福建省2025屆高三高考模擬數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

福建省2025屆高三高考模擬數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合/=卜,一心+7W0},集合八{(lán)4/一10>+16<0},則/口3=（）

A.{x|7<x<8}B.{x|7<x<8}C.[x\2<x<7}D.{x[2<x<7}

2.已知復(fù)數(shù)2（i是虛數(shù)單位），貝心的共軌復(fù)數(shù)是（）

2+31

31.51._53.34.

A.----1----iB.-----1----iC.----1----iD.----1----i

1313131313131313

3.已知向量/=（1,-2）方=（2,x）,若（3,-孫生+2孫則實數(shù)x=（）

A.2B.1C.0D.-4

4.方程sin（x-m）=sinr-sinm在[0,2兀]內(nèi)根的個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

5.已知某圓臺上下底面半徑（單位：cm）分別為2和5,高（單位：cm）為3,則該圓臺

的體積（單位：cn?）是（）

113K115兀-117兀119兀

A.------B.------C.------D.------

3333

6.對任意的實數(shù)以?0,2],不等式（廠2乂廠3+?7）>0恒成立，則x的取值范圍是（）

A.x<l或x〉3B.x<l或x〉2C.%<2或x〉3D.R

7T

7.在鈍角VNBC中，C=~,AC=4則BC的取值范圍是（）

6f

A.（0,?）B.（2后半）

C.（0,2向U（T，+WD.（4,苧）

8.當(dāng)x>l時，（4左一l—lnx）x<lnx—x+3恒成立，則整數(shù)左的最大值為（）

A.-2B.-1C.0D.1

二、多選題

9.已知隨機(jī)變量X,匕其中y=3X+l,已知隨機(jī)變量X的分布列如下表

試卷第1頁，共4頁

X12345

1J_3

Pmn

10510

若E（X）=3,則（）

Qi

A.加=扁B.?=|C.￡（y）=10D.D（y）=21

10.下列命題中正確的是（）

A.函數(shù)y=l-sin2x的周期是兀

JT

B.函數(shù)y=l-cos2x的圖像關(guān)于直線》=色對稱

4

C.函數(shù)＞=2-sinx-cosx在盧，兀］上是減函數(shù)

4

D.函數(shù)y=cos（2022x--）+V3sin（2022x+與的最大值為1+百

36

2

11.已知雙曲線C：*-r=1（。＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，耳，P為雙曲線C右支上的

動點(diǎn)，過P作兩漸近線的垂線，垂足分別為A,B.若圓（x-2『+/=i與雙曲線C的漸近

線相切，則下列命題正確的是（）

A.雙曲線C的離心率°=述

3

B.丹卜|尸耳為定值

C.|力用的最小值為3

D.若直線y=4］X+機(jī)與雙曲線c的漸近線交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)。為的中點(diǎn)，OD

（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為色，則后上=；

三、填空題

12.已知/（x）=sinoxcosox-6cos（0＞0）,七,尤2是函數(shù)y=/（x）+的兩個零點(diǎn),

77T

且=兀，當(dāng)XC0,—時，/（X）最小值與最大值之和為.

22

13.已知雙曲線］-方=1（°,6＞0）,K，片為雙曲線的左右焦點(diǎn)，過與作斜率為正的直線

交雙曲線左支于力（孫乃），8（如為）（必＜%）兩點(diǎn)，若|N￡|=2a,ZABF2=90°,則雙曲線

試卷第2頁，共4頁

的離心率是.

14.已知平面向量3,3的夾角為6,萬與石的夾角為36,同=1,1和B一萬在B上的投

影為x,y,貝!|x(y+sin。)的取值范圍是.

四、解答題

15.已知銳角48c的三個內(nèi)角4B,C所對的邊為a,b,c,sin(4-8)=cosC.

(1)求角B的大??；

22

(2)求仁*的取值范圍.

16.由正棱錐截得的棱臺稱為正棱臺.如圖，正四棱臺□-44GA中，瓦廠分別為

的中點(diǎn)，43=2/4=4,側(cè)面BBCC與底面N8C。所成角為45。.

