2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)試題匯編：計(jì)數(shù)原理與排列組合

專題09計(jì)數(shù)原理與排列組合

一、核心先導(dǎo)

二、考點(diǎn)再現(xiàn)

【考點(diǎn)1】排列

1.排列的概念：

從〃個(gè)不同元素中，任取出(m<n)個(gè)元素(這里的被取元素各不相同)按照一定的順序排成一列,

叫做從〃個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的：個(gè)不烈.A；

說明：(1)排列的定義包括兩個(gè)方面：①取出元素，②按一定的順序排列；

(2)兩個(gè)排列相同的條件：①元素完全相同，②元素的排列順序也相同.

2.排列數(shù)的定義：

從“個(gè)不同元素中，任取加(m<n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從"個(gè)元素中取出M元素的排列

數(shù)，用符號(hào)表示.注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：“一個(gè)排列”是指：從〃個(gè)不同元素中，任取m個(gè)元

素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從〃個(gè)不同元素中，任取加個(gè)元素的所

有一排列的個(gè)數(shù)，是一個(gè)數(shù).所以符號(hào)只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列.

3.排列數(shù)公式及其推導(dǎo)：

由的意義：假定有排好順序的2個(gè)空位，從“個(gè)元素.…4中任取2個(gè)元素去填空，一個(gè)空位

填一個(gè)元素，每一種填法就得到一個(gè)排列，反過來，任一個(gè)排列總可以由這樣的一種填法得到，因此，所

有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)A3由分步計(jì)數(shù)原理完成上述填空共有種填法，...A^n(n-V).

由此，求可以按依次填3個(gè)空位來考慮，=—1)(〃—2),

求A；以按依次填m個(gè)空位來考慮A^=n(n-l)(n—2)…(〃—加+1),

第1位第2位第3位第m位

排列數(shù)公式：M=〃5—1)(〃一2)…(〃一加+1)

n-1n-2n-nH-1

(N*

圖135

說明：(1)公式特征：第一個(gè)因數(shù)是,，后面每一個(gè)因數(shù)比它前面一個(gè)少1,最后一個(gè)因數(shù)是〃-加+1,

共有m個(gè)因數(shù)；

(2)全排列：當(dāng)〃=〃?時(shí)即〃個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列.

全排列數(shù)：色="(〃—1)(〃—2)…2?1=〃！(叫做n的階乘).另外，我們規(guī)定0!=1.

1.組合的概念：一般地，從〃個(gè)不同元素中取出加(mW”)個(gè)元素并成一組，叫做從“個(gè)不同元素中取出加

個(gè)元素的一個(gè)組合.

說明：⑴不同元素；⑵“只取不排”一一無序性；⑶相同組合：元素相同.

【考點(diǎn)2】組合

1.組合數(shù)公式的推導(dǎo)：

(1)從4個(gè)不同元素兄氏c,d中取出3個(gè)元素的組合數(shù)是多少呢？

啟發(fā)：由于排列是先組合再排列，而從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)可以求得，故我們可以考

察一下C：和的關(guān)系，如下：

組合排列

abcTabc.bac,cab,acb,bca,cba

abdfabd,bad,dab,adb,bda,dba

acd—acd,cad,dac,adc,eda,dca

bed—bed,cbd,dbc,bdc,edb,deb

由此可知,每一個(gè)組合都對應(yīng)著6個(gè)不同的排列，因此，求從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù),

可以分如下兩步：①考慮從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的組合，共有個(gè)；②對每一個(gè)組合的3個(gè)不

A3

同元素進(jìn)行全排列，各有用種方法.由分步計(jì)數(shù)原理得:A：=C＞所以，=*.

&

2.推廣：一般地，求從〃個(gè)不同元素中取出〃個(gè)元素的排列數(shù)A：',可以分如下兩步:

①先求從〃個(gè)不同元素中取出⑷個(gè)元素的組合數(shù)C："；

②求每一個(gè)組合中?個(gè)元素全排列數(shù)A；，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得：A；；=C；-A,：.

3.組合數(shù)的公式：

C"=<=〃(，—)(〃-2)…(i+1)或_出_(〃,meN*,且八立

幾線mlm!(n-m)!

規(guī)定：c：=i.

三、解法解密

方法一、特殊優(yōu)先安排法：

對于帶有特殊元素的排列問題，一般應(yīng)先考慮特殊元素、特殊位置，再考慮其他元素與其他位置，也

就是解題過程中的一種主元思想；若含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的特殊位置或特殊元素，則應(yīng)使用集合的思想來

考慮，這種情況又分為：無關(guān)型（兩個(gè)特殊位置上分別可取的元素所組成的集合的交是空集）；包合型（兩個(gè)

特殊位置上分別可取的元素所組成集合具有包合關(guān)系）；影響型（兩個(gè)特殊位置上可取的元素既有相同的，

又有不同的）.

方法二、合理分類與準(zhǔn)確分步法：

解含有約束條件的排列組合問題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連貫過程分步，做到分類

標(biāo)準(zhǔn)明確、分步層次清楚，不重不漏.

方法三、解排列組臺(tái)混合問題，采用先選后排法：

對于排列與組合的混合問題，可采取先選出元素，后進(jìn)行排列的策略.

