專題11.9 三角形（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）（人教版）（學(xué)生版） 2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（人教版）

專題11.9三角形（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)1.三角形三邊的關(guān)系：定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊的之差小于第三邊.理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長(zhǎng)之和大于最長(zhǎng)線段的長(zhǎng)，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當(dāng)已知三角形兩邊長(zhǎng)，可求第三邊長(zhǎng)的取值范圍．2.三角形按“邊”分類：3.三角形的重要線段：（1）三角形的高從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡(jiǎn)稱三角形的高．三角形的三條高所在的直線相交于一點(diǎn)的位置情況有三種：銳角三角形交點(diǎn)在三角形內(nèi)；直角三角形交點(diǎn)在直角頂點(diǎn)；鈍角三角形交點(diǎn)在三角形外.（2）三角形的中線三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與它的對(duì)邊中點(diǎn)的連線叫三角形的中線，一個(gè)三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，叫做三角形的重心．中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形.（3）三角形的角平分線三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.一個(gè)三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心.【知識(shí)點(diǎn)二】三角形的穩(wěn)定性

如果三角形的三邊固定，那么三角形的形狀大小就完全固定了，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性．

【知識(shí)點(diǎn)三】三角形的內(nèi)角和與外角和1.三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．推論：1.直角三角形的兩個(gè)銳角互余；2.有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性質(zhì)：（1）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．（2）三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.【知識(shí)點(diǎn)四】多邊形及有關(guān)概念

1.多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.

2.正多邊形：各個(gè)角都相等、各個(gè)邊都相等的多邊形叫做正多邊形.如正三角形、正方形、正五邊形等．3.多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線.

(1)從n邊形一個(gè)頂點(diǎn)可以引（n－3）條對(duì)角線，將多邊形分成（n－2）個(gè)三角形；(2)n邊形共有條對(duì)角線．

【知識(shí)點(diǎn)五】多邊形的內(nèi)角和及外角和公式

1.內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和為(n－2)·180°(n≥3，n是正整數(shù))．

2.多邊形外角和：n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān).

第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】利用三角形三邊關(guān)系求邊或證明【例1】（23-24七年級(jí)下·江蘇揚(yáng)州·期中）已知的三邊長(zhǎng)是．（1）若，且三角形的周長(zhǎng)是小于22的偶數(shù)，求的值；（2）化簡(jiǎn)．【變式1】（23-24九年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·開(kāi)學(xué)考試）在周長(zhǎng)為25的三角形中，最短邊是x，另一邊是，則x的取值范圍（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24七年級(jí)下·江蘇蘇州·期中）如果等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和7，那么它的周長(zhǎng)為．【題型2】利用三角形三條重要線段進(jìn)行求值或證明【例2】（22-23七年級(jí)下·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖：中，點(diǎn)D在上，且，E是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)F.

（1）寫(xiě)出圖中哪條線段是哪個(gè)三角形的角平分線，哪條線段是哪個(gè)三角形的中線？（2）若，且的面積為3，求出的面積.【變式1】（22-23七年級(jí)下·江蘇蘇州·期中）如圖，為的中線，為的中線．若的面積為12，，則中邊上的高為（）A．1 B．4 C．3 D．2【變式2】如圖，在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線，則∠DAE=.【題型3】利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行求值或證明【例3】（2024七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，中，是上一點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，連接．若．（1）求證：．（2）若，平分，求的度數(shù)．【變式1】（23-24七年級(jí)下·陜西榆林·階段練習(xí)）如圖，將長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)角線折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，交于點(diǎn)O．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式2】（2024七年級(jí)下·江蘇·專題練習(xí)）將一副三角尺按如圖所示放置，直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，，，斜邊，垂足為，則．【題型4】利用三角形外角性質(zhì)進(jìn)行求值或證明【例4】（23-24七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，已知是的角平分線，是的外角的平分線，延長(zhǎng)，分別交于點(diǎn)F，P．（1）求證：；（2）小軒同學(xué)探究后提出等式：，請(qǐng)通過(guò)推理論證判斷“小軒發(fā)現(xiàn)”是否正確；（3）若，求的度數(shù)．【變式1】（2024·河南·三模）如圖所示的是一輛自動(dòng)變速自行車的實(shí)物圖，圖2是抽象出來(lái)的部分示意圖，已知直線EF與BD相交于點(diǎn)P，，，，則的大小為（

）A． B． C． D．85°【變式2】（2024·河北邯鄲·三模）如圖，從A觀察公路的走向是北偏東，在A的北偏東方向上有一點(diǎn)C，在點(diǎn)B處測(cè)得點(diǎn)C在北偏東的方向上．（1）點(diǎn)B位于點(diǎn)C的方向上；（2）°．【題型5】利用直角三角形兩銳角關(guān)系進(jìn)行求值【例5】如圖，中，．（1）試說(shuō)明是的高；（2）如果，求的長(zhǎng)．【變式1】（22-23八年級(jí)上·山東德州·階段練習(xí)）在下列條件中不能判定為直角三角形的是（

）A． B．C． D．【變式2】（23-24七年級(jí)下·河南鄭州·期中）在直角三角形中，比的3倍還多，則的大小為．【題型6】利用多邊形內(nèi)角和與外角和求邊數(shù)或度數(shù)【例6】（23-24八年級(jí)下·河南平頂山·期中）已知一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都比它相鄰的外角的4倍多．（1）求這個(gè)多邊形是幾邊形？并求出這個(gè)多邊形的內(nèi)角和．（2）求這個(gè)多邊形的對(duì)角線的條數(shù)．【變式1】（23-24七年級(jí)下·四川德陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，平分交于點(diǎn)E，，，M，N分別是延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，和的平分線交于點(diǎn)F．則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24八年級(jí)下·浙江湖州·階段練習(xí)）若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川德陽(yáng)·中考真題）如圖是某機(jī)械加工廠加工的一種零件的示意圖，其中，，則等于（

）A． B． C． D．【例2】（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖，在中，，分別是內(nèi)角、外角的三等分線，且，，在中，，分別是內(nèi)角，外角的三等分線．且，，…，以此規(guī)律作下去．若．則度．2、拓展延伸【例1】（23-24七年級(jí)下·湖北武漢·期中）如圖，，N為上一點(diǎn)，直線交于M，交于F，且，若點(diǎn)P為射線上一點(diǎn)，平分，平分交于H，交于T，則的度數(shù)