《正弦函數(shù)圖象的對稱性》教案

PAGEPAGE8正弦函數(shù)圖象的對稱性【教學目標】1．使學生掌握正弦函數(shù)圖象的對稱性及其代數(shù)表示形式，理解誘導公式（R）與（R）的幾何意義，體會正弦函數(shù)的對稱性.2．在探究過程中滲透由具體到抽象，由特殊到一般以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，提高學生觀察、分析、抽象概括的能力.3．通過具體的探究活動，培養(yǎng)學生主動利用信息技術(shù)研究并解決數(shù)學問題的能力，增強學生之間合作與交流的意識.【教學重點】正弦函數(shù)圖象的對稱性及其代數(shù)表示形式.【教學難點】用等式表示正弦函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱和關(guān)于點對稱.【教學方法】教師啟發(fā)引導與學生自主探究相結(jié)合.【教學手段】計算機、圖形計算器（學生人手一臺）.【教學過程】一、復習引入1.展示生活實例對稱在自然界中有著豐富多彩的顯現(xiàn)，各種對稱圖案、對稱符號也都十分普遍（見下圖）.2．復習對稱概念初中我們已經(jīng)學習過軸對稱圖形和中心對稱圖形的有關(guān)概念：軸對稱圖形——將圖形沿一條直線折疊，直線兩側(cè)的部分能夠互相重合；中心對稱圖形——將圖形繞一個點旋轉(zhuǎn)180°，所得圖形與原圖形重合.3．作圖觀察請同學們用圖形計算器畫出正弦函數(shù)的圖象（見右圖），仔細觀察正弦曲線是否是對稱圖形？是軸對稱圖形還是中心對稱圖形？4．猜想圖形性質(zhì)經(jīng)過簡單交流后，能夠發(fā)現(xiàn)正弦曲線既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，并能夠猜想出一部分對稱軸和對稱中心.（教師點評并板書）如何檢驗猜想是否正確？我們知道，誘導公式（R），刻畫了正弦曲線關(guān)于原點對稱，而（R），刻畫了余弦曲線關(guān)于軸對稱.從這兩個特殊的例子中我們得到一些啟發(fā)，如果我們能夠用代數(shù)式表示所發(fā)現(xiàn)的對稱性，就可以從代數(shù)上進行嚴格證明.今天我們利用圖形計算器來研究正弦函數(shù)圖象的對稱性.（板書課題）二、探究新知分為兩個階段，第一階段師生共同探討正弦曲線的軸對稱性質(zhì)，第二階段學生自主探索正弦曲線的中心對稱性質(zhì).（一）對于正弦曲線軸對稱性的研究第一階段，實例分析——對正弦曲線關(guān)于直線對稱的研究.1．直觀探索——利用圖形計算器的繪圖功能進行探索請同學們在同一坐標系中畫出正弦曲線和直線的圖象，選擇恰當窗口并充分利用畫圖功能對問題進行探索研究（見右圖），在直線兩側(cè)正弦函數(shù)值有什么變化規(guī)律？給學生一定的時間操作、觀察、歸納、交流，最后得出猜想：當自變量在左右對稱取值時，正弦函數(shù)值相等.從直觀上得到的猜想，需要從數(shù)值上進一步精確檢驗.2．數(shù)值檢驗——利用圖形計算器的計算功能進行探索請同學們思考，對于上述猜想如何取值進行檢驗呢?教師組織學生通過合作的方式，對稱地在左右自主選取適當?shù)淖宰兞?，并計算函?shù)值,對結(jié)果進行列表比較歸納.同時為沒有思路的學生準備參考表格如下：…………給學生一定的時間進行思考、操作，根據(jù)情況進行指導并組織學生進行交流，然后請一組學生說明他們的研究過程.學生可以采用不同的數(shù)據(jù)采集方法，得到的結(jié)果如下列圖表（表格中函數(shù)值精確到0.001）：………-0.4160.0710.5400.87810.8780.5400.071-0.416…上述計算結(jié)果，初步檢驗了猜想，并可以把猜想用等式（R）表示.請同學們利用前面得到的數(shù)據(jù)，用圖形計算器描點畫圖（見下圖），然后進行觀察比較，思考點P和P′在平面直角坐標系中有怎樣的位置關(guān)系？根據(jù)畫圖結(jié)果，可以看出，點P和P′關(guān)于直線對稱.這樣，正弦曲線關(guān)于直線對稱，可以用等式（R）表示.這樣的計算是有限的，并受到精確度的影響，還需要對等式進行嚴格證明.3．嚴格證明——證明等式對任意R恒成立請同學們思考，證明等式的基本方法有哪些？所要證的等式左右兩端有何特征？有可能選用什么樣的公式？預案一：根據(jù)誘導公式，有.預案二：根據(jù)公式和，有.預案三：根據(jù)正弦函數(shù)的定義，在平面直角坐標系中，無論取任何實數(shù)，角和的終邊總是關(guān)于軸對稱（見右圖），他們的正弦值恒相等.這樣我們就證明了等式對任意R恒成立，也就證明了正弦曲線關(guān)于直線對稱.事實上，誘導公式也可以由等式推出，即這兩個等式是等價的.