人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊學案2：§8 3　列聯(lián)表與獨立性檢驗

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊PAGEPAGE1§8.3列聯(lián)表與獨立性檢驗學習目標1.通過實例，理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計意義.2.通過實例，了解2×2列聯(lián)表獨立性檢驗及其應(yīng)用．知識梳理知識點一分類變量為了表述方便，我們經(jīng)常會使用一種特殊的隨機變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類隨機變量稱為分類變量．分類變量的取值可以用表示．知識點二2×2列聯(lián)表1．2×2列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的．2．定義一對分類變量X和Y，我們整理數(shù)據(jù)如下表所示：XY合計Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d像這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表稱為2×2列聯(lián)表．知識點三獨立性檢驗1．定義：利用χ2的取值推斷分類變量X和Y的方法稱為χ2獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”．簡稱獨立性檢驗．2．χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.3．獨立性檢驗解決實際問題的主要環(huán)節(jié)(1)提出零假設(shè)H0：X和Y相互獨立，并給出在問題中的解釋．(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，計算χ2的值，并與臨界值xα比較．(3)根據(jù)檢驗規(guī)則得出推斷結(jié)論．(4)在X和Y不獨立的情況下，根據(jù)需要，通過比較相應(yīng)的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律．思考獨立性檢驗與反證法的思想類似，那么獨立性檢驗是反證法嗎？題型探究探究一等高堆積條形圖的應(yīng)用例1．為考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進行動物試驗，得到如下的列聯(lián)表：藥物效果試驗列聯(lián)表患病未患病總計服用藥104555沒有服用藥203050總計3075105試用圖形判斷服用藥與患病之間是否有關(guān)系？反思感悟等高堆積條形圖的優(yōu)劣點(1)優(yōu)點：較直觀地展示了eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)的差異性．(2)劣點：不能給出推斷“兩個分類變量有關(guān)系”犯錯誤的概率．跟蹤訓練1.為了解鉛中毒病人與尿棕色素為陽性是否有關(guān)系，分別對病人組和對照組的尿液作尿棕色素定性檢查，結(jié)果如下：組別陽性數(shù)陰性數(shù)總計鉛中毒病人29736對照組92837總計383573試畫出列聯(lián)表的等高條形圖，分析鉛中毒病人和對照組的尿棕色素陽性數(shù)有無差別，鉛中毒病人與尿棕色素為陽性是否有關(guān)系？探究二由χ2進行獨立性檢驗命題角度1有關(guān)“相關(guān)的檢驗”例2.某校高三年級在一次全年級的大型考試中，數(shù)學成績優(yōu)秀和非優(yōu)秀的學生中，物理、化學、總分也為優(yōu)秀的人數(shù)如下表所示，則我們能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為數(shù)學成績優(yōu)秀與物理、化學優(yōu)秀有關(guān)系？物理優(yōu)秀化學優(yōu)秀總分優(yōu)秀數(shù)學優(yōu)秀228225267數(shù)學非優(yōu)秀14315699注：該年級此次考試中數(shù)學成績優(yōu)秀的有360人，非優(yōu)秀的有880人.反思感悟用χ2進行“相關(guān)的檢驗”步驟(1)零假設(shè)：即先假設(shè)兩變量間沒關(guān)系．(2)計算χ2：套用χ2的公式求得χ2值．(3)查臨界值：結(jié)合所給小概率值α查得相應(yīng)的臨界值xα.(4)下結(jié)論：比較χ2與xα的大小，并作出結(jié)論．跟蹤訓練2.某校對學生課外活動進行調(diào)查，結(jié)果整理成下表：用你所學過的知識進行分析，能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為“喜歡體育還是文娛與性別有關(guān)系”？體育文娛合計男生212344女生62935總計275279命題角度2有關(guān)“無關(guān)的檢驗”例3.某省進行高中新課程改革，為了解教師對新課程教學模式的使用情況，某一教育機構(gòu)對某學校的教師關(guān)于新課程教學模式的使用情況進行了問卷調(diào)查，共調(diào)查了50人，其中有老教師20人，青年教師30人．老教師對新課程教學模式贊同的有10人，不贊同的有10人；青年教師對新課程教學模式贊同的有24人，不贊同的有6人．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2列聯(lián)表；(2)試根據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，分析對新課程教學模式的贊同情況與教師年齡是否有關(guān)系．反思感悟獨立性檢驗解決實際問題的主要環(huán)節(jié)(1)提出零假設(shè)H0：X和Y相互獨立，并給出在問題中的解釋．(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，計算χ2的值，并與臨界值xα比較．(3)根據(jù)檢驗規(guī)則得出推斷結(jié)論．(4)在X和Y不獨立的情況下，根據(jù)需要，通過比較相應(yīng)的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律．跟蹤訓練3.對電視節(jié)目單上的某一節(jié)目，部分觀眾的態(tài)度如下表：完全同意反對合計男人142640女人293463合計4360103問能否認為觀看這個電視節(jié)目的觀眾與性別無關(guān)？課堂小結(jié)1．知識清單：(1)分類變量．(2)2×2列聯(lián)表．(3)等高堆積條形圖．