方法四、正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化法：

對某些排列組合問題，當(dāng)從正面入手情況復(fù)雜，不易解決時(shí)，可考慮從反面入手，將其等價(jià)轉(zhuǎn)化為一

個(gè)較簡單的問題來處理.即采用先求總的排列數(shù)（或組合數(shù)），再減去不符合要求的排列數(shù)（或組合數(shù)），從

而使問題獲得解決的方法（其實(shí)它就是補(bǔ)集思想）.

方法五、相鄰元素一一捆綁法：

對于某幾個(gè)元素要求相鄰的排列問題，可先將相鄰的元素“捆綁”起來，看作一個(gè)“大元素”與其他

元素排列，然后再對相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行排列.

方法六、不相鄰元素一一插空法：

對于某幾個(gè)元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，然后再將不相鄰的元素在已排好的元素之

間及兩端的空隙之間插入即可.

方法七、順序固定問題用“除法”：

對于某幾個(gè)元素順序一定的排列問題，可先把這幾個(gè)元素與其他元素一同進(jìn)行排列，然后用總的排列

數(shù)除以這幾個(gè)元素的全排列數(shù).

方法八、分排問題和環(huán)排問題直排法：

把〃個(gè)元素排成若干排的問題，若沒有其他的特殊要求，可采取統(tǒng)一排成一排的方法來處理；把〃個(gè)

不同元素放在圓周〃個(gè)無編號(hào)位置上的排列，順序（例如按順時(shí)鐘）不同的排法才算不同的排列，而順序

相同（即旋轉(zhuǎn)一下就可以重合）的排法認(rèn)為是相同的，它與普通排列的區(qū)別在于只計(jì)順序而首位、末位之

分，下列〃個(gè)普通排列：

6,“2，%3，%；“2，％，4廣、4廣-；4，％--，61在圓排列中只算一種，因?yàn)樾D(zhuǎn)后可以重合，故認(rèn)為相同，

〃個(gè)元素的圓排列數(shù)有2種.因此可將某個(gè)元素固定展成單排，其它的元素全排列.

n

方法九、特征分析法：

研究有約束條件的排列問題，須緊扣題目所提供的數(shù)字特征、結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行推理、分析求解.

方法十、容斥法：

n個(gè)元素排成一列,求某兩個(gè)元素各自不排在某兩個(gè)確定位置的排法種數(shù),宜用容斥法,

方法十一、先整體后局部策略：

對于“小團(tuán)體”排列問題，可先將“小團(tuán)體”看作一個(gè)元素與其余元素排列，最后再進(jìn)行“小團(tuán)體”

內(nèi)部的排列.

方法十二、分組問題：

①有序不等分；②有序等分；③有序局部等分；④無序不等分；⑤無序等分；⑥無序局部等分.

方法十三、隔板法：

〃個(gè)相同小球放入加W"）個(gè)盒子里，要求每個(gè)盒子里至少有一個(gè)小球的放法等價(jià)于幾個(gè)相同小球

串成一串從間隙里選切-1個(gè)結(jié)點(diǎn)剪成機(jī)段（插入1塊隔板），有種方法，

方法十四、可重復(fù)的排列求塞法：

允許重復(fù)排列問題的特點(diǎn)是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可逐一安排元素的位置，一般

地n個(gè)不同元素排在m個(gè)不同位置的排列數(shù)有m"種方法.

四、考點(diǎn)解密

題型一:簡單的排列問題

例1.（1）、（2021?陜西渭南）生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個(gè)人才識(shí)技藝過人，這里的“五

經(jīng)”是儒家典籍《周易》、《尚書》、《詩經(jīng)》、《禮記》、《春秋》的合稱.為弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)文化，某

校在周末興趣活動(dòng)中開展了“五經(jīng)”知識(shí)講座，每經(jīng)排1節(jié)，連排5節(jié)，則滿足《詩經(jīng)》必須排在后2節(jié),

《周易》和《禮記》必須分開安排的情形共有.

（2）、（2021?浙江）用0,1,2,3,4,5組成無重復(fù)數(shù)字的六位偶數(shù)，若有且僅有2個(gè)奇數(shù)相鄰，則

這樣的六位數(shù)共有（）

A.192個(gè)B.216個(gè)C.276個(gè)D.324個(gè)

【變式訓(xùn)練1-1］、（2021?全國?專題練習(xí)）為了紀(jì)念高中三年舍友之間留下的深厚情感，某宿舍的7位

同學(xué)決定站成一排合照留念，其中中間位置只能站甲或乙，且甲、乙、丙三人不站在兩側(cè)，則不同的安排

方法有（）.

