湖北省沙市2024-2025學(xué)年高三年級上冊9月月考數(shù)學(xué)試題

2024—2025學(xué)年度上學(xué)期

9月月考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選

項(xiàng)是正確的.請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.集合加=k6叫％2<15},若MDN={H0KX<5},則集合N可以為（）

A.{4}B.1x|4<%<5}C.{x[0<x<5}D.{刈乂<5}

2.若復(fù)數(shù)z=l—i+i2—i3+...+i2022—i2023+j2024,則忖=（）

A0B.y/2C.1D.2

3.已知忖=2同，若z與石的夾角為60。，則21-5在5上的投影向量為（）

1r1-3-3-

A.—bB.——bC.——bD.—b

2222

4.純電動汽車是以車載電源為動力，用電機(jī)驅(qū)動車輪行駛，符合道路交通、安全法規(guī)各項(xiàng)要求

的車輛，它使用存儲在電池中的電來發(fā)動.因其對環(huán)境影響較小，逐漸成為當(dāng)今世界的乘用車

的發(fā)展方向.研究發(fā)現(xiàn)電池的容量隨放電電流的大小而改變，1898年P(guān)eukert提出鉛酸電池的

容量C、放電時(shí)間/和放電電流/之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式：C=/什，其中2為與蓄電池結(jié)構(gòu)有關(guān)

的常數(shù)（稱為Peukert常數(shù)），在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流為7.5A時(shí)，放電時(shí)間為

60h；當(dāng)放電電流為25A時(shí)，放電時(shí)間為15h,則該蓄電池的Peukert常數(shù)幾約為（參考數(shù)據(jù)：

1g2?0.301,1g3?0.477）（）

A.1.12B.1.13C.1.14D.1.15

6.已知函數(shù)/0）=0：2+奴+加111%20恒成立，則實(shí)數(shù)。的最小值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

7.函數(shù)/（%）=111料—1|與函數(shù)g（x）=sin]x的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.6B.7C.8D.9

8.斐波拉契數(shù)列因數(shù)學(xué)家斐波拉契以兔子繁殖為例而引入，又稱“兔子數(shù)列”.這一數(shù)列如下定

義：設(shè){0“}為斐波拉契數(shù)列，q=lM2=l,aa=%+a“_2（，N3,"eN*）,其通項(xiàng)公式為

ifi+M

設(shè)?是log2［（l+如『一（1一君）］<x+4的正整數(shù)解，貝IJn的最

大值為（）

A.5B.6C.7D.8

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.給出下列命題，其中正確命題為（）

A.已知數(shù)據(jù)大、%、尤3、…、占0,滿足：％-%_］=2（24*10）,若去掉王、士0后組成一組新數(shù)

據(jù)，則新數(shù)據(jù)的方差為168

B.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（1,4）,P（X>I.5）=0.34,若尸（x<a）=0.34,貝lJa=0.5

66

c.一組數(shù)據(jù)（4其）?=1,2,3,4,5,6）的線性回歸方程為3；=2%+3,若?,=30,則±y=63

1=11=1

D.對于獨(dú)立性檢驗(yàn)，隨機(jī)變量/的值越大，則推斷“兩變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率越小

10.如圖，棱長為2的正方體A2CD-ABG2中，E為棱的中點(diǎn)，

斤為正方形GCD2內(nèi)一個(gè)動點(diǎn)（包括邊界），且用尸//平面ABE,則

下列說法正確的有（）_

A.動點(diǎn)尸軌跡的長度為&

B.8/與不可能垂直

C.三棱錐耳-2Eb體積的最小值為g

D.當(dāng)三棱錐與-ROF的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為F兀

11.已知拋物線C:y2=2/（0>0）的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)。，直線/經(jīng)過/且與C交于

A,B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，線段AF的中點(diǎn)M在V軸上的射影為點(diǎn)N.若|MN|=|NF|,

貝（）

A./的斜率為6B.△ABD是銳角三角形

C.四邊形朋M用的面積是Jip2D.忸斗|網(wǎng)>|FD/

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若“七0?1,4］使片-咻+4〉0”為假命題，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為.

