5.1 投影 第2課時(shí) 數(shù)學(xué)北師大版九年級上冊學(xué)案_第1頁
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1投影第2課時(shí)【舊知再現(xiàn)】投影現(xiàn)象:物體在__光線__的照射下,會(huì)在地面或其他平面上留下它的__影子__,這就是投影現(xiàn)象.__影子__所在的平面稱為__投影面__.【新知初探】閱讀教材P129—P130完成下面問題:1.平行投影與正投影(1)平行投影:太陽光線可以看成__平行光線__,像這樣的光線所形成的投影.(2)正投影:平行光線與投影面__垂直__的投影.2.平行投影的規(guī)律(1)在同一時(shí)刻,不同物體的影子的規(guī)律:同一時(shí)刻,不同物體的高度與影長成__正比__,即eq\f(甲物高,甲影長)=__eq\f(乙物高,乙影長)__,且影子的方向__相同__.(2)在不同時(shí)刻,同一物體的影子的變化規(guī)律:就北半球而言,從早晨到傍晚,物體影子的方向:西→__西北__→北→東北→__東__.物體影子的長度:長→__短____→__長__.3.平行投影與中心投影的區(qū)別(1)光:平行投影的光一般是__太陽____,其光線是__平行__的,中心投影的光是點(diǎn)光,其光線交匯于__點(diǎn)光__,是__發(fā)散__的(填“平行”或“發(fā)散”).(2)同一時(shí)刻,陽光下所有物體的影子總是__同一__方向的,而燈光下的影子因光位置不同,影子的方向__也可能不同____.【圖表導(dǎo)思】如圖,AC,DF是太陽光線,BC,F(xiàn)E是物體AB,DF形成的影子.1.AC與DF的關(guān)系是什么?【解析】AC∥DF.2.△ABC與△DEF的關(guān)系是什么?為什么?【解析】△ABC∽△DEF,∵AC∥DF,∴∠DFE=∠ACB,又∠DEF=∠ABC,∴△ABC∽△DEF.3.同一時(shí)刻,物體的影長與高度有什么關(guān)系?【解析】同一時(shí)刻,物體的影長與高度成正比.【質(zhì)疑判斷】1.平行投影中,物體越高影子越長.(√)2.太陽光線是平行的,中心投影的光線是不平行的.(√)3.平行投影與中心投影的區(qū)別是只有光不同.(×)平行投影【教材P131“做一做”拓展】——平行投影作圖如圖,AB和DE是直立在地面上的兩根立柱.AB=4m,某一時(shí)刻AB在陽光下的投影BC=3m.(1)請你在圖中畫出此時(shí)DE在陽光下的投影.(2)在測量AB的投影時(shí),同時(shí)測量出DE在陽光下的投影長為8m,請你計(jì)算DE的長.【完善解答】(1)連接AC,過點(diǎn)D作DF∥AC,交直線BC于點(diǎn)F,線段__EF__即為DE的投影.(2)∵AC∥DF,∴__∠ACB=∠DFE__.兩直線平行同位角相等∵∠ABC=__∠DEF__=90°,∴△ABC∽△DEF.兩角相等的兩個(gè)三角形相似∴AB∶__DE__=BC∶__EF__,相似三角形的性質(zhì)∵AB=4m,BC=3m,EF=8m,∴4∶DE=3∶8,等量代換∴DE=__eq\f(32,3)__(m).求值【歸納提升】平行投影作圖的思路:eq\x(根據(jù)物體與它的影子)?eq\x(畫出太陽光線)?eq\x(畫出平行的另一條太陽光線)?eq\x(畫出另一個(gè)物體的影子)變式一:鞏固(2021·青島質(zhì)檢)如圖,水平方向的粗實(shí)線是旗桿在太陽光下的投影.(1)畫出此時(shí)標(biāo)桿A在太陽光下的影子;(2)如果不想看到標(biāo)桿的影子,標(biāo)桿應(yīng)放在何處.【解析】(1)如圖,線段AB即為所求.(2)應(yīng)放在OC中.變式二:提升某一廣告墻PQ旁有兩根直立的木桿AB和CD,某一時(shí)刻在太陽光下,木桿CD的影子剛好不落在廣告墻PQ上.(1)在圖中畫出此時(shí)的太陽光線CE及木桿AB的影子BF;(2)若AB=6米,CD=3米,CD到PQ的距離DQ的長為4米,求此時(shí)木桿AB的影長.【解析】見全解全析平行投影與相似【教材P130“例2”拓展】——利用三角形相似計(jì)算影子的長度李航想利用太陽光測量樓高.他帶著皮尺來到一棟樓下,發(fā)現(xiàn)對面墻上有這棟樓的影子,針對這種情況,他設(shè)計(jì)了一種測量方案,具體測量情況如下:如示意圖,李航邊移動(dòng)邊觀察,發(fā)現(xiàn)站到點(diǎn)E處時(shí),可以使自己落在墻上的影子與這棟樓落在墻上的影子重疊,且高度恰好相同.