專題18 矩形菱形正方形（共39題）-2023年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編（解析版）

專題18矩形菱形正方形（39題）

一、單選題

1.（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形A8C3中，連接AC,BD,若/1=20。，則N2的度數(shù)為（）

A

A.20°B.60°C.70°D.80°

【答案】C

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得5。LAC,8,則N1=NAC2ZAC￡>+N2=9O。，進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：???四邊形438是菱形

BDLAC,AB//CD,

：.Zl=ZACD,ZACD+Z2=90°,

Zl=20°,

Z2=9O°-2O°=7O°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，熟練掌握是菱形的性質(zhì)解題的關(guān)鍵.

2.（2023?湖南常德?統(tǒng)考中考真題）如圖1,在正方形ABCO中，對角線AC、8。相交于點(diǎn)。，E,F分別為

A。，￡>。上的一點(diǎn)，且￡F〃A。，連接若NE4c=15。，則的度數(shù)為（）

C.105°D.115°

【答案】C

【分析】首先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到N04￡>=NOD4=45。，AO=。。，然后結(jié)合所〃4）得到OE=OF,

然后證明出△AOF四△OQE（SAS）,最后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】?..四邊形ABC。是正方形

/.ZOAD=ZODA=45°,AO=DO

,/EF//AD

NOEF=NOAD=45°,NOFE=ZODA=45°

，ZOEF=ZOFE

：.OE=OF

又；ZAOF=NDOE=90。,AO=DO

：.△AOF絲△ZX）E（SAS）

NODE=NE4c=15°

ZADE=AODA-NODE=30°

，ZAED=180°-ZOAD-ZADE=105°

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形三角形的性質(zhì)等知識，解

題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn).

3.（2023?湖南常德?統(tǒng)考中考真題）下列命題正確的是（）

A.正方形的對角線相等且互相平分B.對角互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形

C.矩形的對角線互相垂直D.一組鄰邊相等的四邊形是菱形

【答案】A

【分析】根據(jù)正方形、平行四邊形、矩形、菱形的各自性質(zhì)和構(gòu)成條件進(jìn)行判斷即可.

【詳解】A、正方形的對角線相等且互相垂直平分，描述正確；

B、對角互補(bǔ)的四邊形不一定是平行四邊形，只是內(nèi)接于圓，描述錯誤；

C、矩形的對角線不一定垂直，但相等，描述錯誤；

D、一組鄰邊相等的平行四邊形才構(gòu)成菱形，描述錯誤.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟悉掌握各類特殊四邊

形的判定和性質(zhì).

4.（2023?浙江?統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABC。中，AB=\,ZDAB=CA）°,則AC的長為（）

D

A"B.1C.3D.73

22

【答案】D

【分析】連接B￡＞與AC交于。.先證明△ABD是等邊三角形，由AC23。，得至"2048=3/84。=30°,

ZAOB=90°,即可得到QB=gAB=g,利用勾股定理求出A。的長度，即可求得AC的長度.

【詳解】解：連接B￡）與AC交于。.

?..四邊形A8CO是菱形，

AB//CD,AB=AD,AC1BD,AO=OC=-AC,

2

VZDAB=60°,RAH=AD,

△AB。是等邊三角形，

ACJ.BD,

：.ZOAB=-NBAD=30°,ZAOB=90°,

2

/.OB=-Afi=-,

22

AO=《ABi-OB。=』_(￡)=15/3,

/.AC=2AO=y[3,

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、30。角所對直角邊等于斜邊的

一半，關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì).

5.（2023?上海?統(tǒng)考中考真題）在四邊形"CO中，AD//BC,AB=CD.下列說法能使四邊形A8CD為矩形

的是（）

A.ABCDB.AD=BCC.ZA=ZBD.ZA=ZD

【答案】C

【分析】結(jié)合平行四邊形的判定和性質(zhì)及矩形的判定逐一分析即可.

【詳解】A：ABCD,AD//BC,AB=CD

ABC。為平行四邊形而非矩形

故A不符合題意

B：AD=BC,AD//BC,AB=CD

ABCD為平行四邊形而非矩形

故B不符合題意

C：AD//BC

.-.ZA+ZB=180o

ZA=ZB

?1.ZA=ZB=90°

AB=CD

為矩形

故C符合題意

D：AD〃BC

.-.ZA+ZB=180o

ZA=ZD

.-.Z￡>+ZB=180°

ABC。不是平行四邊形也不是矩形

故D不符合題意

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)及矩形的判定等知識，熟練掌握以上知識

并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

6.（2023?浙江寧波?統(tǒng)考中考真題）如圖，以鈍角三角形4BC的最長邊8c為邊向外作矩形3CDE,連結(jié)

AE,AD,設(shè)△AS,..ACD的面積分別為S,$,S2,若要求出S-岳-S?的值，只需知道（）

A

BC

ED

A.二至￡的面積B.AC￡＞的面積C.“ABC的面積D.矩形BCOE的面積

【答案】C

【分析】過點(diǎn)A作尸G〃8C,交￡8的延長線于點(diǎn)F,DC的延長線于點(diǎn)G,易得：

FG=BC,AF±BE,AG±CD,利用矩形的性質(zhì)和三角形的面積公式，可得E+邑=；%磔的，再根據(jù)

