2025年江西省高考數(shù)學(xué)模擬試卷（附答案解析）

2025年江西省高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、單選題

1.已知集合A={x|0WxW3},2={0,1,2},貝l]Ang=()

A.{0}B.{1}C.{0,1}D.{0,1,2)

2.已知復(fù)數(shù)z滿足（2+i）z=2-4i,則團(tuán)=（）

A.2B.4C.V5D.2V5

TT

3.已知向量a=（l,1）,b=（0,2）,則下列結(jié)論正確的是（)

TTTTTTTTT

A.a\\bB.(2a—b)1bC.\a\=\b\D.a-b=3

4.若5譏(*+戊)=京，則cos(n+a)=()

2112

A.B.C.-D.-

5555

5.設(shè)他，〃是兩條不同的直線，a,0,丫是三個不同的平面，下列說法中正確的序號為（

①若機(jī)ua,n//OL,則相，〃為異面直線

②若a〃丫，0〃丫，貝!ja〃B

③若m_L0,m±y,a±p,則aJ_y

④若機(jī)_La,〃_L0,m//n,貝Ua_L0

⑤若/J_a,n//p,a〃0,則/_L〃

A.②③⑤B.①②⑤C.④⑤D.①③

6.將5本不同的書分給3位同學(xué)，則每位同學(xué)至少有1本書的不同分配方式共有（）種.

A.25B.75C.150D.300

7.記拋物線E：V=4x的焦點為尸，點A在E上，B(2,1),則|AQ+|A目的最小值為(

A.2B.3C.4D.5

8.已知a=——，b—elni,c=3,貝!J（）

q

A.a〈b〈cB.c〈a〈bC.a〈c〈bD.b＜a〈c

二、多選題

（多選）9.等比數(shù)列｛即｝的公比為必則下列說法正確的是（）

A.｛/川編｝為等差數(shù)列

B.若。2＞。1且。5＞。4,則｛斯｝遞增

C｛即+2斯+1｝為等比數(shù)列

D.產(chǎn)+凱+2｝為等比數(shù)列

an

（多選）10.下列不等式恒成立的有（）

A.當(dāng)XE（0,*）時，x>sinx

B.當(dāng)（0,+8）時，x>lnx

C.，>x+l（其中，e為自然對數(shù)的底數(shù)）

1

當(dāng)（）時，x——>2lnx

D.xE1,+8x

（多選）11.已知雙曲線/—1=1的右焦點為R過原點。作斜率為左的直線交雙曲線于A,B兩點，

且易■FB<0,則k的可能取值是（）

A.-李B.-C.V2D.V3

25

三、填空題

12.（2/一；）5的展開式中/的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

,VX

13.已知直線/經(jīng)過直線3x-y-7=0和4x+y-14=0的交點，且直線/在坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線/

的方程是.

14.已知正方體ABC。-A1B1C01的棱長為1,點、E、。分別是ALBI,4cl的中點，尸在正方體內(nèi)部且滿

-2f1T2T

足=+則下列說法正確的是.（填序號）

①點A到直線BE的距離是差；

_V2

②點O到平面ABCiDi的距圖是一：

4

③平面A1BD與平面BiCZh間的距離為

④點尸到直線A3的距離為"

四、解答題

15.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且滿足acosC+Was譏C一b-c=0.

（1）求角A;

（2）若a=同求△ABC面積的最大值.

16.已知三棱錐A-BCD,A。_L底面BCD,BC±CD,AD=BC=CD=2,點P是A。的中點，點。為線

段BC上一動點，點M在線段。。上.

（1）若PM〃平面A8C,求證：M為。。的中點；

(2)若。為BC的中點，求直線。。與平面43c所成角的正弦值.

17.已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點。點P(2,-&)在雙曲線上，且其兩條漸近線相互垂直.

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若過點Q(0,2)的直線/與雙曲線交于E,尸兩點，△。所的面積為2迎，求直線/的方程.

18.己知函數(shù)/'(%)—ax-1-Inx(aGR).

