第24章 解直角三角形 華師版九年級上冊數(shù)學測試卷(含答案)

第24章測試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，合計30分．1.（2020?洛陽孟津期末）把Rt△ABC各邊的長度都擴大3倍的Rt△A′B′C′，對應銳角A，A′的正弦值的關系為（B）A．sinA＝3sinA′ B．sinA＝sinA′ C．3sinA＝sinA′ D．不能確定2.在△ABC中，，則△ABC為（）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．含60°的任意三角形 D．是頂角為鈍角的等腰三角形【答案】A【分析】首先結合絕對值以及偶次方的性質得出tanA﹣3＝0，2cosB﹣＝0，進而利用特殊角的三角函數(shù)值得出答案．解：∵（tanA﹣3）2+|2cosB﹣|＝0，∴tanA﹣3＝0，2cosB﹣＝0，∴tanA＝，cosB＝，∠A＝60°，∠B＝30°，∴△ABC為直角三角形．故選：A．3.如圖，在△ABC中，D、E、F分別為BC、AC、AB的中點，AH⊥BC于點H，F(xiàn)D＝10cm，則HE的值為（）A．20cm B．16cm C．10cm D．8cm【答案】C【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得AC＝2FD，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得HE＝AC．解：∵D、F分別為BC、AB的中點，∴AC＝2FD＝2×10＝20cm，∵AH⊥BC，∴HE＝AC＝×20＝10cm．故選：C．4.（2020·吉林長春市·中考真題）比薩斜塔是意大利的著名建筑，其示意圖如圖所示．設塔頂中心點為點，塔身中心線與垂直中心線的夾角為，過點向垂直中心線引垂線，垂足為點．通過測量可得、、的長度，利用測量所得的數(shù)據(jù)計算的三角函數(shù)值，進而可求的大?。铝嘘P系式正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】確定所在的直角三角形，找出直角，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義求解；【詳解】由題可知，△ABD是直角三角形，，，,．選項B、C、D都是錯誤的，故答案選A．5.數(shù)學課外興趣小組同學們要測量被池塘相隔的兩棵樹A，B的距離，他們設計了如圖的測量方案：從樹A沿著垂直于AB的方向走到E，再從E沿著垂直于AE的方向走到F，C為AE上一點，其中4位同學分別測得四組數(shù)據(jù)：①AC，∠ACB；②EF，DE，AD；③CD，∠ACB，∠ADB；④∠F，∠ADB，F(xiàn)B．其中能根據(jù)所測數(shù)據(jù)求得A，B兩樹距離的有（）A.1組 B.2組 C.3組 D.4組答案:C6.如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，D為BC的中點，若動點E以1cm/s的速度從A點出發(fā)，沿著A→B→A的方向運動，設E點的運動時間為t秒（0≤t＜6），連接DE，當△BDE是直角三角形時，t的值為（）A．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.5【答案】D【分析】由Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，可求得AB的長，由D為BC的中點，可求得BD的長，然后分別從若∠DEB＝90°與若∠EDB＝90°時，去分析求解即可求得答案．解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，∴AB＝2BC＝4（cm），∵BC＝2cm，D為BC的中點，動點E以1cm/s的速度從A點出發(fā)，∴BD＝BC＝1（cm），BE＝AB﹣AE＝4﹣t（cm），若∠BED＝90°，當A→B時，∵∠ABC＝60°，∴∠BDE＝30°，∴BE＝BD＝（cm），∴t＝3.5，當B→A時，t＝4+0.5＝4.5．若∠BDE＝90°時，當A→B時，∵∠ABC＝60°，∴∠BED＝30°，∴BE＝2BD＝2（cm），∴t＝4﹣2＝2，當B→A時，t＝4+2＝6（舍去）．綜上可得：t的值為2或3.5或4.5．故選：D．7.（2020·貴州遵義市·中考真題）構建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結合”思想的重要性，在計算tan15°時，如圖．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長CB使BD＝AB，連接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．類比這種方法，計算tan22.5°的值為（）A． B．﹣1 C． D．【答案】B【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延長CB到D，使BD＝AB，連接AD，根據(jù)構造的直角三角形，設AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.