(4)獨立性檢驗，χ2公式．2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合．3．常見誤區(qū)：對獨立性檢驗的原理不理解，導(dǎo)致不會用χ2分析問題．當堂達標1．某科研機構(gòu)為了研究中年人禿發(fā)與心臟病是否有關(guān)，隨機調(diào)查了一些中年人的情況，具體數(shù)據(jù)如表：心臟病無心臟病禿發(fā)20300不禿發(fā)5450根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到k＝eq\f(775×(20×450－5×300)2,25×750×320×455)≈15.968，因為k>6.635，則斷定禿發(fā)與心臟病有關(guān)系，那么這種判斷出錯的可能性為()A．0.1 B．0.05C．0.025 D．0.012．在一項中學生近視情況的調(diào)查中，某校男生150名中有80名近視，女生140名中有70名近視，在檢驗這些中學生眼睛近視是否與性別有關(guān)時用什么方法最有說服力()A．平均數(shù)與方差 B．回歸分析C．獨立性檢驗 D．概率3．在研究打鼾與患心臟病之間的關(guān)系中，通過收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得到“打鼾與患心臟病有關(guān)”的結(jié)論，并且在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為這個結(jié)論是成立的．下列說法中正確的是()A．100個心臟病患者中至少有99人打鼾B．1個人患心臟病，則這個人有99%的概率打鼾C．100個心臟病患者中一定有打鼾的人D．100個心臟病患者中可能一個打鼾的人都沒有4．觀察下列各圖，其中兩個分類變量x，y之間關(guān)系最強的是________．5．某大學餐飲中心為了解新生的飲食習慣，在全校一年級學生中進行了抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示：喜歡甜品不喜歡甜品總計南方學生602080北方學生101020總計7030100根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問是否有95%的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”.▁▃▅▇█參*考*答*案█▇▅▃▁知識梳理知識點一分類變量實數(shù)知識點二2×2列聯(lián)表1．交叉分類頻數(shù)知識點三獨立性檢驗1．是否獨立2．eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))思考〖答案〗不是．因為反證法不會出錯，而獨立性檢驗依據(jù)的是小概率事件幾乎不發(fā)生．題型探究例1.解：相應(yīng)的等高條形圖如下：從圖形可以看出，服用藥的樣本中患病的比例明顯低于沒有服用藥的樣本中患病的比例，因此可以認為：服用藥和患病之間有關(guān)系．跟蹤訓練1.解：等高條形圖如圖所示：其中兩個淺色條的高分別代表鉛中毒病人和對照組樣本中尿棕色素為陽性的頻率．由圖可以直觀地看出鉛中毒病人與對照組相比，尿棕色素為陽性的頻率差異明顯，因此鉛中毒病人與尿棕色素為陽性有關(guān)系．例2.解：(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)列出數(shù)學與物理優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表如下：物理優(yōu)秀物理非優(yōu)秀總計數(shù)學優(yōu)秀228b360數(shù)學非優(yōu)秀143d880總計371b＋d1240∴b＝360－228＝132，d＝880－143＝737，b＋d＝132＋737＝869.代入公式可得K2的觀測值為k1≈270.114.(2)按照上述方法列出數(shù)學與化學優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表如下：化學優(yōu)秀化學非優(yōu)秀總計數(shù)學優(yōu)秀225135360數(shù)學非優(yōu)秀156724880總計3818591240代入公式可得K2的觀測值k2≈240.611.綜上，由于K2的觀測值都大于10.828，因此說明都能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為數(shù)學成績優(yōu)秀與物理、化學優(yōu)秀有關(guān)系．跟蹤訓練2.解：判斷方法如下：假設(shè)H0“喜歡體育還是喜歡文娛與性別沒有關(guān)系”，若H0成立，則χ2應(yīng)該很小．∵n11＝21，n12＝23，n21＝6，n22＝29，n＝79，∴χ2＝eq\f(n(n11n22－n12n21)2,n1＋n2＋n＋1n＋2)＝eq\f(79×(21×29－23×6)2,44×35×27×52)≈8.106.∵χ2≥6.635，∴我們有99%的把握認為“喜歡體育還是文娛與性別有關(guān)系”，即在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“喜歡體育還是喜歡文娛與性別有關(guān)”．例3.解：(1)2×2列聯(lián)表如下表所示：教師年齡對新課程教學模式合計贊同不贊同老教師101020青年教師24630合計341650(2)零假設(shè)為H0：對新課程教學模式的贊同情況與教師年齡無關(guān)．由公式得χ2＝eq\f(50×(10×6－24×10)2,34×16×20×30)≈4.963<6.635＝x0.01，根據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，即認為對新課程教學模式的贊同情況與教師年齡無關(guān)．跟蹤訓練3.解：由公式得χ2＝eq\f(103×(14×34－29×26)2,43×60×63×40)≈1.224.因為1.224＜3.841，我們沒有理由說是否觀看這個節(jié)目與觀眾的性別有關(guān)，即可以認為觀看這個電視節(jié)目的觀眾與性別無關(guān)．當堂達標1．〖解析〗∵P(k>6.635)＝0.01，故選D.〖答案〗D2．〖解析〗判斷兩個分類變量是否有關(guān)的最有效方法是進行獨立性檢驗，故選C.〖答案〗C3．〖解析〗這是獨立性檢驗，在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“打鼾與患心臟病有關(guān)”．這只是一個概率，即打鼾與患心臟病有關(guān)的可能性為99%.根據(jù)概率的意義可知〖答案〗應(yīng)選D.〖答案〗D4．〖解析〗在四幅圖中圖(4)中兩個深