2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章解析幾何初步2.2圓與圓的方程2.2.3第1課時(shí)直線與圓的位置關(guān)系課時(shí)分層作業(yè)含解析北師大版必修2

PAGE課時(shí)分層作業(yè)二十四直線與圓的位置關(guān)系一、選擇題(每小題5分，共30分)1.在平面直角坐標(biāo)系中，A，B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以AB為直徑的圓C與直線2x+y-4=0相切，則圓C面積的最小值為 ()A.QUOTEπ B.QUOTEπC.(6-2QUOTE)π D.QUOTEπ【解題指南】數(shù)形結(jié)合，找到圓的半徑最小時(shí)是怎樣的狀況即可.【解析】選A.由題意得圓C過坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)原點(diǎn)到已知直線的距離恰為圓的直徑時(shí)，圓的面積最小，此時(shí)圓的半徑為QUOTE×QUOTE=QUOTE，圓的面積為S=πr2=πQUOTE=QUOTEπ.2.過點(diǎn)(2，1)的直線中，被x2+y2-2x+4y=0截得弦長最長的直線方程為()A.3x-y-5=0 B.3x+y-7=0C.x+3y-3=0 D.x-3y+1=0【解析】選A.圓x2+y2-2x+4y=0的圓心為(1，-2)，被圓截得弦最長的直線過圓心，所以所求直線過點(diǎn)(2，1)與(1，-2)，可得所求直線的方程為3x-y-5=0.3.曲線y=1+QUOTE與直線l：y=k(x-2)+4有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.依據(jù)題意畫出圖形，如圖.由已知，直線l過A(2，4)，B(-2，1)，又曲線y=1+QUOTE圖像為以(0，1)為圓心，2為半徑的半圓，當(dāng)直線l與半圓相切，C為切點(diǎn)時(shí)，圓心到直線l的距離d=r，即QUOTE=2，解得k=QUOTE；當(dāng)直線l過B點(diǎn)時(shí)，直線l的斜率為QUOTE=QUOTE，則直線l與半圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的范圍為QUOTE.4.(2024·沈陽高二檢測(cè))直線x-3y+3=0與圓(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦長為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.4QUOTE D.3QUOTE【解析】選A.圓(x-1)2+(y-3)2=10的圓心坐標(biāo)為(1，3)，半徑r=QUOTE，圓心到直線x-3y+3=0的距離d=QUOTE=QUOTE，故弦長為2QUOTE=QUOTE.5.(2024·溫州高二檢測(cè))對(duì)隨意的實(shí)數(shù)k，直線y=kx-1與圓C：x2+y2-2x-2=0的位置關(guān)系是 ()A.相離 B.相切C.相交 D.以上三個(gè)選項(xiàng)均有可能【解析】選C.直線y=kx-1恒經(jīng)過點(diǎn)A(0，-1)，圓x2+y2-2x-2=0的圓心為C(1，0)，半徑為QUOTE，而|AC|=QUOTE<QUOTE，所以點(diǎn)A在圓內(nèi)，故直線y=kx-1與圓x2+y2-2x-2=0相交.6.直線x+y=1與圓x2+y2-2ay=0(a>0)沒有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是 ()A.(0，QUOTE-1) B.(QUOTE-1，QUOTE+1)C.(-QUOTE-1，QUOTE+1) D.(0，QUOTE+1)【解析】選A.把圓x2+y2-2ay=0(a>0)化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-a)2=a2，所以圓心(0，a)，半徑r=a，由直線與圓沒有公共點(diǎn)得到：圓心(0，a)到直線x+y=1的距離d=QUOTE>r=a，當(dāng)a-1>0即a>1時(shí)，化簡(jiǎn)為a-1>QUOTEa，即a(1-QUOTE)>1，因?yàn)閍>0，無解；當(dāng)a-1<0即0<a<1時(shí)，化簡(jiǎn)為-a+1>QUOTEa，即(QUOTE+1)a<1，a<QUOTE=QUOTE-1，所以a的范圍是(0，QUOTE-1).二、填空題(每小題5分，共10分)7.(2024·西安高二檢測(cè))若P(2，-1)為圓(x-1)2+y2=25的弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程是_________.

【解析】設(shè)圓心為C，則C(1，0)，因?yàn)镻(2，-1)是弦AB的中點(diǎn)，所以直線AB與直線CP垂直，易知直線CP的斜率為-1，所以直線AB的斜率為1，故直線AB的方程為x-y-3=0.答案：x-y-3=08.(2024·南寧高二檢測(cè))已知圓(x-a)2+y2=4截直線x-y-4=0所得的弦的長度為2QUOTE，則a=_________.

