《琴生不等式的幾何應(yīng)用綜述》

琴生不等式的幾何應(yīng)用綜述在幾何問題中常出現(xiàn)最值和不等式，內(nèi)容豐富，方法和技巧靈活。有時(shí)很難用純平面幾何來求解。如果把握幾何圖形的特點(diǎn)，找出基本的不等式關(guān)系，利用函數(shù)的凹凸性，借助于琴生不等式，往往是解決問題的關(guān)鍵所在。1.1證明幾何不等式【例6】在?ABC中，求證,其中r為?ABC內(nèi)切圓半徑，R為?ABC外接圓半徑，a,b,c為?ABC的三邊長(zhǎng)[14]。證：令p=12(a+b+c),則有,于是1現(xiàn)在證明題目中最后一個(gè)不等式，利用G2(p?a)(p?b)≤利用上式，有同理，有，將上述三個(gè)不等式相加，有1原不等式得證?！纠?】如圖1所示，在?ABC中，點(diǎn)I是內(nèi)心，求證：3AI+BI+CI≤a+b+c證：做ID垂直與AB，D為垂足（見圖1）AADDIIBBCC圖圖SEQ圖\*ARABIC1,其中,從上式，有AI=類似的，有BI=所以，有AI+BI+CI=≤=將上式兩端同時(shí)開方，再乘以3，得3AI+BI+CI≤【例8】O為銳角?ABC的外心，?ABC的三邊分別為a,b,c，O到三邊的距離分別為OD，OE，OF，證明：a+b+c>2(0D+OE+OF)[證：如圖2所示，α+β+同理有β=CCγEDγEDβαBAβαBAOOFF圖2由正弦定理和余弦定理的定義知，本題即證在?ABC中sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC不妨設(shè)A≥B≥C,sinA+sinB+sinC>=sinA+1+=由于cosx在為下凸函數(shù)，所以cosA+cosB+cosC所以sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC原不等式得證。1.2求（證明）幾何最值【例9】證明在周長(zhǎng)為2p的三角形中，正三角形的面積最大[16]證：設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為x,y其中,同時(shí)取對(duì)數(shù)得令f(t)=ln(p?t),f''當(dāng)且僅當(dāng)p?x=p?y=此時(shí)， 有最大值所以,此時(shí)三角形為正三角形。A【例10】證明：圓的所有外切三角形中，正三角形的面積最小值。A2γ

2γBBC2βC2β2α圖圖3證：如圖3，設(shè)圓的半徑為r,該圓的任一外接?ABC三切點(diǎn)處的半徑兩兩相夾的圓心角分別為2α，2β，2γ，其中α+β+γ=π，0<α,β,γ<S由于y=tanx在（0，πtanα+tanβ+tanγ當(dāng)且僅當(dāng)α=β=γ=即當(dāng)?ABC為正三角形時(shí)，S?ABC面積最小，最小面積為3【例11】設(shè)任意n多