A.232種B.464種C.288種D.576種

【變式訓(xùn)練1-2】、（2021?全國）從1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，當(dāng)

三個(gè)數(shù)字中有2和3時(shí)，2需排在3的前面（不一定相鄰），這樣的三位數(shù)有（）

A.51個(gè)B.54個(gè)C.12個(gè)D.45個(gè)

題型二:簡單的組合問題

例2.（1）、（2022?陜西榆林?一模（理））已知某班英語興趣小組有4名男生和3名女生，從中任選2人

參加該校組織的英語演講比賽，則恰有1名女生被選到的概率是（）

23-45

A.—B.-C.—D.—

7777

（2）、（2022?全國?模擬預(yù)測）甲、乙兩名同學(xué)從生物、地理、政治、化學(xué)中各選兩門進(jìn)行學(xué)習(xí)，若甲、

乙不能同時(shí)選生物，則甲、乙總的選法種數(shù)有（）

A.27B.36C.18D.24

【變式訓(xùn)練2-1】、（2022?山東濰坊.高三期末）如圖，某類共享單車密碼鎖的密碼是由4位數(shù)字組成，所

有密碼中，恰有三個(gè)重復(fù)數(shù)字的密碼個(gè)數(shù)為（）

A.90B.324C.360D.400

【變式訓(xùn)練2-2】、（2022?福建漳州?高二期末）為弘揚(yáng)我國古代的“六藝文化”，某校計(jì)劃在社會(huì)實(shí)踐中開

設(shè)“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”、“數(shù)”六門體驗(yàn)課程，每天開設(shè)一門，連續(xù)開設(shè)6天，則下列結(jié)論正確的

是（）

A.從六門課程中選兩門的不同選法共有20種

B.課程“數(shù)”不排在最后一天的不同排法共有600種

C.課程“禮”、“書”排在相鄰兩天的不同排法共有240種

D.課程“樂”、“射”、“御”排在都不相鄰的三天的不同排法共有72種

題型三:排隊(duì)形（座位、位置等）問題

例3.（1）、（2021?江西省銅鼓中學(xué)）某學(xué)習(xí)小組有3個(gè)男生和4個(gè)女生共7人：

（1）將此7人排成一排，男女彼此相間的排法有多少種？

（2）將此7人排成一排，男生甲不站最左邊，男生乙不站最右邊的排法有多少種？

（3）從中選出2名男生和2名女生分別承擔(dān)4種不同的任務(wù)，有多少種選派方法？

（4）現(xiàn)有7個(gè)座位連成一排，僅安排4個(gè)女生就座，恰有兩個(gè)空位相鄰的不同坐法共有多少種？

（2）、（2021?全國?高二專題練習(xí)）新冠疫情防控期間，某中學(xué)安排甲、乙，丙等7人負(fù)責(zé)某個(gè)周一至

周日的師生體溫情況統(tǒng)計(jì)工作，每天安排一人，且每人負(fù)責(zé)一天.若甲、乙、丙三人中任意兩人都不能安排

在相鄰的兩天，且甲安排在乙，丙之間，則不同的安排方法有種（用數(shù)字作答）.

【變式訓(xùn)練3-1】、（2021?全國?高二課時(shí)練習(xí)）兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相

鄰的排法有種.

【變式訓(xùn)練3-2]、（2021?全國?專題練習(xí)）為了紀(jì)念高中三年舍友之間留下的深厚情感，某宿舍的7位

同學(xué)決定站成一排合照留念，其中中間位置只能站甲或乙，且甲、乙、丙三人不站在兩側(cè)，則不同的安排

方法有（）.

A.232種B.464種C.288種D.576種

題型四:相鄰問題用捆綁法

例4.（1）、（2021?全國?高二課時(shí)練習(xí)）兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的排

法有種.

（2）、（2020?海南?高二期末）甲、乙、丙、丁4個(gè)人站成一排合影，若甲和乙不相鄰，且丙和丁相鄰，則

不同的站法有種.

【變式訓(xùn)練4-1】、（2021?全國?高二課時(shí)練習(xí)）春節(jié)文藝匯演中需要將A,B,C,D,E,尸六個(gè)節(jié)目進(jìn)行

排序，若A,B兩個(gè)節(jié)目必須相鄰，且都不能排在3號(hào)位置，則不同的排序方式有種.

【變式訓(xùn)練2-2],（2022?重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）3個(gè)學(xué)生和3個(gè)老師共6個(gè)人站成一排照相，有且

僅有兩個(gè)老師相鄰，則不同站法的種數(shù)是（結(jié)果用數(shù)字表示）.

題型五:不相鄰問題用插空法

例5.（1）、（2022?全國?高二）新年音樂會(huì)安排了2個(gè)唱歌、3個(gè)樂器和2個(gè)舞蹈共7個(gè)節(jié)目，則2個(gè)唱

歌節(jié)目不相鄰的節(jié)目單共有種.（用數(shù)字表示）

（2）、（2021?北京?北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末）馬路上有12盞燈，為了節(jié)約用電，可以熄滅其中三盞燈，

但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰兩盞燈，那么熄燈的方法共有種.

【變式訓(xùn)練5-1】、（2021.全國?高二課時(shí)練習(xí)）電視臺(tái)在電視劇開播前連續(xù)播放6個(gè)不同的廣告，其中4

個(gè)商業(yè)廣告，2個(gè)公益廣告，現(xiàn)要求2個(gè)公益廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式共有種.（用排

列數(shù)回答）

【變式訓(xùn)練5-2】、（2021?福建省龍巖第一中學(xué)高二階段練習(xí)）西湖龍井茶素來有“綠茶皇后”“十大名茶之

首”的稱號(hào)，按照產(chǎn)地品質(zhì)不同，西湖龍井茶可以分為“獅、龍、云、虎、梅”五個(gè)字號(hào).某茶文化活動(dòng)給西

湖龍井茶留出了三個(gè)展臺(tái)的位置，現(xiàn)在從五個(gè)字號(hào)的產(chǎn)品中任意選擇三個(gè)字號(hào)的茶參加展出活動(dòng)，如果三

個(gè)字號(hào)中有“獅、梅”，則“獅”字號(hào)茶要排在“梅”字號(hào)茶前（不一定相鄰），則不同的展出方法有

種.（用數(shù)字作答）

題型六:定序問題

例6.（1）、（2022?全國?高三專題練習(xí)）7人排隊(duì)，其中甲、乙、丙3人順序一定，共有一不同的排法.