13.在AA5C中，BC=6ZA=-,D為線段AB靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，E為線段CD的中

3

點(diǎn)，若麗△品，則樂■/的最大值為.

4

14.將123,4,5,6,7這七個(gè)數(shù)隨機(jī)地排成一個(gè)數(shù)列，記第，項(xiàng)為q?=l,2,…,7),若%=7

%+電+%<%+&+%,則這樣的數(shù)列共有個(gè).

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若4sinA-加inBucsinlA-B).

(1)求。的值;

y/3(b2+c~-a2

(2)若△ABC的面積為一-----------,求△ABC周長的取值范圍.

4

16.已知正項(xiàng)數(shù)列(??｝的前〃項(xiàng)和為S.,且1+2a-n=25,,.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

b+]

(2)設(shè)a=2〃”-1,若數(shù)列｛cn｝滿足cn=廠1,且數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為Tn,若

"d2+1

1-Tn<---恒成立,求2的取值范圍.

5+2)

17.如圖所示，半圓柱。。|與四棱錐A-BCDE拼接而成的組合體中，F(xiàn)是半圓弧BC上(不含

B,C)的動點(diǎn)，F(xiàn)G為圓柱的一條母線，點(diǎn)A在半圓柱下底面所在平面內(nèi)，

OB=2OOl=2,AB=AC=2y/2.

(1)求證：CG±BF；

(2)若。尸//平面ABE,求平面R9D與平面GOD夾角的余弦值；

(3)求點(diǎn)G到直線OD距離的最大值.

18.已知雙曲線E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，漸近線方程為＞=土芋x,點(diǎn)(-2,1)在雙曲線E上.互相垂

直的兩條直線//均過點(diǎn)尸(。.，。(4＞應(yīng)，且直線4交E于A8兩點(diǎn)，直線4交

E于C,。兩點(diǎn)，M,N分別為弦AB和C。的中點(diǎn).

(1)求E的方程；

(2)若直線MN交x軸于點(diǎn)2(r?,0)(?eN*),設(shè)p“=2".

①求:；

2〃

②記4=|PQ|,2=2〃-l(〃eN)求￡及「(-1/卜.

k=\

19.如果函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)為尸(x)=/(x),可記為J/(x)dx=F(x),若/(x)＞0,則

b

「(無)公=尸修)-尸(a)表示曲線y=〃x),直線X=a,x=b以及X軸圍成的“曲邊梯形”的

a

2

面積.如：J2xdx=d+C,其中C為常數(shù)；j2x^=(22+C)-(O+C)=4,則表

0

X=0,X=l,y=2x及X軸圍成圖形面積為4.

⑴若〃x)=J(e，+l)dx,"0)=2,求〃力的表達(dá)式;

(2)求曲線y=/與直線y=r+6所圍成圖形的面積；

(3)若/(x)=ex-l-2mx,XG[0,+＜X)),其中m^R,對VaZ?G[0,+O?),若〃＞人，都滿足

ab

j/(x)dx>j/(^)d.￥,求機(jī)的取值范圍.

00

1.C

\2024+1.2024.i?