S=SABC+S矩物JCD￡—S|—$2=SABC+5s矩形8COE，得到$?S|—邑=$ABC，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：過點(diǎn)A作FG〃BC,交EB的延長線于點(diǎn)尸，0c的延長線于點(diǎn)G,

???矩形BCDE,

/.BC1BE,BC±CD,BE=CD,

FGLBE,FGLCD,

，四邊形BFGC為矩形，

FG=BC,AF±BE,AGVCD,

：.S1=^BEAF,S2=^CDAG,

...工+邑=；BE（AF+AG）=；BE?8C=；SXDE,

乂S=SABC+S矩形BCDE_S[_S?=Sabc+-S矩形BCDE，

S-S]-S2=SABC+QS矩形BCDE_QS粗形BCDE=SABC，

???只需要知道AABC的面積即可求出5-5.-52的值;

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，求三角形的面積.解題的關(guān)鍵是得到工+邑=3$矩形3COE

7.（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）如圖所示,在矩形A8C。中，AB>AD,AC與30相交于點(diǎn)O,下列說法

B.點(diǎn)。為線段A8的對稱中心

D.直線AC為線段8。的對稱軸

【答案】A

【分析】由矩形ABC。是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點(diǎn)，線段A8的對稱中心是線段AB的中點(diǎn),

矩形是軸對稱圖形，對稱軸是過一組對邊中點(diǎn)的宜線，從而可得答案.

【詳解】解：矩形A8CD是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點(diǎn)，故A符合題意;

線段A8的對稱中心是線段A8的中點(diǎn)，故B不符合題意;

矩形ABCD是軸對稱圖形，對稱軸是過一組對邊中點(diǎn)的直線,

故C,D不符合題意;

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對稱圖形與中心對稱圖形的含義，矩形的性質(zhì)，熟記矩形既是中心對稱圖形也是

軸對稱圖形是解本題的關(guān)鍵.

8.（2023?四川宜賓?統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長為6的正方形A8C。中，M為對角線期9上的一點(diǎn)，連接AM

則AM的長為（）

A.3（＞/3-1）B.3（3^-2）C.6M7）D.6（36-2）

【答案】c

【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定證出AADMMCDM,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得

ZDAM=ZDCM,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得/aWP=NDGW,從而可得NZMM=30。，然后利用勾股

定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可得.

【詳解】解：四邊形A3CD是邊長為6的正方形，

AD=CD=6,AADC=90°,ZADM=NCDM=45°,

DM=DM

在和VCDW中，，NA￡?M=NCQM=45。，

AD=CD

ADM(SAS),

:.ZDAM=ZDCM.

PM=PC,

:.NCMP=NDCM,

ZAPD=ZCMP+ZDCM=2ZDCM=2ZDAM,

又?ZAPD+ZDAM=180°-ZADC=9()0.

：.ZDAM=30°,

設(shè)PD=x,則AP=2P￡)=2x,PM=PC=CD-PD=6-x,

AD=^AP^-PET=&=6，

解得X=2>/5，

:.PM=6-x=6-20AP=2x=4yfi,

:.AM=AP-PM=4^-(6-25/3)=6(^-1),

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識

點(diǎn)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

9.(2023?四川樂山?統(tǒng)考中考真題)如圖，菱形ABQ)的對角線AC與8。相交于點(diǎn)O,E為邊BC的中點(diǎn)，

連結(jié)OE.若AC=6,BD=8,則OE=()

A

A.2B.-C.3D.4

2

【答案】B

【分析】先由菱形的性質(zhì)得AC1M,OC==AC=:x6=3,O8=1BO=1X8=4,再由勾股定理求出

2222

BC=5,然后由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求解.

【詳解】解：???菱形ABCD,

/.AC1BD,OC^-AC=-x6=3,OB=-BD=-S=4,

2222

由勾股定理，得BCAOB=OC。=5,

YE為邊BC的中點(diǎn)，

0E=-BC=-x5=-

222

故選：B.

【點(diǎn)睛】本考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

10.（2023?甘肅武威?統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形ABC。對折，使邊A8與。C,BC與AO分別重合，展

8c=4,則四邊形EFG4的面積為（)

C.5D.6

【答案】B

【分析】由題意可得四邊形EFG”是菱形，F(xiàn)H=AB=2,GE=BC=4,由菱形的面積等于對角線乘積的

一半即可得到答案.

【詳解】解：???將矩形A8CO對折，使邊A8與。C,8c與AD分別重合，展開后得到四邊形EFGH,

EF工GH,EFHGH互相平分,

，四邊形EFGH是菱形，

?；切=他=2,GE=BC=4,

，菱形EFG”的面積為L尸"?GE='x2x4=4.

22

故選：B

【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的折疊、菱形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的面積等于對角線乘積的一半

是解題的關(guān)鍵.