（2）、（2021?浙江?模擬預(yù)測）若從L2,3,…,9這個(gè)9個(gè)整數(shù)中取出4個(gè)不同的數(shù)排成一排，依次記為a,b,c,d,

則使得ax6xc+d為偶數(shù)的不同排列方法有（）

A.1224B.1200

C.1080D.840

【變式訓(xùn)練6-1】、（2021.福建省寧德市教師進(jìn)修學(xué)院高二期末）6位同學(xué)站成一排，要求甲乙丙站在一起

且乙必須在甲和丙中間，則不同排法有種.（用數(shù)字作答）

【變式訓(xùn)練6-2】、（2021?云南大理?模擬預(yù)測（理））2021年春節(jié)期間電影《你好，李煥英》因“搞笑幽默

不庸俗，真心實(shí)意不煽情”深受熱捧.某電影院為了做好防疫工作組織了5個(gè)服務(wù)管理小組，分配到3個(gè)影

廳進(jìn)行服務(wù)和管理，若每個(gè)影廳至少分配1個(gè)服務(wù)管理小組，每個(gè)服務(wù)管理小組只能在1個(gè)影廳進(jìn)行服務(wù)

和管理，則不同的分配方法種數(shù)為（）

A.125B.150C.243D.300

題型七:分組、分配與分堆

例7.（1）、（2021?全國?高二課時(shí)練習(xí)）按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方式？

（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本；

（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本；

（3）平均分成三份，每份2本；

（4）平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；

（5）分成三份,1份4本,另外兩份每份1本；

（6）甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本；

（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本.

（2）、（2022.安徽省亳州市第一中學(xué)高二開學(xué)考試）北京冬奧會(huì)于2022年2月4日開幕，北京某大學(xué)5

名同學(xué)報(bào)名到甲、乙、丙三個(gè)場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場館，每個(gè)場館至少安排1名志愿者，則

不同的安排方法共有種（用數(shù)字作答）.

【變式訓(xùn)練7-1】、（2021?江蘇南通?模擬預(yù)測）在新型冠狀病毒肺炎疫情聯(lián)防聯(lián)控期間，某居委會(huì)從轄

區(qū)內(nèi)甲、乙、丙三個(gè)小區(qū)中選取6人做志愿者，協(xié)助防控和宣傳工作.若每個(gè)小區(qū)至少選取1人做志愿者，則

不同的選取方法有（）

A.10種B.20種C.540種D.1080種

【變式訓(xùn)練7-2】、（2022?黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測（理））為了做好新冠肺炎疫情常態(tài)化防控工作，推進(jìn)

疫苗接種進(jìn)度，降低新冠肺炎感染風(fēng)險(xiǎn)，某醫(yī)院準(zhǔn)備將2名醫(yī)生和6名護(hù)士分配到2所學(xué)校，設(shè)立疫苗接

種點(diǎn)，免費(fèi)給學(xué)校老師和學(xué)生接種新冠疫苗，若每所學(xué)校分配1名醫(yī)生和3名護(hù)士，則不同的分配方法共

有種.

題型八:隔板法

例8.（1）、（2022?全國?高三專題練習(xí)）方程尤+y+z=ll的非負(fù)整數(shù)解共有組.

（2）、（2021?福建省漳州第一中學(xué)高二月考）將7個(gè)相同的球放入4個(gè)不同的盒子中，則每個(gè)盒子都有球

的放法種數(shù)為（）

A.22B.25C.20D.48

【變式訓(xùn)練8-1】、（2010?江蘇啟東.高二期中（理））6個(gè)相同的小球放入標(biāo)號(hào)為1、2、3的3個(gè)小盒子中，

要求每個(gè)盒子都不空，共有方法總數(shù)為.

題型九:直接法與間接法

例9、（2021?江蘇?連云港市贛馬高級中學(xué)高二階段練習(xí)）現(xiàn)有9名學(xué)生，其中女生4名，男生5名.

（1）從中選2名代表，必須有女生的不同選法有多少種？

（2）從中選出男、女各2名的不同選法有多少種？

（3）從中選4人分別擔(dān)任四個(gè)不同崗位的志愿者，每個(gè)崗位一人，且男生中的甲與女生中的乙至少有1人

在內(nèi)，有多少種安排方法？

【變式訓(xùn)練9-1】、（2021.河北.河間市第十四中學(xué)高二期中）現(xiàn)有男選手3名，女選手5名，其中男女隊(duì)長

各1名.選派4人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？（結(jié)果用數(shù)字表示）

（1）男選手2名，女選手2名；

（2）至少有1名男選手；

（3）既要有隊(duì)長，又要有男選手.

題型十:涂色問題

例10.（1）、（2021?廣東深圳）現(xiàn)有5種不同顏色要對如圖所示的五個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊

界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有（）

A.420種B.780種C.540種D.480種

（2）、（2021?吉林?汪清縣汪清第四中學(xué)）如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相

鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有（）種.