(1)若。=2,求/(x)在弓，e］上的最大值和最小值；

(2)若a=l,當(dāng)x>l時，證明：xlnx>f(x)恒成立；

(3)若函數(shù)/(x)在x=l處的切線與直線/：x=l垂直，且對Vxe(0,+8),/(x)》法-2恒成立,

求實數(shù)b的取值范圍.

19.已知正項數(shù)列｛斯｝中m=4且行+信工=雪(幾22),其中品為數(shù)列｛而｝的前"項和.

(1)求數(shù)列｛而｝的通項公式;

(2)若以一1是<71=2和S%+2的等比中項，求左值;

1

⑶令“=許3,求數(shù)列｛加｝前〃項和九

2025年江西省高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、單選題

1.已知集合A={x|OWxW3},B=[0,1,2],則AAB=()

A.{0}B.{1}C.{0,1}D.{0,1,2}

【解答]解：A={尤|0WxW3},B={0,1,2},則Ang={0,1,2).

故選：D.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足(2+i)z=2-4i,則|2|=()

A.2B.4C.V5D.2V5

【解答】解：（2+i）z—2-4z,

2-4i_(2—4i)(2—i)

則=(2+i)(2-i)

所以，=23團(tuán)=|2i|=2.

故選：A.

3.已知向量2=(1,1),7=(0,2),則下列結(jié)論正確的是()

A.a\\bB.(2a—b)1bC.\a\=\b\D.a-b=3

【解答】解：對于A項，1X2-0X1W0,錯誤；

T->->—TT

對于8項，2a-b=(2,0),6=(0,2),貝吃X0+0x2=0n(2a-6)16,正確;

——*

對于C項，|a|=四，\b\=2,錯誤；

TT

對于。項，a-6=lx0+lx2=2,錯誤.

故選：B.

7T1

4.右s譏(^+2=耳，則cos(n+a)=()

2112

A.一1B.-4C.-D.

5555

【解答】解：入譏g+仇)=cosa=

cos(ji+a)=—cosa——p.

故選：B.

5.設(shè)相，孔是兩條不同的直線，a,p,丫是三個不同的平面，下列說法中正確的序號為（

①若Mua,n//a,則M，〃為異面直線

②若a〃y,B〃Y，則a〃B

③若機(jī)_L0,m±y,a±P，則a_Ly

④若機(jī)_La,〃_L0,m//n,貝Ua_L0

⑤若LLa,〃〃仇a〃B，貝（JLL幾

A.②③⑤B.①②⑤C.④⑤D.①③

【解答】解：對①：因為平面的平行線和平面內(nèi)的直線可以平行，也可以異面，故①錯誤；

對②：平行于同一個平面的兩個平面平行，故②正確；

對③：先根據(jù)垂直于同一條直線的兩個平面平行得0〃丫，再根據(jù)a，B，可得a，Y，故③正確;

對④：兩直線平行，和這兩條直線分別垂直的平面也平行，故④錯誤.

對⑤：若〃〃dCL//p,則存在根ua且小〃九，

因為/_La,mua,所以/_LM,又因為根〃“，所以/_L〃，故⑤正確.

故選：A.

6.將5本不同的書分給3位同學(xué)，則每位同學(xué)至少有1本書的不同分配方式共有（）種.

A.25B.75C.150D.300

【解答】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

/j1p1/j2「2

可先將5本不同的書分成三份，共有+監(jiān)六=25種方法，

人2人2

再將分好的三份書籍分發(fā)給3位同學(xué)，有“=6種分法，

所以將5本不同的書分給3位同學(xué)共有25X6=150種分法.

故選：C.

7.記拋物線E：f=4x的焦點為R點A在E上，B（2,1）,則|4月+|42|的最小值為（）

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：過點A作x=-l的垂線，垂足為。，則但回=|4口，

則|AP+|A2|=|AO|+|A8|\3,如圖所示.

所以的最小值為3.

故選：B.

)

A.a<.b<cB.c<a<bC.a〈c〈bD.b〈a〈c

【解答】解：設(shè)/(x)=當(dāng)空，x>0,

所以/J)=陽丁吟

當(dāng)xE(0,e)時，f'(九)>0,f(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)xC(e,+°°)時，f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,

3eZn4竽=八3),,=3=半=/屋),

因為。==f(4),b=eln3=

且4>3>e,

所以/(4)</(3)<f(e),即“<》<0

故選：A.

