第24章 解直角三角形 華東師大版大單元測(cè)試卷(含答案)

第24章解直角三角形時(shí)間:90分鐘滿分:100分一、選擇題(每小題3分,共30分）1.在△ABC中,∠C=90°,a,b,c分別為∠A,∠B,∠C的對(duì)邊,下列各式成立的是()A.sinB=ba B.tanB=ba C.tanB=ab2.如圖,點(diǎn)A(2,t)在第一象限,OA與x軸所夾銳角為α,tanα=2,則t的值為()A.1 B.2 C.4 D.33.如圖,在Rt△ABC中,CD是斜邊AB上的中線,∠A=20°,則∠BCD的度數(shù)是()A.40° B.50° C.60° D.70°4.如圖,若tan30°的值用一個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸(不完整)上表示,則這個(gè)點(diǎn)可能落在()A.①段 B.②段 C.③段 D.④段5.Rt△ABC中,∠C=90°,AC=15,AB邊上的中線CD=172,則sinA為()A.817 B.217 C.1517A.23 B.43 C.227.如圖,工人師傅將截面為矩形的木條鋸成兩部分,四邊形ABCD和四邊形AEFG都是矩形,點(diǎn)C,B,G在同一直線上,CB=a,BG=b,∠AGB=β,則點(diǎn)E到CG的距離等于()A.acosβ+bsinβ B.acosβ+btanβ C.asinβ+btanβ D.bsinβ+atanβ8.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,tanB=34,點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)D作DE∥AB交BC邊于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF⊥BC交AB邊于點(diǎn)F,當(dāng)四邊形ADEF為菱形時(shí),點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為()A.32s B.52s C.127s 9.定義:在等腰三角形中,底邊與腰的比值叫做頂角的正對(duì),頂角A的正對(duì)記作sadA,即sadA=底邊腰.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=4∠B,則cosB·sadA=()A.1 B.32 C.32 10.某地下車庫(kù)出口處安裝了“兩段式欄桿”,如圖(1)所示,點(diǎn)A是欄桿轉(zhuǎn)動(dòng)的支點(diǎn),點(diǎn)E是兩段欄桿的連接點(diǎn).當(dāng)車輛經(jīng)過時(shí),欄桿AEF最多只能升起到如圖(2)所示的位置,其示意圖如圖(3)所示(欄桿寬度忽略不計(jì)),其中AB⊥BC,EF∥BC,∠AEF=143°,AB=AE=1.2m,那么適合該地下車庫(kù)的車輛限高標(biāo)志牌為(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)()圖(1)圖(2)圖(3)ABCD二、填空題(每小題3分,共18分)11.小明站在某商場(chǎng)內(nèi)的自動(dòng)扶梯上,當(dāng)他沿著斜坡向上前進(jìn)了13米時(shí),他在鉛垂方向升高了5米,則該自動(dòng)扶梯所在的斜坡的坡i=.

12.已知△ABC中,∠C=90°,sinA=45,BC=20,則△ABC的周為13.在△ABC中,∠A為銳角,(2sinA-1)2+22-cosB=0,若AB=10,則BC=14.在△ABC中,tanB=34,BC邊上的高AD=6,AC=35,則BC邊的長(zhǎng)等于15.對(duì)于任意銳角α,β,有等式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.結(jié)合所學(xué)知識(shí),利用上述公式可以求得sin75°的值是.

(結(jié)果保留根號(hào))16.如圖,一艘船由A港沿北偏東65°方向航行302km至B港,再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏東20°方向上,則A,C兩港之間的距離為km.

