《相交線與平行線》解答題、證明題重點題型分類（原卷版+解析）

專題02《相交線與平行線》解答題'證明題重點題型分類

專題簡介：本份資料專攻《相交線與平行線》中“利用平行線的性質(zhì)求角”、“利用平行線的判定及性質(zhì)證

明平行”、“利用平行線的判定及性質(zhì)證明角相等”、“平行線中構(gòu)造平行線”解答題、證明題重點題型；適

用于老師給學(xué)生作復(fù)習(xí)培訓(xùn)時使用或者考前刷題時使用。

考點L利用平行線的性質(zhì)求角

方法點撥：題目中出現(xiàn)兩直線平行的條件時，應(yīng)立即想到平行線的三個性質(zhì)，要注意分析圖

形特征，明確角與角的位置關(guān)系從而明確角與角之間的數(shù)量關(guān)系是相等還是互補。平行線還

通常會和角平分線、垂線等知識結(jié)合，求角的度數(shù)時需要根據(jù)已知條件綜合利用角平分線、

垂線的定義以及對頂角、領(lǐng)補角互補等性質(zhì)求解！

1.如圖，已知：DE//BC,CD是NACB的平分線，ZB=80°,ZA=50°,求：/即C與的度數(shù).

2.兩個直角三角板如圖擺放，其中NBAC=N即尸=90。，NE=45。，/C=30。,A8與。尸交于點BC//EF,

求NBMD的度數(shù).

3.如圖所示，AB//CD,G為上方一點，￡、尸分別為AB、上兩點，ZAEG=4ZGEB,ZCFG=2ZGFD,

/GE2和NGF。的角平分線交于點以，求NG+N8的值.

4.如圖所示，AB//CD,點E為兩條平行線外部一點，尸為兩條平行線內(nèi)部一點，G、H分別為AB、CD1.

兩點，GB平分/EGF,HF平分/EHD,且2NB與NE互補，求NEG尸的大小.

B

CD

H

5.如圖，CD〃AB,點。在直線AB上，OE平分NBOD,OFLOE,Z￡)=110°,求尸的度數(shù).

6.小明同學(xué)遇到這樣一個問題：

如圖①，已知：AB//CD,E為AB、CD之間一點，連接BE,ED,得到/BED.

求證：ZBED^ZB+ZD.

小亮幫助小明給出了該問的證明.

證明：

過點E作EF//AB

則有

'：AB//CD

J.EF//CD

：./FED=ND

：.NBED=ZBEF+ZFED=ZB+ZD

請你參考小亮的思考問題的方法，解決問題：

(1)直線直線EF和直線Q/2分別交于C、。兩點，點A、8分別在直線/卜L上，猜想：如圖②,

若點尸在線段上，NE4C=15。，ZPBD=40°,求NAP3的度數(shù).

(2)拓展：如圖③，若點P在直線跖上，連接B4、PB(BD<AC),直接寫出/RIC、ZAPB,/PBD之

間的數(shù)量關(guān)系.

E

CA,

壇B勾

F.

圖①圖②圖③

考點2：利用平行線的判定及性質(zhì)證明平行

方法點撥：“由角定線”，也就是根據(jù)某些角的相等或互補關(guān)系來判斷兩直線平行，解此類題

目必須要掌握好平行線的判定方法。

1.如圖，已知?！?,N3=/4,那么直線c與直線［平行嗎？請說明理由.

2.根據(jù)下列證明過程填空，請在括號里面填寫對應(yīng)的推理的理由.

如圖，已知Nl+/2=180。，且/1=ND,求證：BC//DE.

證明:VZ1+Z2=18O°（已知）

又=.

；./2+/3=180。（等量代換）

J.AB//.

二/4=/1.

又：=（已知）

：.ZD=（等量代換）

J.BC//DE（）.

3.已知：如圖，b〃a,c//a,zi,N2,N3是直線a,b,c被直線d截出的同位角.求證：b〃c.

4.完成下面的說理過程：如圖，在四邊形A3CD中，E、尸分別是CD、AB,延長線上的點，連接收，分

別交AD,BC于點G、H.已知N1=N2,ZA=ZC,對4J//BC和AB〃CD說明理由.

AGilD

理由：VZ1=Z2（已知）,

Zl=ZAGH(),

Z2=ZAGH(等量代換).

AD//BC().

VZADE=ZC().

VZA=ZC(已知)，

A.ZADE=ZA().

:.AB//CD().

5.完成下列證明過程，并在括號內(nèi)填上依據(jù).

如圖，點E在AB上，點尸在CZ）上，Z1=Z2,NB=/C,求證

證明：VZ1=Z2(已知)，Z1=Z4

；./2=(等量代換)，

//BF(),

；./3=N().

又,：4B=4C(已知)，

：.AB//CD().

6.如圖，點E,歹分別在A3,C。上，AFLCE,垂足為點0.已知Nl=/3,ZA+Z2=90°.

AB

1

(1)求證：AB!/CD；

(2)若AF=12,BF=5,AB=13,求點尸到直線A3的距離.

考點3：利用平行線的判定及性質(zhì)證明角相等

方法點撥：判斷兩個角相等或互補及與之有關(guān)的一些角的運算問題?！坝删€定角”即運用平

行線的性質(zhì)來推出兩個角相等或互補。

1.填寫推理理由：如圖，CDHEF,Z1=Z2,求證：Z3=ZACB.

