專(zhuān)題01 全等三角形（解析版）【挑戰(zhàn)壓軸題】2022屆中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題匯編

2021-2022學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)壓軸題專(zhuān)題精選匯編

專(zhuān)題01全等三角形

一.選擇題

1.（2021春?溫江區(qū)期末）如圖，小明站在堤岸的4點(diǎn)處，正對(duì)他的S點(diǎn)停有一艘游艇.他想知道這艘游艇

距離他有多遠(yuǎn)，于是他沿堤岸走到電線(xiàn)桿8旁，接著再往前走相同的距離，到達(dá)C點(diǎn).然后他向左直行，

當(dāng)看到電線(xiàn)桿與游艇在一條直線(xiàn)上時(shí)停下來(lái)，此時(shí)他位于。點(diǎn).那么C,。兩點(diǎn)間的距離就是在A點(diǎn)處

小明與游艇的距離.在這個(gè)問(wèn)題中，可作為證明△SABgADCB的依據(jù)的是（）

S

D

A.SAS或SSSB.AAS或SSSC.4sA或A4SD.ASA或SAS

【完整解答】解：在△A8S與△C5D中，

'/A=NC=90°

?AB=CB，

,ZABS=ZCBD

:/ABS@ACBDCASA）；

或；AS〃C￡>,

.*.ZS=ZD.

在△ABS與△CB力中，

'/S=ND

，ZABS=ZDBC.

AB=CB

:AABS0ACBD（AAS）；

綜上所述，作為證明aSAB絲ADCB的依據(jù)的是ASA或AAS.

故選：C.

2.（2021春?寧波期末）如圖，正方形ABCO被分割成2個(gè)長(zhǎng)方形和1個(gè)正方形，要求圖中陰影部分的面

積，只要知道下列圖形的面積是（)

AD

E

C

BH

A.長(zhǎng)方形AEFOB.長(zhǎng)方形BEGHC.正方形CFG”D.長(zhǎng)方形8CFE

【完整解答】解：如圖所示：在△GQF與^BGE中，

'GF=BE

<ZGFD=ZGEB=90°.

,DF=GE

：.4GDF咨ABGECSAS）.

SAGDF-SABEG，

則Smi-S^EFB--^-SW'KBCFE-

2

所以只要知道長(zhǎng)方形BCFE的面積即可求得答案.

故選：D.

3.（2021?哈爾濱）如圖，△A8C名△OEC,點(diǎn)4和點(diǎn)。是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，點(diǎn)8和點(diǎn)E是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作

AFLCD,垂足為點(diǎn)凡若/BCE=65°,則NC4尸的度數(shù)為（）

【完整解答】解：'：/\ABC^/\DEC,

：.NACB=NDCE,

VZBC￡=65O,

ZACD=ZBCE=65°,

■：AF±CD,

：.ZAFC=90°,

：.ZCAF+ZACD=90a,

AZCAF=90°-65°=25°,

故選：B.

4.（2021春?市中區(qū)期末）如圖，在△ABC與△4￡：/中，AB=AE,BC=EF,ZABC^ZAEF,Z￡AB=40°,

AB交E尸于點(diǎn)。，連接E8.下列結(jié)論：①N/=AC=40°；?AF=AC；③NE8C=110°；@AD=AC；

⑤NEFB=40°,正確的個(gè)數(shù)為（）個(gè).

A.1B.2C.3D.4

【完整解答】解：在△?!￡：/和△ABC中，

EA=BA

<ZAEF=ZABC.

EB=FC

：.4AEF名AABC（SAS）,

：.ZEAF=ZBAC,AF=AC,故②正確

：.ZEAB^ZFAC=W°,故①正確，

.?.NC=NAFC=/AFE=70°,

AZEFB=180°-70°-70°=40°,故⑤正確，

'：AE=AB,ZEAB=40°,

；.NAEB=NABE=70°,

若NEBC=110°,則/ABC=40。=NEAB,

：.ZEAB=ZABC,

：.AE//BC,顯然與題目條件不符，故③錯(cuò)誤，

若AD=AC,則NA。尸=/4尸。=70°,

.../D4尸=40°,這個(gè)顯然與條件不符，故④錯(cuò)誤.

故選：c.