AFB

⑴求證：5。1//平面4環(huán)；

⑵線段N8上是否存在點(diǎn)使得直線2"與平面4跖所成的角的正弦值為九5,若存

10

在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.

17.小李參加一種紅包接龍游戲：他在紅包里塞了24元，然后發(fā)給朋友4如果/猜中，

/將獲得紅包里的所有金額；如果/未猜中，/將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友2,如果2猜中，

/、8平分紅包里的金額；如果8未猜中，8將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友C,如果C猜中，/、

3和C平分紅包里的金額；如果C未猜中，紅包里的錢將退回小李的賬戶，設(shè)/、2、C猜

中的概率分別為:，；，；，且/、8、C是否猜中互不影響.

⑴求N恰好獲得8元的概率；

(2)設(shè)/獲得的金額為X元，求X的分布列及X的數(shù)學(xué)期望.

18.設(shè)/=/(x)是定義域為R的函數(shù)，如果對任意的

無I，%?R(無尸超)尤1)-/(》2)]＜?xì)w-可均成立，則稱y=/(x)是“平緩函數(shù)”.

試卷第3頁，共4頁

⑴若,試判斷y="X）是否為“平緩函數(shù)”并說明理由；

（2）已知y=/（x）的導(dǎo)函數(shù)/（x）存在，判斷下列命題的真假:若y=/（x）是“平緩函數(shù)”，則

并說明理由.

⑶若函數(shù)y=是“平緩函數(shù)”，且y=〃x）是以1為周期的周期函數(shù)，證明:對任意的

尤］應(yīng)€口（工產(chǎn)工2）,均有|/（匹）-/（0）|＜；.

19.點(diǎn)列，就是將點(diǎn)的坐標(biāo)按照一定關(guān)系進(jìn)行排列.過曲線C:y=x3上的點(diǎn)2（再,必）作曲線

C的切線4與曲線C交于6（無2，%），過點(diǎn)鳥作曲線c的切線，2與曲線C交于點(diǎn)A（X3J3），

依此類推，可得到點(diǎn)列：6（王,必），鳥（尤2，%）,6（%3，%），…，￡（尤”％），…，已知不=1.

（1）求數(shù)列｛%｝、｛%｝的通項公式；

（2）記點(diǎn)e到直線（即直線勺+￡+2）的距離為力，

,1114

(I)求證：7+丁+…+?。镜叮?/p>

ala2dn9

(II)求證：；+!+…+；＞，［1一』］，若〃值(〃＞0,〃￡N*)與(I)相同，則求此時

4d2dn9V2/

111

%+%+…+乙的最小值?

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案ABDDCACCACAD

題號11

答案ABD

1.A

【分析】先解一元二次不等式，得到集合中元素具體范圍，再由集合運(yùn)算求得/c反

【詳解】集合/=卜卜2一舐+7N0}=,卜41或27},

集合人{(lán)m2Toy+16<0}={引2<”8},

所以/c8={x[7Vx<8}.

故選：A.

2.B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則化簡復(fù)數(shù)z,再根據(jù)共軌復(fù)數(shù)的定義即可得解.

(l+i)(2-3i)_2-3i+2i-3i2_5_i「51_

【詳解】因為Z=酢

(2+3i)(2-3i)--4-9i2―~vT~YT13

所以H

故選：B.

3.D

【分析】借助向量坐標(biāo)運(yùn)算與向量平行的坐標(biāo)表示計算即可得.

【詳解】3a-b=(1,-6-x),a+2b=(5,2x-2),

由(3萬一B)//(萬+2B),則有1義(2%—2)—5x(—6—x)=0,

解得x=-4.

故選：D.

4.D

【分析】先根據(jù)兩角和差的正弦公式進(jìn)行化簡，整體替換得到方程的根;

【詳解】由題意，—sinx-cosx=sinx-=>=—sinx+cosx,

222222

即sin(x+—)=—，可得1+q=3+2也,左GZ,或1+工=&+2也,左GZ,,

“323333

7T

解得x=2kii,k￡Z,或％=—+2kji,kGZ,

3

答案第1頁，共13頁

又因為xe[0,2it],所以尤=0,2兀，

故選：D.