.、JTX(T')=l±i=l

-l-(-i)1+i1+i

3.B

4.D【詳解】由題意知C=7.知x60=25*xl5,

所以（Til=［；［=1=4，兩邊取以10為底的對數(shù)，得21gm=21g2,

21g22x0.301

所以彳=?1.15

l-lg31-0.477

5.C【詳解】因?yàn)閏osa￥<孝,所以小黃)，則sina普

所以sin2a=2sinacosa==g,cos=1—2sin」er=1—2x[]=—■!<(),貝(]2a，

因?yàn)椤ā?。，兀)，所以=+廣￡[^彳]又0<sin(a+4)=貝(Ja+尸￡兀],

所以cos(a+4)=-Jl-sin2(a+夕)=-，故sin(^-B)=sin(2a-(a+￡))=sin2acos(a+/?)-cos2asin(a+/3)

=9卜哈卜(用、落一卓因?yàn)樾?/)，即(。，兀)，所以"作v,g則。-尸=-：

解法二：:sing+mvsing+^IOMCosaM^^,：?兀>B>%>a、：.-/<a-B、故選C

6.B【詳解】?//(x)20恒成立，設(shè)式的二爐+依+人，則當(dāng)％>1時(shí)g(x)>。，。<工<1時(shí)

g(D=0l+a+b=Q=>a=-l-b

g(x)<o,即《ciN—1

為(。)《?！痓<Q

7.A【詳解】設(shè)/(x)=%(x),g(x)=/?2(x),/(x)的定義域?yàn)椴穦卜卜1},

①當(dāng)x"時(shí)，/(x)=ln||x|-l|>ln3>l>g(x)=sin-^x,此時(shí)/(x)的圖象與g(x)的圖象沒有交

點(diǎn),

②當(dāng)2cx<4時(shí)，/(x)=ln||A-|-l|>lnl=0>g(x)=sin,此時(shí)兩圖象沒有交點(diǎn)，

③當(dāng)x=2時(shí)，f(x)=In||x|-1|=In1=0=sin7T=g(x)=sin,此時(shí)兩圖象有一個(gè)交點(diǎn),

④當(dāng)0<x<2時(shí)，/(x)=ln||x|-l|<lnl=0<g(x)=sin^,此時(shí)兩圖象沒有交點(diǎn)，

⑤當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=In||x|-1|=In1=0=sin0=g(J;)=sinx,此時(shí)兩圖象有?一個(gè)交點(diǎn),

⑥當(dāng)-l<x<0時(shí)，/(x)=ln||x|-l|=ln(x+l),g(x)=singx,設(shè)/z(x)=/(%)-g(x)

,,,

A(x)=-二cos/x在(—1,0)上單調(diào)遞減，/z'(0)=/(0)-1?(0)=l--<0,且x趨于—1

時(shí)，”(九)趨于正無窮，，存在/e(—l,0)使得"5)=0,且xe(Xo,O)時(shí)"(x)<0,

Mx)在(xo,O)上單調(diào)遞減，.??勿>)>〃(0)=0,即/(%)>g(x),

結(jié)合以上分析，畫出/(久)，9(久)在(-1,0)上的函數(shù)圖象可知，兩圖象在(-1,0)上有一個(gè)交點(diǎn)，

⑥當(dāng)-2<x<-1時(shí)，由對稱性可知，兩圖象在(-2,-1)上有一個(gè)交點(diǎn)，

⑧當(dāng)x=-2時(shí)，f(x)=ln||x|-l|=lnl=0=sin(-it)=g(x)=sin^x,此時(shí)兩圖象有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)Y<x<-2時(shí)，f(x)=ln||x|-l|=ln(-x-l),g(x)=singx,注意到

/(—3)=1112Vg(—3)=1,

畫出f(x),g(x)在(T,-2)上的函數(shù)圖象可知，兩圖象在(T,-2)上有一個(gè)交點(diǎn),

⑨當(dāng)xVT時(shí)，/(x)=ln||x|-l|>ln3>l>g(x)=sin^x,此時(shí)兩圖象沒有交點(diǎn)；

綜上所述，函數(shù)〃司=111忖-1|與函數(shù)g(x)=sin]x的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為6.

