蘇教版學(xué)高中數(shù)學(xué)選修統(tǒng)計(jì)案例回歸分析講義

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1.會(huì)作出兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖1.通過(guò)學(xué)習(xí)線性回歸分析，

認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系.提升數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模素

2.了解線性回歸模型，能根據(jù)給出的線性回歸方程養(yǎng).

系數(shù)公式建立線性回歸方程.(重點(diǎn)、難點(diǎn))2.通過(guò)對(duì)相關(guān)關(guān)系的學(xué)習(xí)，

3.了解回歸分析的基本思想、方法及簡(jiǎn)單應(yīng)用.提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

自主預(yù)習(xí)。揣新相

Z.1ZHUYIJXITAZX1ZNI1I

K新知初探G

1,線性回歸模型

(1)線性回歸模型的概念：將b=a+bx+￡稱為線性回歸模型,其中a+3”是確定性函數(shù)，￡稱為

隨機(jī)誤差.

(2)線性回歸方程:直線錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤!x稱為線性回歸方程，其中錯(cuò)誤!稱為回歸截距，錯(cuò)誤!

稱為回歸系數(shù)，錯(cuò)誤!稱為回歸值，其中

錯(cuò)誤！

其中錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!巧，錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!必

2.相關(guān)關(guān)系

(1)壁系數(shù)是精確刻畫(huà)線性相關(guān)關(guān)系的量.

(2)相關(guān)系數(shù)々錯(cuò)誤！

=錯(cuò)誤!.

(3)相關(guān)系數(shù)/?具有的性質(zhì)：

1|心1；

2川越接近于1,x,y的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；

3M越接近于0,x,y的線性相關(guān)程度越挹.

(4)相關(guān)性檢驗(yàn)的步驟：

1提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)外：變量x,y不具有線性相關(guān)關(guān)系；

2如果以95%的把握作出推斷，那么可以根據(jù)1—0.95=0.05與/7—2在附錄2中查出一個(gè)r

的臨界值々,05（其中1—0.95=0.05稱為檢驗(yàn)水平）；

3計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)廣；

4作出統(tǒng)計(jì)推斷：若力＞々.05,則否定Ho,表明有95%的把握認(rèn)為x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系；

若用4/D.05,則沒(méi)有理由拒絕原來(lái)的假設(shè)H0,即就目前數(shù)據(jù)而言，沒(méi)有充分理由認(rèn)為y與x之間有線性

相關(guān)關(guān)系.

思考1:在回歸直線方程錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤!*中，當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)錯(cuò)誤!為正數(shù)時(shí)，說(shuō)明兩個(gè)變量有

何相關(guān)關(guān)系？在散點(diǎn)圖上如何反映？

［提示］說(shuō)明兩個(gè)變量正相關(guān)，在散點(diǎn)圖上自左向右看這些點(diǎn)呈上升趨勢(shì).

思考2:有什么辦法判斷兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系?

［提示］作出散點(diǎn)圖，看這些點(diǎn)是否在某一直線的附近，或通過(guò)計(jì)算線性相關(guān)系數(shù).

—初試身手」

1?若回歸直線方程中的回歸系數(shù)錯(cuò)誤！=0,則相關(guān)系數(shù)為（）

A.r=1B.r=—l

C.r=0D.無(wú)法確定

C［因?yàn)殄e(cuò)誤！=錯(cuò)誤！=0時(shí)，有錯(cuò)誤?。ū匾诲e(cuò)誤！）（上錯(cuò)誤?。?0,故相關(guān)關(guān)系/"=錯(cuò)誤！=0.］

2.下列結(jié)論正確的是（）

1函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系；2相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系；3回歸分析是對(duì)具有函數(shù)關(guān)系的兩

個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種方法；4回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方

法.

