人教 九下 數(shù)學 第28章《解直角三角形》課件

28.2解直角三角形及其應用第二十八章銳角三角函數(shù)28.2.1解直角三角形逐點導講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時講解1課時流程2解直角三角形解直角三角形的類型與解法知識點解直角三角形知1－講11.解直角三角形的定義一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形.知1－講特別提醒：(1)在直角三角形中，除直角外的五個元

素，已知其中的兩個元素(至少有一個是邊)，就可以求出其余的三個未知元素(知二求三).(2)一個直角三角形可解，則其面積可求.但在一個解直角三角形的題中，如無特別說明，則不包括求面積.知1－講深度理解1.已知兩個角不能解直角三角形.若只有角的條件，則三角形邊的大小不唯一，即有無數(shù)個三角形符合條件.2.已知一角一邊時，角必須為銳角，若已知的角是直角，則不能求解.知1－講2.解直角三角形的常用關系式元素關系圖示三邊之間的關系a2＋b2＝c2(勾股定理)兩銳角之間的關系∠A＋∠B＝90°邊、角之間的關系知1－練例1根據(jù)下列所給條件解直角三角形，不能求解的是()①已知一直角邊及其對角；②已知兩銳角；③已知兩直角邊；④已知斜邊和一銳角；⑤已知一直角邊和

斜邊.A.②③

B.②④

C.只有②

D.②④⑤知1－練解題秘方：緊扣解直角三角形中“知二求三”的特征進行解答.解：①③④⑤能夠求解，②不能求解.答案：C知1－練1－1.解直角三角形，可能出現(xiàn)的情況歸納起來只有下列兩種：(1)已知兩條邊：一_______邊和一________；兩_______.(2)已知一條邊和一個銳角：一_______和一_______；________和一_______.直角斜邊直角邊直角邊銳角斜邊銳角知2－講知識點解直角三角形的類型與解法2圖形已知條件解法Rt△ABC兩邊兩直角邊斜邊、一直角邊(如c，a)知2－講圖形已知條件解法Rt△ABC一邊和一銳角一直角邊和一銳角一銳角與鄰邊(如∠A，b)一銳角與對邊(如∠A，a)一銳角與斜邊(如∠A，c)∠B＝90°－∠A；a＝c·sinA；b＝c·cosA續(xù)表知2－講注意解直角三角形時，求某些未知量的方法往往不唯一，選擇關系式通常遵循以下原則：(1)盡量選擇可以直接應用原始數(shù)據(jù)的關系式；(2)盡量選擇便于計算的關系式；(3)能用乘法計算的要避免使用除法計算.知2－講活學巧記口訣記憶法：有斜求對乘正弦，有斜求鄰乘余弦，無斜求對乘正切.“有斜求對乘正弦”的意思是：在一個直角三角形中，對一個銳角而言，如果已知斜邊長，要求該銳角的對邊長，那么就用斜邊長乘該銳角的正弦值，其他的意思可類推.知2－練

例2思路引導：知2－練

知2－練

思路引導：知2－練

知2－練

知2－練知2－練根據(jù)下列條件，解直角三角形：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，∠A＝30°，b＝12；思路引導：例3知2－練

知2－練(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，∠A＝60°，c＝6.思路引導：知2－練

知2－練思路點撥：緊扣以下兩種思路去求解(1)求邊時，一般用未知邊比已知邊(或用已知邊比未知邊)，去找已知角的某一個銳角三角函數(shù).(2)求角時，一般用已知邊比已知邊，去找未知角的某一個銳角三角函數(shù)(或用90°減去已知銳角的度數(shù)).知2－練3－1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，根據(jù)下列條件解直角三角形：(1)c＝20，∠A＝45°；(2)a＝8，∠A＝60°．知2－練知2－練

例4解題秘方：緊扣“化斜為直法”，通過作高把斜三角形轉(zhuǎn)化為兩個直角三角形求解.知2－練

知2－練教你一招:構(gòu)造直角三角形解非直角三角形的方法通過作垂線(高)，將斜三角形分割成兩個直角三角形，然后利用解直角三角形求邊或角.在作垂線時，要充分利用已知條件，一般在等腰三角形中作底邊上的高，或過特殊角的一邊上的點作這個角的另一邊的垂線，從而構(gòu)造含特殊角的直角三角形，再利用解直角三角形的相關知識求解.知2－練4－1.如圖，在8×4的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，若△ABC的三個頂點都在圖中相應的格點上，則sin∠ACB＝_______，BD＝_______．知2－練4－2.如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝6，則△ABC的周長為_____________.解直角三角形定義條件解直角三角形依據(jù)三邊關系兩銳角關系邊角關系題型利用解直角三角形求線段的長1

例5

思路引導：

解題通法解非直角三角形的方法：運用“遇斜化直”的思想求解，先作三角形的高，構(gòu)造直角三角形，然后利用已知條件分別解這兩個直角三角形，即可得出要求的值.題型利用解直角三角形求角的度數(shù)2

例6解題秘方：將求正方形旋轉(zhuǎn)的度數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求直角三角形中角的度數(shù)問題.