5.C

【分析】由題意，直接利用圓臺的體積公式求解即可.

【詳解】因為圓臺上下底面半徑分別為2cm和5cm,高為3cm,

所以該圓臺的體積為％=^-7ix3x（22+52+2x5）=39兀=口；71cm-

故選：C.

6.A

【分析】通過轉(zhuǎn)換主參變量的方法來求得x的取值范圍.

【詳解】依題意，對任意的實數(shù)機(jī)目0,2],不等式（X—2）（x-3+加）＞0恒成立,

整理得(％—2)加+(%—2)(%—3)>0,令〃(加)=(%—2)冽+(x—2)(x—3),

〃⑼=(x—2)(x—3)>0

則A(2)=2(x-2)+(x-2)(x-3)>0,解得尤<]或

故選：A

7.C

【分析】利用正弦定理、兩角差的正弦公式和正切函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

AC4

【詳解】由正弦定理得「

smZsin5sin5

4—cos3+——sin5

所以22/

4sin/-----------------------二4

sin8sin32tan52,

TT

因為鈍角△力BC中，C=—,

6

兀,5兀八

—<A=-----B<7i

當(dāng)3為銳角時，尸6,得0<5<:，則0<tan8<6,

0c<Bn<—兀3

[2

所以，>立，貝1」^^+也〉逋，所以3c=/亍-

tan532tan52312tan8

答案第2頁，共13頁

當(dāng)2為鈍角時，<，得則tan3<-,

八“5兀八兀263

0<A=---B<—

I62

所以一"<上<o,則0<^J—+立〈也，所以0<3C=41T^+g]<2百;

3tan52tan52212tan82）

綜上：8Ce（0,2j§）U（半，叱）?

故選：C.

8.C

【分析】先說明左=0時不等式對x>l恒成立，再說明左上1時不等式對x=2不成立，即可說

明整數(shù)人的最大值為0.

【詳解】若左=0,貝1J對任意x〉l,由lnx〉lnl=0,知

（4左一l—lnx）x=—x—xlnx<—x<lnx—x+3,故原不等式對％>1恒成立;

若左21,則由ln2<lne=l,知（4左一1—ln2>22（3—In2）,2>2?2=4>ln2+3〉ln2—2+3,

故原不等式對x=2不成立.

所以整數(shù)左的最大值為0.

故選：C.

9.AC

【分析】由分布列的性質(zhì)和期望公式求出九〃可判斷ABC；由方差公式可判斷D.

1132

【詳解】由加+m+^+〃+而=1可得：m+n=~@,

又因為頤y）=E（3X+l）=3E（X）+l=10,故C正確.

113

所以￡（丫）=冽+2義一+3乂一+4〃+5*—=3,

v710510

713

則冽+4〃='②，所以由①②可得：n=—,m=^f故A正確，B錯誤；

D（X）=（1-3）2X—+（2-3）2X—+（3-3）2X-+（4-3）2X—+（5-3）2X—

'710V710V75V710V710

,311313

=4義---Fix----Fix----F44X——二——，

101010105

13117

D（Y）=D（3X+l）=9D（X）=9x—=—,故D錯誤.

故選：AC.

10.AD

答案第3頁，共13頁

【分析】A：根據(jù)正弦型函數(shù)的周期公式進(jìn)行求解即可；

B：根據(jù)余弦型函數(shù)的對稱性的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可

C：利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解判斷即可；

D：根據(jù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合余弦弦型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解判斷即可.

