人教版高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（二）

第一章三角函數(shù)

§1.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(-)

J

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握誘導(dǎo)公式五、六的推導(dǎo)，并能應(yīng)用于解決簡單的求值、化簡與證明問題2

對誘導(dǎo)公式一至六，能作綜合歸納，體會出六組公式的共性與個性，培養(yǎng)由特殊到一般的數(shù)

學(xué)推理意識和能力.3.繼續(xù)體會知識的“發(fā)生”“發(fā)現(xiàn)”過程，培養(yǎng)研究問題、發(fā)現(xiàn)問題、解

決問題的能力.

n問題導(dǎo)學(xué)

知識點一誘導(dǎo)公式五

完成下表，并由此總結(jié)角a,角胃一a的三角函數(shù)值間的關(guān)系.

八、.兀1711.兀兀

(l)siiig=2，cosg=2，sin^=cos^；

?兀正兀巫.兀71

cos=sin^cos^；

(2)smz=2，42'

⑶si導(dǎo)坐，遍子,.兀71

S1丐=cos4.

由此可得

誘導(dǎo)公式五

sin(—―a)=cosa,

/兀\?

cos(---a)=sma.

知識點二誘導(dǎo)公式六

思考能否利用已有公式得出3+a的正弦、余弦與角a的正弦、余弦之間的關(guān)系？

答案以一a代替公式五中的a得到

.(I兀、

sin(a十立尸cos(—a),

cos(a十］尸sin(la).

由此可得

誘導(dǎo)公式六

sin（6Z+'）=cosa,

.兀、

cos?H——）=-sina.

知識點三誘導(dǎo)公式的推廣與規(guī)律

33

1.sin(］兀~a)=~cosa,COS與TI-a)=~sina,

33

sin卬i+a)=~cosa,cos+a)=sina.

2.誘導(dǎo)公式記憶規(guī)律：

公式一~四歸納：a+2E(%￡Z),~a,兀士。的三角函數(shù)值，等于角a的同名三角函數(shù)值，前

面加上一個把a(bǔ)看成銳角時原函數(shù)值的符號，簡記為：“函數(shù)名不變，符號看象限”.

公式五?六歸納：5土a的正弦(余弦)函數(shù)值，分別等于a的余弦(正弦)函數(shù)值，前面加上一個

把a(bǔ)看成銳角時原函數(shù)值的符號，簡記為：“函數(shù)名改變，符號看象限”或“正變余、余變

正、符號象限定”.

六組誘導(dǎo)公式可以統(tǒng)一概括為'*T±a(%eZ)”的誘導(dǎo)公式.

記憶口訣：奇變偶不變，符號看象限.其中“奇、偶”是指左紅a/GZ)中k的奇偶性，當(dāng)k

為奇數(shù)時，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)上為偶數(shù)時，函數(shù)名不變.“符號”看的應(yīng)該是誘導(dǎo)

公式中，把a(bǔ)看成銳角時原函數(shù)值的符號，而不是a函數(shù)值的符號.

2題型探究

類型一利用誘導(dǎo)公式求值

例1⑴已知cos（兀+a）=—。為第一象限角，求cose+a）的值.

（2）已知cose一a）=g,求cos借+a）sin信一a）的值.

解（1）*.*cos（7i+a）=—cosa=—

cosa=T，又a為第一象限角,

則cos6+a}=—sma=-^/l—cos2oc

反思與感悟?qū)τ谶@類問題，關(guān)鍵是要能發(fā)現(xiàn)它們的互余、互補(bǔ)關(guān)系：如尹a與親+a,j+a

與聿一a,a與號+a等互余，冷+0與中一。，彳+0與竽一0等互補(bǔ)，遇到此類問題，不妨考

慮兩個角的和，要善于利用角的變換來解決問題.

跟蹤訓(xùn)練1已知sin《+a）=坐，求cos停一a）的值.

缶刀??兀II兀兀

用牛?4十a(chǎn)十g—a=],

類型二利用誘導(dǎo)公式證明三角恒等式

—丁tan（2兀-oc）sin（—2兀一a）cos（6兀-a）

例2求證：（0（O=—tana.

sm（a十ZIcoslI

證明???左邊=

tan(—a)-sin(—a)-cos(—a)

(—tan?)?(—sina>cosa

sin2a

一cosasinacosa

—tana=右邊.