證明：'：CD//EF,

:.NDCB=/2

VZ1=Z2,：.ZDCB=Z1.

：.GD//CB

：.Z3=ZACB

填寫適當(dāng)?shù)睦碛苫驍?shù)學(xué)式:

(1)VZA=ZCEF,(已知)

//)

(2)VZB+ZBD￡=180°,(已知)

//；()

(3)-：DE//BC,(已知)

ZAED=Z_______；()

(4)-：AB//EF,(已知)

ZADE=Z_______.()

3.請把以下證明過程補充完整，并在下面的括號內(nèi)填上推理理由:

己知：如圖，Z1=Z2,ZA=Z￡).

求證：NB=/C.

證明:VZ1=Z2,(已知)

又：VZ1=Z3,()

二/2=(等量代換)

:.AE//FD(同位角相等，兩直線平行)

AZA=ZBFD()

ZA—ZD(已知)

:./D=(等量代換)

//CD()

：.ZB=ZC()

4.完成下面的證明.

如圖，已知AOJ_BC,EFLBC,Z1=Z2,求證：ZBAC+ZAGD=18O°.

證明：-JADLBC,EFLBC(已知)，

：.ZEFB=90°,ZADB=9Q°(),

：.ZEFB=ZADB(等量代換)，

.'.EF//AD(),

：.Z1=ZBAD(),

又?；N1=N2（已知）,

；.Z2=Z—（等量代換），

：.DG//BA（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）,

ZBAC+ZAG￡>=180°（）.

5.如圖，ZAGB=ZEHF,ZC=ZD.

(1)求證：BD//CE；

(2)求證：ZA—ZF.

6.如圖所示，ADLBC,EFLBC,Z3=ZC,則N1和/2什么關(guān)系?并說明理由.

考點4:平行線中構(gòu)造平行線

方法點撥：平行線的構(gòu)造主要解決的是平行線間的折線問題。而構(gòu)造的方法大致有三種：過

拐點做已知直線的平行線、做延長線、做封閉圖形。最基本的兩種圖形，是鉛筆模型和豬蹄

模型。

1.如圖1,CE平分/AC。，AE平分/&1C,ZEAC+ZACE=90°,

（1）請判斷AB與CD的位置關(guān)系并說明理由；

（2）如圖2,當(dāng)NE=90。且與的位置關(guān)系保持不變，移動直角頂點E,使/MCE=/ECD,當(dāng)直角

頂點E點移動時，問NA4E與是否存在確定的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；

（3）如圖3,尸為線段AC上一定點，點Q為直線上一動點且A3與。的位置關(guān)系保持不變，當(dāng)點Q

在射線CD上運動時（點C除外）/"0+/。0尸與/出1（7有何數(shù)量關(guān)系？猜想結(jié)論并說明理由.

B

BAB

圖

1圖2圖3

2.直線AB〃CD,直線所分別交A3、8于點M、N,NP平濟ZMND.

(1)如圖1,若MR平分NEMB,則MR與NP的位置關(guān)系是.

(2)如圖2,若MR平濟ZAMN,則MR與NP有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由.

(3)如圖3,若MR平級ZBMN,則皿?與NP有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由.

圖1圖2圖3

3.已知：AB〃CD.點E在CD上.，點F,H在4B上，點G在AB,Q)之間，連接尸G,EH,GE,ZGFB

=NCEH.

圖1圖2

(1)如圖1,求證：GF//EH-,

(2)如圖2,若/GEH=a,尸M平分/APG,EM平分NGEC,試問與a之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系(用

含a的式子表示NM)?請寫出你的猜想，并加以證明.

4.已知A8〃C。，點是AB,CD之間的一點.

(1)如圖1,試探索/AEC,/BAE,NDCE之間的數(shù)量關(guān)系；

以下是小明同學(xué)的探索過程，請你結(jié)合圖形仔細閱讀，并完成填空(理由或數(shù)學(xué)式):

解：過點E作PE〃A8(過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行).

'：AB//CD(已知)，

：.PE//CD(),

：.ZBAE=Z1,NDCE=N2(),

AZBAE+ZDCE=+(等式的性質(zhì)).

即NAEC,ZBAE,NOCE之間的數(shù)量關(guān)系是.

(2)如圖2,點F是A8,之間的一點，A尸平分/BAE,CF平分/OCE.

①若NAEC=74。，求NAPC的大?。?/p>

②若CG_LAF,垂足為點G,CE平分/OCG,ZAEC+ZAFC=126°,求NBAE的大小.

圖1圖2

5.在數(shù)學(xué)綜合實踐活動課上，老師讓同學(xué)們以“兩條平行直線AB,C。和一塊含45。的直角三角板EBG

(ZEFG=90。)”為背景，開展數(shù)學(xué)探究活動.如圖，將三角板的頂點G放置在直線上.

(1)如圖①，在GE邊上任取一點P(不同于點G,E),過點尸作且N2=4N1,求N1的度數(shù)；

(2)如圖②，過點E作CO//AB,請?zhí)剿鞑⒄f明NAGb與NCEF之間的數(shù)量關(guān)系；

(3)將三角板繞頂點G旋轉(zhuǎn)，過點￡作8/〃皿，并保持點E在直線A3的上方.在旋轉(zhuǎn)過程中，探索ZAGF

與NC斯之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

6.已知AB//CZ),點￡、尸分別在A3、C￡＞上，點G為平面內(nèi)一點，連接EG、FG.

