微專題講義：零點差問題-原卷版

零點差問題有關兩個零點之和的取值問題一般為極值點偏移問題或拐點偏移問題，而有關兩個零點差的問題則主要考查兩個零點之間的位置關系，即零點之間的距離.零點差問題，基本思路有：(1)切線夾放縮；(2)割線夾放縮；(3)函數(shù)擬合放縮；(4)找點放縮.其中找點放縮的難度最大．如在天津卷就出現(xiàn)過切線放縮，一般這種提示比較明顯，往往是第一問切割線.【例1】已知fx=3x?x3，若關于x的方程fx=a有兩個正實數(shù)根x1，x2，且x1<x2.(1)求實數(shù)a的取值范圍；求證：x2?x1<2?【例2】已知函數(shù)fx=(x2?x)ex.(1)求y=fx在(1，f1)處的切線方程y=gx，并證明fx?gx；(2)若方程fx=m(m∈R)有兩個正實數(shù)根x1，x2，求證：|x1?x2|<+m+1.【例3】已知函數(shù)fx=xlnx.(1)求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間；(2)若a??2，證明：fx?ax?e?3在(0，+∞)上恒成立；(3)若方程fx)=b有兩個實數(shù)根x1，x2，且x1<x2，求證：be+1<x2?x1<.【例4】已知函數(shù)的兩個零點記x1，x2.(1)求a的取值范圍；(2)證明：x1?x2>21?a.已知m∈R，函數(shù)f有兩個不同的零點x1，x2．證明：x2?x1.【例6】已知函數(shù)lnx+x?(1)當m=0時,求f(x)的最值;(2)當m>0時,若f(x)的兩個零點分別為x1,x2(x1<x2),證明:x2?x1<e?.【例7】已知函數(shù)+alnx(1)討論函數(shù)y=a的單調(diào)性;ea(2)若A,B是x1,x2(x1<x2)的兩個零點,證明:2aln(x2?x1+ea【例8】已知函數(shù)?lnx+x?2a,a∈R.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)有兩個不同的零點x1,x2.(i)求實數(shù)a的取值范圍;證明:x2?x11.已知函數(shù)=xlnx?(1)討論函數(shù)f(x)的極值點個數(shù);(2)已知函數(shù)有兩個不同的零點x1,x2,且x1<x2.證明:x2?x1<2.已知函數(shù)f(x)=(x+1)(ex?1).(1)求f(x)在點(?1,f(?1))處的切線方程;(2)若a?e?1,證明:f(x)?alnx+2ex?2在x∈[1,+∞)上恒成立;(3)若方程f(x)=b有兩個實數(shù)根x1,x2,且x1<x2,證明:x2?x1?1++.3.已知函數(shù)(1)求函數(shù)的零點x0,以及曲線y=f(x)在x=x0處的切線方程;(2)設f(x)=m(m>0)有兩個實數(shù)根x1,x2,求證:x1?x2<2?m4.已知函數(shù)f(x)=(x?e)lnx,令方程f(x)=t有兩個不同的根x1,x2,且滿足x2<x1,求5.已知函數(shù)f(x)=3x?ex+1.(1)設曲線y=f(x)與x軸正半軸的交點為p,曲線在點p處的切線方程為直線l.求證:曲線y=f(x)上的點都不在直線l的上方;(2)若關于x的方程f(x)=m(m>0)有兩個不等實根x1,x2(x1<x2),求證:x2?x1<2?6.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx?clnx,其中a,b,c∈R.(1)當a?0,c=1時,討論f(x)的單調(diào)性;(2)已知a>0,b=?2,c=2,且函數(shù)f(x)有零點x1,x2(x1<x2),求證:對任意的正實數(shù)M,都存在滿足條件的實數(shù)a,使得x2?x1>M成立.7.已知函數(shù)+lnx?x,其中e=2.71828?是自然對數(shù)的底數(shù).(1)若曲線y=f(x)與直線y=a有交點,求a的最小值;是否存在最大整數(shù)k,使得對任意正數(shù)x都有f?φ(1)]成立?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.(ii)若曲線y=f(x)與直線y=a有兩個不同的交點A,B,求證:|AB|<28.已知函數(shù)f(x)=