廣東省三校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

2024-2025學(xué)年高二第一學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)科試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.）1.如圖所示，在三棱臺(tái)中，截去三棱錐，則剩余部分是（）A.三棱錐 B.四棱錐 C.三棱柱 D.組合體2.棱長(zhǎng)為的正四面體的表面積為（）A. B. C. D.3.如圖，在正四棱臺(tái)中，分別為棱的中點(diǎn)，則（）A.直線與直線是異面直線 B.直線與直線是異面直線C.直線與直線共面 D.直線與直線共面4.底面積是，側(cè)面積是的圓錐的體積是（）A. B. C. D.5.已知正方體中，E為中點(diǎn)，則異面直線與CE所成角的余弦值為（）A. B. C. D.6.如圖，在正四棱臺(tái)中，，則該正四棱臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.7.我國(guó)古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題:“今有木長(zhǎng)二丈，圍之三尺.葛生其下，纏木七周，上與木齊.問(wèn)葛長(zhǎng)幾何?”其意思為:“圓木長(zhǎng)2丈，圓周長(zhǎng)為3尺，葛藤?gòu)膱A木的底部開(kāi)始向上生長(zhǎng)，繞圓木7周，頂部剛好與圓木平齊，問(wèn)葛藤長(zhǎng)為多少?"若1丈尺，則葛藤最少長(zhǎng)（）A.21尺 B.25尺 C.29尺 D.33尺8.如圖所示，在正方體中，E，F(xiàn)分別為，AB上的中點(diǎn)，且，P點(diǎn)是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若平面，則P點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知，是兩個(gè)不同平面，l，m是兩條不同的直線，有如下四個(gè)命題，其中正確的是（）A.若，，則 B.若，，，則C.若，，，則 D.若，，則10.實(shí)踐課上，小華將透明塑料制成了一個(gè)長(zhǎng)方體容器，如圖（1），，，在容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，現(xiàn)固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，如圖（2），則（）A.有水的部分始終呈三棱柱或四棱柱B.棱與水面所平面平行C.水面EFGH所在四邊形的面積為定值D.當(dāng)容器傾斜成如圖（3）所示時(shí)，EF的最小值為11.半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形構(gòu)成（如圖所示），若它的所有棱長(zhǎng)都為，則（）A.平面EABB.該二十四等邊體的體積為C.該二十四等邊體外接球的表面積為D.PN與平面EBFN所成角正弦值為三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分）12.如下圖，三角形A'B'C'是三角形ABC的直觀圖，則三角形ABC的面積是_______.13.圓柱的底面半徑為1，側(cè)面積為，則該圓柱外接球的表面積為_(kāi)_____．14.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長(zhǎng)叫做球缺的高，球缺是旋轉(zhuǎn)體，可以看做是球冠和其底所在的圓面所圍成的幾何體.如圖1，一個(gè)球面的半徑為，球冠的高是，球冠的表面積公式是.如圖2，已知是以為直徑的圓上的兩點(diǎn)，，扇形的面積為，則扇形繞直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積為_(kāi)_________.四、解答題（本題共5小題，共7分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）15.如圖，在正三棱柱中，，，，分別是，，，的中點(diǎn).（1）求證：，，，四點(diǎn)共面；（2）求證：平面平面；16.如圖，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點(diǎn)，AN⊥PM，N為垂足.（1）若，Q為PB的中點(diǎn)，求三棱錐的體積；（2）求證：AN⊥平面PBM；（3）若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.17.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，稱四面都為直角三角形的三棱錐為“鱉臑”．如圖，在三棱錐中，平面．（1）證明：三棱錐為鱉臑；（2）若為上一點(diǎn)，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．平面與平面的交線為．①證明：直線平面；②判斷與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．18.一塊四棱錐木塊如圖所示，平面，四邊形ABCD為平行四邊形，且，.（1）要經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、D將木料鋸開(kāi)，使得截面平行于側(cè)棱，在木料表面該怎樣畫(huà)線？并說(shuō)明理由；（2）計(jì)算（1）中所得截面的面積；（3）求直線SC與（1）中截面所在平面所成角的正弦值.19.空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫(huà)空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制.例如：正四面體每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角，每個(gè)面角均為，故其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為.如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)A的曲率為，M為的中點(diǎn)，且.（1）判斷形狀，并說(shuō)明理由；（2）若，求點(diǎn)到平面