(1)如圖1,當(dāng)點G在AB、C。之間時，請直接寫出/AEG、/CFG與/G之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,當(dāng)點G在AB上方時，且NEGP=90。，求證：/BEG-/DFG=9Q。；

(3)如圖3,在(2)的條件下，過點E作直線HK交直線C￡)于K,使/"EG與/GEB互補，/EKD的

平分交與直線GE交于點3請你判斷尸G與KL的位置關(guān)系，并證明.

7.問題情境：如圖1,AB//CD,/抬8=130。，ZPC￡)=120°.求/APC度數(shù).小明的思路是：如圖2,過

點尸作PE〃AB,通過平行線性質(zhì)，可得/4尸。=50。+60。=110。.

問題遷移:

(1)如圖3.AD//BC,點尸在射線0M上運動，當(dāng)點尸在A、B兩點之間運動時，ZADP=Za,ZBCP=ZJ3.猜

想/CP。、/a、之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由:

(2)在(1)的條件下，如果點尸在A、8兩點外側(cè)運動時(點尸與點A、B、。三點不重合)，請寫出NCPD、

/￡之間的數(shù)量關(guān)系，選擇其中一種情況畫圖并證明.

圖2

專題02《相交線與平行線》解答題'證明題重點題型分類

專題簡介：本份資料專攻《相交線與平行線》中“利用平行線的性質(zhì)求角”、“利用平行線的

判定及性質(zhì)證明平行”、“利用平行線的判定及性質(zhì)證明角相等”、“平行線中構(gòu)造平行線”解

答題、證明題重點題型；適用于老師給學(xué)生作復(fù)習(xí)培訓(xùn)時使用或者考前刷題時使用。

考點1：利用平行線的性質(zhì)求角

方法點撥：題目中出現(xiàn)兩直線平行的條件時，應(yīng)立即想到平行線的三個性質(zhì)，

要注意分析圖形特征，明確角與角的位置關(guān)系從而明確角與角之間的數(shù)量關(guān)系

是相等還是互補。平行線還通常會和角平分線、垂線等知識結(jié)合，求角的度數(shù)

時需要根據(jù)已知條件綜合利用角平分線、垂線的定義以及對頂角、領(lǐng)補角互補

等性質(zhì)求解！

1.如圖，己知：DE//BC,C。是/ACB的平分線，ZB=80°,ZA=50°,求：NEDC與/BDC

的度數(shù).

【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/ACB=50。，再由角平分線的定義求出

ZBCD=ZACD=|ZACB=25°,則由三角形內(nèi)角和定理可求出/2。。=180。-/2-/28=75。，

再由平行線的性質(zhì)即可得到/瓦尼=/28=25。.

【詳解】解：VZA=50°,ZB=80°,

ZACB=180°-ZA-ZB=50°,

平分/ACB,

Z.ZBCD=ZACD=-ZACB=25°,

2

ZBr>C=180°-ZB-ZBCD=75°,

,:DE〃BC,

：.ZEDC=ZBCD=25°.

【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵

在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解.

2.兩個直角三角板如圖擺放，其中乙BAC=NEZ)P=90。，/E=45。，NC=30。，AB與DF

交于點M,BC//EF,求/BATO的度數(shù).

【答案】75。

【分析】首先根據(jù)直角三角形兩銳角互余可算出//和的度數(shù)，再由“兩直線平行，內(nèi)

錯角相等“，可求出NMDB的度數(shù)，在中，利用三角形內(nèi)角和可求出NBA?的度數(shù).

【詳解】解：如圖，

在AABC和△￡＞所中，ZBAC=ZEDF=90°,ZE=45°,ZC=30°,

.,.ZB=90°-ZC=60°,

ZF=90°-ZE=45°,

,:BC〃EF,

：.NMDB=NF=45°,

在ABMD中，/BMD=18O°-NB-/MDB=75°.

【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和，平行線的性質(zhì)等內(nèi)容，根據(jù)圖形，結(jié)合定理求出每個

角的度數(shù)是解題關(guān)鍵.

3.如圖所示，AB//CD,G為AB上方一點,E、尸分別為A3、C￡）上兩點，NAEG=4/GEB,

/CFG=2/GFD,ZGEB和/GFO的角平分線交于點H,求/G+/H的值.

【答案】ZG+ZH=36°.

【分析】先設(shè)NG￡B=2x,NGFD=2y,由題意可得ZAEG=8x,ZCFG-4y,由

2x+8x=180°,2y+4y=180。，從而求出x,y；根據(jù)題意得NAEG=/G+NCFG,

ZAEH=ZH+ZCFH,從而得到NG+/H的值.

【詳解】解：設(shè)NGEB=2x,ZGFD=2y,

由題意可得，ZAEG=8x,ZCFG=4y,

由2x+8x=180。，2y+4y=180。，解得x=18。，y=30°；

由靴子圖4EGEC知，ZAEG=ZG+ZCFG,即8x=NG+4y

由靴子圖AEHFC知，ZAEH=NH+NCFH,即

即8x=/G+4y,9x=ZH+5y,

ZG+Zf/=17x-9y=17xl80-9x30o=36°

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是設(shè)/G￡B=2x,/GFZ)=2y,由題意得到劉y

的關(guān)系式，正確將NG+/H表示成劉，的形式.

