人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)學(xué)案：§8 2 第2課時(shí)　一元線性回歸模型的綜合問題

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)PAGEPAGE1第2課時(shí)一元線性回歸模型的綜合問題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解隨機(jī)誤差、殘差、殘差圖的概念，會(huì)通過殘差分析判斷經(jīng)驗(yàn)回歸方程的擬合效果.2.了解回歸分析的基本思想方法和初步應(yīng)用．一、殘差及殘差分析問題1上節(jié)課中我們知道兒子身高Y關(guān)于父親身高x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.839x＋28.957，那么當(dāng)x＝172時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.839×172＋28.957＝173.265(cm)，如果一位父親的身高為172cm，他兒子長大成人后的身高一定是173cm嗎？為什么？〖提示〗不一定，因?yàn)檫€有其他影響他兒子身高的因素，父親的身高不能完全決定兒子身高．問題2觀察課本105頁表8.2－1，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)父親身高為172cm時(shí)，兒子的身高實(shí)際為176cm，實(shí)際身高與預(yù)測(cè)的身高相差了多少？我們把這個(gè)差值叫什么？〖提示〗176－173.265＝2.735(cm)，殘差．知識(shí)梳理1．殘差：對(duì)于響應(yīng)變量Y，通過觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的eq\o(y,\s\up6(^))稱為預(yù)測(cè)值，觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱為殘差．2．殘差分析：殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過對(duì)殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析．例1(1)對(duì)變量x，y進(jìn)行回歸分析時(shí)，依據(jù)得到的4個(gè)不同的回歸模型畫出殘差圖，則下列模型擬合精度最高的是()〖答案〗A〖解析〗用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適，帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高．(2)已知一系列樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2,3，…，n)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝2x＋a，若樣本點(diǎn)(r,1)與(1，s)的殘差相同，則有()A．r＝s B．s＝2rC．s＝－2r＋3 D．s＝2r＋1〖答案〗C〖解析〗樣本點(diǎn)(r,1)的殘差為1－2r－a，樣本點(diǎn)(1，s)的殘差為s－a－2，依題意得1－2r－a＝s－a－2，故s＝－2r＋3.反思感悟殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適．這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，經(jīng)驗(yàn)回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知某成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的殘差圖如圖，則樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)中可能不準(zhǔn)確的是從左到右第________個(gè)．〖答案〗6〖解析〗原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù)往往是殘差絕對(duì)值過大的那個(gè)數(shù)據(jù)，即偏離平衡位置過大．(2)設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，那么針對(duì)某個(gè)體(170,58)的殘差是________．〖答案〗－0.79〖解析〗由題意可得eq\o(y,\s\up6(^))i＝0.85×170－85.71＝58.79，殘差eq\o(e,\s\up6(^))＝y(tǒng)i－eq\o(y,\s\up6(^))i＝58－58.79＝－0.79.二、對(duì)數(shù)函數(shù)模型y＝c1＋c2lnx例2近年來，隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的快速發(fā)展，共享經(jīng)濟(jì)覆蓋的范圍迅速擴(kuò)張，繼共享單車、共享汽車之后，共享房屋以“民宿”“農(nóng)家樂”等形式開始在很多平臺(tái)上線．某創(chuàng)業(yè)者計(jì)劃在某景區(qū)附近租賃一套農(nóng)房發(fā)展成特色“農(nóng)家樂”，為了確定未來發(fā)展方向，此創(chuàng)業(yè)者對(duì)該景區(qū)附近六家“農(nóng)家樂”跟蹤調(diào)查了100天．得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表，x為收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)(單位：元/日)，t為入住天數(shù)(單位：天)，以頻率作為各自的“入住率”，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)x與“入住率”y的散點(diǎn)圖如圖．x50100150200300400t906545302020(1)若從以上六家“農(nóng)家樂”中隨機(jī)抽取兩家深入調(diào)查，記ξ為“入住率”超過0.6的農(nóng)家樂的個(gè)數(shù)，求ξ的分布列；(2)令z＝lnx，由散點(diǎn)圖判斷eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))與eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))z＋eq\o(a,\s\up6(^))哪個(gè)更合適于此模型(給出判斷即可，不必說明理由)？