【詳解】A：由正弦型函數(shù)的周期公式可知：該函數(shù)的周期為：=兀，故本命題是真命題；

2

12?l+cos2xI-cos2x人"kitj?、

B：y=l-cosx=l-------------=------------,令：2x=kn(k=x=-^(keZ),

=左=[史Z),所以x=2不是該函數(shù)的對稱軸，因此本命題是假命題；

2424

C：yr=-cosx+sinx=V2sin(x--),由xE[—,TI]=>X--G[0,—1,

4444

即所以該函數(shù)在[J,兀]上是增函數(shù)，所以本命題是假命題；

4

D：y=cos(2022x-y)+VJsin(2022x++=cos(2022x-y)+VJsin(2022x+-1--y)

=V3cos(2022x——)+cos(2022x——)=(1+V3)COS(2022X——),顯然該函數(shù)的最大值為1+y/3,

因此本命題是真命題，

故選：AD

11.ABD

【分析】利用點(diǎn)到直線的距離求出。，可求出離心率，判斷A,利用點(diǎn)到線距離結(jié)合P在雙

曲線上證明|阿?|尸目為定值判斷B,聯(lián)立方程組解出交點(diǎn)坐標(biāo)求出45的距離的最小值判斷

對選項，設(shè)"(三,乂)、則(后強(qiáng)，匕產(chǎn))

C,DN(x2,y2),0,兩式相加和

兩式相減化簡可得9i=巨，=從而得到自鼠=:，可判斷D.

項一/3再+/33

【詳解】雙曲線的漸近線方程為y=±^x,圓與漸近線相切，則上空=1,即0=百，所

aJ1+礦

以c=2,貝隈=空，故A正確；

3

由A選項可得雙曲線的兩條漸近線方程為y=±?x,設(shè)尸(看,為)為雙曲線上任意一點(diǎn)，則

答案第4頁，共13頁

,,I百為+七|I&o+Xo|

2J

半_尤=1,所以尸點(diǎn)到兩漸近線的距離\PA\=L'=-------

j⑹+122

所以|尸削.|尸團(tuán)」鳥°7。|.2了。7。|=回二崗=3為定值,

故B正確;

11112244

過尸(%,%)與漸近線垂直的方程分別與漸近線組成方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo),

'=_&rr

3＞解得父點(diǎn)/(彳/-1■%)，同理得

1

J-y0=V3(x-x0)41

B(lX(i+^.yo^ya+^.Xo),因為尸為雙曲線C右支上的動點(diǎn)，所以/學(xué)班，則

|叫=啟+；"^^1卷故c錯誤；

對D選項，設(shè)〃(三,乂)、N(x2,y2),則。(幺產(chǎn),"1),又M、N在雙曲線的兩條漸近線

必二~rx\+%),即恭=￡兩式相加可得

上,則3,兩式相減可得%-%=

A/3

%=--3"%2

y+y=1(占一馬)，即^^=5，又左質(zhì)="i,所以

力及3V12)%1-%23占-超玉+%2

幽=4-工故D正確.

玉-x2/+x2再+x2x1-x23

故選：ABD

122-3百

?2

【分析】先利用三角函數(shù)恒等變換將函數(shù)化為y=Nsin(ox+e)+3的形式，再由

/(x)+2+"~=0可得sin(2ox-$=-1的兩個零點(diǎn)為玉,馬,再結(jié)合卜-9L,=71可求出函數(shù)

23

的最小正周期，從而可求出。，進(jìn)而可求得結(jié)果.

【詳解】/(x)=sincoxcoscox-6cos2Gx

1.c/r1+cos2cox

=—sm2cox-73x--------------

22

1.,6、6

=—sm2。％---cos2s:--------

222

=sin(2°x-；)-等,

答案第5頁，共13頁

由/(x)+2=0,得sin(2G%-：)-^^+2+^^=0,得$山(2。]一學(xué)二一1,

因為看也是函數(shù)＞=小)+r的兩個零點(diǎn)，且k—L"，

Ojr

所以/'(X)的最小正周期為兀，所以三=兀，得。=1,

2(0

所以f(x)=sin(2x-y)~~~~,

.八7兀.八7兀.7T兀5兀

由xw0?—,得2X￡0,--,貝—,

12J|_oJ3|_36_

所以sin[-；)4sin4sing,得-5Wsin(2x-1,

所以-若Vsinex--V—<1--,

(3)22

所以/'(x)最小值與最大值之和為_舟「當(dāng)="盧,

故答案為：生上尺.

