點尸是線段CE的中點，點G為y軸上一動點，是否存在點尸使ACPG為以FC為

直角邊的等腰直角三角形.若存在，求出〃?的值，若不存在，請說明理由.

【分析】（1）i）待定系數法即可求解；

ii）當點P在A8下方時，取AM=/z,作直線，〃48,過點A作AM_L/于點過點M

作MN_Lx軸于點M則直線/和直線C。的交點即為點P,進而求解，當點P在上方

時，同理可解：

（2）證明△尸（AAS）,得到即可求解.

【解答】解：（1）當x=2時，7=/4=兇，即點Z?（2,蛇），

3333

i）將點E的坐標代入y=mr+“2得：羋=〃？（1+2）,

33

解得：，〃=2；

ii）由點3、D、E的坐標得：8。=2,m=2,

3

貝ij3s△8DE=3X_1X2X2=2=S.AEP,

23

由A、E的坐標得：.石=］（」產+（此）2=,

V333

設△雨E的底邊AE上的高為/>,

貝I」S△用E=Lx4E?〃=上又獨巨h=2,

223

解得：人

5V2

由直線A8的表達式知，04=08=4,則N84C=45°,

取AM=/?,作直線/〃AB,過點A作4A/_U于點M,過點M作朋N_Lx軸于點M則直

線/和直線C。的交點即為點P,

則RtZXAMN為等腰直角三角形，則MN=?AM=^h=S=AN,

225

則點M（衛(wèi)，一旦），

55

設直線I的表達式為：y=-x+r,

將點M的坐標代入上式并解得：士，

5

則直線I的表達式為：y=-士，

5

_4

x~15

聯立直線/和y=2r+2并解得：,

38

y=15

即點P的坐標為（'，幽）；

1515

當點尸在直線AB上方時，同理可得：點尸（西，絲）;

1515

綜上，點P的坐標為：（/-,毀）或（區(qū)，理）；

15151515

（2）存在，理由：

設點E（小-〃+4）,則點尸（二11,生R）,

22

過點尸分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為點M、N,

???△CFG為以尸C為直角邊的等腰直角三角形，則FC=FG,ZGFC=90°,

?：NNFG+NGFM=90°,NGFM+NMFC=90°,

ANNFG=NMFC,

°；NFNG=NFMC=90°,FC=FG,

:,叢FNG在叢FMC（A4S）,

:,FN=FM,

即I莊1產生L

22

解得：刀=互,

2

則點E（立，旦），

22

將點E的坐標代入y=nvc+m并解得：加=搟.

【點評】本題考查的是一次函數綜合運用，涉及到一次函數的性質、等腰百角三角形的

性質、三角形全等，面積的計算等，分類求解是本題解題的關鍵.

10.如圖，直線），=履+5經過點A（號，0）,點5（0,25）,與直線了4％交于點C,點。

為直線AB上一動點,過。點作工軸的垂線交直線OC于點E.

（1）求直線A3的表達式和點C的坐標；

(2)當DEN~OA時，求的面積；

3

(3)連接0。，當△OAO沿著折疊，使得點A的對應點4落在直線0C上，直接寫

出此時點。的坐標.

【分析】(1)利用待定系數法求出&與瓦確定出直線解析式，與直線0C聯立求出C

坐標即可；

(2)設。的橫坐標為小，代入直線AB與直線0C解析式表示出/)與E的縱坐標，進而

表示出OE的長，求出0A的長，根據DE=2LOA求出m的值進而求出三角形COE面積