【解析】由已知，圓心為(a，0)，半徑為2，圓心到直線y=x-4的距離為QUOTE.因?yàn)橄议L為2QUOTE，所以QUOTE=QUOTE，解得a=2或a=6.答案：2或6三、解答題(每小題10分，共20分)9.(2024·臺(tái)州高二檢測(cè))已知直線l過點(diǎn)(2，1)，且在y軸上的截距為-1.(1)求直線l的方程.(2)求直線l被圓C：x2+y2=5所截得的弦長.【解析】(1)由已知，直線l的斜率為QUOTE=1，所以直線l的方程為y=x-1，即x-y-1=0.(2)因?yàn)閳A心(0，0)到l的距離d=QUOTE，所以弦長為2QUOTE=3QUOTE.10.(2024·重慶高二檢測(cè))已知點(diǎn)A(3，-3)，點(diǎn)B(1，3)兩點(diǎn).(1)求以AB為直徑的圓C的方程.(2)若直線x+2y+3=0與圓C交于M，N兩不同點(diǎn)，求線段MN的長度.【解析】(1)由已知，圓心C為AB中點(diǎn)，所以C(2，0)，半徑r=|AC|=QUOTE=QUOTE，所以圓C的方程為(x-2)2+y2=10.(2)圓心到直線MN的距離d=QUOTE=QUOTE，所以QUOTE=QUOTE=QUOTE，所以|MN|=2QUOTE.一、選擇題(每小題5分，共25分)1.(2024·荊州高二檢測(cè))若P(2，-2)為圓(x-1)2+y2=100的弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程為 ()A.x-2y-6=0 B.x+2y+2=0C.2x+y-2=0 D.2x-y-6=0【解析】選A.設(shè)圓心為C，則C(1，0)，因?yàn)镻(2，-2)是弦AB的中點(diǎn)，所以直線AB與直線CP垂直，易知直線CP的斜率為-2，所以直線AB的斜率為QUOTE，故直線AB的方程為y-(-2)=QUOTE(x-2)，即x-2y-6=0.2.直線3x+4y=b與圓x2+y2-2x-2y+1=0相切，則b= ()A.-2或12 B.2或-12C.-2或-12 D.2或12【解析】選D.因?yàn)橹本€3x+4y-b=0與圓心為(1，1)、半徑為1的圓相切，所以QUOTE=1，解得b=2或12.3.假如實(shí)數(shù)x，y滿意(x-2)2+y2=3，那么QUOTE的最大值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.QUOTE=QUOTE，即圓(x-2)2+y2=3上的點(diǎn)和原點(diǎn)(0，0)連線斜率的最大值.如圖所示，OA取得最大值kOA=QUOTE.4.已知三點(diǎn)A(1，0)，B(0，QUOTE)，C(2，QUOTE)，則△ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.△ABC外接圓圓心在直線BC的垂直平分線即在直線x=1上，設(shè)圓心D(1，b)，由DA=DB得|b|=QUOTE，解得b=QUOTE，所以圓心到原點(diǎn)的距離為d=QUOTE=QUOTE.5.若直線ax+by=1與圓x2+y2=1相交，則點(diǎn)P(a，b) ()A.在圓上 B.在圓外C.在圓內(nèi) D.以上都有可能【解析】選B.因?yàn)橹本€ax+by=1與圓x2+y2=1相交，所以圓心到直線的距離d=QUOTE<1，所以a2+b2>1，所以點(diǎn)P(a，b)在圓外.【補(bǔ)償訓(xùn)練】直線y=QUOTEx繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后所得直線與圓(x-2)2+y2=3的位置關(guān)系是 ()A.直線過圓心B.直線與圓相交，但不過圓心C.直線與圓相切D.直線與圓沒有公共點(diǎn)【解析】選C.直線y=QUOTEx的傾斜角為30°，繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后所得直線的傾斜角為60°.所以旋轉(zhuǎn)后的直線方程為y=QUOTEx，圓心(2，0)到直線y=QUOTEx的距離為d=QUOTE=QUOTE.二、填空題(每小題5分，共20分)6.若點(diǎn)P(1，2)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓上，則該圓在點(diǎn)P處的切線方程為_________.

【解析】方法一：由已知，圓的方程為x2+y2=5，明顯點(diǎn)P處的切線斜率存在，設(shè)為k，則切線方程為y-2=k(x-1)，即kx-y-k+2=0，由QUOTE=QUOTE，得k=-QUOTE，所以切線方程為y-2=-QUOTE(x-1)，即x+2y-5=0.方法二：由已知，圓的方程為x2+y2=5，圓在點(diǎn)P處的切線方程為1·x+2·y=5，即x+2y-5=0.答案：x+2y-5=07.(2024·無錫高二檢測(cè))已知實(shí)數(shù)x，y滿意方程y=QUOTE，則QUOTE的取值范圍是_________.

