云南省大理白族自治州2025屆高三上學(xué)期第一次復(fù)習(xí)統(tǒng)一檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（含解析）

大理州2025屆高中畢業(yè)生第一次復(fù)習(xí)統(tǒng)一檢測(cè)數(shù)學(xué)（全卷四個(gè)大題，共19個(gè)小題，共8頁(yè)；滿分150分，考試用時(shí)120分鐘）考生注意：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)?姓名?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題共58分）一?單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.在中，是上一點(diǎn)，滿足是的中點(diǎn)，若，則（）A.B.1C.D.4.下圖是我國(guó)2018-2023年純電動(dòng)汽車銷量統(tǒng)計(jì)情況，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.我國(guó)純電動(dòng)汽車銷量呈現(xiàn)逐年增長(zhǎng)趨勢(shì)B.這六年銷量的第60百分位數(shù)為536.5萬(wàn)輛C.2022年銷量低于這六年銷量的平均值D.這六年增長(zhǎng)率最大的為2019年至2020年5.已知等比數(shù)列中，，則（）A.26B.32C.512D.10246.已知，則（）A.B.C.D.7.拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.5B.9C.8D.108.一個(gè)三角形紙板的三個(gè)頂點(diǎn)為，以邊上的高所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將三角形紙板旋轉(zhuǎn)，則紙板掃過(guò)的空間所形成的幾何體的體積為（）A.B.C.D.二?多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的最小正周期為B.C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心10.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.有最大值B.當(dāng)時(shí)，的圖象在點(diǎn)處的切線方程是C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則的取值范圍是11.法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”.他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.若橢圓的蒙日?qǐng)A為圓，過(guò)上的動(dòng)點(diǎn)作的兩條互相垂直的切線，分別與交于兩點(diǎn)，直線交于兩點(diǎn)，則（）A.橢圓的蒙日?qǐng)A方程為B.面積的最大值為7C.的最小值為D.若動(dòng)點(diǎn)在上，將直線的斜率分別記為，則第II卷（非選擇題共92分）三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是__________.13.已知數(shù)列滿足，則__________.14.設(shè)函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)，經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，任意一個(gè)三次函數(shù)的圖象都有對(duì)稱中心，其中滿足.已知函數(shù)，當(dāng)函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為時(shí)，__________，當(dāng)函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為時(shí)，__________.四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）15.（本題13分）在中，角的對(duì)邊分別為.已知，且.（1）求角和；（2）若的面積為，求.16.（本題15分）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)棱底面，.點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱上的一點(diǎn)，且.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.17.（本題15分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，證明：；（2）若函數(shù)有極小值，且的極小值小于，求的取值范圍.18.（本題17分）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，且橢圓的離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且弦的中點(diǎn)為，直線的斜率為，求；（3）直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，橢圓在點(diǎn)處的切線分別為與交于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上.請(qǐng)你判斷直線是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并說(shuō)明理由.19.（本題17分）今年立秋以后，我國(guó)西南地區(qū)持續(xù)性高溫登上熱搜，引發(fā)關(guān)注討論?根據(jù)專家推測(cè)，主要是由于大陸高壓和西太平洋副熱帶高壓呈現(xiàn)非常強(qiáng)大，在高壓的控制下，西南地區(qū)上空晴朗少云，在太陽(yáng)輻射增溫和氣流下沉增溫的共同作用下，兩個(gè)地區(qū)的氣溫出現(xiàn)了直接攀升的狀態(tài).西南地區(qū)某城市一室內(nèi)游泳館，為給顧客更好的體驗(yàn)，推出了和兩個(gè)套餐服務(wù)，顧客可自由選擇和兩個(gè)套餐之一；該游泳館在App平臺(tái)上推出了優(yōu)惠券活動(dòng)，下表是App平臺(tái)統(tǒng)計(jì)某周內(nèi)周一至周五銷售優(yōu)惠券情況.星期12345銷售量（張）218224230232236經(jīng)計(jì)算可得：.（1）已知關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（2）若購(gòu)買優(yōu)惠券的顧客選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為，并且套餐包含兩張優(yōu)惠券，套餐包含一張優(yōu)惠券，記App平臺(tái)累計(jì)銷售優(yōu)惠券為張的概率為.（i）求及；（ii）求及的最值.參考公式：.大理州2025屆高中畢業(yè)生第一次復(fù)習(xí)統(tǒng)一檢測(cè)數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一?單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）題號(hào)12345678答案CDCCDBBA1.C【詳解】由于，故.