【詳解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延長CB到D，使BD＝AB，連接AD，設AC＝x，則：BC＝x，AB＝，CD＝，故選：B.8.（2020·湖北咸寧市·中考真題）如圖，在矩形中，，，E是的中點，將沿直線翻折，點B落在點F處，連結，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)折疊的性質得到∠AEB=∠AEF，再根據(jù)點E是BC中點可得EF=EC，可得∠EFC=∠ECF，從而推出∠ECF=∠AEB，求出即可得到結果.解：由折疊可得：AB=AF=2，BE=EF，∠AEB=∠AEF，∵點E是BC中點，，∴BE=CE=EF=，∴∠EFC=∠ECF，AE=，∵∠BEF=∠AEB+∠AEF=∠EFC+∠ECF，∴∠ECF=∠AEB，∴==，故選C.9.（2020·山東濟南市·中考真題）如圖，△ABC、△FED區(qū)域為駕駛員的盲區(qū)，駕駛員視線PB與地面BE的央角∠PBE＝43°，視線PE與地面BE的夾角∠PEB＝20°，點A，F(xiàn)為視線與車窗底端的交點，AFBE，AC⊥BE，F(xiàn)D⊥BE．若A點到B點的距離AB＝1.6m，則盲區(qū)中DE的長度是（）（參考數(shù)據(jù)：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m【答案】B【分析】首先證明四邊形ACDF是矩形，利用∠PBE的正弦值可求出AC的長，即可得DF的長，利用∠PEB的正切值即可得答案．【詳解】∵FD⊥AB，AC⊥EB，∴DF∥AC，∵AF∥EB，∴四邊形ACDF是平行四邊形，∵∠ACD＝90°，∴四邊形ACDF是矩形，∴DF＝AC，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠ABE=43°，∴AC＝AB?sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m），∴DF＝AC＝1.12（m），在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，∠PEB=20°，∴tan∠PEB＝≈0.4，∴DE≈＝2.8（m），故選：B．10.（2020·四川廣元市·中考真題）規(guī)定：給出以下四個結論：（1）；（2）；（3）；（4）其中正確的結論的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)題目所規(guī)定的公式，化簡三角函數(shù)，即可判斷結論．【詳解】解：（1），故此結論正確；（2），故此結論正確；（3）故此結論正確；（4）==，故此結論錯誤.故選：C．二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，合計15分．11.（2020·貴州黔南布依族苗族自治州·中考真題）如圖所示，在四邊形中，，，．連接，，若，則長度是_________．【答案】10【分析】根據(jù)直角三角形的邊角間關系，先計算，再在直角三角形中，利用勾股定理即可求出．解：在中，∵，∴．在中，．故答案為：10．12.如圖，△ABC中，AB＝AC，以AC為斜邊作Rt△ADC，使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB＝28°，E、F分別是BC、AC的中點，則∠EDF＝．【分析】根據(jù)直角三角形的性質得到DF＝AC＝AF，根據(jù)三角形的外角性質得到∠DFC＝∠FDA+∠CAD＝56°，根據(jù)三角形中位線定理得到EF＝AB，EF∥AB，根據(jù)平行線的性質、三角形內(nèi)角和定理計算即可．解：∵∠ADC＝90°，F(xiàn)是AC的中點，∴DF＝AC＝AF，∴∠FDA＝∠CAD＝28°，∴∠DFC＝∠FDA+∠CAD＝56°，∵E、F分別是BC、AC的中點，∴EF＝AB，EF∥AB，∴∠EFC＝∠CAB＝28°，∴∠EFD＝56°+28°＝84°，∵AB＝AC，∴FE＝FD，∴∠EDF＝∠DEF＝×（180°﹣84°）＝48°，故答案為：48°．13.（2020秋?鎮(zhèn)平縣期末）如圖，AB是一垂直于水平面的建筑物，BC是建筑物底端的一個平臺，斜坡CD的坡度（或坡比）為i＝1：0.75，坡長為10米，DE為地平面（A，B，C，D，E均在同一平面內(nèi)），則平臺距地面的高度為．【答案】8米．【分析】延長AB交ED的延長線于F，過C作CG⊥EF于G，則BF＝CG，設CG＝4x米，則DG＝3x米，由勾股定理得出方程，解方程即可．解：如圖，延長AB交ED的延長線于F，過C作CG⊥EF于G，則BF＝CG，在Rt△CDG中，i＝＝1：0.75＝，CD＝10米，設CG＝4x米，則DG＝3x米，由勾股定理得：（4x）2+（3x）2＝102，解得：x＝2，∴CG＝8（米），GD＝6（米），∴BF＝CG＝8米，即平臺距地面的高度為8米，故答案為：8米．14.（2020·江蘇蘇州市·中考真題）如圖，已知是一個銳角，以點為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交、于點、，再分別以點、為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點，畫射線．