原等式成立.

反思與感悟利用誘導(dǎo)公式證明等式問題，關(guān)鍵在于公式的靈活應(yīng)用，其證明的常用方法：

(1)從一邊開始，使得它等于另一邊，一般由繁到簡.

(2)左右歸一法：即證明左右兩邊都等于同一個式子.

(3)湊合法：即針對題設(shè)與結(jié)論間的差異，有針對性地進(jìn)行變形，以消除其差異，簡言之，即

化異為同.

cosl

葉

跟蹤訓(xùn)練2求證:ST

1—2sin2（7t+0）

tan（9兀+6）+1

tan（兀+。）一1?

—^j-（—sin3）—1

證明因為左邊=

l-2sin26>

2sin兀+6一sin0—1

1—2sin20

—2sin?！?）sin6—1__2cos6sinOT

l-2sin26>—cos28+sin2e—2sin2。

（sin/+cos夕產(chǎn)sin8+cos°

sin20—cos2^sincosO'

,.tan。+1sin6+cose

右邊=7~Z-T

tan0—1sincosff

所以左邊=右邊，故原等式成立.

類型三誘導(dǎo)公式在三角形中的應(yīng)用

例3在△ABC中，sin—―=sin—產(chǎn)，試判斷△ABC的形狀

解VA+B+C=7t,

Z.A+B—C=7i—2C,A—B+C=7c—2B.

A+B-C.A-B+C

Vsin-----------=sin,

.71-2C.71—2B

sin_2-=sin--

7171

sin（2—C）—sin（2-B）,

即cosC=cosB.

又?：B,。為△ABC的內(nèi)角，AC=B,

.?.△ABC為等腰三角形.

反思與感悟解此類題需注意隱含的條件，如在△ABC中，A+B+C=n,結(jié)

A+BC

合誘導(dǎo)公式得到以下的一些常用等式:sin(A+3)=sinC,cos(A+B)=—cosC,sin———cosy,

A+BC

cos_2—=sin,.

跟蹤訓(xùn)練3在△ABC中，給出下列四個式子：

①sin(A+8)+sinC；

②cos(A+B)+cosC；

③sin(2A+25)+sin2C；

@cos(2A+2B)+cos2C.

其中為常數(shù)的是()

A.①③B.②③C.①④D.②④

答案B

解析①sin(A+B)+sinC=2sinC；

②cos(A+3)+cosC=~cosC+cosC=0；

(3)sin(2A+IB)+sin2C

=sin[2(/4+B)]+sin2C

=sin[2(n—Q]+sin2C

=sin(27i—2Q+sin2C

=—sin2C+sin2C=0；

@cos(2A+IB)+cos2C

=cos[2(A+B)]+cos2C

=cos[2(n—Q]+cos2C

=COS(2TI—2C)+cos2C

=cos2C+cos2C=2cos2C.

故選B.

類型四誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用

JI

sin(?！猳t)cos(-o)sin(]+a)

例4已知仙尸一?os(無+小詛—a)—'

(1)化簡/a)；

3

(2)若角A是△ABC的內(nèi)角，且兀4)=亍求tanA—sinA的值.

&力…?、sinacosacosa

用牛(1)/(?)=7：；=cosa.

八—cosa(—sina)

3

(2)因為兀4)=cosA=5，

又A為△ABC的內(nèi)角，

所以由平方關(guān)系，得sinA=A/1—COS2A=予

七…4sinA4

所以tanA=—T=T,

LUSZ1J

448

---

3-5

15

反思與感悟解決此類問題時，可先用誘導(dǎo)公式化簡變形，將三角函數(shù)的角統(tǒng)一后再用同角

三角函數(shù)關(guān)系式，這樣可避免公式交錯使用而導(dǎo)致的混亂.