A.24B.48C.72D.96

【變式訓(xùn)練10-1】、（2021?全國?（理））現(xiàn)有5種不同顏色的染料，要對如圖中的四個(gè)不同區(qū)域進(jìn)行

著色，要求有公共邊的兩塊區(qū)域不能使用同一種顏色，則不同的著色方法的種數(shù)是

A.120B.140C.240D.260

【變式訓(xùn)練10-2】、（2022?安徽宿州.高二期末）“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶，如圖所示，它是由四

個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形構(gòu)成.現(xiàn)用4種不同的顏色（4種顏色全部使用）給這5個(gè)區(qū)域涂色，要

求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，則不同的涂色方案有（）

A.24種B.48種C.72種D.96種

五、分層訓(xùn)練

A組基礎(chǔ)鞏固

1.（2022?云南?昆明一中模擬預(yù)測（理））學(xué)校開展讀書活動(dòng)，要求每位同學(xué)從《三國演義》、《紅樓夢》、

《水滸傳》、《西游記》四本中國名著中選不同的兩本，《復(fù)活》、《老人與海》兩本外國名著中選一本,

共選三本書進(jìn)行閱讀賞析，則甲、乙兩人恰有兩本書選擇相同的概率為（）

A「B.2c.A.A

3512D15

2.（2022.安徽蚌埠.一模）為貫徹落實(shí)《中共中央國務(wù)院關(guān)于全面深化新時(shí)代教師隊(duì)伍建設(shè)改革的意見》

精神，加強(qiáng)義務(wù)教育教師隊(duì)伍管理，推動(dòng)義務(wù)教育優(yōu)質(zhì)均衡發(fā)展，安徽省全面實(shí)施中小學(xué)教師“縣管校聘”

管理改革，支持建設(shè)城鄉(xiāng)學(xué)校共同體.2022年暑期某市教體局計(jì)劃安排市區(qū)學(xué)校的6名骨干教師去4所鄉(xiāng)鎮(zhèn)

學(xué)校工作一年，每所學(xué)校至少安排1人，則不同安排方案的總數(shù)為（）

A.2640B.1440C.2160D.1560

3.（2022?湖北.天門市教育科學(xué)研究院模擬預(yù)測）甲乙丙丁四個(gè)同學(xué)星期天選擇到東湖公園，西湖茶經(jīng)樓,

歷史博物館和北湖公園其中一處去參觀游玩，其中茶經(jīng)樓必有人去，則不同的參觀方式共有（）種.

A.24B.96C.174D.175

4.（2022?吉林?東北師大附中模擬預(yù)測（理））某中學(xué)響應(yīng)國家雙減政策，開設(shè)了乓乓球，羽毛球，書法,

小提琴四門選修課程，要求每位同學(xué)每學(xué)年至多選2門，初一到初三3學(xué)年將四門選修課程選完，則每位

同學(xué)的不同選修方式有（）

A.60種B.78種C.54種D.84種

5.（2022?黑龍江?哈爾濱三中模擬預(yù)測（理））哈三中招聘了8名教師，平均分配給南崗群力兩個(gè)校區(qū)，

其中2名語文教師不能分配在同一個(gè)校區(qū)，另外3名數(shù)學(xué)教師也不能全分配在同一個(gè)校區(qū)，則不同的分配

方案共有（）

A.18種B.24種C.36種D.48種

6.（2022?湖南?長沙一中模擬預(yù)測）將3本不同的畫冊和2本相同的圖冊分給甲、乙、丙三人，要求每人

至少1本畫冊或圖冊，則不同的分法共有（）

A.90種B.93種

C.96種D.99種

7.（2022?山東.模擬預(yù)測）2022年北京冬奧會(huì)共計(jì)有7大項(xiàng)、15個(gè)分項(xiàng)以及109個(gè)小項(xiàng)目，其中北京承辦

所有冰上項(xiàng)目，延慶和張家口承辦所有的雪上項(xiàng)目北京成為奧運(yùn)史上第一個(gè)舉辦過夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)和

冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)的城市.現(xiàn)有4名同學(xué)要報(bào)名參加冰雪興趣小組，要求雪上項(xiàng)目和冰上項(xiàng)目都至少有1

人參加，則不同的報(bào)名方案有（）

A.8B.14C.6D.20

8.（2022?全國?模擬預(yù)測）大約公元前300年，歐幾里得在他所著《幾何原本》中證明了算術(shù)基本定理：

每一個(gè)比1大的數(shù)（每個(gè)比1大的正整數(shù)）要么本身是一個(gè)素?cái)?shù)，要么可以寫成一系列素?cái)?shù)的乘積，如果

不考慮這些素?cái)?shù)在乘積中的順序，那么寫出來的形式是唯一的，即任何一個(gè)大于1的自然數(shù)N（N不為素

數(shù)）能唯一地寫成N=pf（其中p,是素?cái)?shù)，。，是正整數(shù)，P1<P2<L<PQ,將上

式稱為自然數(shù)N的標(biāo)準(zhǔn)分解式，且N的標(biāo)準(zhǔn)分解式中有%+%+…+為個(gè)素?cái)?shù).從120的標(biāo)準(zhǔn)分解式中任取

3個(gè)素?cái)?shù)，則一共可以組成不同的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.6B.13C.19D.60