因此，正弦曲線關(guān)于直線對稱，是誘導公式（R）的幾何意義.階段小結(jié)：我們從幾何直觀獲得啟發(fā)，又通過數(shù)據(jù)計算進一步檢驗，得出正弦曲線關(guān)于直線對稱可以用等式（R）表示，通過對這一等式的嚴格證明，證實了我們猜想的正確性.上述等式與誘導公式（R）的等價性，使我們對這一誘導公式有了新的理解.第二階段，抽象概括——探索正弦曲線的其他對稱軸.師生、生生交流，步步深入.問題一：正弦曲線還有其他對稱軸嗎？有多少條對稱軸？對稱軸方程形式有什么特點？可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過圖象最大值點和最小值點且垂直于軸的直線都是正弦曲線的對稱軸（教師利用課件演示），則對稱軸方程的一般形式為：（Z）.問題二：能用等式表示“正弦曲線關(guān)于直線（Z）對稱”嗎？根據(jù)前面的研究，上述對稱可以用等式（Z，R）表示.請學生證明上述等式，然后組織學生交流證明思路.證明預案：.（二）對于正弦曲線中心對稱性的研究我們已經(jīng)知道正弦函數(shù)（R）是奇函數(shù)，即（R），反映在圖象上，正弦曲線關(guān)于原點對稱.那么，正弦曲線還有其他對稱中心嗎？請同學們參照軸對稱的研究方法，小組合作進行研究.第一階段，對正弦曲線關(guān)于點對稱的研究.1．直觀探索——從圖象上探索在點兩側(cè)的函數(shù)值的變化規(guī)律.2．數(shù)值檢驗——在左右對稱地選取一組自變量，計算函數(shù)值并列表整理.3．嚴格證明——證明等式對任意R恒成立.預案一：根據(jù)誘導公式，有.預案二：根據(jù)誘導公式和，有.預案三：根據(jù)正弦函數(shù)的定義，在平面直角坐標系中，無論取任何實數(shù)，角和的終邊總是關(guān)于軸對稱（見右圖），他們的正弦值互為相反數(shù).事實上，等式與誘導公式是等價的.這樣，正弦曲線關(guān)于點對稱，是誘導公式（R）的幾何意義.第二階段，探索正弦曲線的其它對稱中心.請同學嘗試解決下列三個問題：1．歸納正弦函數(shù)圖象對稱中心坐標的一般形式.正弦函數(shù)圖象對稱中心坐標的一般形式為：（Z）（教師利用課件演示）.2．用等式表示“正弦曲線關(guān)于點（Z）對稱”.上述對稱可以用等式（Z，R）表示.3．證明歸納出的等式.（根據(jù)課堂情況可以由學生課后完成證明）三、課堂小結(jié)1．課堂小結(jié)（1）知識上：得出了正弦函數(shù)圖象對稱軸方程和對稱中心坐標的一般形式，研究了對稱性的代數(shù)表示形式，并利用誘導公式完成了嚴格的理論證明.在研究的過程中，對誘導公式與（R）有了新的理解，感受了正弦函數(shù)的對稱性以及數(shù)和形的辨證統(tǒng)一.（2）方法上：直觀→抽象，特殊→一般，體驗了觀察—歸納—猜想—嚴格證明的研究方法.2．作業(yè)（1）總結(jié)課上的研究過程和方法，嘗試研究余弦函數(shù)圖象的對稱性，并結(jié)合自己的研究過程和結(jié)論寫出研究報告，與其他同學交流收獲.（2）找一個一般函數(shù)，如，R，研究它的圖象及對稱性；并與正弦函數(shù)的圖象及對稱性進行比較.（3）思考：如何用等式表示函數(shù)關(guān)于直線對稱，以及關(guān)于點對稱？（4）嘗試證明函數(shù)的圖象分別關(guān)于直線和直線對稱.【教學設(shè)計說明】1．關(guān)于教學內(nèi)容正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的大部分性質(zhì)是借助函數(shù)圖象進行研究的．但是，在本章第五節(jié)中，借助單位圓中的三角函數(shù)線已經(jīng)研究了它們的四個重要性質(zhì)，并歸納為四組誘導公式，其中公式三、四、五分別刻畫了兩個函數(shù)圖象的一部分對稱性，奇偶性只是特殊的對稱性.因此，本課時以正弦函數(shù)為例補充研究圖象的對稱性，從函數(shù)圖象的特征出發(fā)，引導學生利用計算器自主探索，并最終發(fā)現(xiàn)與誘導公式的聯(lián)系.通過本課時的教學，可以使學生在進一步掌握圖象特征的同時，加深對正弦函數(shù)及其誘導公式的理解，既是對以前所學知識的梳理，也為后面進一步學習和理解“由已知三角函數(shù)值求角”奠定基礎(chǔ).2．關(guān)于教學設(shè)計本課時我采用啟發(fā)引導與學生自主探索相結(jié)合的教學方法.在回顧舊知識的基礎(chǔ)上提出新的研究問題，引導學生從形象思維逐步過度到抽象思維，突破教學難點.教學設(shè)計流程圖如下：中心對稱的研究軸對稱的研究中心對稱的研究軸對稱的研究實例分析抽象概括實例分析抽象概括幾何探索數(shù)值檢驗理論證明幾何探索數(shù)值檢驗理論證明正弦曲線的對稱性通過引導學