2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)試題匯編：求數(shù)列的通項(xiàng)公式

專(zhuān)題07求數(shù)列的通項(xiàng)公式

一、核心先導(dǎo)

二、考點(diǎn)再現(xiàn)

【考點(diǎn)1］已知前你n項(xiàng)和，求通項(xiàng)公式的步驟

（1）、當(dāng)”=1時(shí)，ai=Si；（2）、當(dāng)佗2時(shí)，斯=SLS〃-i；（3）對(duì)"=1時(shí)的情況進(jìn)行檢驗(yàn)，若適合它2

的通項(xiàng)則可以合并；若不適合則寫(xiě)成分段函數(shù)形式.

【考點(diǎn)2］已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，求通項(xiàng)公式

如果符號(hào)正負(fù)相間，則符號(hào)可用（一1）"或（-I）/】來(lái)調(diào)節(jié).

分式形式的數(shù)列，分子找通項(xiàng)，分母找通項(xiàng)，要充分借助分子、分母的關(guān)系來(lái)解決.

對(duì)于比較復(fù)雜的通項(xiàng)公式，要借助于等差數(shù)列、等比數(shù)列和其他方法來(lái)解決.

此類(lèi)問(wèn)題雖無(wú)固定模式，但也有規(guī)律可循，主要靠觀(guān)察（觀(guān)察規(guī)律）、比較（比較已知的數(shù)列）、歸納、轉(zhuǎn)

化（轉(zhuǎn)化為等差、等比或其他特殊數(shù)列）等方法來(lái)解決.

【考點(diǎn)3］已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求通項(xiàng)公式

當(dāng)出現(xiàn)斯=斯-1+加時(shí)，構(gòu)造等差數(shù)列；

當(dāng)出現(xiàn)斯=xa“-i+y時(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列；

當(dāng)出現(xiàn)時(shí)，用累加法求解；當(dāng)出現(xiàn)-^匚=/（〃）時(shí)，用累乘法求解.

〃〃一1

三、解法解密

若數(shù)列｛/｝滿(mǎn)足4+4+1=劭+6,則數(shù)列都是公差為a的等差數(shù)列，若數(shù)列｛/｝滿(mǎn)足

n+,

an-an+l=a-b（awQb羊0力工1）,則數(shù)列｛%｝,｛%,，都是公比為b的等比數(shù)列.

四、考點(diǎn)解密

題型一:公式法

例1、（2022?全國(guó)?武功縣普集高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））記S”為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和,

71

S=—,a=—,則。5=（）

3832

A.—B.-C.ID.2

48

【變式訓(xùn)練1-1】、（2022?廣西?模擬預(yù)測(cè)（理））在等比數(shù)列｛%｝中，若的=3,%=6,貝!]&=.

例2、（2022?浙江臺(tái)州?模擬預(yù)測(cè)）已知公差為2的等差數(shù)列｛%,｝中，%，4，%成等比數(shù)列.

⑴求％;

（2）設(shè)么=an+2%，求數(shù)列也｝的前“項(xiàng)和S”.

【變式訓(xùn)練2-1】、（2022?上海松江?二模）在等差數(shù)列｛%｝中,已知%+%=1。，%+4+%=30.

（1）求數(shù)列僅“｝的通項(xiàng)公式;

（2）若數(shù)歹心4+2｝是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列｛"｝的前”項(xiàng)和S,.

題型二:累加法與累乘法

（一）、用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式

例3、（2022?上海市控江中學(xué)高二期末）己知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足G=l,a,+i=a“+2〃（〃eN,〃21）,則其通項(xiàng)公式

【變式訓(xùn)練3-1]、在數(shù)列｛4｝中,，4+「4=」一,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式*=.

【變式訓(xùn)練3-2】、（2022?浙江柯橋?高二期末）已知等差數(shù)列｛%｝中，e=6,前5項(xiàng)的和為§5=90,數(shù)列

圾｝滿(mǎn)足4=1,2+1-2=2"（〃eN）

（1）求數(shù)列｛%｝,｛2｝的通項(xiàng)公式；

⑵記c“=\an-bn\,求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和T?.

（二）、用累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式

例4、（2022.安徽黃山.一模）已知數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足卬=2,〃用=2義4,則

n+1

“2021__

+%+%----------H%020

例5、（2021.河北?滄州市一中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝中，q=＜，且滿(mǎn)足"+1=（〃+1）?！?

⑴求數(shù)列同｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)么=2］，一-幾］,若對(duì)任意的〃eN*,數(shù)列｛2｝是單調(diào)遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)X的取值范圍.

【變式訓(xùn)練5-1］、數(shù)列｛4｝中，前幾項(xiàng)和為S“，S”=曹

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；學(xué)=科網(wǎng)

⑵令。=以也+2,證明：2〃<么+a+…+”<2〃+3.

y'nQQizn

*\+l*\+2

【變式訓(xùn)練5-2】、（2022?吉林?東北師大附中模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛4｝中，%=1,5“是數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式：

12n

⑵證明：—+—+—<3.