11.（2023?浙江紹興?統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形A5CD中，。為對角線8。的中點(diǎn)，ZABD=60°.動點(diǎn)E

在線段。8上，動點(diǎn)尸在線段0。上，點(diǎn)瓦F同時從點(diǎn)。出發(fā)，分別向終點(diǎn)良。運(yùn)動，且始終保持OE=OF.點(diǎn)

E關(guān)于ARAB的對稱點(diǎn)為昂6；點(diǎn)F關(guān)于3C,8的對稱點(diǎn)為耳，居.在整個過程中，四邊形耳E/內(nèi)形狀

的變化依次是（）

Fi

A.菱形一平行四邊形一矩形一平行四邊形一菱形

B.菱形一正方形t平行四邊形一菱形一平行四邊形

C.平行四邊形一矩形-平行四邊形一菱形一平行四邊形

D.平行四邊形一菱形一正方形一平行四邊形一菱形

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，分別證明四邊形片七片心是菱形，平行四邊形，矩形，即可求解.

【詳解】?四邊形ABCD是矩形，

?.AB//CD,ZBAD=ZABC=90°,

：.NBDC=ZABD=60°,ZADB=NCBD=90°-60°=30°,

■：OE=OF、OB=OD,

DF=EB

???對稱,

DF=DF2,BF=BF\,BE=BE2,DE=DEl

:.EM=七2K

???對稱，

??.4F?DC=/CDF=60°,ZEDA=/E】DA=30°

.??/E】DB=60。，

同理/耳3。=60。，

:.DE、//BF}

EiF2//E?F\

???四邊形片馬耳鳥是平行四邊形，

如圖所示，

當(dāng)區(qū)￡。三點(diǎn)重合時，DO=BO,

G=DF2=AE]=AE2

即￡jE2=EiF2

???四邊形片馬耳鳥是菱形，

如圖所示，當(dāng)瓦尸分別為。。,。8的中點(diǎn)時,

設(shè)￡>3=4,則。"=。尸=1,DE、=DE=3,

在RtA4B￡)中，AB=2,AD=2也,

連接4E,AO,

VZABO=60°,BO=2=AB,

.A3O是等邊三角形，

,/E為08中點(diǎn)，

/.AELOB,BE=1，

AE=-j22-12=A/3-

根據(jù)對稱性可得AE\=AE=6,

：.AD2=12,DE；=9,AE-=3,

AD'=AE：+DE',

?LOgA是直角三角形，且Ng=90。,

二四邊形ElE2FlF2是矩形，

當(dāng)F,E分別與電合H寸，BED也才;都是等邊三角形，則四邊形E盧是菱形

在整個過程中，四邊形耳與石名形狀的變化依次是菱形一平行四邊形一矩形一平行四邊形一菱形，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理與勾股

定理的逆定理，軸對稱的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

12.（2023?重慶?統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，。為對角線AC的中點(diǎn)，E為正方形內(nèi)一點(diǎn)，連

接BE,=連接CE并延長，與—ABE的平分線交于點(diǎn)F,連接QF,若49=2,則。尸的長度為（）

【答案】D

【分析】連接AF，根據(jù)正方形ABCO得到==ZABC=90°,根據(jù)角平分線的性質(zhì)和等腰三角

形的性質(zhì)，求得NBFE=45。,再證明,.他尸會.￡3尸，求得NAFC=90。，最后根據(jù)直角三角形斜邊上的中

點(diǎn)等于斜邊的一半，即可求出OF的長度.

【詳解】解：如圖，連接AF，

.,四邊形A8CD是正方形，

:.AB=BE=BC,ZABC=90°,AC=6AB=2五，

:.ZBEC=ZBCE,

ZEBC=180°-2ZBEC,

ZABE=ZABC-NEBC=2ABEC-90°,

BF平分/ABE,

ZABF=NEBF=-ZABE=NBEC-45°,

2

ZBFE=NBEC—NEBF=45°,

在AJM尸與△BEF,

AB=EB

<NABF=NEBF,

BF=BF

..△BA尸絲△BEF（SAS）,

:.NBFE=NBFA=45。,

ZAFC=NBAF+NBFE=90°,

。為對角線AC的中點(diǎn)，

:.OF=-AC=y/2,

2

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，正方形的性質(zhì)，直角三角形特征，作

出正確的輔助線，求得NBFE=45。是解題的關(guān)鍵.

二、解答題

13.（2023?湖南懷化?統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形A8CO中，過對角線的中點(diǎn)。作8。的垂線E尸，分別

交AD,BC于點(diǎn)E,F.

(1)證明：4BOFm4DOE；

（2）連接8￡、DF,證明：四邊形EBED是菱形.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出A￡）〃BC,則N1=N2,N3=N4,根據(jù)。是8。的中點(diǎn)，可得30=00,

即可證明ABOF絲△OOE（AAS）：

（2）根據(jù)aBO尸名△DOE可得即=",進(jìn)而可得四邊形E3/7）是平行四邊形，根據(jù)對角線互相垂直的

四邊形是菱形，即可得證.

【詳解】（1）證明：如圖所示，

???四邊形A8CO是矩形，

，AD//BC,

：.Z1=Z2,Z3=Z4,

,/。是8。的中點(diǎn)，

BO=DO,

在,.BOF與0OE中

Zl=Z2

-N3=N4,

BO=DO

：./\BOF^ADC>E(AAS)；

(2)；/\BOF必DOE

/.ED=BF,

又?:ED//BF

四邊形EBFD是平行四邊形，

,/EFYBD

四邊形是菱形.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，菱形的判定，熟練掌握特殊四邊形的性質(zhì)與

判定是解題的關(guān)鍵.