4.如圖所示，AR/C。，點E為兩條平行線外部一點，尸為兩條平行線內(nèi)部一點，G、H分

別為A3、C￡＞上兩點，GB平分NEGF,HF平分/EHD,且2/尸與NE互補，求NEGF的

大小.

【答案】ZEGF=120°.

【分析】過點尸作設(shè)A8于EH的交點為N,先設(shè)NEGB=x,NEHF=y,則

NBGF=x,ZFHD=y,由題意及平行線的性質(zhì)得ZF=ZBGF+ZDHF,

ZEGB=ZE+ZEHD,得到/尸=尤+y,x=ZE+2y,由于2/尸與NE互補，得至U

2x+2y+x-2y=l8O0,最終問題可求解

【詳解】解：過點尸作FM〃AB,設(shè)A3于9的交點為N,如圖所示：

設(shè)NEGB=x,NEHF=y,

■:GB平分NEGF,HF平分/EHD,

；.ZEGB=ZBGF=x,ZEHF=ZFHD=y,

'：AB//CD,

：.FM//AB//CD,

：.ZFGB=ZGFM,ZMFH=ZFHD,ZENB=ZEHD,

：.ZGFH=ZGFM+ZMFH=ZBGF+ZDHF,ZEGB=NE+ZENB=NE+NEHD,

即N_F=x+y,x=ZE+2y,

?/2NF與ZE互補，

2x+2y+x—2y=180°,

3x=180°,

Ax=60°,

：.ZEGF=x-^-x=120°.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是設(shè)

NEGB=x,NEHF=y,且由題意得到x,y的關(guān)系.

5.如圖，CZ)〃AB,點。在直線AB上，0E平分/BOD,OF1,OE,ZD=UO°,求NZJOF

的度數(shù).

【答案】35°

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求得根據(jù)角平分線和垂直求解即可.

【詳解】解：：CD〃AS

ZDOB=ZD=UO°

：0石平分/2。￡)

ZDOE=-ZDOB=55°

2

又：OF±OE

：.ZEOF=90°

，/DOF=/EOF-NDOE=90°-55°=35°

故答案為：35°

【點睛】此題考查了平行線、角平分線以及垂直的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握并利用它們的性

質(zhì)進行求解.

6.小明同學(xué)遇到這樣一個問題：

如圖①，已知：AB//CD,E為AB、C。之間一點，連接BE,ED,得到/BED

求證：ZBED=ZB+ZD.

小亮幫助小明給出了該問的證明.

證明：

過點E作

則有

'：AB//CD

J.EF//CD

：.ZFED=ZD

：.ZBED=ZBEF+ZFED=ZB+ZD

請你參考小亮的思考問題的方法，解決問題：

(1)直線直線跖和直線從/2分別交于C、。兩點，點A、B分別在直線/1、/2上,

猜想：如圖②，若點P在線段8上，NB4C=15。，/PBD=40。,求NAPB的度數(shù).

(2)拓展：如圖③，若點尸在直線E尸上，連接B4、尸8(BZ)<AC),直接寫出/B4C、ZAPB,

/依。之間的數(shù)量關(guān)系.

E,E.

CA

壇~BA

圖③

【答案】(1)55°；(2)當(dāng)P在線段CO上時,ZAPB=ZB\C+ZPBD；當(dāng)尸在。C延長線

上時，ZAPB=ZPBD-ZRiC；當(dāng)P在CD延長線上時，ZAPB=ZPAC-ZPBD；

【分析】(1)過點尸作PG/71,可得4c=15。，由/1勿2,可得尸GM2,貝U

ZBPG=ZPBD=40°,即可得到ZAPB=ZAPG+ZBPG=55°；

(2)分當(dāng)尸在線段CO上時；當(dāng)P在OC延長線上時；當(dāng)P在CO延長線上時，三種情況

討論求解即可.

【詳解】解：(1)如圖所示，過點P作尸G/7i,

ZAPG=ZPAC=X5°,

,：h〃h.,

:.PG〃b,

：./BPG=NPBD=40。,

：.ZAPB=ZAPG+ZBPG=55°；

(2)由(1)可得當(dāng)P在線段CD上時，ZAPB=ZPAC+ZPBD；

如圖1所示，當(dāng)尸在。C延長線上時，過點P作尸G〃/i,

ZAPG=ZFAC,

；h〃l2,

:.PG〃b,

：.NBPG=NPBD=40°,

：.ZAPB=ZBPG-ZAPG=ZPBD-ZPAC；

圖1

如圖2所示，當(dāng)尸在CZ）延長線上時，過點尸作PG〃人，

ZAPG=ZFAC,

:.PG〃b,

，/BPG=NPBD=40°,

：.ZAPB=ZAPG-ZBPG=ZPAC-ZPBD-,

，綜上所述，當(dāng)P在線段CO上時，ZAPB=ZPAC+ZPBD-,當(dāng)尸在OC延長線上時,

ZAPB=ZPBD-ZI^C；當(dāng)產(chǎn)在CD延長線上時，ZAPB=ZPAC-ZPBD.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，平行公理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握平

行線的性質(zhì).