8.A【詳解】由題知〃是log21(l+0)*一(1一百)[<》+4的正整數(shù)解，

+4

故log2[(l+石)”一(1一石)[<〃+4,取指數(shù)得(1+百)"一0一式)"<2",

同除，“竽HT”,故更d喑;尹,即%嘖”,

根據(jù)｛%｝是遞增數(shù)列可以得到｛。；｝也是遞增數(shù)列，于是原不等式轉(zhuǎn)化為片<：x28<52.

而%=5q=8可以得到滿足要求的〃的最大值為5,故A正確.

9.BD【詳解】對于A選項(xiàng)，去掉石，/后的平均數(shù)為“%…+蒞=包子=%+9,

OO

方差為(%f-9)2+(二f-9)2+…+伍f-9)2=21,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

8

對于B選項(xiàng)，由于隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(l,4),P(X>1.5)=0.34,

則P(X<a)=P(X>1.5)=0.34,a,1.5關(guān)于1對稱，則a=0.5故B選項(xiàng)正確；

6

對于C選項(xiàng)，因?yàn)?,=30,所以：=5,又因?yàn)榛貧w方程為y=2x+3,

Z=1

6

所以7=2x5+3=13,所以￡%=13X6=78,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

Z=1

對于D選項(xiàng)，對于獨(dú)立性檢驗(yàn)，隨機(jī)變量/的值越大，則兩變量有關(guān)系的程度的錯(cuò)誤率更低，

故步越大，判定“兩變量有關(guān)系”的錯(cuò)誤率更低，D選項(xiàng)正確.故選:ABD.

10.ACD【詳解】對A,如圖，令CG中點(diǎn)為中點(diǎn)為N,連接跖V,

又正方體A2CD-ABGR中，E為棱的中點(diǎn)，飛得B'MIAE,MNIICD'HBA,

BXMII平面BA]E,MNII平面BA】E,又BXMQMN=M,

且4",MNu平面BXMN,/.平面BXMN//平面B^E,

又4b//平面ABE1,且用￡平面耳MN,.,.耳尸u平面,

又尸為正方形內(nèi)一個(gè)動點(diǎn)(包括邊界)，二尸￡平面與MNA平面GC。，，而MV=平面

:.FwMN,即尸的軌跡為線段跖V.

由棱長為2的正方體得線段MN的長度為&,故選項(xiàng)A正確；

對B,當(dāng)尸為線段肱V中點(diǎn)時(shí)，由4M=4N可得又CG中點(diǎn)為中點(diǎn)為N,

.-.MNHD.C,而AB//，C,.?.4/，48,故選項(xiàng)8不正確；

對C,由正方體側(cè)棱B￡，底面ClCDDl,三棱錐B,-D、EF體積為V=^B1Cl-S^FE=js^FE,

所以AO/E面積5皿在最小時(shí)，體積最小，如圖，易得廠在N處時(shí)川可￡最小，

此時(shí)邑語=；%*=；，所以體積最小值為:，故選項(xiàng)C正確；

對D,如圖，當(dāng)尸在M處時(shí)，三棱錐耳-的體積最大時(shí)，

由已知得此時(shí)RD=FR=F4=6,所以/在底面的射影為底面外心，

=2,=20,。旦=273，所以底面瓦。。為直角三角形，

所以尸在底面耳。A的射影為瓦。中點(diǎn)，設(shè)為?！溉鐖D，設(shè)外接球半徑為R,

由斤=OO；+。招：=OO：+3,R+OO1=FOl=y/2，可得外接球半徑R=手，

外接球的表面積為4萬代兀，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.

即可/，。

則￡乎可得，因?yàn)楹?|NF|,^\MN\^\NF\^\MF\,

可知A〃NF為等邊三角形，即NMWF=60。，

且肱V〃x軸，可知直線/的傾斜角為60。，斜率為Jt=tan6（）o=5/L故A正確；

X-P.