5.（2020秋?江岸區(qū)期末）如圖，四邊形ABCZ）中，ND4B+/ABC=90°,對(duì)角線(xiàn)AC、B。相交于。點(diǎn),

且分別平分ZD4B和NABC,若8。=40。，則迫的值為（）

0C

【完整解答】解：如圖，在AB上截取AE=AO,BF=BC,連接OE,OF,

；AC、80相交于。點(diǎn)，且分別平分ND4B和/ABC,

ZOAB=ZOAD=^ZDAB,ZOBC=ZOBA=—ZABC,

22

在也同。。和△AOE中，

rAD=AE

<Z0AD=Z0AE，

kA0=A0

'：AD=AE,BC=BF,

：./XAOD^^XAOE(SAS),

同理，ABOC注ABOF,

：.ZAOD=ZAOE,OD=OE,NBOC=NBOF,OC=OF,

,：ZDAB+ZABC=90°,

：.ZOAB+ZOBA=45°,

,ZZAOD=NBOC=ZOBA+ZOAB,

：.ZAOD=ZBOC=45°,

.?./AOE=NBOF=45°,

AZ￡<?F=180°-QOAB+NOBA)-ZAOE-180°-45°-45°-45°=45°,

平分NBA/),80=4。。，

.AB_0B_〃

AD0D

即AB=4AD,

13

：.AE=-^AB,BE=^-AB,

44

,：ZEOF=ZBOF=45°,

；.OF平分NBOE,

-EF=OE=OD=1

"BFOBOB4'

BPEF=—BF,

4

：.BF=—BE,

5

433

：.BF=—X—AB=—AB,

545

平分NA8C,

.至=旭=也=_^_=互

"ocBCBF3ABT

5

故選：B.

6.（2020秋?宜興市期中）如圖，在△A8C中，AB=4,/48C=60°,ZACB=45°,。是8c的中點(diǎn)，直

線(xiàn)/經(jīng)過(guò)點(diǎn)￡>,AE±l,BFLI,垂足分別為￡,F,則AE+BF的最大值為（）

【完整解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CKAJ于點(diǎn)、K,過(guò)點(diǎn)A作AHLBC于點(diǎn)H,

在Rt/\AHB中,

VZABC^60°,AB=4,

：.BH=2,AH=2M，

在RtZ\4"C中，NAC8=45°,

.,.AH=CH=2y13,

：.AC=dAH24cH2=V12+12=2^6*

?二點(diǎn)。為8c中點(diǎn)，

：.BD=CD,

在△8FO與△CK￡)中，

，ZBFD=ZCKD=90"

<ZBDF=ZCDK,

BD=CD

:ABFDQACKD(A4S),

：.BF=CK,

延長(zhǎng)AE,過(guò)點(diǎn)C作CNLAE于點(diǎn)M得矩形ENCK,

:.CK=EN,

:.AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN,

在RtZXACN中，AN<AC,

當(dāng)直線(xiàn)MAC時(shí)，最大值為2企，

綜上所述，AE+8F的最大值為2a.

故選：B.

7.（2020?哈爾濱模擬）如圖，是△ABC的角平分線(xiàn)，NC=2NB,尸是BC的中點(diǎn)，EF〃A。交AB于

點(diǎn)E,且BE=4AE,若8=4,則A8的長(zhǎng)為（）

C.8D.6

【完整解答】解：如圖作QG_LAC于G,DHLAB于H,在AB上截取AM=AC,

A

U：DA平分NBAC,

:.DG=DH,

C春?AB?DH

?bAABD_BD_j____________AB

S

AADCDCA.AC,DGAC

設(shè)BF=FC=4a,

'.,EF//AD,

.BE_BF一

,『而一'

'.FD=a,CD—3a=4,

在△4。例和△4￡)€■中，

，AD=AD

<ZDAM=ZDAC-

,AM=AC

4M絲△￡>AC(SAS),

：.DM=DC,ZAMD=ZC,

VZC=2ZB,

NAMD=NB+NMDB=2NB,

:./B=NMDB,

：.BM=MD=CD=4,設(shè)4C=AM=x,

則有

x+4型

3

??x=6,

?"3=BM+AC=4+6=10,

故選：A.

8.（2020春?達(dá)川區(qū)期末）如圖，等腰直角△ABC中，ZBAC=90°,AOJ_BC于O,NA8C的平分線(xiàn)分別

交AC、4。于反F兩點(diǎn),M為EF的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AM交BC于點(diǎn)N,連接。M,NE.下列結(jié)論：①4E=

AF；@AM±￡F；③△AEF是等邊三角形；@DF=DN,?AD//NE.