題型三:已知前n項(xiàng)和，求通項(xiàng)公式

例6、（2022.湖南.安仁縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛4｝中，前〃項(xiàng)的和為S“，且5“=3%-4

⑴求數(shù)列?｝的通項(xiàng)公式；

123nq（?Y一

（2）如果一+—+—+???+—<--8x-恒成立，求〃最小值.

%4/an2⑶

【變式訓(xùn)練6-1】、（2022?四川資陽(yáng).一模（理））已知數(shù)列同｝的前"項(xiàng)和為％滿(mǎn)足$3=3%+2,且

2a,,=S“+ax.

⑴求｛見(jiàn)｝的通項(xiàng)公式；

⑵數(shù)列也｝旃足廠(chǎng)+廣+廠(chǎng)+…+廠(chǎng)=%+1-2,求｛2｝的前〃項(xiàng)和（.

題型四:構(gòu)造法

例7、（2022?安徽?合肥市第十一中學(xué)高二期末）已知數(shù)列｛q｝滿(mǎn)足弓=3,??+1=2??+l（?eN*）.

⑴求證：數(shù)列｛%+1｝是等比數(shù)列；

⑵求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)的和S,.

【變式訓(xùn)練7-1】、（2022?江蘇鎮(zhèn)江?高二期末）已知數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足％=l,%=2a“+l,〃wN*.

（1）證明數(shù)列｛%+1）是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

（2）令或=<??+1），求數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和Tn.

五、分層訓(xùn)練

A組基礎(chǔ)鞏固

1.（2022?廣西北海?一模（理））在等差數(shù)列｛%｝中，%=8,%=12,貝！］%2=（）

A.19B.18C.17D.20

2.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)（文））在數(shù)列｛%｝中，Oj=l,n（M+l）（a?+1-a?）=l（neN*）,則々022=（）

4043202140402020

A.------B.-------C.-------D.-------

2022202220212021

3.（2022?廣西?模擬預(yù)測(cè)（文））在等比數(shù)列｛4｝中，q+4=4,若%、出+2、生成等差數(shù)列，則｛%｝的

公比為。

A.2B.3C.4D.5

4.（2010?山西臨汾?模擬預(yù)測(cè)（文））已知等差數(shù)列｛4｝的公差是2,若%,生，%成等比數(shù)列，則。2等

于（）

A.-6B.-4C.-8D.—10

5.（2022?山西大附中三模（理））己知等差數(shù)列｛。,｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前“項(xiàng)和為S",且滿(mǎn)足

=17,S5~Q2a3，貝I"12=（）

A.28B.30C.32D.35

6.（2022?廣東?肇慶市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）若數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足。用=24-1,則稱(chēng)｛乙｝為“對(duì)奇數(shù)列”.已知

正項(xiàng)數(shù)列也+1｝為“對(duì)奇數(shù)列”，且4=2,則2=（）

A.2x3"-'B.2"-C.2n+1D.2"

x1+ClI

7.（2022?四川?成都七中模擬預(yù)測(cè)（文））設(shè)數(shù)列｛（凡｝滿(mǎn)足%+1=「，且則。2儂=（）

14〃2

A.—2B.—C.；D.3

32

8.（2020.云南.昆明一中模擬預(yù)測(cè)（理））已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S〃=3"+Q（〃￡N*）,則實(shí)數(shù)。的

值是（）

A.-3B.3C.-ID.1

9.（2022?吉林?東北師大附中模擬預(yù)測(cè)（文））等差數(shù)列中，卬+%+/=9,%+%=16,則4=（）

A.9B.10C.11D.12

10.（2022?江蘇省木瀆高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足：①先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增：②當(dāng)〃=3時(shí)取

得最小值.寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件的數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式4=.

11.（2022?河南開(kāi)封?模擬預(yù)測(cè)（理））在等比數(shù)列｛%｝中，S,為其前"項(xiàng)和，若%=3,$3=9,則｛%｝的

公比為.

12.（2022?陜西西安.模擬預(yù)測(cè)（文））已知等差數(shù)列｛4｝的公差d=l,且%,生，必成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”.

13.（2022.河南?模擬預(yù)測(cè)（理））若數(shù)列｛可｝滿(mǎn)足4=1,all+1-a?=2n.

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

111c

（2）證明：一+—+…+—<2.

B組能力提升

14.（2023?江西景德鎮(zhèn)?模擬預(yù)測(cè)（理））已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，數(shù)列｛〃｝為等比數(shù)列且公比4=2.數(shù)

列｛4｝和數(shù)列出｝的前"和分別為S“和Tn,且滿(mǎn)足&+2=邑”，則等差數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為

15.（2022?廣西?模擬預(yù)測(cè)（文））已知等比數(shù)歹!]｛風(fēng)｝滿(mǎn)足q+/=2,%+。5=4,則。7+%=.