14.(2023?湖北隨州?統(tǒng)考中考真題)如圖，矩形ABCD的對角線AC,8。相交于點(diǎn)O,DEAC,CEBD.

(1)求證：四邊形OCE。是菱形；

(2)若BC=3,DC=2,求四邊形OC￡?的面積.

【答案】⑴見解析；（2）3

【分析】（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)求得OC=8,然后根據(jù)有?組鄰邊相等的平行四邊形是菱形分析推理；

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)求得一08的面積，然后結(jié)合菱形的性質(zhì)求解.

【詳解】（1）解：；DE//AC,CE//BD,

四邊形OCE。是平行四邊形，

又：矩形ABCD中，OC=OD,

，平行四邊形0CED是菱形；

（2）解：矩形A8C￡＞的面積為5coe=3x2=6,

_13

?....08的面積為：x6=彳，

42

3

菱形OCE3的面積為2x-=3.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、菱形的判定，屬于中考基礎(chǔ)題，掌握矩形的性質(zhì)和菱形的判定方法，正確

推理論證是解題關(guān)犍.

15.（2023?湖南永州?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知四邊形A3。是平行四邊形，其對角線相交于點(diǎn)0,

OA=3,BD=8,AB=5.

B匕----------------

（1）AQ5是直角三角形嗎？請說明理由；

（2）求證：四邊形ABCD是菱形.

【答案】（1）408是直角三角形，理由見解析.（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形對角線互相平分可得8。=；8。=4,再根據(jù)勾股定理的逆定理，即可得出結(jié)

論；

（2）根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，即可求證.

【詳解】（1）解：A08是直角三角形，理由如下：

?..四邊形ABCD是平行四邊形，

B0=-BD=4,

,/Ofic+OB1=32+42=52=AB-,

AO8是直角三角形.

（2）證明：由（1）可得：一AOB是直角三角形，

，ZAOB=90°,

即ACA-BD,

?..四邊形A8CD是平行四邊形，

，四邊形ABC。是菱形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，菱形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握平行四

邊形對角線互相平分，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

16.（2023?新疆?統(tǒng)考中考真題）如圖，AO和8c相交于點(diǎn)O,NABO=NDCO=90。，OB=OC.點(diǎn)、E、F

分別是AO、的中點(diǎn).

⑴求證：OE=OF；

⑵當(dāng)NA=30。時，求證：四邊形8反尸是矩形.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）直接證明△AO8四△OOC（ASA）,得出。4=。。，根據(jù)E、F分別是A。、￡＞。的中點(diǎn)，即可

得證；

（2）證明四邊形8瓦方是平行四邊形，進(jìn)而根據(jù)NA=30。，推導(dǎo)出△BOE是等邊三角形，進(jìn)而可得BC=瓦1,

即可證明四邊形BECF是矩形.

【詳解】（1）證明：在408與△DOC中，

[N4BO=NOCO=90°

\oB=OC

[ZAOB=ZDOC

：.△AO修△OOC（ASA）,

OA=OD,

又；E、F分別是AO、。。的中點(diǎn)，

OE=OF；

(2),：OB=OC,OF=OE,

，四邊形8反產(chǎn)是平行四邊形，BC=2OB,EF=20E,

為AO的中點(diǎn)，ZABO=90°,

：.EB=EO=EA,

'：ZA=30°,

NBOE=60。,

/\BOE是等邊三角形，

/.OB=OE,

：.BC=EF,

四邊形BEC尸是矩形.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，矩形判定，熟練掌握以上知識

是解題的關(guān)鍵.

17.（2023?云南?統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形ABC。中，AE,C尸分別是NBA。、N8C￡＞的平分線，且

E、尸分別在邊BC、4）上，AE^AF.

（1）求證：四邊形AEC尸是菱形；

（2）若NABC=60。，的面積等于4百，求平行線A8與。C間的距離.

【答案】（1）證明見解析；（2）4石

【分析】（I）先證BC,再證AE尸C,從而四邊形AECF是平行四邊形，又A￡=AF,于是四邊形AECF

是菱形；

（2）連接AC,先求得ZBAE=NDAE=ZABC=60°，再證AC_L4?,ZACB=90。-ZABC=30°=ZEAC,

于是有且=4￡,得A3=走AC,再證=從而根據(jù)面積公式即可求得AC=4百.