此時(shí),測得李航落在墻上的影子高度CD=1.2m,CE=0.6m,CA=30m(點(diǎn)A,E,C在同一直線上).已知李航的身高EF是1.6m,請你幫李航求出樓高AB.【自主解答】過點(diǎn)D作DN⊥AB,垂足為N.交EF于M點(diǎn),∴四邊形CDME,ACDN是矩形,∴AN=ME=CD=1.2m,DN=AC=30m,DM=CE=0.6m,∴MF=EF-ME=1.6-1.2=0.4m.依題意知,EF∥AB,∴△DFM∽△DBN,∴eq\f(DM,DN)=eq\f(MF,BN),即eq\f(0.6,30)=eq\f(0.4,BN),BN=20,AB=BN+AN=20+1.2=21.2米.答:樓高為21.2米.【歸納提升】利用平行投影求物高的步驟1.根據(jù)光線的平行特征構(gòu)造相似三角形,方法有兩種:(1)截線.(2)延長,使圖中出現(xiàn)矩形或直角三角形.2.利用常用的關(guān)系式:eq\f(甲物高,甲影長)=eq\f(乙物高,乙影長),列方程求解.變式一:鞏固如圖,甲樓AB高18米,乙樓CD坐落在甲樓的正北面,已知當(dāng)?shù)囟林形?2時(shí),物高與影長的比是1∶eq\r(2),已知兩樓相距20米,那么甲樓的影子落在乙樓上有多高?(結(jié)果保留根號)【解析】見全解全析變式二:提升(2021·平頂山期末)小明測得樹AB落在水平地面上的影長BC為2.4米,落在坡面上的影長CE為3.2米,身高是1.6米的小明站在坡面上,影子也都落在坡面上,小芳幫他測得他的影長為2m.已知坡面的鉛直高度CH與水平距離DH的比為3∶4,試求樹AB的高度.【解析】見全解全析【一題多變】“影子落在墻上”問題如圖,小明同學(xué)想利用樹影測出樹高AB,他在某時(shí)刻測得直立的標(biāo)桿高1米,影長是0.9米,但他去測樹影時(shí),發(fā)現(xiàn)樹影的上半部分落在墻CD上,他測得BC=2.7米,CD=1.2米.試問你能幫他求出樹高AB為多少米嗎?【解析】因?yàn)橥粫r(shí)刻物高與影長成正比,所以eq\f(標(biāo)桿高度,標(biāo)桿影長)=eq\f(樹影落在地上部分的樹高,落在地上的影長),即eq\f(1,0.9)=eq\f(樹影落在地上部分的樹高,2.7),解得樹影落在地上部分的樹高=3米,所以樹的高度為3+1.2=4.2米.【母題變式】“影子落在臺(tái)階上”問題在陽光下,一名同學(xué)測得一根長為1米的垂直地面的竹竿的影長為0.6米,同時(shí)另一名同學(xué)測量樹的高度時(shí),發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上,有一部分落在教學(xué)樓的第一級臺(tái)階上,測得此影子長為0.2米,一級臺(tái)階高為0.3米,如圖所示,若此時(shí)落在地面上的影長為4.42米,求樹的高度.【解析】如圖,∵eq\f(DE,EH)=eq\f(1,0.6),∴EH=0.3×0.6=0.18(米),∴AF=AE+EH+HF=4.42+0.18+0.2=4.8(米).∵eq\f(AB,AF)=eq\f(1,0.6),∴AB=eq\f(4.8,0.6)=8(米),∴樹的高度為8米.難題拆解(2021·重慶質(zhì)檢)某數(shù)學(xué)興趣小組,利用樹影量樹高,如圖(1)所示,已測出樹AB的影長AC為12m,并測出此時(shí)太陽光線與地面成30°夾角.因水土流失,此時(shí)樹AB沿太陽光線方向倒下,在傾倒過程中,樹影長度發(fā)生了變化,假設(shè)太陽光線與地面夾角保持不變,求樹與地面成45°時(shí)的影長.(用圖(2)解答)層層剖析——清障礙拆解一:求出樹高AB;【解析】在Rt△ABC中,∵∠ACB=30°,∴AB=eq\f(\r(3),3)AC=eq\f(\r(3),3)×12=4eq\r(3)(m),即樹高為4eq\r(3)拆解二:在圖(2)中標(biāo)出AB的影長,并畫出添加輔助線的圖形.【解析】AB的影長是AC.水到渠成——破難題【自主解答】在題干圖(1)中,對于Rt△ABC,∵∠ACB=30°,∴AB=eq\f(\r(3),3)AC=eq\f(\r(3),3)×12=4eq\r(3)(m),即樹高為4eq\r(3)如圖,作BH⊥AC于點(diǎn)H,在Rt△ABH中,∵∠BAH=45°,∴AH=BH=eq\f(\r(2),2)AB=eq\f(\r(2),2)×4eq\

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