三、解答題(共52分)17.(每小題3分,共6分)計(jì)算:(1)3sin30°·cos60°-tan230°； (2)tan60°+2sin45°tan45°18.(6分)如圖,射線OA放置在3×5的正方形網(wǎng)格中,現(xiàn)請(qǐng)你在圖中找出格點(diǎn)(即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn))B,并連接OB,AB,使△AOB為直角三角形,且(1)使tan∠AOB的值為1;(2)使tan∠AOB的值為12圖(1)圖(2)19.(8分)如圖,在四邊形ABCD中,∠ABC=90°,∠C=45°,CD=2,BD=3.(1)求sin∠CBD的值;(2)若AB=3,求AD的長(zhǎng).20.(10分)如圖,從熱氣球C處測(cè)得兩物體A,B的俯角分別為29.5°和45°.如果這時(shí)氣球的高度CD為80米,且點(diǎn)A,D,B在同一直線上,求物體A,B之間的距離.(結(jié)果精確到1米.參考數(shù)據(jù):sin29.5°≈0.49,cos29.5°≈0.87,tan29.5°≈0.57)21.(10分)某“綜合與實(shí)踐”小組開展了測(cè)量本校旗桿高度的實(shí)踐活動(dòng).他們確定了測(cè)量方案,并完成了實(shí)地測(cè)量.他們?cè)谠撈鞐U底部所在的平地上,選取兩個(gè)不同測(cè)點(diǎn),測(cè)量了該旗桿頂端的仰角以及這兩個(gè)測(cè)點(diǎn)之間的距離.為了減小測(cè)量誤差,該小組在測(cè)量仰角的度數(shù)以及兩個(gè)測(cè)點(diǎn)之間的距離時(shí),都分別測(cè)量了兩次并取它們的平均值作為測(cè)量結(jié)果,測(cè)量數(shù)據(jù)如表(尚不完整).課題測(cè)量旗桿的高度成員組長(zhǎng):×××組員:×××,×××,×××測(cè)量工具測(cè)量角度的儀器,皮尺等測(cè)量示意圖說明:線段GH表示學(xué)校旗桿,測(cè)量角度的儀器的高度AC=BD=1.5m,測(cè)點(diǎn)A,B與H在同一條水平直線上,A,B之間的距離可以直接測(cè)得,且點(diǎn)G,H,A,B,C,D都在同一豎直平面內(nèi),點(diǎn)C,D,E在同一條直線上,點(diǎn)E在GH上.測(cè)量數(shù)據(jù)測(cè)量項(xiàng)目第一次第二次平均值∠GCE的度數(shù)26.4°26.6°26.5°∠GDE的度數(shù)32.7°33.3°33°A,B之間的距離5.9m6.1m……任務(wù)一:兩次測(cè)量A,B之間的距離的平均值是m.

任務(wù)二:根據(jù)以上測(cè)量結(jié)果,請(qǐng)你幫助該“綜合與實(shí)踐”小組求出學(xué)校旗桿GH的高度.(參考數(shù)據(jù):sin26.5°≈0.45,cos26.5°≈0.89,tan26.5°≈0.50,sin33°≈0.54,cos33°≈0.84,tan33°≈0.65)任務(wù)三:該“綜合與實(shí)踐”小組在確定方案時(shí),討論過“利用物體在陽光下的影子測(cè)量旗桿的高度”的方案,但未被采納.你認(rèn)為其原因可能是什么?(寫出一條即可)22.(12分)在△ABC中,∠ABC=90°.(1)如圖(1),分別過A,C兩點(diǎn)作經(jīng)過點(diǎn)B的直線的垂線,垂足分別為點(diǎn)M,N,求證:△ABM∽△BCN;(2)如圖(2),P是邊BC上一點(diǎn),∠BAP=∠C,tan∠PAC=255,求tanC(3)如圖(3),D是邊CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),AE=AB,∠DEB=90°,sin∠BAC=35,ADAC=25,求tan∠圖(1) 圖(2) 圖(3)參考答案與解析第24章解直角三角形1.B2.C3.D=∠A=20°,∴∠BCD=90°-∠DCA=70°.4.A5.A在Rt△ABC中,CD是AB邊上的中線,∴AB=2CD=2×172=17,由勾股定理得BC=AB2-AC2=1726.C如圖,過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D,由題意可知點(diǎn)D位于格點(diǎn)上,且AD=BD,∴∠ABC=45°,∴cos∠ABC=cos45°=22另解：如圖,過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.在Rt△ABD中,∠ADB=90°,AD=BD=3,∴AB=AD2+BD2=32+32=32,∴7.B(轉(zhuǎn)化思想)如圖,過點(diǎn)E作EH⊥BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.∵∠BAG+∠AGB=90°,∠BAG+∠HAE=90°,∴∠HAE=∠AGB=β.∵BG=b,tanβ=ABb,∴AB=btanβ.∵AE=AD=BC=a,∴cosβ=AHa,∴AH=acosβ,AH+AB=acosβ+btanβ.8.D∵在Rt△ABC中,AB=5cm,tanB=34,∴AC=3cm,BC=4cm.設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)ts后,四邊形ADEF是菱形，∴DE=AD=tcm,CD=(3-t)cm.∵DE9.C∵在△ABC中,AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠BAC+∠B+∠C=180°且∠BAC=4∠B,∴6∠B=180°,解得∠B=30°,∴cosB=32.如圖,過點(diǎn)AAD⊥BC于點(diǎn)D,設(shè)AD=a,則AB=2a,BD=3a.∵BC=2BD,∴BC=23a,∴sad∠BAC=BCAB=23a2a=3,∴cosB·sad∠BAC=3210.A如圖,過點(diǎn)A作BC的平行線AG,過點(diǎn)E作EH⊥AG于點(diǎn)H,則∠AHE=∠EHG=∠HEF=90°.因?yàn)椤螦EF=143°,所以∠AEH=∠AEF-∠HEF=53°,所以∠EAH=37°.在Rt△EAH中,EH=AE·sin∠EAH≈1.2×0.60=0.72(m),所以AB+EH=1.2+0.72=1.92(m).11.1∶2.4設(shè)當(dāng)自動(dòng)扶梯向上前進(jìn)13米時(shí),水平方向前進(jìn)了x米,根據(jù)勾股定理,得x2+52=132,解得x=12(負(fù)值已舍去),故該自動(dòng)扶梯所在斜坡的坡度i=5∶12=1∶2.4.12.60∵在△ABC中,∠C=90°,sinA=45=BCAB,BC=20,∴AB=25.由勾股定理得,AC=AB2-BC13.52由題意得2sinA-1=0,22-cosB=0,解得sinA=∴∠C=90°,∴sinA=BCAB=BC10,∴BC=10sinA=10×2214.5或11當(dāng)AD在△ABC外部時(shí),如圖(1),則BD=ADtanB=6AC2-AD2=(35)2-62=3,∴BC=BD-CD=8-3=5.當(dāng)AD在△ABC內(nèi)部時(shí),如圖(2),則+CD=8+3=11.綜上,BC邊的長(zhǎng)等于5或11.