其中正確的結(jié)論有（）

R

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【完整解答】解：VZBAC=90°,AC=A8,AD±BC,

.../A8C=NC=45°,AD=BD=CD,NADN=NADB=W,

：.ZBAD=450=ZCAD,

平分NABC,

ZABE=ZCBE=—ZABC=22.5,,,

2

:.NBFD=NAEB=90°-22.50=67.5°

:.NAFE=NBFD=NAEB=675°,

：.AF=AE,故①正確；③錯(cuò)誤，

為E尸的中點(diǎn),

：.AMLEF,故②正確；

'."AM1EF,

：.ZAMF=ZAME=90°,

ZDAN=90°-67.5°=22.5°=NMBN,

在△F8O和△NAO中，

rZFBD=ZDAN

<BD=AD.

,ZBDF=ZADN

...△FBgANAD(ASA),

：.DF=DN,故④正確；

,:NBAM=NBNM=675°,

：.BA=BN,

；NEBA=NEBN,BE=BE,

：./\EBA^/\EBN（SAS）,

:.NBNE=NBAE=90°,

：.ZENC=ZADC=90Q,

：.AD//EN.故⑤正確，

故選：D.

k

AEc

9.（2019秋?新洲區(qū)期末）如圖，9ACB=90°,AC-=CD,過(guò)點(diǎn)。作AB的垂線(xiàn)交A8的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.若

AB=2DE,則NBAC的度數(shù)為（）

A.45°B.30°C.22.5°D.15°

/<

,.^7\

C

【完整解答】解：M

連接A。，延長(zhǎng)AC、OE交于M,

：/ACB=90°,AC^CD,

：.ZDAC=ZADC=45a,

；NAC8=90°,DELAH,

；.NDEB=90°=ZACB=ZDCM,

*.*NABC=/DBE,

???由三角形內(nèi)角和定理得：/CAB=/CDM,

在△ACB和△力CM中

rZCAB=ZCDM

，AC=CD

ZACB=ZDCM

：./\ACB^/\DCM(ASA),

：.AB=DM,

\'AB=2DE,

:.DM=2DE,

：.DE=EM,

'：DE±AB,

：.AD=AM,

：.ZBAC=ZDAE=—ZDAC-X450=22.5°,

22

故選：c.

二.填空題

10.(2021春?崇川區(qū)校級(jí)月考)如圖，將邊長(zhǎng)都為的正方形按如圖所示擺放，點(diǎn)4、4、…、A“分

別是正方形的中心，則2021個(gè)這樣的正方形重疊部分的面積和為4040c,病.

【完整解答】解：過(guò)點(diǎn)4作AQLA2。于。、AELA2E于E,如圖所示:

：Ai是正方形的中心，

'?A\D—A\EtA\DA-A\E>

'：ZBAiD+ZBAiE=ZCAtE+ZHAiE,

：.ZBAiD=ZCAiE,

在△48。和△ACE中，

<

ZBA1D=ZCA1E

<A1D=A1E,

ZA1DB=ZA1EC

...△48。鄉(xiāng)△ACE(SAS),

.?.2個(gè)正方形重疊陰影部分的面積=正方形面積的工=工義(V8)2=2(cm2),

44

...2021個(gè)這樣的正方形重疊部分的面積和=2X(2021-I)=4040(cm2),

故答案為：4040c/n2.

11.(2021春?南崗區(qū)校級(jí)月考)如圖，在△ABC中，ZC=90°,DELABTD,交AC于點(diǎn)E,若BC=

BD,AC=6cm,BC=8cm,AB=\0ctn,則△AOE的周長(zhǎng)是

【完整解答】解：連接BE,

；/C=90°,DEI.ABD,

:.NC=NBDE=90°,

在RtABC￡與Rt/\BDE中，

(BE=BE

1BC=BD'

ARtABCE^RtABDE(HL),

:.DEKE,

\*AB=\Qcm,BC=8an,AC=6c/n9

：./\ADE的周長(zhǎng)=OE+AE+AO=CE+AE+AB-BD=AC+AB-BC=6+10-8=8(cm),

故答案為：Scm.

12.(2020秋?蜀山區(qū)期末)如圖A8,CO相交于點(diǎn)E,若N8AC=28°,則的度數(shù)是

48°.