A.12B.123

C.124D.1234

C［函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系的區(qū)別是前者是確定性關(guān)系，后者是非確定性關(guān)系，故12正確；回歸分析

是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種方法，故3錯(cuò)誤，4正確.］

3.某考察團(tuán)對(duì)10個(gè)城市的職工人均工資x（千元）與居民人均消費(fèi)y（千元）進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得出

P與x具有線性相關(guān)關(guān)系，且線性回歸方程為錯(cuò)誤！=0.6%+1.2.若某城市職工人均工資為5千元，

估計(jì)該城市人均消費(fèi)額占人均工資收入的百分比為()

A.66%B.67%

C.79%D.84%

D匕/與x具有線性相關(guān)關(guān)系，且滿足回歸方程錯(cuò)誤！=0.6x+1.2，該城市居民人均工資為錯(cuò)誤!

=5，，可以估計(jì)該城市的職工人均消費(fèi)水平錯(cuò)誤！=0.6x5+1.2=4.2,.?.可以估計(jì)該城市人均

消費(fèi)額占人均工資收入的百分比為錯(cuò)誤！=84%」

4.已知回歸直線方程為錯(cuò)誤！=2—2.5x,則x=25時(shí)，錯(cuò)誤!的估計(jì)值為.

—60.5[因?yàn)殄e(cuò)誤！=2—2.5x,又*=25,所以錯(cuò)誤！=2—2.5x25=—60.5.即

錯(cuò)誤!的估計(jì)值為-60.5.]

合作探究。提素養(yǎng)

HEZU。TAZJIUTISUYANG

隊(duì)大型]回歸分析的有關(guān)概念

【例1】(1)有下列說(shuō)法：

1線性回歸分析就是由樣本點(diǎn)去尋找一條直線，使之貼近這些樣本點(diǎn)的數(shù)學(xué)方法；

2利用樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖可以直觀判斷兩個(gè)變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系表示；

3通過(guò)回歸方程錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!X+錯(cuò)誤！，可以估計(jì)和觀測(cè)變量的取值和變化趨勢(shì)；

4因?yàn)橛扇魏我唤M觀測(cè)值都可以求得一個(gè)線性回歸方程，所以沒(méi)有必要進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn).

其中正確的命題是(填序號(hào)).

(2)如果某地的財(cái)政收入x與支出y滿足線性回歸方程錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!x+錯(cuò)誤！+e(單位：億元)，

其中錯(cuò)誤！=0.8,錯(cuò)誤！=2,同40.5,如果今年該地區(qū)財(cái)政收入10億元，則今年支出預(yù)計(jì)不會(huì)超

過(guò)_______億.

(1)123(2)10.5[(1)1反映的正是最小二乘法思想，故正確.2反映的是畫(huà)散點(diǎn)

圖的作用，也正確.3解釋的是回歸方程錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!X+錯(cuò)誤!的作用，故也正確.4在求回歸方程之前

必須進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，以體現(xiàn)兩變量的關(guān)系，故不正確.

(2)由題意可得：錯(cuò)誤！=0.8x+2+e,當(dāng)x=10時(shí)，錯(cuò)誤！=0.8xl0+2+e=10+e,又

|e|<0.5,.'.9.54錯(cuò)誤！410.5.

故今年支出預(yù)計(jì)不會(huì)超過(guò)10.5億.]

規(guī)律方法

1.在分析兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖確定兩個(gè)變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系，然

后利用最小二乘法求出回歸直線方程.

2.由線性回歸方程給出的是一個(gè)預(yù)報(bào)值而非精確值.

3.隨機(jī)誤差的主要來(lái)源

(1)線性回歸模型與真實(shí)情況引起的誤差；

(2)省略了一些因素的影響產(chǎn)生的誤差；

(3)觀測(cè)與計(jì)算產(chǎn)生的誤差.

Q跟蹋訓(xùn)練

1.下列有關(guān)線性回歸的說(shuō)法,不正確的是(填序號(hào)).

1自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系；

2在平面直角坐標(biāo)系中用描點(diǎn)的方法得到表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點(diǎn)圖；

3線性回歸方程最能代表觀測(cè)值x,y之間的關(guān)系；

4任何一組觀測(cè)值都能得到具有代表意義的回歸直線方程.

4［只有具有線性相關(guān)的兩個(gè)觀測(cè)值才能得到具有代表意義的回歸直線方程.］

嶺型2求線性回歸方程

【例2］某班5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)?nèi)缦卤恚?/p>

學(xué)生

ABCDE

學(xué)科成績(jī)

數(shù)學(xué)成績(jī)(X)8876736663

物理成績(jī)(y)7865716461

(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖；

(2)求物理成績(jī)y對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)x的回歸直線方程；

(3)一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)是96，試預(yù)測(cè)他的物理成績(jī).