9.（2022?福建泉州.模擬預(yù)測）面對突如其來的新冠疫情，全國人民眾志成城，齊心抗疫，甲、乙兩位老

師在上課之余.積極參加某社區(qū)的志愿活動(dòng)，現(xiàn)該社區(qū)計(jì)劃連續(xù)三天行核酸檢測，需要多名志愿者協(xié)助工作，

因工作關(guān)系，甲、乙不能在同一天參加志愿活動(dòng)，那么甲、乙每人至少參加其中一天的方案有（）

A.6種B.9種C.12種D.24種

10.（2022?吉林?東北師大附中模擬預(yù)測（理））將4名大學(xué)生平均分成兩組，安排到甲、乙兩所中學(xué)進(jìn)行

教學(xué)實(shí)習(xí)，并推選甲校張老師、乙校李老師作為指導(dǎo)教師，則不同的實(shí)習(xí)安排方案共有（）

A.24種B.12種C.6種D.A種

11.（2022?福建三明?模擬預(yù)測）某校為落實(shí)“雙減”政策.在課后服務(wù)時(shí)間開展了豐富多彩的體育興趣小組活

動(dòng),現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名同學(xué)擬參加籃球、足球、乒乓球、羽毛球四項(xiàng)活動(dòng)，由于受個(gè)人精力和時(shí)間限制，

每人只能等可能的選擇參加其中一項(xiàng)活動(dòng)，則恰有兩人參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為（）

12.（2022?湖北.黃岡中學(xué)模擬預(yù)測）小林同學(xué)喜歡吃4種堅(jiān)果：核桃、腰果、杏仁、榛子，他有5種顏色的“每

日堅(jiān)果”袋.每個(gè)袋子中至少裝1種堅(jiān)果，至多裝4種堅(jiān)果.小林同學(xué)希望五個(gè)袋子中所裝堅(jiān)果種類各不相同,

且每一種堅(jiān)果在袋子中出現(xiàn)的總次數(shù)均為偶數(shù)，那么不同的方案數(shù)為（）

A.20160B.20220C.20280D.20340

13.（2022?浙江?鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測）給圖中A,B,C,D,E,B六個(gè)區(qū)域進(jìn)行染色，每個(gè)區(qū)域只染一種顏

色，且相鄰的區(qū)域不同色.若有4種顏色可供選擇，則共有（）種不同的染色方案.

A.96B.144C.240D.360

14.（2022?河南鄭州?模擬預(yù)測（理））某學(xué)校文藝匯演準(zhǔn)備從舞蹈、小品、相聲、音樂、魔術(shù)、朗誦6個(gè)

節(jié)目中選取5個(gè)進(jìn)行演出.要求舞蹈和小品必須同時(shí)參加，且他們的演出順序必須滿足舞蹈在前、小品在

后.那么不同的演出順序種數(shù)有（）

A.240種B.480種C.540種D.720種

15.（2022?山東煙臺(tái)?一模）“碳中和”是指企業(yè)、團(tuán)體或個(gè)人等測算在一定時(shí)間內(nèi)直接或間接產(chǎn)生的溫室氣

體排放總量,通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，以抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量，實(shí)現(xiàn)二氧化碳“零排放”.某

“碳中和”研究中心計(jì)劃派5名專家分別到A,B,C三地指導(dǎo)“碳中和”工作，每位專家只去一個(gè)地方，且每

地至少派駐1名專家，則分派方法的種數(shù)為（）

A.90B.150C.180D.300

16.（2022?河南.模擬預(yù)測（理））將中國古代四大名著——《紅樓夢》《西游記》《水滸傳》《三國演義》，

以及《詩經(jīng)》等12本書按照如圖所示的方式擺放，其中四大名著要求放在一起，且必須豎放，《詩經(jīng)》《楚

辭》《呂氏春秋》要求橫放，若這12本書中7本豎放5本橫放，則不同的擺放方法共有種.

17.（2022?浙江省臨安中學(xué)模擬預(yù)測）中國古代十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法，在數(shù)學(xué)史上是一個(gè)偉大的創(chuàng)造，算

籌實(shí)際上是一根根同長短的小木棍.如圖，是利用算籌表示數(shù)1~9的一種方法.例如：3可以表示為“三”，26

可以表示為“2現(xiàn)有6根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，則可以用1~9這9個(gè)數(shù)字表示兩位數(shù)的

個(gè)數(shù)為.

18.（2022?上海市青浦高級中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，由6x6=36個(gè)邊長為1個(gè)單位的小正方形組成一個(gè)大正

方形.某機(jī)器人從C點(diǎn)出發(fā),沿若小正方形的邊走到D點(diǎn),每次可以向右走一個(gè)單位或者向上走一個(gè)單位.如

果要求機(jī)器人不能接觸到線段,那么不同的走法共有種.

