常微分方程課件

常微分方程

一、二階常系數(shù)方程的解法

1。齊次方程通解 設(shè)

得相異實根共軛復根重根

2。非其次方程特解：比較系數(shù)法二、二階變系數(shù)方程的解法1、級數(shù)解法

廣義冪級數(shù)

代入方程，比較系數(shù)法確定參數(shù)c和

an

設(shè)

代入，得

首項xc的系數(shù)為0——指標方程第n項xn+c的系數(shù)為0

——遞推公式

由指標方程的第一根c=c1可以得到方程的第一個解當c1－c2不為整數(shù)或0時，由常規(guī)方法可得第二解。當c1、c2

為重根時，第二解為當c1－c2為整數(shù)時，第二解為

2。Bessel方程及其級數(shù)解

稱為k階Bessel方程。采用冪級數(shù)解法，得首項系數(shù)為0的指標方程

遞推公式

第一解

第二解分為以下三種情況

i)k為分數(shù)

ii)k=0

iii)k為整數(shù)

3、Legendre方程與Legendre函數(shù) 設(shè)

代入，得

遞推公式 根據(jù)冪級數(shù)收斂判別法知，在x=±1處級數(shù)發(fā)散，但物理上函數(shù)又是有界的，因此只有參數(shù)l取整數(shù)才能保證級數(shù)在x=±1處收斂，此時級數(shù)成為Legendre多項式

性質(zhì)

Bessel函數(shù)、Legendre函數(shù)均為正交函數(shù)族，滿足正交條件，可以作為函數(shù)基將任意分片光滑的函數(shù)展開成Fourier級數(shù)，分別稱為Fourier－Bessel級數(shù)和Fourier－Legendre級數(shù)。

三、一階常系數(shù)方程組的矩陣解法

齊次方程

設(shè)代入方程得 從中可解出n個特征根和特征向量，構(gòu)成基解矩陣通解或

y=Yc

常數(shù)c由初始條件確定

四、線性穩(wěn)定性分析方法穩(wěn)定性（stability)——系統(tǒng)的一種動態(tài)特性，指偏離定常狀態(tài)后能否自動返回該定常態(tài)的性質(zhì),系統(tǒng)抗干擾能力的度量。定常態(tài)（steadystate)——穩(wěn)態(tài)（與瞬態(tài)對應），系統(tǒng)不隨時間變化的某個狀態(tài)。穩(wěn)定態(tài)（stablestate)——穩(wěn)定的定常態(tài)。 穩(wěn)定——差之毫厘，失之毫厘 不穩(wěn)定——差之毫厘，失之千里

流動的穩(wěn)定性——雷諾實驗、圓柱型水流 反應器的熱穩(wěn)定性——飛溫與熄火 平行平板間的熱對流穩(wěn)定性——Benard現(xiàn)象 壓桿、板殼的屈曲穩(wěn)定性穩(wěn)定性分析方法 線性穩(wěn)定性分析：小擾動的線性化動態(tài)分析，獲得失穩(wěn)判據(jù)。 非線性穩(wěn)定性理論：分叉、混沌，非線性科學問題。

1、線性穩(wěn)定性分析方法 目的——獲取失穩(wěn)判據(jù)； 方法——穩(wěn)態(tài)附近對小擾動線性展開，由特征根確定非線性動力系統(tǒng) 定常態(tài)f(ys)=0

設(shè)x(t)為小擾動，令

y(t)=ys+x(t)

代入原方程，泰勒展開，保留線性項通解穩(wěn)定性判別

若A的特征根都是負的，則零解是漸近穩(wěn)定的；若至少有一個根的是正的，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；若都為零，則不定。

因此，線性穩(wěn)定性分析的問題轉(zhuǎn)化為線性化方程的矩陣A的特征根的正負號判別問題。如何根據(jù)A得到穩(wěn)定性判據(jù)？Routh-Hurwitz系數(shù)判別法。

特征根方程

Routh方法： 如果系數(shù)aj不同號，或某些系數(shù)為零，則方程必然有大于等于零的根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

Routh－Hurwitz判定行列式

Routh指出，若采用如下的判定函數(shù)RiR0=△0,R1=△1,R2=△2

/△1,…,Rn

=△n

/△n-1=an則當所有的判定函數(shù)為正值時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。Hurwitz則證明了以下定理：實系數(shù)的n次代數(shù)方程的一切根的實部都是負數(shù)的充分必要條件是所有判定行列式均大于0。

2、穩(wěn)態(tài)點的分類

1）tr2－4

>0，

>0：

1

2

>0，穩(wěn)態(tài)點為結(jié)點2）tr2－4

>0，

<0：

1

2

<0， 穩(wěn)態(tài)點為鞍點

3）tr2－4

<0，tr

0

：

1，

2

為復數(shù)，穩(wěn)態(tài)點振蕩焦點4）tr

＝0，

>0，

1，

2都是純虛數(shù)

穩(wěn)態(tài)點為中心點

3、化學反應器的熱穩(wěn)定性

取 x=cA－cAs,y=T－Ts

將