【完整解答】解：???△A8CT

：.AE=AC,

：.ZAEC=ZACEf

VZBAC=28°,

AZAEC=ZACE=—(180°-ZBAC)=76°,

2

VAABC^A/ADE,N8AC=28°,

:"B=/D,NDAE=NBAC=28°,

.\ZB=ZD=ZAEC-ZDAE=J60-28°=48°,

故答案為：48°.

13.(2021春?泗縣期末)如圖所示，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE,Zl=28°,Z2=30°,則N3

【完整解答】解：???NBAC=/D4E,

：.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

：.Z\=ZEAC,

在△A4O和△C4E中,

，AB=AC

-ZBAD=ZEAC-

AD=AE

:.△BADOCAE(SAS),

.*./2=/AB￡>=30°,

VZ1=28°,

.'.Z3=Z1+ZAB￡>=280+30°=58°,

故答案為：58°.

14.(2020秋?蘭山區(qū)期末)在RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=\5cm,BC=8an,AXJ_4c于4,P、。兩點(diǎn)

分別在邊4c和射線(xiàn)AX上移動(dòng).當(dāng)PQ=AB,AP=8cm或15c〃？時(shí),△ABC和全等.

【完整解答】解：①當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到AP=8C時(shí)，如圖1所示:

在RtZXABC和RtZ\Q雨中，(加伊，

lBC=PA

，RtZ\A80Rt△。融(HL),

即AP=B=Scm；

②當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到與。點(diǎn)重合時(shí)，如圖2所示:

在RtZXABC和RlZ\P04中，

[AB=PQ,

IAC=PA'

...RtzMBC絲R"QA（HL）,

即AP=AC=l5cm.

綜上所述,AP的長(zhǎng)度是8cm或15cm.

故答案為：8CVT/或15C7〃.

15.（2021春?和平區(qū)期末）如圖，在△ABC中，NACB=45°,ADLBC,BE1.AC,AO與BE相交于點(diǎn)尸,

連接并延長(zhǎng)CF交AB于點(diǎn)G,NAEB的平分線(xiàn)交CG的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)4,連接A4,則下列結(jié)論：

①NEBD=45°；②AH=HF；③△ABO四△CFC；④C”=AB+A〃；

⑤BD=CD-AF.其中正確的是①②③④⑤.（只填寫(xiě)序號(hào)）

【完整解答】解：①?：N4CB=45°,BE1AC,

.?.N8EA=N8EC=90°,

：.ZEBD=45a,故①正確；

②是NAEB的角平分線(xiàn)，

AZHEB=—ZAEB=451,,

2

:.NHEB=NEBC=45°,

J.EH//BC,

'CADLBC,

:.AD工EH,

...EH是4尸的垂直平分線(xiàn)，

：.AH=HF；故②正確；

(3),；NBDF=90°,ZFBD=45°,

：.ZDFB=45°,

：.DB=DF,

；/ACB=45°,ADIBC,

...NOAC=45°,

J.AD^CD,

在AABD與ACFD中，

'BD=DF

<NADB=NCDF，

AD=CD

:.XABiy烏XCFD(SAS),故③正確：

@V△AB。絲△CTO,

：.AB^CF,

：.CH=CF+FH=AB+AH；故④正確；

?"：DF^AD-AF,

：.BD=CD-AF.

,:BD=DF+BF,故⑤正確.

綜上所述①②③④⑤正確.

故答案為：①②③④⑤.

16.(2021?寧波模擬)在AABC和△A18C1中，己知AC=4G=2,BC=4,5。=3,/C=120°,ZG

=60°,點(diǎn)￡>,，分別在邊A8,All上，且△ACZ)名△G4Oi，那么AO的長(zhǎng)是_2日_.

【完整解答】解：:△ACZ）絲△G4。，可以將△GAQi與△AC。重合，如圖,

VZACB=120°,/AIG8I=60°,

：.BC//BiCt,

.AD_B1C1_3

"BD=BCW，

作AH_LBC,交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于”,

；NACB=120°,

AZACH=60°,

在Rt/XAC”中，CH=\,AW=2Xsin60°=?,

在RtZXABH中，由勾股定理得：

AB=752+(A/3)2=2V7,

,?AD=^yAB^yX2^7

故答案為：先.

