2025年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)分類專題歸納之不等式與不等式組

年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)分類專題歸納不等式與不等式組知識(shí)點(diǎn)一、不等式的概念1．不等式：用不等號(hào)表示不相等關(guān)系的式子，叫做不等式．2．常見(jiàn)的不等號(hào)有5種：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．知識(shí)點(diǎn)二、不等式基本性質(zhì)基本性質(zhì)1：不等式兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù)(或式子)，不等號(hào)方向不變．基本性質(zhì)2：不等式兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變．基本性質(zhì)3：不等式兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．如果，并且，那么(或)如果，并且，那么(或)不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么．不等式的傳遞性：如果，，那么．易錯(cuò)點(diǎn)：①不等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．②在計(jì)算的時(shí)候符號(hào)方向容易忘記改變．知識(shí)點(diǎn)三、不等式的解集1．不等式的解：使不等式成立的每一個(gè)未知數(shù)的值叫做不等式的解．例如：，，，，都是不等式的解，當(dāng)然它的解還有許多．2．不等式的解集：能使不等式成立的所有未知數(shù)的集合，叫做不等式的解集．不等式的解集是一個(gè)范圍，在這個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)值都是不等式的解．不等式的解集可以用數(shù)軸來(lái)表示．3．不等式的解與不等式的解集是兩個(gè)不同的概念，不等式的解是指使這個(gè)不等式成立的未知數(shù)的某個(gè)值，而不等式的解集，是指使這個(gè)不等式成立的未知數(shù)的所有的值；不等式的所有解組成了解集，解集包括了每一個(gè)解．4．在數(shù)軸上表示不等式的解集(示意圖)：知識(shí)點(diǎn)四、一元一次不等式的解法1．一元一次不等式：經(jīng)過(guò)去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等變形后，能化為或的形式，其中是未知數(shù)，是已知數(shù)，并且，這樣的不等式叫一元一次不等式．或()叫做一元一次不等式的標(biāo)準(zhǔn)形式．2．解一元一次不等式：去分母→去括號(hào)→移項(xiàng)→合并同類項(xiàng)(化成或形式)→系數(shù)化一(化成或的形式)知識(shí)點(diǎn)五、一元一次不等式組的解法1．一元一次不等式組和它的解法一般地，幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的一元一次不等式組的解集2．解一元一次不等式組的一般步驟：①求出這個(gè)不等式組中各個(gè)不等式的解集：②利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即可求出這個(gè)不等式組的解集注意：①利用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)，要注意表示數(shù)的點(diǎn)的位置上是空心圓圈，還是實(shí)心圓點(diǎn)；②若不等式組中各個(gè)不等式的解集沒(méi)有公共部分，則這個(gè)不等式組無(wú)解3．由兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組的解集的情況有如下四種：1．（2024?廣西）若m＞n，則下列不等式正確的是（）A．m﹣2＜n﹣2 B． C．6m＜6n D．﹣8m＞﹣8n2．（2024?湘西州）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．3．（2024?海南）下列四個(gè)不等式組中，解集在數(shù)軸上表示如圖所示的是（）A． B． C． D．4．（2024?巴彥淖爾）若關(guān)于x，y的方程組的解滿足x﹣y，則m的最小整數(shù)解為（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．05．（2024?濟(jì)南）關(guān)于x的方程3x﹣2m＝1的解為正數(shù)，則m的取值范圍是（）A．m B．m C．