考點2：利用平行線的判定及性質(zhì)證明平行

方法點撥：“由角定線”，也就是根據(jù)某些角的相等或互補關(guān)系來判斷兩直線平

行，解此類題目必須要掌握好平行線的判定方法。

1.如圖，己知?！?,/3=/4,那么直線c與直線d平行嗎？請說明理由.

【答案】直線c與直線d平行，理由見解析

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出N2=N4,進而得出/3=/2,再根據(jù)平行線的判定證明即

可.

【詳解】解：直線c與直線d平行，

證明：-：a//b,

；./2=/3,

VZ3=Z4,

；./4=N2,

'.c//d.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，解題關(guān)鍵是熟練運用平行線的性質(zhì)與判定進行推

理證明.

2.根據(jù)下列證明過程填空，請在括號里面填寫對應(yīng)的推理的理由.

如圖，己知Nl+N2=180。，且/1=N。，求證：BC//DE.

證明：VZ1+Z2=18O8（已知）

又=.

.-.Z2+Z3=180°（等量代換）

：.AB//.

.\Z4=Z1.

又=（已知）

（等量代換）

S.BC//DE（）.

【答案】對頂角相等；CD；兩直線平行同位角相等；Z4；內(nèi)錯角相等兩直線平行

【分析】根據(jù)已知條件及對頂角相等的性質(zhì)可得：Z2+Z3=180°,依據(jù)平行線的判定定理:

同旁內(nèi)角互補，兩直線平行可得：AB//CD；由平行線的性質(zhì)可得：Z4=Z1,根據(jù)等量代

換可得：ZD=Z4,由內(nèi)錯角相等，兩直線平行即可證明.

【詳解】證明：???/1+/2=180。（已知）

又=（對頂角相等）.

AZ2+Z3=180°（等量代換）

AB//CD,

/.Z4=Z1（兩直線平行，同位角相等）.

又=（已知）

AZD=Z4（等量代換）

ABC//DE（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

故答案為：對頂角相等；CD兩直線平行，同位角相等；Z4；內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

【點睛】題目主要考查平行線的判定定理和性質(zhì)，理解題意，熟練掌握運用平行線的性質(zhì)定

理是解題關(guān)鍵.

3.己知：如圖，b〃a,c〃a,zi,Z2,N3是直線a,b,c被直線1截出的同位角.求

證：b〃c.

【答案】證明見解析.

【分析】根據(jù)6〃。，兩直線平行，同位角相等N2=N1,同理.N3=Z1.根據(jù)等量代換可

得/2=/3.根據(jù)平行線判定定理同位角相等，兩直線平行可得6〃c即可.

【詳解】證明：：6/<2（已知），

Z2=Z1（兩直線平行，同位角相等）.

c//a（已知），

???Z3=Z1（兩直線平行，同位角相等）.

：.N2=N3（等量代換）.

bl1c（同位角相等，兩直線平行）.

【點睛】本題考查平行線性質(zhì)定理與判定定理的綜合應(yīng)用，掌握平行線性質(zhì)定理與判定定理

是解題關(guān)鍵.

4.完成下面的說理過程：如圖，在四邊形ABC。中，E、尸分別是CD、AB,延長線上的點，

連接EF,分別交AD,BC于點、G、H.已知N1=N2,ZA=ZC,對4）//BC和AB//CD說

明理由.

理由：VZ1=Z2(已知)，

Z1=ZAGH(),

：.Z2=ZAGH(等量代換).

AD//BC().

VZADE=ZC().

VZA=ZC(已知)，

A.ZADE=ZA().

:.AB//CD（）.

【答案】對頂角相等；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；等量代換；內(nèi)

錯角相等，兩直線平行.

【分析】先根據(jù)同位角相等，兩直線平行，判定進而得到再根據(jù)內(nèi)

錯角相等，兩直線平行，即可得到AB〃CD

【詳解】證明：已知）

Zl=ZAGH（對頂角相等）

：.Z2=ZAGH（等量代換）

.,.AD〃BC（同位角相等，兩直線平行）

.?.NAr>E=NC（兩直線平行，同位角相等）

NA=NC（已知）

ZADE=ZA

...AB〃cr）（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題時注意：平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判

斷兩直線的位置關(guān)系；平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系.

5.完成下列證明過程，并在括號內(nèi)填上依據(jù).

如圖，點E在上，點尸在上，Z1=Z2,NB=/C,求證A8〃CD

證明：VZ1=Z2（已知），/1=/4

；./2=（等量代換），

//BF（）,

；./3=/（）.

又■:NB=/C（已知），

：.N3=NB

J.AB//CD（）.

【答案】Z4；CE；同位角相等，兩直線平行；C；兩直線平行，同位角相等；內(nèi)錯角相等,

兩直線平行

【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)解答.

【詳解】解=（已知）,Z1=Z4（對頂角相等）,

；./2=/4（等量代換），

：.CE//BF（同位角相等，兩直線平行），

.?.N3=NC（兩直線平行，同位角相等）.

又（已知），

：.Z3=ZB（等量代換），

J.AB//CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

故答案為：對頂角相等；CE//BF；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；

內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

【點睛】此題考查平行線的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)解答.

6.如圖，點E,歹分別在AB,C￡>±,AF_LCE,垂足為點。.已知Nl=/3,ZA+Z2=90°.