17.(2021春?洪山區(qū)期中)如圖，在△4BC中，N8=30°,點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)尸在BC上，且EF=12,

C尸=6,。是AC的中點(diǎn)，若NE￡＞尸=90°,則AE=3A-3E.

【完整解答】解：延長(zhǎng)FD至點(diǎn)H,使得FD=DH,連接AH,過(guò)”作HGLAB,交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,

?.?。是AC的中點(diǎn),

：.DA=DC,

在△D4H和△OCF中，

'DH=DF

<ZADH=ZCDF.

DA=DC

:.△DAHQ/XDCF(SAS),

:.AH=CF=6,NDAH=NC,

：.AH//BC,

4G=NB=30°,

：.HG^AH=3,AG=AH?cos30Q=3百，

,：DELDF,DH=DF,

:.EH=EF=12,

￡G=VEH2-HG2=《d-32=3后,

：.AE=EG-AG=3A/15-3V3.

故答案為：3V15T

18.(2020秋?增城區(qū)期末)已知：如圖，8。為△A8C的角平分線(xiàn)，且8￡>=8C,E為BO延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，

BE=BA,過(guò)E作EF_LAB,尸為垂足，下列結(jié)論：①△ABO四△EBC；②/8CE+/8CZ)=180°；③AO

=EF=EC；?AE=EC,其中正確的是①②④(填序號(hào))

【完整解答】解：①?.?8。為△ABC的角平分線(xiàn),

NABD=/CBD,

在△48。和△EBC中，

'BD=BC

<ZABD=ZCBD.

BE=BA

:./XABDqAEBC(SAS),

.?.①正確;

②為△A8C的角平分線(xiàn)，BD=BC,BE=BA,

:.NBCD=NBDC,NBAE=NBEA,

:AABD^AEBC,

:.NBCE=NBDA,

：.4BCE+NBCD=NBDA+NBDC=180",

②正確；

@VZBCE=ZBDA,NBCE=NBCD+NDCE,ZBDA^ZDAE+ZBEA,/BCD=NBEA,

；.NDCE=NDAE,

.??△ACE為等腰三角形，

：.AE^EC,

'：△ABgAEBC,

：.AD=EC,

：.AD=AE=EC,

為△A8C的角平分線(xiàn)，EFLAB,而EC不垂直與8C,

:.EF豐EC,

???③錯(cuò)誤；

④由③知AQ=AE=EC,

.?.④正確；

綜上所述，正確的結(jié)論是①②④.

故答案是：①②④.

E

B'

三.解答題

19.(2020秋?來(lái)賓期末)如圖，在五邊形ABCQE中，AB=DE,AC=AD.

(1)請(qǐng)你添加一個(gè)與角有關(guān)的條件，使得aABC絲△￡>",并說(shuō)明理由；

(2)在(1)的條件下，若NCA￡>=65°,28=110°,求N8AE的度數(shù).

【完整解答】解：(1)添加一個(gè)角方面的條件為：NBAC=NED4,使得△A8C絲理由如下:

在△A5C和△￡>￡?!中，

'AB=DE

-ZBAC=ZEDA.

AC=AD

.,.△ABC也/XOEA(SAS),

(2)在(1)的條件下，

:△A8c絲

，ZACB=ZDAE,

VZCAD=65°,ZB=110°,

.?./4C8+N8AC=180°-ZB=70°,

ZDAE+ZBAC=/ACB+NBAC=70°,

AZBAE=ZDAE+ZBAC+ZCAD=100+65°=135°.

20.(2021春?蕭山區(qū)月考)如圖，在△ABC中，OEJ_AB與點(diǎn)E,OEL4C與點(diǎn)凡且0E=0凡

(1)如圖①，當(dāng)。為BC中點(diǎn)時(shí)，試說(shuō)明AB=AC；

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)。在AABC內(nèi)部，且OB=OC,試判斷AB與AC的關(guān)系.

【完整解答】(1)說(shuō)明如下：為8c中點(diǎn)，???80=C0,

,COEVAB,OFLAC,

：.ZOEB=ZOFC=90a,

在RtAOBE和RtAOCF中，

fOB=OC>

IOE=OF'

.,.RtAOBE^RtAOCF(HL),

：.ZB=ZC,：.AB=AC；

(2)解：AB=AC,理由如下：

,:OB=OC,

:.NOBC=NOCB,

,COEVAB,OFLAC,

：.ZOEB=ZOFC=90a,

在RtAOBE和RtAOCF中，

roB=oc

IOE=OF'

ARtAOBE^RtAOCF(HL),

：.ZABO=ZACO,

：.ZABC^ZACB,

：.AB=AC.