2

13.藍(lán)-2G

【分析】根據(jù)雙曲線的定義分析可知工為等腰直角三角形，且|/兇=忸廠21=2缶，

忸耳|=2(后-1,，結(jié)合勾股定理列式求解即可.

【詳解】因為|皿|=2a,則|/閭=|/|+2a=4a,\AS\=\AF\+\BF^=\BF^+2a=\BF^,

且N/2g=90。，可知△/8g為等腰直角三角形,

則網(wǎng)=此「2缶,忸用=|第一用=2匹一加=2(￡-1》,

且忸父+忸與「=|甲珠,即4(V2-1)2a2+8a2=4c2,

XL

整理可得鼻=5-2行所以雙曲線的離心率5-2V2.

a

答案第6頁，共13頁

故答案為：個5一2亞.

V3-1V2

14.--------,一

42

【分析】根據(jù)題意可知3-1與辦的夾角為2。，從而根據(jù)正弦定理可得B-4=Jw，再根

112cos。

據(jù)投影的定義表示出蒼九最后對x(y+sinO)化簡變形通過正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】因為平面向量萬，B的夾角為。，與&的夾角為36,

所以B-a與B的夾角為2。,

所以根據(jù)正弦定理可得上4=同=i,

sin。sin2。

所以Ezq=^L=____!____,所以卜不二，

sin。sin2。2sin0cos02cos”

O<0<71

TT

因為《0?284兀，所以

3

0<3^<7i

所以Z在B上的投影為x=HcosO=cosO,

B-萬在5上的投影為y等-張。$2。=誓2，

112cos6/

cos2，

所以％（V+sin0）=cos。（-----+sin6）

2cos。

=-cos20+—sin20

22

=^-sin（20+：）

因為04。（百，所以0W28W空，所以火W26+巴V業(yè)，

334412

所以當(dāng)20,5=詈時，x（y+sin。）取得最小值，

口mr/古斗，J5.1171J5,271兀J52兀.兀J3-1

且取少但刃---sin-------=---sin——cos—■I------cos-sin—=--------

2122342344

當(dāng)26+；=］時，x（y+sin。）取得最大值，且最大值為當(dāng)，

所以x（y+sin。）的取值范圍為.

答案第7頁，共13頁

V3-1V2

故答案為:

4F

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查平面向量的綜合問題，考查向量投影，考查三角函數(shù)恒等變

換公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)向量投影的概念表示出xj,考查計算能力，屬于難題.

71

15.(1)5=-；

(2)(3,2+72],

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性求出角A

(2)利用正弦定理邊化角，再利用三角恒等變換，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求解即得.

7TJT

【詳解】(1)在銳角V/8C中，sin(4-B)=cosC>0,則0<N-8<—,sin(^-5)=sin(--C),

22

jrjrjr

于是4-8=—-C,SPA+C-B=~,而/+。=兀一3,貝IJTT-28=—,

222

所以

4

0<A<-

(2)由(1)知，C=--A,由2,得工〈工，

40<C<^42

12

由正弦定理得0I。=sm/0mC=2sin2)+2sin2C=1-cos2^+1-cos2C

b2sin-5

—2—cos24—cos(~—2/)—2+sin24—cos24—2+A/2sin(24——),

ffi]—■<2A——<——f則<sin(24—二)"1,3<2+V2sin(224--)<2+V2,

444244

22

所以《*的取值范圍是(3,2+收].

16.(1)證明見解析

(2)存在,且=1

【分析】(1)借助中位線的性質(zhì)可得線線平行，即可得線面平行，利用面面平行的判定定理

即可得面面平行，再由面面平行的性質(zhì)定理即可得證；

(2)建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后，借助空間向量可用未知數(shù)表示出直線RM與平面AXEF所

成的角的正弦值，計算即可得解.