（1）求證：AB//CD；

（2）若AF=12,BF=5,AB=13,求點/到直線A3的距離.

【答案】⑴證明過程見解析；⑵與

【分析】（1）應(yīng)用平行線的判定與性質(zhì)進行求解即可得出答案；

（2）設(shè)點廠到直線A3的距離為//,根據(jù)等面積法可得/B=；AF.FB=；AB./Z,代入計算

即可得出%的值，即可得出答案.

【詳解】⑴證明：因為/1=/3（已知），

所以CE//叱（同位角相等，兩直線平行），

因為AF_LCE（已知），

所以（垂直的性質(zhì)），

所以/ARB=90。（垂直的定義），

又因為ZAFC+ZAEB+N2=180。（平角的定義）.

即ZAFC+Z2=90°,

又因為ZA+N2=90,

所以NAFC=/A（同角的余角相等），

所以AB//CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）；

（2）解:因為AFLBW（己證），且AF=12,BF=5,AB=13.

設(shè)點廠到直線A3的距離為鼠

所以%=

所以gxl2x5=gxl3/z,

即口口力7=——60,

13

所以點尸到直線AB的距離為".

【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)及點到直線的距離，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用平

行線的判定與性質(zhì)和點到直線的距離計算方法進行計算.

考點3：利用平行線的判定及性質(zhì)證明角相等

方法點撥：判斷兩個角相等或互補及與之有關(guān)的一些角的運算問題?！坝删€定

角”，即運用平行線的性質(zhì)來推出兩個角相等或互補。

1.填寫推理理由：如圖，CD"EF,Z1=Z2,求證：Z3=ZACB.

證明：,：CD//EF,

:./DCB=/2_

VZ1=Z2,：,ZDCB=Z1.

C.GD//CB___.

：.Z3=ZACB

【答案】兩直線平行，同位角相等；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，同

位角相等.

【分析】根據(jù)兩直線平行，同位角相等可以求出/OCB=/2,等量代換得出

再根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行得出GZ）〃CB,最后根據(jù)兩直線平行，同位角相等，所以

Z3^ZACB.

【詳解】證明：〃所，

AZDCB=Z2（兩直線平行，同位角相等），

\'Z1=Z2,

（等量代換）.

：.GD//CB（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

/.Z3=ZACB（兩直線平行，同位角相等）.

故答案為：兩直線平行，同位角相等；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，

同位角相等.

【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定方法和性質(zhì)，并準確識圖

是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，在下列解答中，填寫適當(dāng)?shù)睦碛苫驍?shù)學(xué)式:

//；（）

（2）,：ZB+ZBDE=180°,（已知）

/.//；（）

（3）'JDE//BC,（已知）

:./AED=/_______；（）

（4）-：AB//EF,（已知）

AZADE=Z_______.（）

【答案】（1）4&EF；同位角相等，兩直線平行；（2）DE；BC；同旁內(nèi)角互補，兩直線

平行；（3）C；兩直線平行，同位角相等；（4）DEF-兩直線平行，內(nèi)錯角相等

【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理：同位角相等，兩直線平行，即可得；

（2）根據(jù)平行線的判定定理：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，即可得；

（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等，即可得；

（4）根據(jù)平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可得.

【詳解】解：（1）：/4=/。跖，（已知）

.,.AB//EF,（同位角相等，兩直線平行）；

（2）VZB+ZBDE=180°,（已知）

（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）；

（3）VDE//BC,（已知）

：.ZAED=ZC,（兩直線平行，同位角相等）

（4）VAB//EF,（已知）

:?ZADE=NDEF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

故答案為：（1）AS；EF；同位角相等，兩直線平行；（2）DE；BC；同旁內(nèi)角互補，兩直

線平行；（3）C；兩直線平行，同位角相等；（4）DEF；兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

【點睛】題目主要考查平行線的判定定理和性質(zhì)，熟練掌握理解平行線的性質(zhì)定理并結(jié)合圖

形是解題關(guān)鍵.

3.請把以下證明過程補充完整，并在下面的括號內(nèi)填上推理理由：

己知：如圖，N1=N2,ZA^ZD.

求證：ZB=ZC.

證明：VZ1=Z2,（已知）

又：VZ1=Z3,（）

AZ2=（等量代換）

:.AE//FD（同位角相等，兩直線平行）

AZA=ZBFD（）

VZA=ZD（已知）

AZD=（等量代換）

//CD（）

：./B=NC（）

【答案】對頂角相等；N3；兩直線平行，同位角相等；ZBFD；AB；內(nèi)錯角相等，兩直線

平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等

【分析】根據(jù)對頂角相等，平行線的性質(zhì)與判定定理填空即可.

【詳解】證明：=（已知）

又：???/：!=/3,（對頂角相等）

；.N2=N3（等量代換）

:.AE//FD（同位角相等，兩直線平行）

/.ZA^ZBFD（兩直線平行，同位角相等）

VZA=ZD（已知）

；./D=NBFD（等量代換）

...A2〃C。（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

...NB=NC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

4.完成下面的證明.

如圖，已知AO_LBC,EFLBC,Z1=Z2,求證：ZBAC+ZAGZ）=180°.