【解析】方程(曲線)y=QUOTE可化為(x-2)2+y2=3(y≥0)，表示圓的x軸上側(cè)部分，如圖.QUOTE表示曲線上的點(diǎn)與原點(diǎn)(0，0)連線的斜率，符合題意的范圍是x軸與圖中直線l之間，易知，x軸即y=0斜率為0，l斜率為k=tanα=QUOTE，所以，QUOTE的取值范圍是[0，QUOTE].答案：[0，QUOTE]8.(2024·浙江高考)我國古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率π，理論上能把π的值計(jì)算到隨意精度.祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”，將π的值精確到小數(shù)點(diǎn)后七位，其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年，“割圓術(shù)”的第一步是計(jì)算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積S內(nèi)，S內(nèi)=_________.

【解析】如圖，因?yàn)槭菃挝粓A，所以O(shè)A=1，因?yàn)榱呅蜛BCDEF是正六邊形，所以△OAB是正三角形，所以AB=1，過點(diǎn)O作OG⊥AB于點(diǎn)G，所以O(shè)G=OAsin60°=QUOTE，所以正六邊形的面積為6S△OAB=6×QUOTE×AB·OG=QUOTE.答案：QUOTE9.(2024·重慶高二檢測(cè))已知點(diǎn)A(-2，0)，B(0，2)，若點(diǎn)C是圓x2-2x+y2=0上的動(dòng)點(diǎn)，則△ABC面積的最小值為_________.

【解析】圓x2-2x+y2=0可化為(x-1)2+y2=1，圓心為D(1，0)，半徑r=1，直線AB方程為QUOTE+QUOTE=1，即x-y+2=0，圓心D到直線AB的距離d=QUOTE=QUOTE>r=1，點(diǎn)C到直線AB距離最小值為d-r=QUOTE-1，又|AB|=2QUOTE，所以△ABC面積的最小值為QUOTE×QUOTE×2QUOTE=3-QUOTE.答案：3-QUOTE三、解答題(每小題10分，共20分)10.(2024·常熟高二檢測(cè))已知圓C經(jīng)過A(-2，1)，B(5，0)兩點(diǎn)，且圓心C在直線y=2x上.(1)求圓C的方程.(2)動(dòng)直線l：(m+2)x+(2m+1)y-7m-8=0過定點(diǎn)M，斜率為1的直線m過點(diǎn)M，直線m和圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，求PQ的長度.【解析】(1)設(shè)圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，則QUOTE解得D=-4，E=-8，F(xiàn)=-5，所以圓C的方程為x2+y2-4x-8y-5=0.(2)動(dòng)直線l的方程為(x+2y-7)m+2x+y-8=0.則QUOTE得QUOTE所以動(dòng)直線l過定點(diǎn)M(3，2)，直線m：y=x-1，所以圓心C(2，4)到m的距離為QUOTE，所以PQ的長為2QUOTE=QUOTE.11.(2024·南開區(qū)高二檢測(cè))已知兩點(diǎn)A(3，2)，B(-1，2)，圓C以線段AB為直徑.(1)求圓C的方程.(2)已知直線l：y=kx+4，①若直線l與圓C相切，求直線l的方程.②若直線l與圓C相交于P，Q不同的兩點(diǎn)，是否存在橫坐標(biāo)為-QUOTE的點(diǎn)M，使點(diǎn)M恰好為線段PQ的中點(diǎn)，若不存在說明理由，若存在求出k值.【解析】(1)圓的直徑|AB|=QUOTE=4，故半徑為2.圓心坐標(biāo)為A(3，2)，B(-1，2)的中點(diǎn)(1，2)，所以圓C的方程為(x-1)2+(y-2)2=4.(2)①直線l：y=kx+4，若直線l與圓C相切，則圓心到直線l的距離d=QUOTE=2，解得k=QUOTE或k=0，所以直線l的方程為4x-3y+12=0或y=4.②由方程組QUOTE消去y，整理得(k2+1)x2+(4k-2)x+1=0.若直線l與圓C相交于P，Q不同的兩點(diǎn)，則Δ=4k(3k-4)>0，得k>QUOTE或k<0.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1+x2=QUOTE.若QUOTE=QUOTE=-QUOTE，解得k=3±QUOTE.所以存在橫坐標(biāo)為-QUOTE的點(diǎn)M，使點(diǎn)M恰好為線段PQ的中點(diǎn)，此時(shí)k=3+QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知圓O1：(x+2)2+y2=1，P(x，y)為圓上任一點(diǎn).求：(1)QUOTE的最大、最小值.(2)x-