21.(2021春?南山區(qū)校級(jí)期中)如圖，在△ABC中，AB=AC=3,NB=40°,點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)

。不與點(diǎn)B、C重合)，連接A。，作/AOE=40°,CE交線(xiàn)段AC于點(diǎn)E.

(1)當(dāng)NBOA=UO°時(shí)，ZEDC=30°ZAED=70°

(2)線(xiàn)段QC的長(zhǎng)度為何值時(shí)，△AB。絲△QCE,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，求N8D4的度數(shù)；若不可以,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【完整解答】解：(1)?.?/4。8+/4?！?/￡：00=180°,且NAOE=40"，NBDA=110°,

AZEDC=180°-110°-40°=30°,

VAB=ACf

AZB=ZC=40°,

AZAED=ZEDC+ZC=30°+40°=70°,

故答案為：30。，70°；

(2)當(dāng)。。=3時(shí)，AABD^ADCE,

理由如下：

VZADC=ZB+ZBAD,ZADC=ZADE+ZCDE,ZB=ZADE=40°,

:.NBAD=/CDE,且A3=CO=3,ZB=ZC=40°,

:./\ABDmADCECASA)；

(3)若4O=QE時(shí)，

^AD=DE,NADE=40°,

：.ZDEA=ZDAE=70<i,

?:NDEA=NC+NEDC,

；?NEDC=30°,

???N8OA=1800-ZADE-ZEDC=180°-40°-30°=110°,

若AE=DE時(shí)，

'：AE=DEfZADE=40°,

ZADE=ZDAE=40°,

AZAED=100°,

9：ZDEA=ZC+ZEDC,

???NE￡>C=60°,

：.ZBDA=]30°-AADE-ZEDC=180°-40°-60°=80°，

若AE=A。時(shí)，ZA￡D=ZAD￡=40°,

ZDAE=180°-40°-40°=100°,

此時(shí)。與8重合，不合題意，舍去.

綜上所述：當(dāng)NBD4=80°或110°時(shí)，ZVIOE的形狀可以是等腰三角形.

22.(2021?雁塔區(qū)校級(jí)模擬)如圖，四邊形ABC。中，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別在A3、CDh,且AE=CF,分別過(guò)

點(diǎn)A、C向EP作垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)G、點(diǎn)“，且AG=CH.求證；AB//CD.

【完整解答】證明：?；AGJ_GH,CHLGH,

.?.ZG=ZH=90°,

在RtAAGE和RtAC/ZF中，

件CF,

IAG=CH'

/.RtzMGE^RtACWF(HL),

：.ZAEG=ZCFH,

'：NAEG=NBEF,

NBEF=ZCFH,

：.AB//CD.

23.(2021?鎮(zhèn)海區(qū)模擬)如圖，已知△ABC和△CCE均是直角三角形，ZACB=ZC￡D=90°,AC=CE,

48_LCD于點(diǎn)F.

(1)求證：△ABC也△€■￡)￡：；

(2)若點(diǎn)B是EC的中點(diǎn)，DE=\0cm,求AE的長(zhǎng).

A

【完整解答】⑴證明：???A5_LCD,

：.ZFAC+ZACF=90°,

VZACE=90°,

NOCB+/ACF=90°,

：.ZFAC=ZDCB,

：.AC^EC,

在△ABC和△(?￡>￡：中，

'/FAC=/DCB

<AC=EC，

ZACB=ZCED=90°

/.△4BC^ACDE(ASA)；

⑵解：V△ABC^ACDE,

：.DE=BC=\Ocm,

?.?點(diǎn)8是EC的中點(diǎn)，

：.EC=2BC=20cm,

*'?AC=EC=20c/??,

在RtZ\AEC中，根據(jù)勾股定理，得

A￡=22=2O

VAC+EC^2(cm).

24.(2021春?章丘區(qū)期末)如圖，CZ)是經(jīng)過(guò)NBC4頂點(diǎn)C的一條直線(xiàn)，CA=C3,E、尸分別是直線(xiàn)CO上

兩點(diǎn)，且NBEC=NC41=a.