過點作，交射線于點，過點作，交于點．設，，則________．【答案】【分析】連接AB交OD于點H，過點A作AG⊥ON于點G，根據(jù)等腰三角形的性質得OH⊥AB，AH=BH，從而得四邊形ABED是平行四邊形，利用勾股定理和三角形的面積法，求得AG的值，進而即可求解．【詳解】連接AB交OD于點H，過點A作AG⊥ON于點G，由尺規(guī)作圖步驟，可得：OD是∠MON的平分線，OA=OB，∴OH⊥AB，AH=BH，∵，∴DE∥AB，∵，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴AB=DE=12，∴AH=6，∴OH=，∵OB?AG=AB?OH，∴AG===，∴=．故答案是：．

15.（2020·山東濟南市·中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，AD＝10，AB＝8，將AB沿AE翻折，使點B落在處，AE為折痕；再將EC沿EF翻折，使點C恰好落在線段EB'上的點處，EF為折痕，連接．若CF＝3，則tan＝_____．【答案】【分析】連接AF，設CE＝x，用x表示AE、EF，再證明∠AEF＝90°，由勾股定理得通過AF進行等量代換列出方程便可求得x，再進一步求出B′C′，便可求得結果．【詳解】解：連接AF，設CE＝x，則C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，由折疊知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，∴2x2﹣20x+173＝125，解得，x＝4或6，當x＝6時，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合題意，應舍去，∴CE＝C′E＝4，∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，∴tan∠B'AC′＝=．故答案為：．三、解答題：本大題共8小題，合計75分．第16題8分,第17、18、19、20題每題9分，第21、22題每題10分，第23題11分16.（2020·吉林長春市·中考真題）如圖，在中，是對角線、的交點，，，垂足分別為點、．（1）求證：．（2）若，，求的值．【分析】（1）根據(jù)題意由平行四邊形性質得，由ASA證得，即可得出結論；（2）根據(jù)題意由（1）得OE=OF，則OE=2，在Rt△OEB中，由三角函數(shù)定義即可得出結果．解：（1）證明：在中，∵，∴∴又∵∴∴（2）∵，∴∵∴在中，，.17.計算或求值:(1)（2020·洛陽孟津期末）解：原式＝=．(2)（2021·洛陽汝陽期末）已知：x＝1﹣2cos45°，y＝1+2sin45°，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．解：∵x＝1﹣2cos45°＝1﹣2×＝1﹣，y＝1+2sin45°＝1+2×＝1+，∴xy＝（1﹣）（1+）＝1﹣2＝﹣1，x﹣y＝1﹣﹣1﹣＝﹣2，則原式＝x2+y2﹣2xy+xy﹣2（x﹣y）＝（x﹣y）2+xy﹣2（x﹣y）＝（﹣2）2+（﹣1）﹣2×（﹣2）＝8﹣1+4＝7+4．18.（2020·南陽內(nèi)鄉(xiāng)期末）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一點，若tan∠DBA＝．（1）求AD的長；（2）求sin∠DBC的值．解：（1）過點D作DH⊥AB于點H，∵等腰三角形ABC，∠C＝90°∴∠A＝45°，∴AH＝DH，設AH＝x，∴DH＝x，∵tan∠DBA＝，∴BH＝5x，∴AB＝6x，∵AC＝6，∴由勾股定理可知：AB＝6，∴x＝，∴AH＝DH＝，∴由勾股定理可知：AD＝2；（2）由于AD＝2∴DC＝4，∴由勾股定理可知：DB＝2，∴，19.（2020·河南模擬）在某飛機場東西方向的地面l上有一長為1km的飛機跑道MN（如圖），在跑道MN的正西端14.5千米處有一觀察站A．某時刻測得一架勻速直線降落的飛機位于點A的北偏西30°，且與點A相距15千米的B處；經(jīng)過1分鐘，又測得該飛機位于點A的北偏東60°，且與點A相距5千米的C處．（1）該飛機航行的速度是多少千米/小時？（結果保留根號）（2）如果該飛機不改變航向繼續(xù)航行，那么飛機能否降落在跑道MN之間？請說明理由．解：（1）由題意，得∠BAC＝90°，∴BC＝＝10，∴飛機航行的速度為：10×60＝600（km/h）；（2）能.理由如下：如圖，作CE⊥l于點E，設直線BC交l于點F．在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝10，∴∠ABC＝30°，即∠BCA＝60°．又∵∠CAE＝30°，∠ACE＝∠FCE＝60°，∴CE＝AC?sin∠CAE＝，AE＝AC?cos∠CAE＝．則AF＝2AE＝15（km），∴AN＝AM+MN＝14.5+1＝15.5km.∵AM＜AF＜AN，∴飛機不改變航向繼續(xù)航行，可以落在跑道MN之間．20.