并根據(jù)你的判斷結(jié)果求經(jīng)驗(yàn)回歸方程．(eq\o(b,\s\up6(^))結(jié)果保留一位小數(shù))參考數(shù)據(jù)：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)，eq\x\to(x)＝200，eq\x\to(y)＝0.45，eq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(2,i)＝325000,eq\x\to(z)≈5.1，eq\i\su(i＝1,6,y)izi≈12.7,eq\i\su(i＝1,6,z)eq\o\al(2,i)≈158.1.解(1)ξ的所有可能取值為0,1,2.則P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)×C\o\al(1,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(8,15)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,6))＝eq\f(1,15)，∴ξ的分布列為ξ012Peq\f(2,5)eq\f(8,15)eq\f(1,15)(2)由散點(diǎn)圖可知eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))z＋eq\o(a,\s\up6(^))更適合于此模型．其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,6,z)iyi－6\x\to(z)\x\to(y),\i\su(i＝1,6,z)\o\al(2,i)－6\x\to(z)2)＝eq\f(－1.07,2.04)≈－0.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(z)＝3，∴所求的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.5lnx＋3.反思感悟?qū)?shù)函數(shù)模型y＝c1＋c2lnx的求法(1)確定變量，作出散點(diǎn)圖．(2)根據(jù)散點(diǎn)圖，做出y＝c1＋c2lnx的函數(shù)選擇．(3)變量置換，令z＝lnx，通過變量置換把問題轉(zhuǎn)化為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(c,\s\up6(^))1＋eq\o(c,\s\up6(^))2z的經(jīng)驗(yàn)回歸問題，并求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(c,\s\up6(^))1＋eq\o(c,\s\up6(^))2z.(4)根據(jù)相應(yīng)的變換，寫出eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(c,\s\up6(^))1＋eq\o(c,\s\up6(^))2lnx的經(jīng)驗(yàn)回歸方程．跟蹤訓(xùn)練2噪聲污染已經(jīng)成為影響人們身體健康和生活質(zhì)量的嚴(yán)重問題，為了了解聲音強(qiáng)度D(單位：分貝)與聲音能量(單位：W/cm2)之間的關(guān)系，將測(cè)量得到的聲音強(qiáng)度Di和聲音能量Ii(i＝1,2…，10)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如下散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．eq\x\to(I)eq\x\to(D)eq\x\to(W)eq\i\su(i＝1,10,)(Ii－eq\x\to(I))2eq\i\su(I＝1,10,)(Wi－eq\x\to(W))21.04×10－1145.7－11.51.56×10－210.51eq\i\su(i＝1,10,)(Ii－eq\x\to(I))(Di－eq\x\to(D))eq\i\su(i＝1,10,)(Wi－eq\x\to(W))(Di－eq\x\to(D))6.88×10－115.1表中Wi＝lgIi，eq\x\to(W)＝eq\f(1,10)eq\i\su(i＝1,10,)Wi.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，eq\o(D,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))1＋eq\o(b,\s\up6(^))1I與eq\o(D,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))2＋eq\o(b,\s\up6(^))2lgI哪一個(gè)適宜作為聲音強(qiáng)度D關(guān)于聲音能量的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求聲音強(qiáng)度D關(guān)于聲音能量的經(jīng)驗(yàn)回歸方程．附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)．其經(jīng)驗(yàn)回歸直線eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ui－\x\to(u)vi－\x\to(v),\i\su(i＝1,n,)ui－\x\to(u)2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(β,\s\up6(^))eq\x\to(u).解(1)eq\o(D,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))2＋eq\o(b,\s\up6(^))2lgI更適合．(2)令Wi＝lgIi，先建立D關(guān)于W的經(jīng)驗(yàn)回歸方程．由于eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,10,)Wi－\x\to(W)Di－\x\to(D),\i\su(i＝1,10,)Wi－\x\to(W)2)＝eq\f(5.1,0.51)＝10，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(D)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(W)＝160.7.∴D關(guān)于W的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是eq\o(D,\s\up6(^))＝10W＋160.7，即D關(guān)于聲音能量的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程是eq\o(D,\s\up6(^))＝10lgI＋160.7.