(1)若直線(xiàn)CO經(jīng)過(guò)NBC4的內(nèi)部，且E、尸在射線(xiàn)C。上.

①如圖1,若NBCA=90°,a=90°,則BE=CF；

②如圖2,若0°<ZBCA<180°,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于a與<8CA關(guān)系的條件a+/8c4=180°,使

①中的結(jié)論們?nèi)怀闪?，并說(shuō)明明理由；

(2)如圖3,若線(xiàn)C。經(jīng)過(guò)NBCA的外部，a=ZBCA,請(qǐng)?zhí)岢鲫P(guān)于E凡BE,A尸三條線(xiàn)段數(shù)量關(guān)系的

合理猜想，并簡(jiǎn)述理由.

【完整解答】解：(1)VZBEC=ZCM=a=90°,

AZBCE+ZCB￡=180°-/BEC=90°.

又YN8cA=NBCE+NAC尸=90°,

:.NCBE=NACF.

在△8CE和△C4F中，

"ZBEC=ZCFA,

-ZCBE=ZACF,

BC=AC.

.?.△BCE絲△CAF(A4S).

：.BE=CF.

(2)a+NBCA=180°,理由如下：

:NBEC=NCFA=a,

/BE尸=180°-/BEC=180°-a.

又，:ZBEF=NEBC+NBCE,

：.ZEBC+ZBCE=ISOQ-a.

又,.?a+/BC4=180°,

：.ZBCA=]S0°-a.

ZBCA=ZBCE+ZACF=180°-a.

:.NEBC=ZFCA.

在△BCE和△CA尸中,

rZCBE=ZACF,

ZBEC=ZCFA,

BC=CA.

：./\BCE^/XCAF(AAS).

：.BE=CF.

(3)EF=BE+AF,理由如下：

ZBCA=a,

：.ZBCE+ZACF=iSO°-ZBCA=180°-a.

又；NBEC=a,

：.ZEBC+ZBCE=\S00-ZBEC=180°-a.

：.ZEBC^ZFCA.

在△8EC和△CM中，

，ZEBC=ZFCA,

<ZBEC=ZFCA,

BC=CA.

/.△BEC^ACM(A45).

：.BE=CF,EC=FA.

EF=EC+CF=FA+BE,即EF=BE+AF.

25.(2021春?岳麓區(qū)月考)如圖，以銳角AABC的邊A2,AC為底邊分別向外作等腰△ABO,/XACE,且

滿(mǎn)足NADB=2NE4C,若M為邊BC的中點(diǎn)，求證：MDLME.

【完整解答】證明：延長(zhǎng)EM至點(diǎn)。，使得MO=EM,連接80,。。，DE.

\"AE=EC,

.'.ZECA=ZEAC.

?/ZADB=2ZEAC,

ZADB=2ZEAC,

'：AD=BD,

：.ZDBA=ZDAB.

VZADB+2ZDAB^\S00,

：.2ZDAB+2ZEAC=180°,

即ND48+/EAC=90°.

:點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，

：.BM=CM.

在△EMC和△OM8中，

'MC=BM

<ZCME=ZBM0

EM=M0

.?.△EMC絲△OMB(SAS).

/MBO=ZMCE,

即ZMBO=ZBCA+ZACE.

：.BO=EC.

即BO=AE.

,：ZDAE=ZDAB+ZEAC+ZBAC=9Q°+NBAC,

NBAC=1800-ZABC-ZACB,

：.Z￡>fiO=3600-ZDBA-NABC-ZACB-/ACE=270°-ZABC-ZACB=90Q+NBAC.

:./DAE=NDBO.

在△AQE和△80。中，

'BD=AD

<ZDB0=ZDAE

B0=AE

/\ADE^/\BDO(SAS).

：.DO=DE.

:MO=ME,

J.DMLEO,

即MDLME.

D

c

IA?，'

**/

:;.J

9*J

o

26.(2021春?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期末)如圖1,在△ABC中，AC=BC,D、E、尸分別是直線(xiàn)AC、A&8c上的

點(diǎn)，且AD=BE,AE=BF.

(1)求證：ED=EF；

(2)若NACB=130°,求NQEF的度數(shù)；

(3)如圖2,當(dāng)E為48的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作產(chǎn)交于點(diǎn)，，若EH=5,CD=3,SMAB=45,請(qǐng)求

出AB的長(zhǎng).

圖1