（2020·山西中考真題）圖①是某車站的一組智能通道閘機，當行人通過時智能閘機會自動識別行人身份，識別成功后，兩側的圓弧翼閘會收回到兩側閘機箱內(nèi)，這時行人即可通過．圖②是兩圓弧翼展開時的截面圖，扇形和是閘機的“圓弧翼”，兩圓弧翼成軸對稱，和均垂直于地面，扇形的圓心角，半徑，點與點在同一水平線上，且它們之間的距離為．（1）求閘機通道的寬度，即與之間的距離（參考數(shù)據(jù)：，，）；（2）經(jīng)實踐調查，一個智能閘機的平均檢票速度是一個人工檢票口平均檢票速度的倍，人的團隊通過一個智能閘機口比通過一個人工檢票口可節(jié)約分鐘，求一個智能閘機平均每分鐘檢票通過的人數(shù)．【答案】（1）與之間的距離為；（2）一個智能閘機平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為人．【分析】（1）連接，并向兩方延長，分別交，于點，,則，,根據(jù)的長度就是與之間的距離，依據(jù)解直角三角形，即可得到可以通過閘機的物體的最大寬度；（2）設一個人工檢票口平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為人，根據(jù)“一個智能閘機的平均檢票速度是一個人工檢票口平均檢票速度的倍，人的團隊通過一個智能閘機口比通過一個人工檢票口可節(jié)約分鐘”列出分式方程求解即可；還可以設一個智能閘機平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為人，根據(jù)題意列方程求解．【詳解】解：連接，并向兩方延長，分別交，于點，．由點與點在同一水平線上，，均垂直于地面可知，，，所以的長度就是與之間的距離．同時，由兩圓弧翼成軸對稱可得．在中，，，，，．．與之間的距離為．（1）解法一：設一個人工檢票口平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為人．根據(jù)題意，得解，得．經(jīng)檢驗是原方程的解當時，答：一個智能閘機平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為人．解法二：設一個智能閘機平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為人．根據(jù)題意，得．解，得經(jīng)檢驗是原方程的解．答：一個智能閘機平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為人．21.為了豐富學生的文化生活，學校利用假期組織學生到紅色文化基地A和人工智能科技館C參觀學習如圖，學校在點B處，A位于學校的東北方向，C位于學校南偏東30°方向，C在A的南偏西15°方向處．學生分成兩組，第一組前往A地，第二組前往C地，兩組同學同時從學校出發(fā)，第一組乘客車，速度是，第二組乘公交車，速度是，兩組同學到達目的地分別用了多長時間？哪組同學先到達目的地？請說明理由（結果保留根號）【答案】第一組用時1.5小時，第二組用時小時，第二組先到達目的地，理由見解析【分析】法1：過點B作BDAC于D，在中證得，設，則，在中，，利用三角函數(shù)定義或勾股定理表示出AD的長，在中，利用三角函數(shù)表示出CD的長，由AD＋CD＝AC列出方程問題得解；法2與法1輔助組相同，不同點是法2是在BCD中，利用三角定義列方程求解．【詳解】方法1：解：作于D．依題意得，，，，．在中，，，，，，設，則，在中，，，，，（或者由勾股定理得）在中，，，，，，，，，，第一組用時：；第二組用時：，∴第二組先到達目的地，答：第一組用時1.5小時，第二組用時小時，第二組先到達目的地．方法2：解：于點D，依題意得：，，．，，在中，，，，設，則，由勾股定理得：，，，在中，，，，，，第一組用時：；第二組用時：，第二組先到達目的地．答：第一組用時1.5小時，第二組用時小時，第二組先到達目的地．22.（2020·云南昆明市·中考真題）（材料閱讀）2020年5月27日，2020珠峰高程測量登山隊成功登頂珠穆朗瑪峰，將用中國科技“定義”世界新高度．其基本原理之一是三角高程測量法，在山頂上立一個規(guī)標，找到2個以上測量點，分段測量山的高度，再進行累加．因為地球面并不是水平的，光線在空氣中會發(fā)生折射，所以當兩個測量點的水平距離大于300m時，還要考慮球氣差，球氣差計算公式為f＝（其中d為兩點間的水平距離，R為地球的半徑，R取6400000m），即：山的海拔高度＝測量點測得山的高度+測量點的海拔高度+球氣差．（問題解決）某?？萍夹〗M的同學參加了一項野外測量某座山的海拔高度活動．如圖，點A，B的水平距離d＝800m，測量儀AC＝1.5m，覘標DE＝2m，點E，D，B在垂直于地面的一條直線上，在測量點A處用測量儀測得山項覘標頂端E的仰角為37°，測量點A處的海拔高度為1800m．（1）數(shù)據(jù)6400000用科學記數(shù)法表示為；（2）請你計算該山的海拔高度．（要計算球氣差，結果精確到0.01m）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】（1）6.4×106；（2）2399.54m【分析】（1）科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．（2）如圖，過點C作