二、多選題

(多選)9.等比數(shù)列｛斯｝的公比為g,則下列說法正確的是()

A.｛/川斯|｝為等差數(shù)列

B.若。2>。1且。5>。4,則｛?！保f增

C.｛an+2a"+i｝為等比數(shù)列

D.盧當(dāng)吐2｝為等比數(shù)列

【解答】解：由題意/I=?qnT,

n-1n

A選項：ln\an\=ln\ar-Q|=①|(zhì)%J+(n—l)Zn|q|,ln\an+1\=ln\ar-q\=ln\at\+nln\q\,

則/川曲+1|-/川斯|=/川切為定值，所以數(shù)列｛/川所|｝為等差數(shù)列，A選項正確；

8選項：由〃5>?,則］%'口%'，

43

Itti-q>ar-q

當(dāng)m>0時，q>l,數(shù)列｛斯｝單調(diào)遞增；

當(dāng)〃1<0時，OVqVl,數(shù)列｛礪｝單調(diào)遞增，所以B選項正確;

11

C選項：當(dāng)q=—訝時，an+2azi+i=a九+2x(―2)an=0,C選項顯然錯誤;

八、生行%,n，ai+a3ai(l+q2)l+q2

。選項：當(dāng)n=l時，---;-=----5---=-----。0,

ajajar

an+i+an+3

an+i____.71+1,+0九+3嫌_q(a?i+a7i+2)夠_工為華侑

2

加鬻+2-an+an+2a1+1-an+an+2qa^-q'

所以數(shù)列｛匣等±2｝為等比數(shù)列,。選項正確；

故選：ABD.

(多選)10.下列不等式恒成立的有()

A.當(dāng)無￡(0/引77"時，x>sinx

B.當(dāng)xE(0,+8)時，x>lnx

C./>x+l(其中，e為自然對數(shù)的底數(shù))

1

D.當(dāng)xE(1,+8)時，x--->2lnx

x

【解答】解：對于A,令/(%)=%—sin%,%e(0,今，則(x)=1-cosx^O,

故/(x)在(0,/)單調(diào)遞增，故/(x)>f(0)=0,故x>sinx,A正確;

對于5,設(shè)加(x)—lnx-x,

1

則當(dāng)1>1時，m'(x)=--1<0/?n(%)在(1,+8)單調(diào)遞減，

當(dāng)0<xVl時，m'(x)>0,m(x)在(0,1)單調(diào)遞增，

故m(%)Wm(1)=-1<0,故Inx<x,B正確；

對于C,令〃(x)="-x-1,n'(x)-1,

當(dāng)x>0,n'(x)>0,n(x)在(0,+°°)單調(diào)遞增，

當(dāng)x<0,n'(x)<0,〃(x)在(-8,o)單調(diào)遞減，

所以〃(x)2〃(0)=0,故故C錯誤；

對于。，令g”)=x--2lnx,xG(1/+oo),

22

m.i,cx1,12X-2X+1(X-1)、n

則g(%)=1+^2--=-p—=^^>0f

故g(x)在(1,+8)單調(diào)遞增，故g(%)>g(1)=0,故％-亍>2仇％,￡)正確.

故選：ABD.

(多選)11.已知雙曲線/—1=I的右焦點為R過原點。作斜率為左的直線交雙曲線于A,3兩點,

—>―>

且R4-F8<0,則上的可能取值是（）

A.一卓B.-C.V2D.V3

/5

【解答】解：不妨設(shè)直線/的方程為A（xi,yi）,B（%2,y2）,

y=kx

聯(lián)立,2，消去y并整理得（3-/）3=0,

儼一y專=1

此時A>0恒成立，

由韋達(dá)定理得Xl+X2=0,%1%2=一當(dāng)，

3—k

因為A,2兩點關(guān)于原點對稱，

所以*1*2—―X1—~一12<^，

解得-舊4<5口，

又c=又+1=2,

則雙曲線的右焦點尸（2,0）,

T—>

—

所以凡4=（%1—2,%）,FB=（%22/y2）?