圖(1)圖(2)15.6+2416.(30+103)根據(jù)題意,得∠CAB=65°-20°=45°,∠ACB=40°+20°=60°，AB=302.過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E,則∠AEB=∠CEB=90°.在Rt△ABE中,∵∠EAB=45°,AB=302,∴AE=BE=22AB=30.在RtCBE中,∵∠ACB=60°,∴CE=33BE=103，∴AC=AE+CE=30+103∴A,C兩港之間的距離為(30+103)km.17.解：(1)原式=3×12×12-(33)2=34-13=5(2)原式=3+2×221-32=3+2-32=3218.解：(1)如圖(1)所示.(3分)(2)如圖(2)所示.(6分)圖(1)圖(2)19.思路導(dǎo)圖：解：(1)如圖,過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E.在Rt△CED中,∵∠C=45°,CD=2,∴CE=DE=1.(2分)在Rt△BDE中,sin∠CBD=DEBD=13.(4分(2)如圖,過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F,則∠BFD=∠BED=∠ABC=90°,∴四邊形BEDF是矩形,∴BF=DE=1.(6分)∵BD=3,∴DF=32-1∵AF=AB-BF=2,∴AD=(22)2+22=220.解：(“背靠背”型)由已知得，∠ECA=29.5°,∠FCB=45°,CD=80米，EF∥AB,CD⊥AB,(2分)∴∠A=∠ECA=29.5°,∠B=∠FCB=45°,∴BD=CD=80米.(4分)在Rt△ACD中,∠CDA=90°,tanA=CDAD,∴AD=CDtanA≈800.57≈140(米),(6∴AB=AD+BD=140+80=220(米).(9分)答:物體A,B之間的距離約為220米.(10分)21.解：任務(wù)一:6(2分)任務(wù)二:設(shè)EG=xm,在Rt△DEG中,∠DEG=90°,∠GDE=33°.∵tan33°=EGDE,∴DE=xtan33°m.(4分在Rt△CEG中,∠CEG=90°,∠GCE=26.5°.∵tan26.5°=EGCE,∴CE=xtan26.5°m.(6分又∵CD=CE-DE=AB=6m,∴xtan26.5°-xtan33°=6,∴GH=EG+EH=13+1.5=14.5(m).答:旗桿GH的高度約為14.5m.(8分)任務(wù)三:受天氣條件影響,沒有太陽光線.(答案不唯一,合理即可得分)(10分)22.解：(1)證明:∵∠M=∠ABC=90°,∴∠MAB+∠MBA=∠NBC+∠MBA=90°,∴∠MAB=∠NBC.又∵∠M=∠N=90°,∴△ABM∽△BCN.(3分)(2)過點(diǎn)P作PM⊥AP,交AC于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MN⊥PC于點(diǎn)N,如圖(1),則△PMN∽△APB,∴PNAB=PMAP=tan∠PAC=255.設(shè)PN=2t,則AB=5t,∵∠BAP=∠MPC,∠BAP=∠C,∴∠MPC=∠C,∴CN=PN=2t.易知△ABP∽△CBA,