X=^P6

則直線/：>=解得2或,

73’

y=y/3p

y=-TP

即A(要?jiǎng)t,B,則Mp,%1,N0,爭

可得口司=p,\AD\=^p,\BD\=^-p,\FA\=2P,|郎=|p,|=|p,

在△ABD中，囪<|叫<阿，5_|BD|2+|AD|2-|AB|2<0,

可知4￡出為最大角，且為銳角，所以△ABD是銳角三角形，故B正確；

12

四邊形ACVDf的面積為SMNDF=SABDF+SAMNF=^xpx^-p+^x^-pxp=^-p,故C錯(cuò)誤；

因?yàn)橄?m=",所以忸同.|陽萬陽『，故D正確；

故選：ABD.

12.［5,+QO）【詳解】因?yàn)椤??1,4］使片-叼）+4>0”為假命題,

所以“Vxe［l,4］,爐—狽+4wo”為真命題，其等價(jià)于。石+3在［1,4］上恒成立，

X

又因?yàn)閷春瘮?shù)/（x）=x+&在［1,2］上單調(diào)遞減，在［2,4］上單調(diào)遞增，

X

而/。）=/（4）=5,所以/（尤）S=5,所以。25,即實(shí)數(shù)。的取值范圍為［5,+8）.

14.360【解析】?「1+2+3+4+5+6=21,.e.<10,

列舉可知：①(1,2,3)……(1,2,6)有4個(gè)；②(1,3,4),…….(1,3,6)有3個(gè)；③

(1,4,5)有1個(gè);④(2,3,4),(2,3,5)有2個(gè);故共有10個(gè)組合，.?.共計(jì)有10x看x制=360

個(gè)這樣的數(shù)列。

15.【解析】(1)設(shè)4=必，?〉0),在△ABC中，由正弦定理得a=2R-sinA,Z?=27?.sinB,

c=2R-sinC,代入已知化簡得?sin2A-sin2B=sinCsin(A-B),

又在ZkABC中有：sinC=sin(A+B),即Zsin2A-sin2B=sin(A+B)sin(A-B),

【方法一】Vsin(A+B)sin(A-B)=-(cos2A-cos2B)=sin2A-sin2B,

即，sin2A-sin2jB=sin2A-sin25,所以，二1,所以〃=4.

【方法二】丁sin(A+B)sin(A-B)=(sinAcosB+cosAsinB)(sinAcosB-cosAsirLB),

sin(A+B)sin(A-B)=sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2A(^l-sin2Bj_(1_sin2sin2B=sin2A-sin2B

即南112y1-011125=$111274-011123,所以，=1,所以〃=4.

222222

左A人z?廠rh右e_1人-A1^3(Z?+c-?)V3(Z?+c—a}廠

(2)在△ABC中有S=7bcsinA，_^csinA=——-------------sinA=—---------------=V3cosA,

2242bc

A=],由正弦定理得"二^^,sillB,c=^^,sinC,匕+穌.sinB+sin(g-“=8sin^B+^J

因在ZiABC中，A=-,0<B<—,-<sin|B+-|<1,

332I6；

所以，4<b+c<8,當(dāng)A=5=C時(shí)，等號成立，.?.△ABC周長a+Z?+c的取值范圍是(8,12].

16.【解析】⑴；4+2an-n=2Stl,當(dāng)〃之2時(shí)，fl,ti+2G,,.1-(n-1)=2s2,

兩式相減得：?,；+2??--2%—1=2%,整理得%=(??_1+1)2,……4分

2

---??>0,an=an_1+l(n>2)t當(dāng)〃=1時(shí)，?,+2^-l=2alt

=-i(舍)或q=L……6分

是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，則為="；……7分

.y=i—…分由f4高令g(")=H’…”分

則心2時(shí)，g(“)-g(〃-1)=3-胃=<°…13分

所以g⑺<g(n-l),即隨著〃增大，g(n)減小,

所以2?g(")3=g(l)=l15分

17.【詳解】(1)取弧BC中點(diǎn)H，則?！?3C,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線0昆0區(qū)0。1分別為

x，XZ軸建立空間直角坐標(biāo)系，連接。4,在VASC中，BC=4,AB=AC=2丘,OB=OC,則

AO±BC,AO=2,于是0(0,0,0),A(0,-2,0),8(2,0,0),C(-2,0,0),0(—2,0,1),

設(shè)尸(x,y,0),則G(x,y,l),其中/+產(chǎn)=4,了>o,CG=(x+2,y,l),BF=(x-2,j,0),

因此;二一―4+y2=o,即田JL麗，所以CG_L3尸.