［思路探究］先畫(huà)散點(diǎn)圖，分析物理與數(shù)學(xué)成績(jī)是否有線性相關(guān)關(guān)系，若相關(guān)，再利用線性回歸模型

求解.

［解］(1)散點(diǎn)圖如圖所示.

y

90-

80-.

70-*

??

60-*

501-----1----1-------1-----1-----1-----1-----1----->

5560657075808590人

(2)由散點(diǎn)圖可知y與*之間具有線性相關(guān)關(guān)系.

因?yàn)殄e(cuò)誤！=錯(cuò)誤！X(88+76+73+66+63)=73.2,

錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！x(78+65+71+64+61)=67.8,

錯(cuò)誤!物=88x78+76x65+73x71+66x64+63x61=25054,

錯(cuò)誤!耀誤！=882+762+732+662+632=27174.

所以錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!.625,

錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!一錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!,67.8—0.625x73.2=22.05.

所以y對(duì)x的回歸直線方程是錯(cuò)誤！=0.625X+22.05.

(3)當(dāng)*=96時(shí)，錯(cuò)誤！=0.625x96+22.05^82,即可以預(yù)測(cè)他的物理成績(jī)是82.

規(guī)律方法

1?求線性回歸方程的基本步驟

2.需特別注意的是，只有在散點(diǎn)圖大致呈直線時(shí)，求出的線性回歸方程才有實(shí)際意義，否則求出的

回歸方程毫無(wú)意義.

。跟蹤訓(xùn)練

2.某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)一批進(jìn)價(jià)是30元/臺(tái)的小商品，在市場(chǎng)調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價(jià)x(x取整數(shù))

元與日銷售量y臺(tái)之間有如下關(guān)系：

X35404550

y56412811

(1)y與*是否具有線性相關(guān)關(guān)系？如果具有線性相關(guān)關(guān)系，求出回歸直線方程.(方程的回歸系數(shù)

保留一位有效數(shù)字)

(2)設(shè)經(jīng)營(yíng)此商品的日銷售利潤(rùn)為。元，根據(jù)(1)寫(xiě)出。關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并預(yù)測(cè)當(dāng)銷售單

價(jià)X為多少元時(shí)，才能獲得最大日銷售利潤(rùn).

［解］(1)散點(diǎn)圖如圖所示，從圖中可以看出這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近，因此兩個(gè)變量線性

相關(guān).

設(shè)回歸直線為錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!x+錯(cuò)誤！.由題知錯(cuò)誤！=42.5,錯(cuò)誤！=34,

則求得錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!，一3,

錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!一錯(cuò)誤!錯(cuò)誤！=34—(—3)x42.5=161.5,

..錯(cuò)誤！=—3x+161.5.

(2)依題意有P=(—3x+161.5)(—30)=—3/+251.514845=—3錯(cuò)誤!

2+錯(cuò)誤!一4845.

.?.當(dāng)丫=錯(cuò)誤!2時(shí)，。有最大值，約為426,

即預(yù)測(cè)銷售單價(jià)為42元時(shí)，能獲得最大日銷售利潤(rùn).

1aM3線性回歸分析

［探究問(wèn)題］

1.作散點(diǎn)圖的目的是什么？

［提示］直觀分析數(shù)據(jù)是否存在線性相關(guān)關(guān)系.

2.下表顯示出變量y隨變量x變化的一組數(shù)據(jù)，由此判斷表示y與x之間的關(guān)系最可能的是

.(填序號(hào))

X45678910

y14181920232528

1線性函數(shù)模型；2二次函數(shù)模型；3指數(shù)函數(shù)模型；4對(duì)數(shù)函數(shù)模型.

［提示］畫(huà)出散點(diǎn)圖(圖略)，可以得到這些樣本點(diǎn)在一條直線附近，故最可能是線性函數(shù)模型.故填

【例3】10名同學(xué)在高一和高二的數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)缦卤恚?/p>

X74717268767367706574

y76757170767965776272

其中x為高一數(shù)學(xué)成績(jī)，y為高二數(shù)學(xué)成績(jī).