故選：C.2.D【詳解】，故，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)在第四象限.故選：D.3.C【詳解】由題可知，，，所以有，所以，得.故選：C4.C【詳解】對(duì)于A，從條形圖中看出，純電動(dòng)汽車銷量逐年遞增，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，將所有汽車銷量數(shù)據(jù)從小到大排序，所以銷量的第60百分位數(shù)為第4個(gè)數(shù)據(jù)，即536.5，故B正確；對(duì)于C，這六年銷量的平均數(shù)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?019年至2020年的增長(zhǎng)率為，超過(guò)其他年份的增長(zhǎng)率，故D正確.故選：C.5.D【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以，由，則，得，解得，所以.故選：D.6.B【詳解】，故選：B.7.B【詳解】由拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)可得，則，所以，令，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為9.故選：B.8.A【詳解】，而A為三角形內(nèi)角，故，故，故，故，故幾何體的體積為故選：A.二?多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）題號(hào)91011答案ABDBDABC9.ABD【詳解】因?yàn)?，選項(xiàng)A，的最小正周期，故A正確；選項(xiàng)B，由，知，所以，所以的最大值為，而得，故B正確；選項(xiàng)C，由得，所以在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，令，則，所以圖象的對(duì)稱中心為，所以點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故D正確.10.BD【詳解】因?yàn)?，選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以有最小值，無(wú)最大值，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，所以的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，故B正確；選項(xiàng)C，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，方程，即，令，而，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，且，如圖得的范圍是，故D正確.11.ABC【詳解】選項(xiàng)A，依題意，可設(shè)圓C方程為，過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)作軸的垂線，過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)作軸的垂線（圖略），則這兩條垂線的交點(diǎn)在圓C上，所以，即，所以橢圓的蒙日?qǐng)A方程為，故A正確；選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)都在圓上，且，所以為圓的直徑，所以面積的最大值為，故B正確；選項(xiàng)，由于為圓的直徑，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，即過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)所以，故C正確；選項(xiàng)D，由直線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，易得點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)，則，又，所以，所以，故D錯(cuò)誤.三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）題號(hào)121314答案71（2分）2023（3分）12.7【詳解】在展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，.所以含的項(xiàng)的系數(shù)是7.13.1【詳解】方法一：由題意知，，，，因此數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，所以.方法二：把看作，則因此數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，所以.14.，【詳解】因?yàn)?，且圖象的對(duì)稱中心為，所以，解得，而，解得；因?yàn)楹瘮?shù)圖象的對(duì)稱中心為，即，所以，同理設(shè)①②由①+②得，所以.四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）15.【詳解】（1）由正弦定理得，，整理可得，.由余弦定理得，.又，則.由正弦定理得，，即，.（2）方法一：由可知，..方法二：由可知，.由得，16.【詳解】（1）在中，，即.又，則有，即.平面平面平面（2）由（1）可知，.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.依題意得，.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，.由三點(diǎn)共線，則有，.又，，可得，..設(shè)平面的法向量為.，取一個(gè)法向量.設(shè)直線與平面所成角為，則.所以，直線與平面所成角的正弦值為.17.【詳解】（1）要證，只需證.當(dāng)時(shí)，令.，令得，.的變化情況如下表所示：1-0+遞減極小值0遞增，即.，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.（2），令得，.（1）當(dāng)時(shí)，又，則，此時(shí)，在單調(diào)遞增，無(wú)極小值，不符題意.（2）當(dāng)時(shí)，的變化情況如下表所示：-0+遞減極小值遞增，即.令，且.不等式即為，.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，.在單調(diào)遞增，又，則.的取值范圍是：.18.【詳解】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）方法一：點(diǎn)差法設(shè)，則，①又在橢圓上，則，兩式相減得：，即：②由①②得，.而，.方法二：橢圓方程代換設(shè)，直線則，①②又，即③由①②③得，方法三：聯(lián)立方程設(shè)，直線則，①聯(lián)立方程得，②由①②得，，則，.又，.（3）設(shè)，先求橢圓在點(diǎn)處的切線的方程.方法一：根據(jù)判別式求解橢圓在點(diǎn)處的切線，設(shè)聯(lián)立方程得，.，即.同理可得，.，可得T點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即又，可得，由題意可知直線的斜率不為0，設(shè).則，整理得，，即.又，則.，即直線恒過(guò)定點(diǎn).方法二：導(dǎo)數(shù)的幾何意