證明：-：AD1BC,EF±BC（已知），

；./EFB=90。,ZADB^90°（）,

:./EFB=NADB（等量代換），

J.EF//AD（）,

J.Zl^ZBAD（）,

又：N1=N2（已知）,

/.Z2=Z—（等量代換），

J.DG//BA（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），

：.ZBAC+ZAGD=18Q°（）.

【答案】垂直的定義；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；BAD；兩直線

平行，同旁內(nèi)角互補

【分析】先由垂直的定義得出兩個90。的同位角，根據(jù)同位角相等判定兩直線平行，根據(jù)兩

直線平行，同位角相等得到=再根據(jù)等量代換得出根據(jù)內(nèi)錯角相等,

兩直線平行，最后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可判定.

【詳解】解：EPLBC（已知），

：.ZEFB=90°,ZADB=9Q°（垂直的定義），

：.ZEFB=ZADB（等量代換），

：.EF//AD（同位角相等，兩直線平行），

：.Z1^ZBAD（兩直線平行，同位角相等），

又；N1=N2（已知），

：.Z2=ZBAD（等量代換），

J.DG//BA（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），

...N8AC+/AG￡>=180。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）.

故答案為：垂直的定義；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；BAD-,兩直

線平行，同旁內(nèi)角互補

【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理和判定定理是關(guān)鍵.

5.如圖，ZAGB^ZEHF,ZC^ZD.

（1）求證：BD//CE；

（2）求證：ZA—ZF.

CBA

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【分析】（1）由NAGB=/1,/AGB=NEHF,可得N1=NEHF,則BD〃CE；

（2）由2D〃CE,可得/D=N2,則N2=/C,推出AC〃/）/，則

【詳解】證明：(1)vZAGB=Z1,ZAGB=ZEHF,

；.N1=NEHF,

J.BD//CE-,

(2)'：BD//CE,

.,.ZD=Z2,

'：ZD=ZC,

；./2=/C,

C.AC//DF,

：.NA=NE

BA

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，對頂角相等，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定

條件是解題的關(guān)鍵.

6.如圖所示，ADLBC,EFLBC,Z3=ZC,則/I和/2什么關(guān)系?并說明理由.

【分析】根據(jù)題目已知得出AD//EF,由平行線的性質(zhì)可得/1=/4,由N3=NC可證明

DG//AC,故可得Z2=/4,等量代換即可得出答案.

【詳解】Z1=Z2.理由如下：

?.■AD1BC.EF1BC,

:.ZADB=ZEFB,

,AT）〃歷（同位角相等，兩直線平行），

.?.N1=N4（兩直線平行，同位角相等），

vZ3=ZC,

.?.DG//AC（同位角相等，兩直線平行），

;.Z2=N4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

，N1=N2(等量代換).

【點睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

考點4：平行線中構(gòu)造平行線

方法點撥：平行線的構(gòu)造主要解決的是平行線間的折線問題。而構(gòu)造的方法大

致有三種：過拐點做已知直線的平行線、做延長線、做封閉圖形。最基本的兩

種圖形，是鉛筆模型和豬蹄模型。

1.如圖1,CE平分NACD,AE平分NBAC,ZEAC+ZACE=90°,

(1)請判斷AB與CD的位置關(guān)系并說明理由；

(2)如圖2,當(dāng)NE=90。且A3與的位置關(guān)系保持不變，移動直角頂點E,使

ZMCE=ZECD,當(dāng)直角頂點E點移動時，問/BAE與是否存在確定的數(shù)量關(guān)系？

并說明理由；

(3)如圖3,尸為線段AC上一定點，點。為直線上一動點且A3與的位置關(guān)系保

持不變，當(dāng)點Q在射線C。上運動時(點C除外)NCPQ+NC。尸與NR4C有何數(shù)量關(guān)系？

猜想結(jié)論并說明理由.

【答案】(1)平行，理由見解析；(2)ZBAE+jZMC￡?=90°,理由見解析；(3)

NBAC=NPQC+/QPC,理由見解析.

【分析】(1)先根據(jù)CE平分/AC。，AE平分NBAC可得/54C=2NEAC,ZACD=2ZACE,

再由NEAC+NACE=90°可知NBAC+NACD=180,根據(jù)平行線的判定定理即可得出結(jié)論；

(2)如圖，過E作E/〃4B,由AB//CO可得E尸〃AB〃CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得

NBAE=NAEF,NFEC=/DCE,可得/BAE+/ECZ)=90。，再由NMCE=/EC￡)即可得出結(jié)

論；

(3)如圖，過點C作CM//P。，可得NPQC=/MCN,ZQPC=ZPCM,根據(jù)AB〃CD可知

ZBAC+ZACD=180°,根據(jù)NPCQ+NPaW+/MCN=180°,可得

ZQPC+ZPQC+ZPCQ=180°,即可得出ZBAC=ZPQC+ZQPC.

【詳解】(1)；CE平分NACO,AE平分N3AC,

ZBAC=2ZEAC,ZACD=2ZACE,

'：ZEAC+ZACE=90°f

：.ZBAC+ZACD=180°,

J.AB//CD

(2)ZBAE+^-ZMCD=90°；理由如下:

如圖，過石作E尸〃AH

U：AB//CD,

：.EF//AB//CD,

：.ZBAE=ZAEFf/FEC=/DCE,

,/ZAEC=ZAEF+ZFEC=90°,

NBAE+NECD=9。。,

ZMCE=ZECD=^/MCD,

：./BAE+；ZMCD=90°.