3AC3

【詳解】（1）證明：???四邊形A8CO是平行四邊形，

AAD//BC,NBAD=NBCD,

,NBEA=NDAE,

AE,C尸分別是NB4。、N3CD的平分線，

，NBAE=NDAE=1/BAD,ZBCF=yZBCD,

/.ZDAE=NBCF=ZBEA,

：.AEFC,

，四邊形AECF是平行四邊形，

AE=AF,

???四邊形AEb是菱形；

(2)解：連接AC,

VAD/7BC,ZABC=60°,

：./BAD=180°-ZABC=120。，

二/BAE=/DAE=ZABC=60°,

?..四邊形4EC尸是菱形，

ZEAC=JNDAE=30°,

ZBAC=NBAE+ZEA,C=90°,

AACLAB,^ACB=90°-ZABC=30°=ZEAC,

：.AE=CE,tan30°=tanZAC8=空即立=組,

AC3AC

二AB=—AC,

3

NBAE=NABC,

：.AE=BE=CE,

回￡的面積等于40，

；?S.=-ACAB=-AC-—AC=—AC2=SY/3,

ABCC2236

平行線AB與DC間的距離AC=4JL

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)，菱形的判定，角平分線的定義，等腰三角形的判定，三角

函數(shù)的應(yīng)用以及平行線間的距離，熟練掌握平行四邊形的判定及性質(zhì)，菱形的判定，角平分線的定義，等

腰三角形的判定，三角函數(shù)的應(yīng)用以及平行線間的距離等知識是解題的關(guān)鍵.

18.（2023?四川遂寧?統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形A8CD中，4）〃8C,點(diǎn)。為對角線8。的中點(diǎn)，過點(diǎn)

。的直線/分別與A￡＞、8c所在的直線相交于點(diǎn)￡、F.（點(diǎn)E不與點(diǎn)￡＞重合）

（1）求證：_DOE，BOF；

（2）當(dāng)直線時，連接BE、DF,試判斷四邊形田的形狀，并說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）四邊形E8FD為菱形；理由見解析

【分析】（1）根據(jù)AAS證明"火出金80戶即可；

（2）連接EB、FD,根據(jù)DOEWBOF,得出￡D=B產(chǎn)，根據(jù)證明四邊形￡3包＞為平行四邊

形，根據(jù)證明四邊形EW7）為菱形即可.

【詳解】（1）證明：:?點(diǎn)。為對角線5。的中點(diǎn)，

BO=DO,

,/AD//BC,

NODE=NOBF,ZOED=ZOFB,

在.。QE和一80尸中，

Z.0DE=NOBF

■NOED=NOFB,

B0=D0

:._DOE馬BOF(AAS)：

（2）解：四邊形EBED為菱形，理由如下:

連接EB、FD,如圖所示：

根據(jù)解析（1）可知，DOE&BOF,

ED=BF,

,/ED//BF,

/.四邊形EBFD為平行四邊形，

'：11BD,即防_L8￡）,

...四邊形為菱形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，菱形的判定，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

三角形全等的判定方法和菱形的判定方法.

19.（2023?浙江嘉興?統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，A￡_LBC于點(diǎn)E,AELCO于點(diǎn)F,連接EF

A

⑵若N3=6（）。，求/g1的度數(shù).

【答案】（1）證明見解析；（2）60°

【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)的三角形全等即可證明

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和己知條件可推出/以。度數(shù)，再根據(jù)第一問的二角形全等和直角三角形的性質(zhì)可求

出和NZMF度數(shù)，從而求出—E4/度數(shù)，證明了等邊三角形AEF,即可求出一用的度數(shù).

【詳解】（1）證明：；菱形ABCD,

.-.AB=AD,ZB=ZD,

又1AE±BC,AFLCD,

ZAEB=ZAFD=9Q°.

在/XAEB和中，

ZAEB=ZAFD

,NB=ND,

AB=AD

：._ABEADF（AAS）.

:.AE=AF.

（2）解：?菱形ABC。，

.-.ZB+Za4￡>=180°,

々=60°,

.-.ZBAD=120°.

又?.ZA￡B=90°,ZB=60°,

：.ZBAE^30°.

由（1）知aABERADF,

:.ZBAE=ZDAF=30P.

/LEAF=120°-30°-30°=60°.

AE=AF,

.;AEF等邊三角形.

.-.ZA￡F=60°.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握全等的方法

和菱形的性質(zhì).

20.（2023?湖北鄂州?統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊BC上的一點(diǎn)，且AE=AO.

（1）尺規(guī)作圖（請用2B鉛筆）：作一D4E的平分線"，交BC的延長線于點(diǎn)凡連接。尸.（保留作圖痕跡,

不寫作法）；

（2）試判斷四邊形AEED的形狀，并說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）四邊形AEFD是菱形，理由見解析

【分析】（I）根據(jù)題意結(jié)合尺規(guī)作角平分線的方法作圖即可；

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出ZD4F=N4fE,結(jié)合角平分線的定義可得NEE4=NE4F,則

AE=EF,然后根據(jù)平行四邊形和菱形的判定定理得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：如圖所示：

（2）四邊形AEFD是菱形;

理由：：矩形A8CD中，AD//BC,

，ZDAF=ZAFE,

?AF平分

JZDAF=/EAF,

JZEFA=/EAF,

,AE=EF,

,:AE=AD,

?**AD=EF,

???AD//EF,

/.四邊形AEFD是平行四邊形，

又■:AE=AD，

平行四邊形AEFD是菱形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作角平分線，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行四邊形

的判定以及菱形的判定等知識，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

21.(2023?吉林長春?統(tǒng)考中考真題)將兩個完全相同的含有30。角的直角三角板在同一平面內(nèi)按如圖所示位

置擺放.點(diǎn)A,E,B,力依次在同一直線上，連結(jié)A尸、CD.