m D．m6．（2024?東莞市）不等式3x﹣1≥x+3的解集是（）A．x≤4 B．x≥4 C．x≤2 D．x≥27．（2024?南充）不等式x+1≥2x﹣1的解集在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．8．（2024?沙坪壩區(qū)）若不等式（a+1）x＞a+1的解集為x＜1，則a必須滿足（）A．a(chǎn)＜0 B．a(chǎn)≤﹣1 C．a(chǎn)＜1 D．a(chǎn)＜﹣19．（2024?荊門）已知關(guān)于x的不等式3x﹣m+1＞0的最小整數(shù)解為2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．4≤m＜7 B．4＜m＜7 C．4≤m≤7 D．4＜m≤710．（2024?畢節(jié)市）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．11．（2024?益陽(yáng)）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．12．（2024?貴港）若關(guān)于x的不等式組無(wú)解，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≤﹣3 B．a(chǎn)＜﹣3 C．a(chǎn)＞3 D．a(chǎn)≥313．（2024?襄陽(yáng)）不等式組的解集為（）A．x B．x＞1 C．x＜1 D．空集14．（2024?廣元）一元一次不等式組的最大整數(shù)解是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．215．（2024?婁底）不等式組的最小整數(shù)解是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．216．（2024?臨沂）不等式組的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)是（）A．5 B．4 C．3 D．217．（2024?泰安）不等式組有3個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是（）A．﹣6≤a＜﹣5 B．﹣6＜a≤﹣5 C．﹣6＜a＜﹣5 D．﹣6≤a≤﹣518．（2024?眉山）已知關(guān)于x的不等式組僅有三個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜1 B．a(chǎn)≤1 C．a(chǎn)≤1 D．a(chǎn)＜119．（2024?湘西州）對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，定義一種運(yùn)算：a※b＝ab﹣a+b﹣2．例如，2※5＝2×5﹣2+5﹣2＝11．請(qǐng)根據(jù)上述的定義解決問(wèn)題：若不等式3※x＜2，則不等式的正整數(shù)解是______．20．（2024?本溪）不等式組的解集是________．21．（2024?蘭州）不等式組的解集為_(kāi)_______.22．（2024?盤錦）不等式組的解集是_______．23．（2024?呼和浩特）若不等式組的解集中的任意x，都能使不等式x﹣5＞0成立，則a的取值范圍是______．24．（2024?黑龍江）不等式組有3個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是_________．25．（2024?攀枝花）關(guān)于x的不等式﹣1＜x≤a有3個(gè)正整數(shù)解，則a的取值范圍是_______．26．（2024?沙坪壩區(qū)）關(guān)于x的不等式組的解集中至少有5個(gè)整數(shù)解，則正數(shù)a的最小值是___．27．（2024?桂林）解不等式x+1，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．28．（2024?鹽城）解不等式：3x﹣1≥2（x﹣1），并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．29．（2024?濟(jì)南）解不等式組：30．（2024?寧夏）解不等式組：31．（2024?懷化）解不等式組，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．32．（2024?永州）解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．33．（2024?