16.（2022?河南省葉縣高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，q+%=72,a2+a3=36,

貝!J%=-

17.（2022?云南民族大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））若數(shù)列｛?！埃凉M(mǎn)足弓=2,4+a“M+%+2=l（〃eN*）,則

其前2020項(xiàng)和為.

18.（2022?安徽?全椒縣第八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））雪花曲線(xiàn)是由瑞典人科赫（Koch）于1904年提出的一

種分形曲線(xiàn)，其形態(tài)似雪花，故稱(chēng)雪花曲線(xiàn)，又稱(chēng)科赫雪花.雪花曲線(xiàn)是由等邊三角形開(kāi)始，把三角形的

每條邊三等分，并在每條邊三等分后的中段向外作新的等邊三角形，但要去掉與原三角形疊合的邊.接著

對(duì)所得新圖形的每條邊繼續(xù)上述過(guò)程，即在每條邊三分后的中段，向外畫(huà)新的“尖形”.不斷重復(fù)這樣的過(guò)程,

便產(chǎn)生了雪花曲線(xiàn).下圖分別是0、1、2、3級(jí)的雪花曲線(xiàn)，若第。級(jí)的等邊三角形邊長(zhǎng)等于1,則第4級(jí)

的雪花曲線(xiàn)周長(zhǎng)等于.

19.（2020?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)（文））記數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和為S"，若％=1,。用=2S"（”為正整數(shù)），則

數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為

20.（2022?浙江寧波?一模）南宋的數(shù)學(xué)家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續(xù)

量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為離散量的垛積問(wèn)題”，在他的專(zhuān)著《詳解九章算法?商功》中，楊輝將堆垛與相應(yīng)立體圖形作類(lèi)

比，推導(dǎo)出了三角垛、方垛、芻童垛等的公式，例如三角垛指的是如圖頂層放1個(gè)，第二層放3個(gè)，第三

111

層放6個(gè)，第四層放10個(gè)……第〃層放?！皞€(gè)物體堆成的堆垛，則一+—+...+—=.

21.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列｛見(jiàn)｝的前"項(xiàng)和S“=3n-l,數(shù)列也｝滿(mǎn)足用=-1,=bn+（2n-i）.

（1）求數(shù)列｛%｝、｛2｝的通項(xiàng)公式.

⑵若?！?巴也，求數(shù)列｛g｝的前"項(xiàng)和人

n

C組真題實(shí)戰(zhàn)練

22.（2019?全國(guó)?高考真題（理）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛〃,｝的前4項(xiàng)和為15,且。5=3。3+4%,

則。3=

A.16B.8C.4D.2

23.（2021?全國(guó)?高考真題（文））記S〃為等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和.若$2=4,S4=6,則85=（）

A.7B.8C.9D.10

已知等差數(shù)列｛q｝的前幾項(xiàng)和為S,a=5,S=15,則數(shù)列J」一］的前100

24.（2012.全國(guó).高考真題（理）n55

〔44+1J

項(xiàng)和為

100^99〃99101

A.----B.-----C.-----D.-----

101101100100

25.（2014?全國(guó)?高考真題（理））等比數(shù)列｛%｝中，%=2,生=5,則數(shù)列｛1g%｝的前8項(xiàng)和等于

A.6B.5C.4D.3

26.（2014?天津?高考真題（文））設(shè)｛%｝是首項(xiàng)為由,公差為-1的等差數(shù)列，5“為其前n項(xiàng)和，若岳，邑,邑

成等比數(shù)列，則%=（）

A.2B.-2C.7D.—

22

27.（2010.湖北.高考真題（文））已知等比數(shù)列｛%｝中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且〃，％2生成等差數(shù)列，則血詈=

A.1+&B.1-V2C.3+2V2D.3-2應(yīng)

28.（2015?浙江?高考真題（理））已知｛風(fēng)｝是公差d不為零的等差數(shù)列，其前”項(xiàng)和為S“，若生，4，%成

等比數(shù)列，則

A.a｛d>0,dS4>0B.<0,dS4<0

C.ct｛d>0,<0D.ci｛d<0,dS4>0

29.（2019?全國(guó)?高考真題（理））記S”為等差數(shù)列｛m｝的前w項(xiàng)和，qWO，a2=3alt貝1」率=___________.

?5

30.（2019?全國(guó)?高考真題（文））記3為等差數(shù)列｛%｝的前九項(xiàng)和，若/=5,%=13,貝U$=.

31.（2008?四川?高考真題（文））設(shè)數(shù)列｛%｝中，Oj=2,a?+1=an+n+l,則通項(xiàng)?！?.

32.（2014?廣東?高考真題（文））等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且q％=4,則

log2ax+log2%+log2a3+log2a4+