跟蹤訓(xùn)練4已知sin。是方程5A2—7x—6=0的根，a是第三象限角，求

3

解方程5A2—7x—6=0的兩根為％i=—孕尬=2,

4

,3-

由。是第三象限角，得sina=—§,則cosa=5

cosa(—sina)

?tan2a

sinacosa

__sin2a9

=.tan2a

cos2a16'

3當(dāng)堂訓(xùn)練

則cos（a+§的值為（）

R”

B.3

D.—T

答案D

2.若cos（2兀一a）=3，則sin（g—a）等于（）

A-一害B.-|

C當(dāng)D呼

答案A

..亞

角軍?COS（2TI——（Z）—cos（（%）~~cosa=3，

??網(wǎng)、—小

..sin（^~一a）一—cosa一—.

兀

sin（］+。）—COS（K—6）

3.已知tan8=2,則----------------等于（）

sin（2—8）一sin（7i一。）

A.2B.-2

D.|

C.0

答案B

兀

sine+0）—cos（%—6）cos6+cos0

解析

./兀八、./八、cossin6

sin（2—"）-sin（7t—”）

22

----------7=------=—2

1—tan01~2

71

4.已知cosl]+a）=2sin（a

sirP（兀一Q）+cos（a+7i）

求的值.

解,.,COSQ'4

—sina——

sin?=2cosa,即tana=2.

sin3（7i—a）+cos（a+兀）

___________sin%—cosa

5cos(2兀+卷-a)+3sin(4兀一冷一a

_______sin%—cosa_____

一m\.r兀i、

5cos(g-aI—3sinl2?J

si/a—cosasin^z-tana-1

5sina-3cosa5tana~3

2sin2a-12sin2a—1

=10-3=7

2sin2a-(sin2a+CO/Q)

7(sin2a+cos2ot)

sin2a-cos2atan2a—1

7(sin2a+cos2a)7(tan2a+1)

4-13

=7X(4+1)=而

3兀

tan(2兀-o()cos('2_—a)cos(6兀-a)

5.求證：豆豆=—tana.

sin(a+g)cos(a+旬

3兀

tan(2?i—a)cos(~^~—a)cos(6兀-a)

證明因為左邊:-----------端-------端-----

sin(ot+^~)cos(ot+-y)

tan(—a)(—sina)cosa

-cosotsina

—tanasmoccosa,一

-：=—tand=右邊,

cosasma

所以原等式成立.

規(guī)律與方法」

1.誘導(dǎo)公式的分類及其記憶方式

(1)誘導(dǎo)公式分為兩大類：

①a+左，2兀，—a,a+(2左+1)兀(女￡Z)的三角函數(shù)值，等于a的同名三角函數(shù)值，前面加上一

個把a(bǔ)看成銳角時原函數(shù)值的符號，為了便于記憶，可簡單地說成“函數(shù)名不變，符號看象

限”.

7Tjr

②a+],—a+]的三角函數(shù)值，等于a的異名三角函數(shù)值，前面加上一個把a(bǔ)看成銳角時原

函數(shù)值的符號，記憶口訣為“函數(shù)名改變，符號看象限”.

TT

(2)以上兩類公式可以歸納為：k'+a/dZ)的三南函數(shù)值，當(dāng)左為偶數(shù)時，得a的同名函數(shù)

值；當(dāng)上為奇數(shù)時，得a的異名函數(shù)值，然后在前面加上一個把a(bǔ)看成銳角時原函數(shù)值的符

_號_

2.利用誘導(dǎo)公式求任意角的正弦、余弦函數(shù)值，常采用“負(fù)角化正角，大角化小角，最后轉(zhuǎn)

化成（0,分7T內(nèi)的三角函數(shù)值”這種方式求解.

JT

用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為0到冷之間的角的三角函數(shù)的基本步驟：

課時作業(yè)

一、選擇題

5兀]

1.已知sin(為~+a)=m，那么cosa等于()

A.-|B-1

C.|D.|

答案C

5兀1

解析sin(~2~+a)=cosa,故cos故選C.

3兀3

2.已知cos(?~+a)=—5，且a是第四象限角，則cos(—37i+a)等于()

人4-4

A.§B.—

43

C.±5D.g

答案B

3兀3

角星析Vcos(-+a)=sina,sina=一『

_------------4

又a為第四象限角，cos。=勺1—sin2a=g,

cos(—37i+o()—cos(7i-a)=—cosa=—亍故選B.