(3)如圖，過點。作CM//尸。，

:?/PQC=/MCN,ZQPC=ZPCMf

*：AB//CD,

：.ZBAC+ZACD=180°,

,/ZPCQ+APCM+ZMCN=180°,

???ZQPC+APQC+APCQ=180°,

ZBAC=ZPQC+ZQPC.

BA

DN

QC\

【點睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)及角平分線的定義，兩直線平行，同位角相等；兩直

線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

2.直線AB〃CD,直線斯分別交A3、8于點M、N,NP平分ZMND.

（1）如圖1,若MR平分NEMB,則M7?與NP的位置關(guān)系是.

（2）如圖2,若MR平分ZAMN,則與NP有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由.

（3）如圖3,若MR平分ZBMN,則MR與NP有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由.

圖1圖2圖3

【答案】（1）MR//NP-.（2）MR//NP,理由見解析；（3）MR1NP,理由見解析

【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得/EMB=/EVD,根據(jù)角平分線的意義可得

NEMR=；NEMB,NENP=；NEND,進而可得/EMR=/ENP,即可判斷MR〃NP；

（2）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，角平分線的意義可得/麗=/￡7VP,即可判斷

MR//NP-,

（3）設(shè)MR,PN交于點、Q,過點。作。G〃AB根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，角平分線

的意義，可得/瀏依+/PND=90。，進而可得NMQN=90。，進而判斷

【詳解】（1）如題圖1,???AS〃CD

:.NEMB=/END

-：MR平分NEMB,NP平分ZMND.

NEMR=-ZEMB,ZENP=-ZEND

22

:./EMR=/ENP

MR//NP-,

(2)如題圖2,VAB//CD

:.ZAMN=ZEND

???MR平分ZAMN，NP平分ZMND.

ZRMN=|AAMN,ZENP=|ZEND

:.ZRMN=ZENP

MR//NP,

(3)如圖，設(shè)MR,PN交于點。，過點。作。G〃AB

AB//CD

ZBMN+ZEND=180°,QG//CD

NMQG=ZBMR,ZGQN=NPND

???MR平分ZBMN,N尸平分ZMND.

ZBMR=|NBMN,ZPND=|ZEND

:.ZBMR+ZPND=90°

ZMQN=ZMQG+ZNQG=90°

MRLNP；

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的意義，掌握平行線的性質(zhì)與判定是解

題的關(guān)鍵.

3.已知：AB//CD.點E在C￡＞上，點、F,"在A3上，點G在A2,C￡）之間，連接尸G,

EH,GE,ZGFB^ZCEH.

圖1圖2

(1)如圖1,求證：GF//EH；

(2)如圖2,若/GEH=a,平分/AFG,EM平分NGEC,試問NM與a之間有怎樣

的數(shù)量關(guān)系(用含a的式子表示/M)?請寫出你的猜想，并加以證明.

Qf

【答案】(1)見解析；(2)ZFME=90°證明見解析.

【分析】(1)由平行線的性質(zhì)得到NCEW=ZEHB,等量代換得出=即可根據(jù)“同

位角相等，兩直線平行”得解；

(2)過點/作MQ//A8,過點G作GP〃/根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義求解即

可.

【詳解】(1)證明：

NCEH=NEHB,

?;NGFB=NCEH,

.-.ZGFB=ZEHB,

:.GF//EH；

ry

(2)解：ZFME=90°--,理由如下：

如圖2,過點M作過點G作GP/A4B,

圖2

-,-AB//CD,

:.MQ//CD9

ZAFM=ZFMQ,ZQME=ZMEC,

ZFME=ZFMQ+ZQME=ZAFM+AMEC,

同理，ZFGE=ZFGP+ZPGE=ZAFG-^ZGEC,

?.?FM平分NAFU,EM平分NGEC,

ZAFG=2ZAFM,Z.GEC=2ZMEC,

..ZFGE=2ZFME,

由（1）知，GF//EH,

ZFGE+Z.GEH=180°,

\-ZGEH=a,

:.ZFGE=180°-a,

:.2ZFME=lS00-a,

fY

ZFME=90°——.

2

【點睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定與性質(zhì)及作出合理的輔助線是

解題的關(guān)鍵.

4.已知點是AB,CD之間的一點.

（1）如圖1,試探索/AEC,/BAE,/OCE之間的數(shù)量關(guān)系；

以下是小明同學(xué)的探索過程，請你結(jié)合圖形仔細閱讀，并完成填空（理由或數(shù)學(xué)式）：

解：過點E作（過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行）.

\'AB//CD（已知），

C.PE//CD（）,

.*.ZBA￡=Z1,/DCE=N2（）,

AZBAE+ZDCE=+（等式的性質(zhì)）.

即/AEC,NBAE,/ZJCE之間的數(shù)量關(guān)系是.

（2）如圖2,點尸是AB,CO之間的一點，A尸平分/BAE,CF平分/DCE.

①若/AEC=74。，求NAFC的大??；

②若CG_LAF,垂足為點G,CE平分/OCG,ZAEC+ZAFC=126°,求/BAE的大小.

【答案】（1）平行于同一條直線的兩條直線平行，兩