【詳解】(1)連接5。、BR,由瓦尸分別為的中點(diǎn)，則EF//BD,

答案第8頁，共13頁

又跖O平面B3&。，8。匚平面8片。。，故EF//平面BBQ。,

正四棱臺N2CD-44GR中，4耳//45且同耳=；/8=8廠,

則四邊形A{FBBX為平行四邊形，故A.FHBBX,

又4尸Z平面BB&D,AB]U平面BBQ。，故4尸//平面網(wǎng)DQ,

又&FcEF=F,且4尸u平面尸，EFu平面4跖，

故平面4跖//平面3BQQ,又平面3BQQ,故2,〃平面同跖;

(2)正四棱臺/BCD-44￡〃中，上下底面中心的連線OOj底面/BCD,

底面N8C。為正方形，故/。，8。，

故可以。為原點(diǎn)，OA、02、。。1為x,%z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

由48=24呂=4，側(cè)面BBgC與底面ABCD所成角為45。，

則OOX=xtan450=1,

則4(0,0,1),尸(亞，后,0),E(V2,-V2,0),

假設(shè)在線段AB上存在點(diǎn)M(x,y,0)滿足題設(shè)，則而=[-亞”,0),

^AM^AAB(0<2<1),則川=(2收-2歷,2瓦,0),

1\M=(2A/2-2VL1,2V22+V2,-1),

設(shè)平面4石戶的法向量為記=(x,y,z),

則」」.二，令尤=1,貝匕=0,2=0,即歷=(1,0,0),

fEF=2及y=Q

因為直線D\M與平面AXEF所成的角的正弦值為逃，

10

,____,|加?利I2V2-2V2AI3有

故Ms。附，應(yīng)?=,1?=—,

11憫716A2-82+11x7110

答案第9頁，共13頁

解得力,或2=如（舍），^AM=-AB=1,

444

故線段AB上存在點(diǎn)M,使得直線DXM與平面4EF所成的角的正弦值為主叵,

10

此時線段4〃的長為1.

1

17.⑴3；

（2）分布列見解析，義2

【分析】（1）結(jié)合題意，由獨(dú)立事件的乘法公式計算即可；

（2）求出X的可能取值，分別計算其概率，列出分布列，再利用期望公式求出期望即可;

【詳解】（1）若N恰好獲得8元紅包，則結(jié)果為/未猜中，5未猜中，C猜中，

2111

故/恰好獲得8元的概率為:

3239

（2）X的可能取值為0,8,12,24,

21221

則尸（刀=。）=§*5、§=§，P（X=8）=§,

2111

P（X=12）=]X5=],尸（X=24）=§,

所以X的分布列為:

18.（1）不是，證明見解析

（2）真命題，證明見解析

⑶證明見解析

答案第10頁，共13頁

【分析】(1)可令再=2,%=1,根據(jù)“平緩函數(shù)”的定義判斷即可;

(2)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的定義，令國=x+Ax,%=x，結(jié)合“平緩函數(shù)”的定義即可證明；

⑶因為＞=/(x)是以1為周期的周期函數(shù),不妨設(shè)國,”［?！?分為,不層，后-x4U,

根據(jù)函數(shù)V=/(x)是“平緩函數(shù)”即可證明；

【詳解】⑴令再=2,%=1,因為〃x)=f,則|〃占)_/卜2)|=3,上-尤21=1,不滿足對任意的

無1,%?R(無產(chǎn)超),/(尤1)-/-%|均成立，故y=/(x)不是“平緩函數(shù)”.

(2)命題為真命題.

因為〃x)=lm/(x十八NW,

不妨令/=x+AX,X2=X,

因為y=/(x)是“平緩函數(shù)”，

則|/(x+Ax)-/(x)|＜|Ax|=+1,

血但空上山1

所以|/'(x)卜

Ax

故命題為真命題.

(3)因為歹=/(%)是以1為周期的周期函數(shù)，不妨設(shè)再尼日。』,

當(dāng)阮-引V；時，因為函數(shù)y="X)是"平緩函數(shù)”，

則|/(占)-/卜2)|＜卜-司4；；

當(dāng)上］