2020-2021學(xué)年安徽省江南五校高一下學(xué)期階段性大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages44頁(yè)第Page\*MergeFormat1頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat6頁(yè)2020-2021學(xué)年安徽省江南五校高一下學(xué)期階段性大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可得解.【詳解】由題意，．故選：A.2．如圖，設(shè)是正六邊形的中心，則與不相等的向量為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由正六邊形的性質(zhì)結(jié)合平面向量相等的概念即可得解.【詳解】由題意，，.故選：D.3．設(shè)向量，，且，則（）A． B． C． D．1【答案】C【分析】由平面向量的加法及共線(xiàn)的坐標(biāo)表示運(yùn)算即可得解.【詳解】由題意，，因?yàn)?，所以，解得．故選：C.4．以下命題正確的是（）A．過(guò)空間三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面 B．平行于同一直線(xiàn)的兩個(gè)平面互相平行C．平行于同一直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行 D．分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)互相平行【答案】C【分析】由平面的性質(zhì)及線(xiàn)面、面面的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】對(duì)于A，過(guò)不在一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，平行于同一直線(xiàn)的兩個(gè)平面可能相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，平行于同一直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行，故C正確；對(duì)于D，分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)可能異面，故D錯(cuò)誤.故選：C.5．在中，若，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)余弦定理求邊，從而求出角，結(jié)合變名的誘導(dǎo)公式即可求出的值.【詳解】由余弦定理可得，即，又因?yàn)椋?，所以．故選：D.6．已知向量，為非零向量，有以下四個(gè)命題：甲：；乙：；丙：與的方向相反；?。海粢陨详P(guān)于向量，的判斷的命題只有一個(gè)是錯(cuò)誤的，則該命題是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】A【分析】分析可知甲與乙肯定有一個(gè)不正確，再分類(lèi)討論即可得解.【詳解】由題意知，甲與乙肯定有一個(gè)不正確，若甲正確，則丙也不正確，不合題意；若甲錯(cuò)誤，乙、丙、丁可以同時(shí)正確；故甲不正確．故選：A.7．已知向量，的夾角為，，，則（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由平面向量數(shù)量積的定義可得，再由即可得解.【詳解】由題意，，所以．故選：B.8．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得的幾何意義為與兩點(diǎn)間的距離，在單位圓上,進(jìn)而得|的最大值為3．【詳解】的幾何意義為與兩點(diǎn)間的距離，且在單位圓上，所以||的最大值為3．故選:C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查化歸轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于利用幾何意義得的意義為與兩點(diǎn)間的距離，進(jìn)而求解.9．長(zhǎng)，寬，高分別為6cm，8cm，10cm的長(zhǎng)方體水槽置于水平桌面上，該水槽內(nèi)裝在高度為8cm的水，若將一半徑為3cm的球放入該水槽中（假設(shè)球與水槽的底面相切），則水槽內(nèi)溢出的水的體積約為（）（）A．16 B．12 C．10 D．2【答案】B【分析】由體積公式計(jì)算出原本水量及放入球后剩余水量，作差即可得解.【詳解】該長(zhǎng)方體的體積為，放入的球的體積，原先長(zhǎng)方體內(nèi)水的體積為，放入球后長(zhǎng)方體內(nèi)剩余的水量為，所以溢出的水量為．故選：B.10．已知，，三點(diǎn)均在球的表面上，，且球心到平面的距離為2，則球的內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為（）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】先由球的截面的性質(zhì)可得球的半徑，再由正方體外接球的直徑即為體對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)即可得解.【詳解】由題意，的外接圓半徑為，設(shè)該球的半徑為，可得，所以，設(shè)該球內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為，所以，所以．故選：D.11．已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，分別、的兩點(diǎn)，，，與交于點(diǎn)，則下列說(shuō)法不正確的是（）A． B．C． D．在方向上的投影為1【答案】D【分析】由等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義可判斷A；證明后可判斷B；由平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算可判斷C；由投影的概念可判斷D.【詳解】在等邊中，為中點(diǎn)，所以，所以，A正確；取中點(diǎn)為，連接，則，且，得，所以，即為中點(diǎn)，，B正確；，因?yàn)?，所以，C正確；在方向上的投影為，D不正確．故選：D.12．已知正方形的邊長(zhǎng)為，、分別為、的中點(diǎn)，沿將三角形折起到的位置，則三棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】計(jì)算出的面積以及點(diǎn)到平面的距離的最大值，由此可求得三棱錐體積的最大值.【詳解】因?yàn)槿忮F體積，且的面積為定值，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，則，設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，.故選：D.二、填空題13．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)___________．【答案】1【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)得，再由純虛數(shù)的概念即可得解.【詳解】由題意，，所以，得.故答案為：1.14．