萬(wàn)州區(qū)）藏族小伙小游到批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買牛肉，已知牦牛肉和黃牛肉的單價(jià)之和為每千克44元，小游準(zhǔn)備購(gòu)買牦牛肉和黃牛肉總共不超過(guò)120千克，其中黃牛肉至少購(gòu)買30千克，牦牛肉的數(shù)量不少于黃牛肉的2倍，粗心的小游在做預(yù)算時(shí)將牦牛肉和黃牛肉的價(jià)格弄對(duì)換了，結(jié)果實(shí)際購(gòu)買兩種牛肉的總價(jià)比預(yù)算多了224元，若牦牛肉、黃牛肉的單價(jià)和數(shù)量均為整數(shù)，則小游實(shí)際購(gòu)買這兩種牛肉最多需要花費(fèi)______元．34．（2024?山西）2024年國(guó)內(nèi)航空公司規(guī)定：旅客乘機(jī)時(shí)，免費(fèi)攜帶行李箱的長(zhǎng)，寬，高三者之和不超過(guò)115cm．某廠家生產(chǎn)符合該規(guī)定的行李箱．已知行李箱的寬為20cm，長(zhǎng)與高的比為8：11，則符合此規(guī)定的行李箱的高的最大值為_(kāi)___cm．35．（2024?遼陽(yáng)）青年志愿者愛(ài)心小分隊(duì)赴山村送溫暖，準(zhǔn)備為困難村民購(gòu)買一些米面．已知購(gòu)買1袋大米、4袋面粉，共需240元；購(gòu)買2袋大米、1袋面粉，共需165元．（1）求每袋大米和面粉各多少元？（2）如果愛(ài)心小分隊(duì)計(jì)劃購(gòu)買這些米面共40袋，總費(fèi)用不超過(guò)2140元，那么至少購(gòu)買多少袋面粉？36．（2024?廣元）某報(bào)刊銷售處從報(bào)社購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種報(bào)紙進(jìn)行銷售．已知從報(bào)社購(gòu)進(jìn)甲種報(bào)紙200份與乙種報(bào)紙300份共需360元，購(gòu)進(jìn)甲種報(bào)紙300份與乙種報(bào)紙200份共需340元（1）求購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種報(bào)紙的單價(jià)；（2）已知銷售處賣出甲、乙兩種報(bào)紙的售價(jià)分別為每份1元、1.5元．銷售處每天從報(bào)社購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種報(bào)紙共600份，若每天能全部銷售完并且銷售這兩種報(bào)紙的總利潤(rùn)不低于300元，問(wèn)該銷售處每天最多購(gòu)進(jìn)甲種報(bào)紙多少份？37．（2024?錦州）為迎接“七?一”黨的生日，某校準(zhǔn)備組織師生共310人參加一次大型公益活動(dòng)，租用4輛大客車和6輛小客車恰好全部坐滿，已知每輛大客車的座位數(shù)比小客車多15個(gè)．（1）求每輛大客車和每輛小客車的座位數(shù)；（2）經(jīng)學(xué)校統(tǒng)計(jì)，實(shí)際參加活動(dòng)的人數(shù)增加了40人，學(xué)校決定調(diào)整租車方案，在保持租用車輛總數(shù)不變的情況下，為使所有參加活動(dòng)的師生均有座位，最多租用小客車多少輛？38．（2024?南通）小明購(gòu)買A，B兩種商品，每次購(gòu)買同一種商品的單價(jià)相同，具體信息如下表：次數(shù)購(gòu)買數(shù)量（件）購(gòu)買總費(fèi)用（元）AB第一次2155第二次1365根據(jù)以上信息解答下列問(wèn)題：（1）求A，B兩種商品的單價(jià)；（2）若第三次購(gòu)買這兩種商品共12件，且A種商品的數(shù)量不少于B種商品數(shù)量的2倍，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出最省錢的購(gòu)買方案，并說(shuō)明理由．39．（2024?賀州）某自行車經(jīng)銷商計(jì)劃投入7.1萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)100輛A型和30輛B型自行車，其中B型車單價(jià)是A型車單價(jià)的6倍少60元．（1）求A、B兩種型號(hào)的自行車單價(jià)分別是多少元？（2）后來(lái)由于該經(jīng)銷商資金緊張，投入購(gòu)車的資金不超過(guò)5.86萬(wàn)元，但購(gòu)進(jìn)這批自行年的總數(shù)不變，那么至多能購(gòu)進(jìn)B型車多少輛？40．（2024?阜新）在運(yùn)動(dòng)會(huì)前夕，育紅中學(xué)都會(huì)購(gòu)買籃球、足球作為獎(jiǎng)品．若購(gòu)買10個(gè)籃球和15個(gè)足球共花費(fèi)3000元，且購(gòu)買一個(gè)籃球比購(gòu)買一個(gè)足球多花50元．（1）求購(gòu)買一個(gè)籃球，一個(gè)足球各需多少元？