知識儲備圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)過程中，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離都相等；圖形上每一點都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同的方向旋轉(zhuǎn)相同的角度，任意兩組對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角相等，都等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)中心在圖形上時，它是唯一不動的點.特別解讀本題把求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求Rt△CBE中角的度數(shù)問題，進而根據(jù)解直角三角形的相關知識求解，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應用.題型利用解直角三角形求面積3[中考·日照]如圖28.2－4，□ABCD中，點E是對角線AC上一點，連接BE，DE，且BE＝DE．例7解題秘方：連接平行四邊形的對角線，將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題進行求解．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；

(2)若AB＝10，tan∠BAC＝2，求四邊形ABCD的面積．

技巧點撥作輔助線的技巧：解四邊形問題時，通常通過作輔助線將問題轉(zhuǎn)化成解直角三角形問題，作輔助線時注意：1.盡量不破壞題目中原有的已知角，特別是一些特殊角；2.盡量使已知的邊作為構(gòu)造的直角三角形的邊，否則會給解題造成麻煩或不能求解.題型利用解直角三角形解決與圓有關的問題4

例8解題秘方：利用圓的切線的判定和解直角三角形解題．(1)試判斷直線AB與⊙O的位置關系，并說明理由；

∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.∴∠BOD＋

∠B＝90°，∴∠BDO＝90°，即OD⊥

AB．又∵

OD是⊙

O的半徑，∴直線AB與⊙

O相切．

技巧點撥證明切線的方法通常是“連半徑，證垂直”或“作垂直，證半徑”，本題利用了“連半徑，證垂直”，比較常規(guī)．本題第(2)問中求線段的長充分發(fā)揮了解直角三角形的優(yōu)勢，對于求AC的長，也可以利用相似三角形的性質(zhì)，但稍微繁瑣一點．如圖28.2－6，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，斜邊AB＝1.若OC∥

BA，∠AOC＝36°，則()A.點B到AO的距離為sin54°B.點B到AO的距離為tan36°C.點A到OC的距離為sin36°·sin54°D.點A到OC的距離為cos36°·sin54°例9易錯點弄錯直角三角形中各元素的對應關系而致錯1錯解：D正解：在Rt△ABO中，∠BOA＝90°，即BO⊥AO，∴點B到AO的距離就是BO的長.∵

OC∥BA，∠AOC＝36°，∴∠BAO＝∠AOC＝36°.∴根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得BO＝AB·sin36°＝sin36°，故A，B選項錯誤.如圖28.2－6，過A作AD⊥OC于點D，則AD的長就是點A到OC的距離.∵∠BOA＝90°，∠BAO＝36°，∴∠ABO＝54°.根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得AD＝AO·sin36°，AO＝AB·sin54°＝sin54°，∴

AD＝sin36°·sin54°.答案：C診誤區(qū)：在直角三角形中，所用的銳角不同，則同一條邊的表示方法也不同.錯解沒有找準合適的三角函數(shù)，弄錯了各元素的對應關系.在解決此類問題時，一定要找準對應關系，再列式求解.

易錯點當三角形的形狀不確定時，沒有進行分類討論而致錯2例10

診誤區(qū)：在解非直角三角形問題時，若已知兩邊及一邊的對角(銳角)，但題目中沒有給出圖形，我們要進行分類討論，有時受思維定式的影響，往往只考慮銳角三角形，而忽略了鈍角三角形的情況.本題中三角形的形狀不確定，所以求BC的長時，應該有兩種情況.錯解只考慮了△ABC為銳角三角形的情況，而忽略了△ABC為鈍角三角形的情況.[中考·浙江]如圖28.2－9，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC邊上的中線，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1．考法利用解直角三角形求線段的長1例11試題評析：本題考查了解直角三角形，掌握銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理是解題的關鍵.(1)求BC的長；

(2)求sin∠DAE的值．

考法利用解直角三角形解反比例函數(shù)問題2例12試題評析：本題考查反比例函數(shù)和解直角三角形等知識，解題的關鍵是熟練掌握這些知識，屬于中考?？碱}型.

[中考·宜賓]如圖28.2－11，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC＝10，過點A作AE∥

BC，交⊙O的直徑BD的延長線于點E，連接CD．考法利用解直角三角形求圓中的線段長3例13試題評析：本題主要考查了切線的判定、勾股定理、解直角三角形，熟練掌握這些知識點是解題的關鍵.(1)求證：AE是⊙O的切線；證明：如圖28.2－11，連接AO并延長交BC于點F，連接OC，則OB＝OC.∵

AB＝AC，∴∠AOB＝∠AOC.∴∠FOB＝∠FOC，∴

OF⊥BC，∴∠DFB＝90°.∵

AE∥BC，∴∠OAE＝∠OFB＝90°，即AE⊥

OA.又∵

OA是⊙O的半徑，∴

AE是⊙O的切線．

B

C

C

B

5