(1)y與x是否具有相關(guān)關(guān)系？

(2)如果y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程.

［思路探究］可先計(jì)算線性相關(guān)系數(shù)r的值，然后與々.。5比較，進(jìn)而對(duì)x與y的相關(guān)性做出判斷.

［解］(1)由已知表格中的數(shù)據(jù)，求得錯(cuò)誤！=71,錯(cuò)誤！=72.3,

r=錯(cuò)誤！*0.78.

由檢驗(yàn)水平0.05及〃-2=8,在課本附錄2中查得4.05=0.632，因?yàn)?.78>0,632,

所以y與x之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.

(2)y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)回歸直線方程為

錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤!X,則有錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!，1.22,

錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!一錯(cuò)誤!錯(cuò)誤！=72.3—1.22x71=—14.32.

所以y關(guān)于x的回歸直線方程為錯(cuò)誤！=1,22A—14.32.

規(guī)律方法

1,線性回歸分析必須進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)；若忽略，則所求回歸方程沒(méi)有實(shí)際意義.

2.加越接近于1,兩變量相關(guān)性越強(qiáng)，M越接近于o,兩變量相關(guān)性越弱.

3.關(guān)于兩個(gè)變量x和y的7組數(shù)據(jù)如下表所示:

X21232527293235

1132

y711212466

55

試判斷x與y之間是否有線性相關(guān)關(guān)系.

［解］錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！x(21+23+25+27+29+32+35)*27.4,

錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！x(7+11+21+24+66+115+325)?81.3,

錯(cuò)誤!浦誤！=212+232+252+272+292+322+352=5414,

錯(cuò)誤!物=21x7+23x11+25x21+27x24+29x66+32x115+35x325

=18542,

錯(cuò)誤!婕誤！=72+112+212+242+662+1152+3252=124393,

.■/=錯(cuò)誤！

=錯(cuò)誤！

?0.8375.

-.0.8375>0,755,

.”與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系.

g課堂小結(jié)n

1.本節(jié)課的重點(diǎn)是線性回歸方程的求法，及線性回歸分析，相關(guān)關(guān)系；難點(diǎn)是恰當(dāng)選擇模型，求解

回歸方程.

2.注意，回歸直線方程一定過(guò)樣本中心點(diǎn)(錯(cuò)誤！，錯(cuò)誤！).

當(dāng)堂達(dá)標(biāo)。國(guó)叩基

DAZGTAZGDABIACGUSHUAZC

1,判斷(正確的打"門(mén)，錯(cuò)誤的打"X")

(1)求回歸直線方程前必須進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn).()

(2)兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)越大，它們的相關(guān)程度越強(qiáng).()

(3)若相關(guān)系數(shù)r=0,則兩變量x,y之間沒(méi)有關(guān)系.()

［答案］(1)V(2)x(3)V

2.某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：

廣告費(fèi)用*(萬(wàn)元)4235

銷售額y(萬(wàn)元)49263954

根據(jù)上表可得回歸方程錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!x+錯(cuò)誤!中的錯(cuò)誤!為9.4,據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元

時(shí)銷售額為()

A.63.6萬(wàn)元B.65.5萬(wàn)元

C.67.7萬(wàn)元D.72.0萬(wàn)元

B【樣本點(diǎn)的中心是(3.5,42)，則錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!一錯(cuò)誤!錯(cuò)誤！=42—9.4x3.5=9.1,

所以回歸直線方程是錯(cuò)誤！=9.4x+9.1,把x=6代入得錯(cuò)誤！=65.5.］

3.設(shè)某大學(xué)生的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系.根據(jù)一組樣本

數(shù)據(jù)(為，/)(/=1,2，…，77),用最小二乘法建立的回歸方程為錯(cuò)誤！=0.85—85.71,則下列

結(jié)論中正確的是_______(填序號(hào)).

(1)y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系；

(2)回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心(錯(cuò)誤！，錯(cuò)誤！)；

(3)若該大學(xué)某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.8