（2）今年學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買這種籃球和足球共10個(gè)，恰逢商場(chǎng)在搞促銷活動(dòng)，籃球打九折，足球打八五折，若此次購(gòu)買兩種球的總費(fèi)用不超過(guò)1050元，則最多可購(gòu)買多少個(gè)籃球？41．（2024?資陽(yáng)）為了美化市容市貌，政府決定將城區(qū)旁邊一塊162畝的荒地改建為濕地公園，規(guī)劃公園分為綠化區(qū)和休閑區(qū)兩部分．（1）若休閑區(qū)面積是綠化區(qū)面積的20%，求改建后的綠化區(qū)和休閑區(qū)各有多少畝？（2）經(jīng)預(yù)算，綠化區(qū)的改建費(fèi)用平均每畝35000元，休閑區(qū)的改建費(fèi)用平均每畝25000元，政府計(jì)劃投入資金不超過(guò)550萬(wàn)元，那么綠化區(qū)的面積最多可以達(dá)到多少畝？42．（2024?葫蘆島）某愛(ài)心企業(yè)在政府的支持下投入資金，準(zhǔn)備修建一批室外簡(jiǎn)易的足球場(chǎng)和籃球場(chǎng)，供市民免費(fèi)使用，修建1個(gè)足球場(chǎng)和1個(gè)籃球場(chǎng)共需8.5萬(wàn)元，修建2個(gè)足球場(chǎng)和4個(gè)籃球場(chǎng)共需27萬(wàn)元．（1）求修建一個(gè)足球場(chǎng)和一個(gè)籃球場(chǎng)各需多少萬(wàn)元？（2）該企業(yè)預(yù)計(jì)修建這樣的足球場(chǎng)和籃球場(chǎng)共20個(gè)，投入資金不超過(guò)90萬(wàn)元，求至少可以修建多少個(gè)足球場(chǎng)？43．（2024?蘇州）某學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買若干臺(tái)A型電腦和B型打印機(jī)．如果購(gòu)買1臺(tái)A型電腦，2臺(tái)B型打印機(jī)，一共需要花費(fèi)5900元；如果購(gòu)買2臺(tái)A型電腦，2臺(tái)B型打印機(jī)，一共需要花費(fèi)9400元．（1）求每臺(tái)A型電腦和每臺(tái)B型打印機(jī)的價(jià)格分別是多少元？（2）如果學(xué)校購(gòu)買A型電腦和B型打印機(jī)的預(yù)算費(fèi)用不超過(guò)20000元，并且購(gòu)買B型打印機(jī)的臺(tái)數(shù)要比購(gòu)買A型電腦的臺(tái)數(shù)多1臺(tái)，那么該學(xué)校至多能購(gòu)買多少臺(tái)B型打印機(jī)？44．（2024?郴州）郴州市正在創(chuàng)建“全國(guó)文明城市”，某校擬舉辦“創(chuàng)文知識(shí)”搶答賽，欲購(gòu)買A、B兩種獎(jiǎng)品以鼓勵(lì)搶答者．如果購(gòu)買A種20件，B種15件，共需380元；如果購(gòu)買A種15件，B種10件，共需280元．（1）A、B兩種獎(jiǎng)品每件各多少元？（2）現(xiàn)要購(gòu)買A、B兩種獎(jiǎng)品共100件，總費(fèi)用不超過(guò)900元，那么A種獎(jiǎng)品最多購(gòu)買多少件？45．（2024?濟(jì)寧）“綠水青山就是金山銀山”，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，A，B兩村準(zhǔn)備各自清理所屬區(qū)域養(yǎng)魚(yú)網(wǎng)箱和捕魚(yú)網(wǎng)箱，每村參加清理人數(shù)及總開(kāi)支如下表：村莊清理養(yǎng)魚(yú)網(wǎng)箱人數(shù)/人清理捕魚(yú)網(wǎng)箱人數(shù)/人總支出/元A15957000B101668000（1）若兩村清理同類漁具的人均支出費(fèi)用一樣，求清理養(yǎng)魚(yú)網(wǎng)箱和捕魚(yú)網(wǎng)箱的人均支出費(fèi)用各是多少元；（2）在人均支出費(fèi)用不變的情況下，為節(jié)約開(kāi)支，兩村準(zhǔn)備抽調(diào)40人共同清理養(yǎng)魚(yú)網(wǎng)箱和捕魚(yú)網(wǎng)箱，要使總支出不超過(guò)102000元，且清理養(yǎng)魚(yú)網(wǎng)箱人數(shù)小于清理捕魚(yú)網(wǎng)箱人數(shù)，則有哪幾種分配清理人員方案？46．（2024?瀘州）某圖書(shū)館計(jì)劃選購(gòu)甲、乙兩種圖書(shū)．已知甲圖書(shū)每本價(jià)格是乙圖書(shū)每本價(jià)格的2.5倍，用800元單獨(dú)購(gòu)買甲圖書(shū)比用800元單獨(dú)購(gòu)買乙圖書(shū)要少24本．（1）甲、乙兩種圖書(shū)每本價(jià)格分別為多少元？（2）如果該圖書(shū)館計(jì)劃購(gòu)買乙圖書(shū)的本數(shù)比購(gòu)買甲圖書(shū)本