3.若角A,B,C是△ABC的三個內(nèi)角，則下列等式中一定成立的是()

A.cos(A+B)=cosCB.sin(A+B)=—sinC

A+C.D屈臂一搟

C.cos;-―2-=sinB

答案D

解析VA+B+C=7i,.*.A+B=7i—C,

.'.cos(A+B)=—cosC,sin(A+3)=sinC,故A,B項不正確;

A+C兀-B

?????

?A+C=7i—5,22

A+C故項不正確;

??-=cos(^—^)=sin-1,C

cos2

???5+C=7i—A,

B-\~C7iAA,,.

sin—2—-sin(2—^)=cos^,故D項正確.

4.已知銳角a終邊上一點尸的坐標(biāo)是(2sin2,-2cos2),則a等于()

A.2B.-2

C.2-^D,^-2

答案C

2sin2

解析cosa—sin2,

-\/(2sin2)2+(—2cos2)2

TT

,:a為銳角，*.a=2—y

5.已知/(sinx)=cos3x,則/(cos10。)的值為()

A.-gC.一坐

答案A

角星析/(cos10o)=y(sin80。)=cos240°

)

答案C

解析*.*sin(7i+a)+cos^+=_sina—sina

m

—一m,???.sina_一g.

；@兀-?！?/p>

故cos|a)+2sin(2a)=-sina—2sina

3m

—3sina

二、填空題

7.若cosa=g，且a是第四象限角，則cos(a+?=.

宏安

1=1木5

解析Vcos?=|,且a是第四象限角,

sina=~^/l—cos2a=—

cos（a+習(xí)=-sina

8.sin2l°+sin22°H---Fsin288°+sin289°=.

答案學(xué)

解析原式=（sin210+sin289°）+（sin220+sin288°）4——卜（sin244°+sin246°）+sin245°

…189

=44+1=g.

9.已知tan（3兀+a）=2,則

sin（a-37i）+cos（兀-a）+sin^ja）—2cos仔+a

—sin（—a）+cos（7i+a）

答案2

解析因為tan（3兀+a）=tan（兀+a）=tana=2,

〃zh上sinatana2

所以原式=~="7=Z7=2.

sincosatana—12—1

10.在△ABC中，y[3sin^-AJ=3sin（7i—A）,且cosA=一小cos（兀-3）,貝!JC=

宏案-

口木2

解析由題意得小cosA=3sinA,

cosA=d§cosBf②

由①得tanA**?

71

COST1

由②得cosB—2>?*?B=y

三、解答題

11.已知角a的終邊經(jīng)過點P(—4,3),求

71

cos(]+(z)sin(~7i—a)

的值.

,1171、./9兀,、

C0S(-^--a)sm(5-十a(chǎn))

解???角a的終邊經(jīng)過點尸(一4,3),

???tanaJ=T，

cos仿+a)sin(—n—a)

cos(-^--a)sin(^~+a)

—sinasina

=tana

—sinacosa

3

~~4'

AA5KA60f-,7i7i,土

12.已矢口sinl-2—al-cosl-a且不1<5，求|vsina與cosa的值.

.._60

..sinoc-cosot=Ygg,

120_

pmp2sina-cos①

又〈sin2a+cos2oc=1,②

289

①+②得(sina+cosa)2=y^,

49

②一①得(sina-cos

(兀琮

X4,2)9??sina>cosa>0,

即sina+cosa>0,sina—cosa>0,

17

sinot+cosa=F，③

sina—cos1=看④

125

③+④得sina=百，③一④得cosa=y^.

13.已知sin（7i+a）=—g.計算:

⑴cos。-苧）；（2）sin醛+a）；（3）tan（5兀一a）.

解sin（K+a）=—sina=-^,sinQ=g.

a）=-sinT

（l）cosl0（

cos2a=l-sin2a=l-1=|.

（2）sincosoc,

，a為第一或第二象限角.

71_2^2

①當(dāng)a為第一象限角時,sin彳+a—cosa—3.

2

2y[2

②當(dāng)a為第二象限角時,cosa

3-

（3）tan（57i-a）=tan（7i—a）=—tana,

Vsi