則FZ?=(XI-2)(X2-2)+yiy2=(F+l)xix2-2(xi+x2)+4<0,

又xi+%2=0,%i%=---［，

23—k

解得—乎qv乎，

因為一次〈%〈百，

所以上的取值范圍為（一四，一苧）U（薩，V3）,

因為該雙曲線的漸近線方程為y=±同，故選項。錯誤；

i小6Lr-3小

易知一=1.118,-=1.2,&y1.414,V3?1.732,——=1.134.

257

所以—軍V—岸，—<-<V2故選項A錯誤.

'/75

故選：BC.

三、填空題

12.（2久2—；）5的展開式中工3的系數(shù)為一40.（用數(shù)字作答）

VX

1r7r

【解答】解：（2/—；）5的展開式中的通項7>+1=Cr（_Drx-3Q/）5QT（7）

y/x

7

令10-可廠=3,得r=3.

2

故(2久2—3-)5的展開式中x3的系數(shù)為一田X2=-40.

yfX

故答案為：-40.

13.已知直線/經(jīng)過直線3x-y-7=0和4x+y-14=0的交點，且直線/在坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線/

的方程是2x-3y=0或x+y=5.

【解答】解：由修;.「以，解得C，

即直線/過點(3,2),

當(dāng)直線/過原點時，直線/的方程為即2x-3y=0,

xv32

當(dāng)直線/不過原點時，設(shè)直線/的方程為一+占=1,則一+-=1,

aaaa

解得〃=5,方程為x+y=5,

所以直線I的方程為lx-3y=0或x+y=5.

故答案為：2x-3y=0或x+y=5.

14.已知正方體ABCD-AIBCLDI的棱長為1,點E、。分別是431,4G的中點，P在正方體內(nèi)部且滿

足4P=^AB+^AD+^AAr.則下列說法正確的是①②③④.(填序號)

①點A到直線BE的距離是等；

V2

②點0到平面ABCiDi的距離是一；

4

③平面A1BD與平面81cz)1間的距離為事；

④點P到直線AB的距離為士

6

【解答】解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),Ai(0,0,1),Ci(1,1,1),Di(0,1,1),

111TT1

Eg,0,1),邑1),所以B4=(—1,0,0),BE=0,1).

—>—>__

設(shè)NABE=6,則cos。=?空"?=電，sinO=V1-cos26=4

\BA\\BE\$$

故A到直線BE的距離di=\BA\sin6=1x等=等，故①正確；

—TT

A1B=(1,0,-1),ArD=(0,1,-1),/也=(0,1,0).

設(shè)平面48。的法向量為￡=3y,z),則，°

n-ArD=0

x—z=0,

所以

.y-z=0,

令z=l,得y=l,x=l,所以7=(1,1/1).

所以點Di到平面A1BD的距離曲=也'加=吃=寫

|n|V33

因為平面A13D〃平面BiCDi,

所以平面A1BD與平面BiCDi間的距離等于點D1到平面A1BD的距離，

所以平面48。與平面BiCZh間的距離為事，故③正確；

T1T11.7

易知C1。=會641=(一2，-2，0),平面ABC1D1的一個法向量DA1=(0,-1,1),

則點0到平面ABC1D1的距離dz="嚴(yán)1°1=3=李，故②正確；

\DA±\"今

2T->O17TAP,AB3

因為力P=.4B+a力￡)+裂&,所以AP=(W，另|),又4B=(1,0,0),則「^―=一,

1Z31/3].D"I44

—>—>

所以點尸到直線的距離d=|六|2—|"歹『=^=f.故④正確.

15.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且滿足acosC+\/3asinC—b—c=0.

(1)求角A;

(2)若。=b，求△ABC面積的最大值.