目前，中國(guó)已經(jīng)建成全球最大的5G網(wǎng)絡(luò)，無(wú)論是大山深處還是廣袤平原，處外都能見(jiàn)到5G基站的身影．如圖，某同學(xué)正西方向山頂上的一座5G基站，已知基站高，該同學(xué)眼高1.5m（眼睛到地面的距離）．該同學(xué)在初始位置處（眼睛所在位置）測(cè)得基站頂端的仰角為，該同學(xué)向南走米后到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得基站頂端的仰角為，則山高_(dá)__________米．【答案】101.5【分析】設(shè)，則，，，在中由勾股定理求出得值，即可山高.【詳解】由題意可得：，，，，且，，，設(shè)，則，，所以在中，，所以得解得：，所以山高等于米．故答案為：101.5.15．已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的表面積為_(kāi)_______；【答案】.【分析】首先根據(jù)題意得到，解得，再分別計(jì)算側(cè)面積和底面積即可.【詳解】設(shè)圓錐的半徑為，由題知：，解得.所以，.所以表面積.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐的表面積，同時(shí)考查了圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，屬于簡(jiǎn)單題.三、雙空題16．如圖，在平行四邊形中，，為的中點(diǎn)，為線(xiàn)段上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則___________；若的面積為，則的最小值為_(kāi)__________．【答案】【分析】設(shè)，由平面向量線(xiàn)性運(yùn)算及基本定理可得，由結(jié)合基本不等式可得的最小值.【詳解】由題意，設(shè)，則，所以，所以，所以；所以，由的面積為，得到，得到，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為．故答案為：；.四、解答題17．已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，且滿(mǎn)足．（1）求；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由復(fù)數(shù)的運(yùn)算可得，再由共軛復(fù)數(shù)的概念即可得解；（2）由復(fù)數(shù)得運(yùn)算化簡(jiǎn)得，再由復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以；?），因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以，解得，所以的取值范圍為．18．已知向量，，．（1）若，求角的值；（2）判斷三角形可否為直角三角形，并說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）可為直角三角形，答案見(jiàn)解析．【分析】（1）由平面向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示可得，再由模的坐標(biāo)表示可得，即可得解；（2）按照、、為直角分類(lèi)，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示及三角恒等變換即可得解.【詳解】（1）已知，，所以，因?yàn)椋?，得，，又因?yàn)?，所以；?）若為直角，則，得，即，，無(wú)解；若為直角，則，得，即，，無(wú)解；若為直角，則，得，即，，因?yàn)?，，，故必存在一個(gè)值，使得三角形為直角三角形．19．如圖，在正四棱錐中，．（1）求正四棱錐的體積；（2）若為三角形的重心，在邊上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；【答案】（1）；（2）存在；．【分析】（1）由已知條件結(jié)合勾股定理求出四棱錐的高，從而可求出正四棱錐的體積；（2）連接延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，由線(xiàn)面平行的性質(zhì)可得，由為三角形的重心，可求得結(jié)果【詳解】（1）由，可得，因?yàn)闉檎睦忮F，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以該正四棱錐的高為，所以正四棱錐的體積；（2）存在這樣的點(diǎn)，使得平面，如圖，連接延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)闉槿切蔚闹匦?，所以．所以；所以?0．從以下三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，求的值；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由．①，②，③．問(wèn)題：在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知，，__________．注；如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】答案不唯一，具體見(jiàn)解析【分析】由正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得，若選擇①：由正弦定理得，再由余弦定理解方程即可得解；若選擇②：由面積公式可得，再由余弦定理解方程即可得解；若選擇③：由誘導(dǎo)公式可得，求得A后即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，由正弦定理得，又因?yàn)?，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，，所以；若選擇①：，由正弦定理得，由余弦定理，得，解得，所以；若選擇②：因?yàn)椋?，得，又由余弦定理，可得，得，從而得或．若選擇③：因?yàn)椋?，所以，即，因?yàn)?，所以，此時(shí)，這與三角形的內(nèi)角和等于相矛盾，所以這樣的三角形不存在．21．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若為側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，且平面，求的最小值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，由平面幾何的知識(shí)可得四邊形為平行四邊形，進(jìn)而可得，再由線(xiàn)面平行的判定即可得證；（2）取中點(diǎn)，連接，，由平面幾何的知識(shí)結(jié)合面面平行的判定可得平面平面，進(jìn)而可得點(diǎn)必在線(xiàn)段上，運(yùn)算即可得解.【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）如圖，取中點(diǎn)，連接，，由（1）知，，在正方形中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，平面，因?yàn)?，所以平面平面，所以點(diǎn)必在線(xiàn)段上，所以的最小值即為點(diǎn)A到線(xiàn)段的距離，在中，，，所以點(diǎn)A到的距離，所以的最小值為．22．如圖，四邊形中，已知對(duì)角線(xiàn)，且滿(mǎn)足，．（1）求證：；（2）若△為銳角三角形，設(shè)四邊形面積為，求證