19.（2022?遼寧?育明高中一模）一張節(jié)目單上原有8個(gè)節(jié)目，現(xiàn)臨時(shí)再插入A,B,C三個(gè)新節(jié)目，如果保

持原來8個(gè)節(jié)目的相對順序不變，節(jié)目B要排在另外兩個(gè)新節(jié)目之間（也可以不相鄰），則有

種不同的插入方法.（用數(shù)字作答）

20.（2022?重慶八中模擬預(yù)測）《數(shù)術(shù)記遺》是《算經(jīng)十書》中的一部，相傳是漢末徐岳所著.該書記述了

我國古代14種算法，分別是：積算（即籌算）、太乙算、兩儀算、三才算、五行算、八卦算、九宮算、運(yùn)

籌算、了知算、成數(shù)算、把頭算、龜算、珠算和計(jì)數(shù).某中學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組有甲、乙、丙、丁四人，該小

組擬全部收集九宮算、運(yùn)籌算、了知算、成數(shù)算和把頭算等5種算法的相關(guān)資料，要求每人至少收集其中

一種，且每種算法只由一個(gè)人收集，但甲不收集九宮算和了知算的資料，則不同的分工收集方案共有

__________種.

21.（2022?山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測）安排高二年級一、二兩個(gè)班一天的數(shù)、語、外、物、體，一班的化學(xué)及二

班的政治各六節(jié)課.要求體育課兩個(gè)班一起上，但不能排在第一節(jié)；由于選課之故，一班的化學(xué)和二班的

政治要安排在同一節(jié)；其他語、數(shù)、外、物四科由同一任課教師分班上課，則不同的排課表方法共有

種.

22.（2021?寧夏?石嘴山市第三中學(xué)模擬預(yù)測（理））2020年是全面建成小康社會(huì)的目標(biāo)實(shí)現(xiàn)之年，也是全

面打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)的收官之年.為更好地將“精準(zhǔn)扶貧”落到實(shí)處，某地安排7名干部（3男4女到三個(gè)貧困

村調(diào)研走訪，每個(gè)村安排男、女干部各1名，剩下1名干部負(fù)責(zé)統(tǒng)籌協(xié)調(diào)，則不同的安排方案有種

（用具體數(shù)字回答）.

23.（2021?安徽?二模（理））十二生肖是中國及東亞地區(qū)的一些民族用來代表年份的十二種動(dòng)物.順序排

列為子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龍、巳蛇、午馬、未羊、申猴、酉雞、戌狗、亥豬.生肖也稱屬相，常常

用來代表人出生的年號(hào).現(xiàn)有牛、虎、龍、馬屬相各1人，4人從吉祥物為牛、虎、龍、馬、猴的5件飾物

中隨機(jī)選一件，則恰有2人選中與屬相對應(yīng)的飾物的概率為.

24.（2021?安徽合肥?三模（理））為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校以班級為單位組織開展“走進(jìn)革

命老區(qū)，學(xué)習(xí)黨史文化”研學(xué)游活動(dòng).該校高一年級部10個(gè)班級分別去3個(gè)革命老區(qū)開展研學(xué)游，每個(gè)班

級只去1個(gè)革命老區(qū)，每個(gè)革命老區(qū)至少安排3個(gè)班級，則不同的安排方法共有種（用數(shù)字作答）.

B組能力提升

25.（2017?江西南昌?一模（理））某校迎新晚會(huì)上有6個(gè)節(jié)目，考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下要

求：節(jié)目甲必須排在前三位，且節(jié)目丙、丁必須排在一起.則該校迎新晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有

A.120種B.156種C.188種D.240種

26.（2020?北京?二模）要排出高三某班一天中，語文、數(shù)學(xué)、英語各2節(jié)，自習(xí)課1節(jié)的功課表，其中上

午5節(jié)，下午2節(jié)，若要求2節(jié)語文課必須相鄰且2節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰（注意：上午第五節(jié)和下午第一節(jié)

不算相鄰），則不同的排法種數(shù)是（）

A.84B.54C.42D.18

27.（2019?甘肅?一模（理））《數(shù)術(shù)記遺》是《算經(jīng)十書》中的一部，相傳是漢末徐岳（約公元2世紀(jì)）

所著，該書主要記述了：積算（即籌算）太乙、兩儀、三才、五行、八卦、九宮、運(yùn)籌、了知、成數(shù)、把

頭、龜算、珠算計(jì)數(shù)14種計(jì)算器械的使用方法某研究性學(xué)習(xí)小組3人分工搜集整理14種計(jì)算器械的相關(guān)資

料，其中一人4種、另兩人每人5種計(jì)算器械，則不同的分配方法有（）

「405r5A2「4「505

C'CjoCA；J45c2j卜］0y

A.-Xj-B.D.UCC

28.（2022?甘肅?高臺(tái)縣第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））2021年某地電視臺(tái)春晚的戲曲節(jié)目，準(zhǔn)備了經(jīng)典京居U、

豫劇、越劇、粵劇、黃梅戲、評劇6個(gè)劇種的各一個(gè)片段.對這6個(gè)劇種的演出順序有如下要求：京劇必

須排在前三，且越劇、粵劇必須排在一起，則該戲曲節(jié)目演出順序共有（）種.