由BE_1_平面ABC,ACu平面ABC,得3E_LAC,

XAB2+AC2=BC2,則AB^AC,而ABCBEM8,A8,8Eu平面ABE,

則AC_L平面ABE,即就=(-2,2,0)為平面ABE的一個(gè)法向量，

DF=(x+2,j,-l),由￡(尸〃平面ABE,WOF-AC=-2x-4+2y=0,

fY-Q

Xx2+/i=4,y>0,解得,=2,此時(shí)二(°，2,0)，G(0,2,l),

方.OF=2b=0

設(shè)為=(a,b,c)是平面R9O的法向量，貝IJ—,取a=l,得為=(1,0,2),

n?OD=-2a+c=0

/、mOG=2/+=0/、

設(shè)/=(e,7,g)是平面GOD的法向量，貝I「，取e=l,得/=1,-1,2),

m-OD=-2e+g=0

則平面FOD與平面GOD夾角的余弦值為Icos@,府|=也祖=廠§=叵.

\n\\m\，5x，66

(3)OD=(-2,0,l),OG=(x,j,l),

則點(diǎn)G到直線OD的距離d=]oG=](IT,

\\OD\V5

當(dāng)尤=；時(shí)，即尸的坐標(biāo)為(；,半,0)時(shí)，點(diǎn)G到直線OD的距離取最大值為君.

18.【詳解】⑴???漸近線方程為y=±亨x,可設(shè)雙曲線方程為1—；=42w0),

?.?點(diǎn)(―2,1)在雙曲線E上，二；1=1,所以E的方程為《-丁=1；

2

(2)①當(dāng)直線k4中又一條直線的斜率為0,另一條直線的斜率不存在是，

不符合題意；所以直線乙，4的斜率均存在且不為0,

N（XN，％），設(shè)4的方程為x=my+2",由

x=my+2”

x2,，得（my+2"）2—2/=2=>（加2—2）/+2"+1?相-y+22"—2=0

-----y2=1

12J

2n+'-mr-mj.j2n-m

'''A>0怛成立,%+%='=匚而

n

.2"+i2"?機(jī)、同理（2_向?冬nr,巴2-烏m）

?,M1-----j，--2_，N—

m'-2m"-21-2m-1-2m‘

2

因?yàn)镸、N、。三點(diǎn)共線,所以yM（X—/）=%（乙一為），tn（療+1）=2"+1（rn+l）

化簡得：4=2同；

解法二：設(shè)4的方程為y=M尤-pj伏HO）,4（X1，y。B（x2,y2）.加國，加），N（xN,yN）,

y^k（x-p）

n，

由,，尤2,,得0-2左2）尤2+必//-2左2加一2=0,貝h-2/w0,所以玉+%=-4k,

-----V=1l-2k2

[2J

Xj+x_—2k~pb2kM一切"

所以x=2n,則加=、％-0"）=、

M2l-2k2、1—2/l-2k2,

-2左2p“~kp"~~2p“kp“]

所以Mn,同理可得知

l-2k2，「2吃/—2'E—2）,

因?yàn)镸、N、。三點(diǎn)共線，所以yN（XN-XM）=（yN-%J（XN-。），

-2k，,kp“-2p"-kp”

1一2左2甘一2甘一21一2左2

又打一VMW。，所以乙=川-川=2?！埃?/p>

y-y