(1)求證：四邊形AEDC是平行四邊形；

(2)己知3c=6cm,當(dāng)四邊形是菱形時.AO的長為cm.

【答案】(1)見解析；(2)18

【分析】(1)由題意可知AACBSOFE易得AC=DF,ZCAB=NFDE=300即AC//DF,依據(jù)一組對邊

平行且相等的四邊形是平行四邊形可證明；

(2)如圖，在RtAACB中，由30。角所對的直角邊等于斜邊的一半和直角三角形銳角互余易得

AB=2BC=12cm,ZABC=60°；由菱形得對角線平分對角得N€7M=/FD4=30。，再由三角形外角和易

證NBC￡>=NCD4即可得3c=8D=6cm,最后由A￡>=AB+B￡>求解即可.

【詳解】(1)證明：由題意可知AAC陛△￡>莊，

：.AC=DF,ZCAB=ZFDE=30°,

\AC//DF,

四邊形AFOC地平行四邊形;

(2)如圖，在Rt^ACB中，ZACB=90°,ZC4B=30°,BC=6cm,

:.AB=2BC=ncm,ZABC=60°,

西邊形AEE心是菱形，

.:AD平分NC￡>F,

:.ZCDA=ZFDA=30°,

ZABC=ZCDA+々BCD,

/BCD=ZABC-ZCDA=60°-30°=30°,

:.ZBCD=ZCDA,

BC=BD=6cm,

AD=AB+BD=\8cm,

故答案為：18.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等：.角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的性質(zhì)，30。角所對的直角邊等于斜邊的

一半和直角三角形銳角互余，三角形外角及等角對等邊；解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識綜合求解.

22.（2023?湖南張家界?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知點(diǎn)A,D,C,B在同一條直線上，且AQ=BC,AE=BF,

（2）若OF=FC時，求證：四邊形DECF是菱形.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)題意得出AC=6D,再由全等三角形的判定和性質(zhì)及平行線的判定證明即可：

（2）方法一：利用全等三角形的判定和性質(zhì)得出Z）E=b,又EC=DF,再由菱形的判定證明即可；方法

-：利用（1）中結(jié)論得出=結(jié)合菱形的判定證明即可.

【詳解】（1）證明：：AD=3C,

AD+DC=BC+DC,

即AC=BD

在AAEC和△3F￡)中,

AC=BD

<AE=BF,

CE=DF

:.一AEgGBFD(SSS)

：.ZA=ZB,

：.AE//BF

(2)方法-：在VADE和ABC/中，

[AE=BF

JZA=ZB,

[AD^BC

,ADEgBCF(SAS)

:.DE=CF,又EC=DF,

...四邊形OECF是平行四邊形

DF=FC,

.DECF是菱形；

方法二：：AAEC絲△BED,

，NECA=NFDB

：.EC//DF,

乂EC=DF,

，四邊形QECF是平行四邊形

,/DF=FC,

：..DEC尸是菱形.

【點(diǎn)睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，理解題意，熟練掌握運(yùn)用這些知識

點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

23.(2023?湖南郴州?統(tǒng)考中考真題)如圖，四邊形48CD是平行四邊形.

BC

（1）尺規(guī)作圖；作對角線AC的垂直平分線MN（保留作圖痕跡）；

（2）若直線分別交AO,BC于E,尸兩點(diǎn)，求證：四邊形AFCE是菱形

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的作圖方法進(jìn)行作圖即可；

（2）設(shè)EF與AC交于點(diǎn)。，證明△AOE^^COF（ASA）,得到OE=OP,得到四邊形AFCE為平行四邊形,

根據(jù)EF1AC,即可得證.

【詳解】（1）解：如圖所示，MN即為所求；

（2）：?四邊形43CQ是平行四邊形,

AD//BC,

：.ZCAE=ZACF,

如圖：設(shè)EF與AC交于點(diǎn)。，

/M

AE/D

BF

,/EF是AC的垂直平分線,

/.AO=OC,EF1AC,

ZAOE=^COF,

：.△AOEYMOF（ASA）,

，OE=OF,

四邊形AFCE為平行四邊形，

,/EFJ.AC,

四邊形AFCE為菱形.

【點(diǎn)睛】本題考查基本作圖一作垂線，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定.熟

練掌握菱形的判定定理，是解題的關(guān)鍵.

24.（2023?湖北十堰?統(tǒng)考中考真題）如圖，YA3CD的對角線4<?,8。交于點(diǎn)。，分別以點(diǎn)8,C為圓心，

長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,連接BRCP.

（1）試判斷四邊形BPC。的形狀，并說明理由；

（2）請說明當(dāng)YABCO的對角線滿足什么條件時，四邊形BPCO是正方形？

【答案】（1）平行四邊形，見解析；（2）AC=33且AC上8。

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到8P=gAC=OC,CP=；8O=QB,根據(jù)兩組對邊分別相等的四

邊形是平行四邊形判定即可.

（2）根據(jù)對角線相等、平分且垂直的四邊形是正方形判定即可.