三、殘差平方和與決定系數(shù)R2問題3例2中給出了兩個(gè)模型，那么如何比較這兩個(gè)模型的擬合效果？〖提示〗殘差平方和、決定系數(shù)知識(shí)梳理1．殘差平方和法殘差平方和eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2越小，模型的擬合效果越好．2．決定系數(shù)R2可以用R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2)來比較兩個(gè)模型的擬合效果，R2越大，模型擬合效果越好，R2越小，模型擬合效果越差．例3假定小麥基本苗數(shù)x與成熟期有效穗y之間存在相關(guān)關(guān)系，今測(cè)得5組數(shù)據(jù)如下表：x15.025.830.036.644.4y39.442.942.943.149.2并由最小二乘法計(jì)算得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.29x＋34.7.(1)計(jì)算各組殘差，并計(jì)算殘差平方和；(2)求R2.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(參考數(shù)據(jù)：\i\su(i＝1,5,)yi－\x\to(y)2＝50.18))解(1)由eq\o(y,\s\up6(^))i＝eq\o(b,\s\up6(^))xi＋eq\o(a,\s\up6(^))，可以算得eq\o(e,\s\up6(^))i＝y(tǒng)i－eq\o(y,\s\up6(^))i分別為eq\o(e,\s\up6(^))1＝0.35，eq\o(e,\s\up6(^))2＝0.718，eq\o(e,\s\up6(^))3＝－0.5，eq\o(e,\s\up6(^))4＝－2.214，eq\o(e,\s\up6(^))5＝1.624，殘差平方和為eq\i\su(i＝1,5,)(eq\o(e,\s\up6(^))i)2≈8.43.(2)eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\x\to(y))2＝50.18，故R2≈1－eq\f(8.43,50.18)≈0.832.反思感悟刻畫回歸效果的三種方法(1)殘差圖法：殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)說明選用的模型比較合適．(2)殘差平方和法：殘差平方和eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2越小，模型的擬合效果越好．(3)R2法：R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2)越接近1，表明模型的擬合效果越好．跟蹤訓(xùn)練3已知某種商品的價(jià)格x(單位：元)與需求量y(單位：件)之間的關(guān)系有如下一組數(shù)據(jù)：x1416182022y1210753求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并借助殘差平方和和R2說明回歸模型擬合效果的好壞．eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(參考公式及數(shù)據(jù)：\o(b,\s\up6(^))＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，\o(a,\s\up6(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up6(^))\x\to(x)，))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)＝1660，\i\su(i＝1,5,x)iyi＝620))解eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(620－5×18×7.4,1660－5×182)＝－1.15，eq\o(a,\s\up6(^))＝7.4＋1.15×18＝28.1，所以所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝－1.15x＋28.1.列出殘差表為yi－eq\o(y,\s\up6(^))i00.3－0.4－0.10.2yi－eq\x\to(y)4.62.6－0.4－2.4－4.4所以eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2＝0.3，eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\x\to(y))2＝53.2，R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,5,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,5,)yi－\x\to(y)2)≈0.994，所以回歸模型的擬合效果很好．1．知識(shí)清單：(1)一元線性回歸模型．(2)最小二乘法、經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求法．(3)對(duì)模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析：殘差圖法、殘差平方和法和R2法．2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸．3．常見誤區(qū)：不判斷變量間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，盲目求解經(jīng)驗(yàn)回歸方程致誤．1．(多選)關(guān)于殘差圖的描述正確的是()A．殘差圖的橫坐標(biāo)可以是樣本編號(hào)B．殘差圖的橫坐標(biāo)也可以是解釋變量或響應(yīng)變量C．殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄R2越小D．殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄殘差平方和越小〖答案〗ABD〖解析〗殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，則殘差平方和越小，此時(shí)，R2的值越大，故描述錯(cuò)誤的是C.2．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在建立變量x，y的回歸模型