A.120B.156C.188D.240

29.（2021?遼寧沈陽?模擬預(yù)測）2020年我國進(jìn)行了第七次全國人口普查，“大國點(diǎn)名，沒你不行”.在此次活

動(dòng)中，某學(xué)校有2女、4男6名教師報(bào)名成為志愿者，現(xiàn)在有3個(gè)不同的社區(qū)需要進(jìn)行普查工作，從這6名

志愿者中選派3名，每人去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)去1名教師，其中至少要有1名女教師，則不同的選派方案有

多少種（）

A.16種B.20種C.96種D.120種

30.（2015?廣東汕頭?一模（理））如圖所示的五個(gè)區(qū)域中，中心區(qū)E域是一幅圖畫，現(xiàn)要求在其余四個(gè)區(qū)

域中途自，有四種顏色可供選擇.要求每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色且相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法

種數(shù)為

A.56B.72C.64D.84

31.（2020?山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模）從甲、乙等8名志愿者中選5人參加周一到周五的社區(qū)服務(wù)，每天安排

一人，每人只參加一天.若要求甲、乙兩人至少選一人參加，且當(dāng)甲、乙兩人都參加時(shí)，他們參加社區(qū)服務(wù)

的日期不相鄰，那么不同的安排種數(shù)

為.（用數(shù)字作答）

32.（2019?浙江湖州?一模）現(xiàn)有排成一排的7個(gè)不同的盒子，將紅、黃、藍(lán)、白顏色的4個(gè)小球全部放入

這7個(gè)盒子中，若每個(gè)盒子最多放一個(gè)小球，則恰有兩個(gè)空盒相鄰且紅球與黃球不相鄰的不同放法共有

種.（結(jié)果用數(shù)字表示）

33.（2019?湖南師大附中一模（理））習(xí)近平總書記在湖南省湘西州十八洞村考察時(shí)首次提出“精準(zhǔn)扶貧”

概念，精準(zhǔn)扶貧成為我國脫貧攻堅(jiān)的基本方略.為配合國家精準(zhǔn)扶貧戰(zhàn)略，某省示范性高中安排6名高級

教師（不同姓）到基礎(chǔ)教育薄弱的甲、乙、丙三所中學(xué)進(jìn)行扶貧支教，每所學(xué)校至少1人，因工作需要，

其中李老師不去甲校，則分配方案種數(shù)為.

34.（2020?河北衡水中學(xué)三模（理））2020年初，我國突發(fā)新冠肺炎疫情.面對“突發(fā)災(zāi)難”，舉國上下心，

繼解放軍醫(yī)療隊(duì)于除夕夜飛抵武漢，各省醫(yī)療隊(duì)也陸續(xù)增援，紛紛投身疫情防控與病人救治之中.為分擔(dān)“逆

行者”的后顧之憂，某大學(xué)學(xué)生志愿者團(tuán)隊(duì)開展“愛心輔學(xué)”活動(dòng)，為抗疫前線工作者子女在線輔導(dǎo)功課.現(xiàn)隨

機(jī)安排甲、乙、丙3名志愿者為某學(xué)生輔導(dǎo)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物4門學(xué)科，每名志愿者至少輔導(dǎo)1門

學(xué)科，每門學(xué)科由1名志愿者輔導(dǎo)，則數(shù)學(xué)學(xué)科恰好由甲輔導(dǎo)的概率為.

35.（2018?浙江?一模）如圖，有7個(gè)白色正方形方塊排成一列，現(xiàn)將其中4塊涂上黑色，規(guī)定從左往右數(shù)，

無論數(shù)到第幾塊，黑色方塊總不少于白色方塊的涂法有種

36.（2019?湖北?一模（理））某共享汽車停放點(diǎn)的停車位排成一排且恰好全部空閑，假設(shè)最先來停車點(diǎn)停

車的3輛共享汽車都是隨機(jī)停放的，且這3輛共享汽車都不相鄰的概率與這3輛共享汽車恰有2輛相鄰的

概率相等，則該停車點(diǎn)的車位數(shù)為.

37.（2020?浙江溫州?二模）將2個(gè)相同的紅球和2個(gè)相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四個(gè)盒子里，其

中甲、乙盒子均最多可放入2個(gè)球，丙、丁盒子均最多可放入1個(gè)球，且不同顏色的球不能放入同一個(gè)盒

子里，共有種不同的放法.

38.（2020?山東?模擬預(yù)測）2020年春，新型冠狀病毒引發(fā)的疫情牽動(dòng)著億萬人的心，八方馳援戰(zhàn)疫情，眾

志成城克時(shí)難，社會(huì)各界紛紛支援湖北，共抗新型冠狀病毒肺炎.某醫(yī)院派出了5名醫(yī)生和3名護(hù)士共8人

前往武漢參加救治工作.現(xiàn)將這8人分成兩組分配到兩所醫(yī)院去，若要求每組至多5人，且護(hù)士所在組必須

有醫(yī)生，則不同的分配方案共有種（用數(shù)字作答）.

39.（2014.北京石景山?一模（理））各大學(xué)在高考錄取時(shí)采取專業(yè)志愿優(yōu)先的錄取原則.一考生從某大學(xué)

所給的7個(gè)專業(yè)中，選擇3個(gè)作為自己的第一、二、三專業(yè)志愿，其中甲、乙兩個(gè)專業(yè)不能同時(shí)兼報(bào)，則該

考生有種不同的填報(bào)專業(yè)志愿的方法（用數(shù)字作答）.

C組真題實(shí)戰(zhàn)練

40.（2019?全國?高考真題（理））我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上

排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“一”和陰爻“——"，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則

該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率是

,5r11-21r11

A.—B.—C.—D.—

16323216

41.（2021?全國?高考真題（理））將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)

項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）

A.60種B.120種C.240種D.480種

42.（2016?全國?高考真題（理））如圖，小明從街道的E處出