【詳解】（1）四邊形8PCO是平行四邊形.理由如下：

VYABCD的對角線AC,BD交于點(diǎn)0,

AO=OC,BO=OD,

?.?以點(diǎn)B,C為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,

/.BP=；AC=OC,CP=；BD=OB

，四邊形3PCO是平行四邊形.

（2）?.?對角線相等、平分且垂直的四邊形是正方形，

，4。=3。同4。43￡＞時，四邊形BPCO是正方形.

【點(diǎn)睛】本題考查J'平行四邊形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，熟練掌握判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

25.（2023?四川內(nèi)江?統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，。是BC的中點(diǎn)，E是A。的中點(diǎn)，過點(diǎn)人作4尸〃BC

交CE的延長線于點(diǎn)F.

（1）求證：AF=BD-.

（2）連接瓦?、，若M=AC,求證：四邊形是矩形.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；

【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出/4EE=NDCE,然后利用“角角邊''證明三角形全等，再由

全等三角形的性質(zhì)容易得出結(jié)論；

（2）先利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形鉆8。是平行四邊形，再根據(jù)一個角是

直角的平行四邊形是矩形判定即可.

【詳解】（1）證明：：AF/7BC,

：.ZAFE=NDCE,

?.?點(diǎn)E為的中點(diǎn)，

/.AE=DE,

在AAEF和/XEDC中，

2AFE=NDCE

-NAEF=NDEC,

AE=DE

；.,EAF”.EDC(AAS)；

：.AF^CD,

,?CD=BD,

，AF=BD；

（2）證明：AF//BD,AF=BD,

，四邊形AEB。是平行四邊形,

VAB=AC,BD=CD,

：.ZADB=90°,

，平行四邊形AEBD是矩形.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，是基礎(chǔ)題，明確有一個

角是直角的平行四邊形是矩形是解本題的關(guān)鍵.

26.（2023?湖南岳陽?統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)M在YA8CD的邊A。上，BM=CM,請從以下三個選項(xiàng)中

①/1=/2；②=③N3=/4,選擇一個合適的選項(xiàng)作為己知條件，使YA8C。為矩形.

（2）添加條件后，請證明Y45co為矩形.

【答案】（1）答案不唯一，①或②；（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形進(jìn)行選取；

（2）通過證明△4W注可得=然后結(jié)合平行線的性質(zhì)求得NA=90。，從而得出YABCD

為矩形.

【詳解】（1）解：①或②

（2）添加條件①，YABC。為矩形，理由如下：

在YABC。中A3=CD,ABCD,

AB^CD

在，和△OCM中《N1=N2,

BM=CM

二/XABM^/XDCM

/.Z4=Z￡>,

XVABCD,

，ZA+ZD=180°,

，ZA=ZD=90°,

YABC￡>為矩形；

添加條件②，YABC。為矩形，理由如下：

在YA3C。中AB=C￡>,ABCD,

AB^CD

在4ABM和△DCM中<AM=CM,

BM=CM

：./\ABM經(jīng)ADCM

ZA=Z￡>,

又?；ABCD,

：.ZA+ZD=180°,

/.ZA=ZD=90°,

YABC￡>為矩形

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)和矩形的判定方法（有

一個角是直角的平行四邊形是矩形）是解題關(guān)鍵.

27.（2023?四川樂山?統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtZ\ABC中，NC=90。，點(diǎn)力為AB邊上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)

A、8重合），過點(diǎn)。作DE〃BC,DF//AC,分別交AC、BC于點(diǎn)E、F,連接￡尸.

（1）求證：四邊形ECFD是矩形；

（2）若CF=2,CE=4,求點(diǎn)C到EF的距離.

【答案】（1）見解析；（2）m石

【分析】（I）利用平行線的性質(zhì)證明NCED=/CFD=90。,再利用四邊形內(nèi)角和為360。，證明NEDF=90。,

即可由矩形判定定理得出結(jié)論；

（2）先由勾股定理求出￡尸=而不*=2石，再根據(jù)三角形面積公式求解即可?

【詳解】（1）證明：VDE//BC,DF//AC,

/.四邊形ECFD為平行四邊形，

?/ZC=90°,

四邊形ECED是矩形.

（2）解：VZC=90°,CF=2,CE=4,

EF=yJCF2+CE2=2石

設(shè)點(diǎn)C到E尸的距離為從

,:S市=^CE-CF=^EFh

2x4=2回

4>/5

5

答：點(diǎn)C到E尸的距離為延.

5

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定，平行線的性質(zhì)，勾股定理.熟練掌握矩形的判定定理和利用面積法求線段

長是解題的關(guān)鍵.

28.（2023?浙江臺州?統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形A8CD中，AD//BC,Z4=ZC,80為對角線.

8匕-------------々

（1）證明：四邊形A8C。是平行四邊形.

（2）己知AO>AB,請用無刻度的直尺和圓規(guī)作菱形5EOF,頂點(diǎn)E,F分別在邊BC,AQ上（保留作圖痕

跡，不要求寫作法）.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）先證明ZADB=NCBD,再證明180。—（ZADB+ZA）=180。一（ZCBD+ZC）,即ZABD=ZCDB,

從而可得結(jié)論；

（2）作對角線B。的垂直平分線交A。于尸，交BC于E,從而可得菱形3皮木.