【解答】解：(1),.9acosC+VSasinC——c=0,

/.由正弦定理得：sinAcosC+V3sinAsinC-sinB-sinC=O,

sinAcosC+V3sinAsinC-sin(A+C)-sinC=0,

V3sinAsinC-cosAsinC-sinC=0,

*.*CE(0,ii),「.sinCWO,V3sinA-cosA=1,

TT

：.2sm(A-^)=1,

,**AG(0,ir),6(—f

(2)由余弦定理有：a2=b2+c2-2Z?CCOSA=/?2+C2-bc22bc-bc=bc,

:.bcW於=3,(當(dāng)且僅當(dāng)Z?=c時取“=”)

17.4/IoV3373

??^^ABC=7Tbcsi/iA477x3x-5-=--；-,

zzz4

3X/3

??.△ABC面積的最大值為7

16.已知三棱錐A-BCD,AZ)_L底面BCD,BCLCD,AD=BC=CD=2,點P是AD的中點，點。為線

段BC上一動點，點M在線段。。上.

(1)若〃平面ABC,求證：M為。。的中點；

(2)若。為8C的中點，求直線。。與平面ABC所成角的正弦值.

【解答】解：(1)證明：連結(jié)A。，因為PM〃平面ABC,PMu平面AOQ,平面平面A8C=A。,

貝ijPA/〃A。，又因為P是A。的中點，所以M是。。中點.

(2)因為底面BCD,BC±CD,如圖建立坐標(biāo)系，

則。(2,0,0),B(0,2,0),A(2,0,2),Q(0,1,0),

—>—?—?

可得OQ=(-2,L0),CA=(2,0,2),CB=(0,2,0),

設(shè)平面ABC的法向量為蔡二(%,y,z),

T-

則n-CA=2x+2z=0

(n-CB=2y=0

令x=-1,則y=0,z=l,可得￡=(-1,0,1),

訪7_2_V10

則cosVDQ,n>—

\DQ\-\n\店義戊5",

因此直線DQ與平面ABC所成角的正弦值為等.

17.已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點。，點P(2,-&)在雙曲線上，且其兩條漸近線相互垂直.

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若過點Q(0,2)的直線/與雙曲線交于E,P兩點，△。斯的面積為2a，求直線/的方程.

【解答】解：(1)因為雙曲線C的兩條漸近線互相垂直，

所以雙曲線C為等軸雙曲線,

所以設(shè)所求雙曲線方程為/-9=機(jī)，

又雙曲線C經(jīng)過點尸(2,-V2),

所以4-2=%，即機(jī)=2,

汽2y2

所以雙曲線的方程為/-9=2,即三七5

(2)根據(jù)題意可知直線/的斜率存在，又直線/過點。(0,2),

所以直線/的方程為y=fcv+2,

所以原點0到直線I的距離d=

“，1

—kx+2

得(A?-1)x2+4fcr+6=0,

2—y2=2,

所以且△=16廬-24(F-l)=24-8/>0,

所以正<3,且后不1,

V(4k)2-4(k2-l)x62V2V3-/C2

所以|EF|=Vl+fc2=Vi+fc2.

|fc2-l|lfc2-ll

11,__________2V2V3-/C22L

所以△OEP的面積為TEH?仁4-VTTI2?——----7===2&,

22k2-lVfc2+1

b,V3-/C2

所以目=1'

解得必=2,

所以k=±42,

所以直線I的方程為y=V2x+2或y=—V2x+2.

18.已知函數(shù)/(x)=〃x-1-加x(Q€R).

(1)若。=2,求/(x)在g,e］上的最大值和最小值；

(2)若。=1,當(dāng)x>l時，證明：xlnx>f(x)恒成立；

(3)若函數(shù)/(%)在％=1處的切線與直線/：x=l垂直，且對VxC(0,+8),f(x)Nbx-2恒成立,

求實數(shù)匕的取值范圍.

【解答】解：(1)當(dāng)〃=2時，/(x)=2x-1-Inx,

則r(x)=tL

1

令f(x)=0可得％=2，

故當(dāng)xe(o,》時，，(x)<o,/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)％e+8)時，，(x)>o,/(x)單調(diào)遞增,

故/(x)遞減區(qū)間為弓，芻，遞增區(qū)間為g,e］,

函數(shù)/(x)的極小值/■8)="2,是唯一的極小值，無極大值，

又4)=小〃e)