【詳解】（1）證明：：AO〃8C,

ZADB=NCBD,

,?ZA=ZC,

/.180°-(ZA￡>B+ZA)=180°-(ZCB￡>+ZC),

，AB//CD.

四邊形48。是平行四邊形.

（2）如圖,

四邊形BEDF就是所求作的菱形.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的判定與性質(zhì)，作線段的垂直平分線，菱形的判定，熟練的利用菱形的

判定進(jìn)行作圖是解本題的關(guān)鍵.

三、填空題

29.（2023?黑龍江齊齊哈爾?統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形A5C。中，AD=BC,AC上80于點(diǎn)O.請?zhí)?/p>

加一個條件：，使四邊形ABC。成為菱形.

【答案】AD//BC（答案不唯一）

【分析】根據(jù)題意，先證明四邊形A88是平行四邊形，根據(jù)可得四邊形A8C。成為菱形.

【詳解】解：添加條件AD〃BC

VAD=BC,AD//BC

：.四邊形ABC。是平行四邊形，

AC1BD.

，四邊形A58成為菱形.

添加條件A3=8

VAD=BC,AB=CD

/.四邊形488是平行四邊形，

AC1BD,

...四邊形ABCZ）成為菱形.

添加條件03=8

*/AC1BD,

：.ZA0D=NC0B=90。

VAD=BC,OB=OD,

：.RtCOB（HL）

AD=BC,

：.四邊形ABC。是平行四邊形，

AC1BD,

...四邊形ABC。成為菱形.

添加條件NADB=NC8O

在與△COB中，

'ZADB=NCBD

"NAOD=NCOB

AD=BC

：.zMOf）安△COB

，AD=BC,

：.四邊形ABCD是平行四邊形，

AC1BD,

，四邊形ABC。成為菱形.

故答案為：AD//BC（AB=C￡＞或08=0?；騈A￡＞B=NC3￡＞等）.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定，熟練掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

30.（2023?遼寧大連?統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCO中，AC,3D為菱形的對角線，ZDBC=60°,=10,

點(diǎn)F為8c中點(diǎn)，則EF的長為.

B

【答案】5

【分析】根據(jù)題意得出一血是等邊三角形，進(jìn)而得出DC=3￡>=10,根據(jù)中位線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：???在菱形ABC。中，AC、比>為菱形的對角線，

Z.AB=AD=DC=BC,AC1,BD,

,/ZDBC=60°,

,87X7是等邊三角形，

BD=\O,

：.DC=BD=IO,

是80的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為BC中點(diǎn)，

Z.EF=-DC^5,

2

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，中位線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的

關(guān)鍵.

31.（2023?福建?統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABC。中，AB=10,N5=60。，則AC的長為

【答案】10

【分析】由菱形A8CD中，/5=60。，易證得443c是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得解.

【詳解】解：???四邊形ABC。是菱形，

，AB=BC=\0,

'：N5=60°,

；是等邊三角形，

AC=10.

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟記菱形的性質(zhì)并推出等邊三角形是解題的

關(guān)鍵.

32.（2023?浙江紹興?統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABC。中，ZDAB=40°,連接AC,以點(diǎn)A為圓心，AC

長為半徑作弧，交直線AO于點(diǎn)E,連接CE,則NAEC的度數(shù)是.

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合菱形的性質(zhì)可得NC4D=g/ZM8=20。，再進(jìn)行分類討論：當(dāng)點(diǎn)￡在點(diǎn)

A上方時，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A下方時，即可進(jìn)行解答.

【詳解】解：；四邊形ABC。為菱形，ZDAB=4O°,

：.^CAD=-ADAB=2Q0,

2

連接CE,

①當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A上方時，如圖居，

VAC=AEt,ZCAEt=20°,

/AE\C=；（180。-20。）=80°,

②當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A下方時，如圖

VAC=AEt,NCAE|=20。，

ZAE2C=-ZCAEt=10°,

故答案為：10°或80。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和以及三角形的外角定理，解題

的關(guān)鍵是掌握菱形的對角線平分內(nèi)角；等腰三角形兩底角相等，三角形的內(nèi)角和為180。；三角形的一個外

角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和.

33.（2023?甘肅武威?統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABC。中，ZDAB=60°,BEVAB,DFVCD,垂足分別

為B,D,若A3=6cm,則上尸=cm.

【答案】26

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，含30。宜角三角形的性質(zhì)，及三角函數(shù)即可得出結(jié)果.

【詳解】解：在菱形ABCQ中，ZZMB=60°,

ZDAB=/DCB=60°,ABAC=NDAC=/DCF=-4DAB=30°,

2

QDF工CD,

/DFC=9O0,

/.ZDFC=90°-/DCF=60°,

在RlZ\C。/中，DF=-CF

2f

QZADF=ZDFC-ZDAF=60°-30°=30°,

ZFAD=ZADF,

/.AF=DF=-CF=-AC,

23

同理，CE=-AC,

:.EF=AC-AF-CE=-AC,

3

:.EF=-AE,

2

AB6/T

.,AE=--------=—j=r=4,3,

在RtzX/WE中，cos30°