2025中考數(shù)學專項復習：全等三角形中輔助線的添法（三大模型）含答案

2025中考數(shù)學專項復習全等三角形中輔助線

的添法（三大模型）

全等三角形中輔助線的添法（三大模型）

【模型一:倍長中線模型】

1.（23—24八年級上?江蘇?期末）如圖，在△ABC中.AD是8C邊上的中線，交于點D

⑴如下圖，延長AD到點E,使_DE=AD,連接BE.求證：4ACD學4EBD.

⑵如下圖，若NBAC=90°,試探究AD與有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（3）如下圖，若CE是邊4B上的中線，且CE交AD于點O.請你猜想線段AO與OD之間的數(shù)量關(guān)系,

并說明理由.

2.（23-24八年級上?廣西北海?期末）八年級數(shù)學課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：

如圖1,△ABC中，若48=9,4?=5,求邊上的中線4D的取值范圍.小紅在組內(nèi)經(jīng)過合作交流,

得到了如下的解決方法:延長AD到點E,使DE=AD,請根據(jù)小紅的方法思考作答：

（1）由已知和作圖能得到△ADCWAEDB的理由是

A.SSSB.SASC.AASD.HL

（2）求得AD的取值范圍是；

A.5<AD<9B.5WAOW9

C.2<AD<7D.2WAL>47

（3）歸納總結(jié):題目中出現(xiàn)“中點”“中線”等條件，可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和

所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中.完成上題之后，小紅善于探究，她又提出了如下的問題,請你解

答.

如圖2,在△4BC中，點E在8C上，且?；?。。,過E作即〃且E求證：40平分

ABAC.

3.（23—24八年級上?安徽安慶?期末）（1）如圖①，在△ABC中，若AB=6,AC=4：,4D為邊上的中線,

求的取值范圍；

（2）如圖②，在△4BC中，點。是的中點，斤，0E交4B于點尸交47于點F,連接EF,

判斷跳；+C尸與即的大小關(guān)系并證明；

（3）如圖③，在四邊形4BCD中，AB〃CD,4斤與的延長線交于點斤，點E是BC的中點，若是

NR49的角平分線.試探究線段AB,AF,CF之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.

4.（23-24八年級上?江蘇南通?期中）課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1,△ABC中，若

=6,/C=4,求邊上的中線的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流,得到了如下的解決方

法:如圖1所示，延長AD到點瓦使DE=40,連接8E.請根據(jù)小明的思路繼續(xù)思考：

（1）由已知和作圖能證得4ADC出△EDB,得至！J跳;=AC,在△ABE中求得2AD的取值范圍，從而求得

的取值范圍是.

方法總結(jié):上述方法我們稱為“倍長中線法”.“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)

__________P

系；

（2）如圖2,AD是/XABC的中線，AB=AE,AC=AF,NBAE+ACAF=180°,試判斷線段AD與EF

的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

（3）如圖3,在△4BC中，。，后是8C的三等分點.求證：AB+AOAD+AE.

5.（23-24七年級下?廣東佛山?期中）【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：

如圖，△4BC中，48=8,47=6,求8c邊上的中線4D的取值范圍，經(jīng)過組內(nèi)合作交流.小明得到了

如下的解決方法：延長AD到點瓦使DE=4D

請根據(jù)小明的方法思考：

E

⑴求得AD的取值范圍是；

【問題解決】請利用上述方法（倍長中線）解決下列三個問題

（3）如圖2,若。，。不共線,求證：4。，?！福?/p>

（4）如圖3,若點。在BE上,記銳角ABAC=0,且AB=AC=CD=0E,則APDC的度數(shù)是

（用含a;的代數(shù)式表示）.

【模型二:旋轉(zhuǎn)模型（段長補短”

6.（23—24八年級上?湖北武漢?期末）如圖，在五邊形ABODE中，NB=NE=90°,ZCAD=-^ZBAE,

=且CD=3,AB=4,則五邊形ABCDE的面積為（）

E

A.6B.8C.10D.12

7.（23—24八年級上?上海?期中）如圖所示，已知AC平分乙BAD,ZB+乙D=180°,（汨，48于點后,判

斷AB.AD與跳;之間有怎樣的等量關(guān)系，并證明.

8.（23-24八年級上?山東臨沂?期中）【基本模型】

（1）如圖1,ABCD是正方形，/區(qū)49=45°,當E在邊上，斤在CD邊上時，請你探究BE、DF與EF

之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【模型運用】

（2）如圖2,ABCD是正方形，AEAF=45°,當后在8C的延長線上，干在CD的延長線上時,請你探究

BE、。尸與ER之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

9.（23-24八年級上?湖北武漢?周測）⑴如圖，在四邊形4BCD中，AB=AD,ZB+Zn=180°,E、尸分

別是邊BC、CD上的點，且NEAF=yZBAD.求證：EF=BE+FD；

A

（2）如圖，在四邊形4BCD中，4B=4D,/B+乙4。。=180°,E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，

且NEA斤=*4氏4。.（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明;若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量

關(guān)系，并證明.

10.（23-24八年級上?貴州黔東南?期末）【初步探索】（1）如圖1,在四邊形ABC?中，AB=AD,=

AADC=90°,ABAD=120°,E、F分別是B。、CD上的點，且AEAF=60°，探究圖中BE、EF、FD之

間的數(shù)量關(guān)系.小芮同學探究此問題的方法是：延長FD到點G,使。G=RE,連接AG,先證明：

/\ABE篤/\ADG，再證明4AEF空/\AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應是；

【靈活運用】（2）如圖2,若在四邊形ABCD中，AB=AD,+NO=Z180°,ABAD=120°,E、F分別

是BC、CD上的點，且/區(qū)4斤=60°,（1）中的結(jié)論是否仍然成立，說明理由.

圖2

【拓展延伸】（3）如圖3,在四邊形ABCD中，4ABe+AADC=180°,4B=4D,若點E在C?的延長線

上，點尸在CD的延長線上，滿足即=BE+FD,請判斷NEAF與NDAB的數(shù)量關(guān)系.并證明你的結(jié)

論.

c

【模型三子”型（一線三垂直）】

11.（23—24八年級上?廣東江門?階段練習）已知，△ABC中，ABAC=90°,48=AC,直線小過點A,且

BDJ_m于D,GELni于E,當直線成繞點人旋轉(zhuǎn)至圖1位置時，我們可以發(fā)現(xiàn)L?=AD+CE.

m

BC

圖1

（1）當直線m繞點A旋轉(zhuǎn)至圖2位置時，問：BD與DE、CE的關(guān)系如何？請予證明；

（2）直線山在繞點4旋轉(zhuǎn)一周的過程中，8。、DE、CE存在哪幾種不同的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出，不必

證明）

12.（23-24八年級上?貴州銅仁?階段練習）（1）如圖1,已知4ABC中，NBAC=90°,AB=AC,直線m經(jīng)過

點ABD,直線m,CEL直線小,垂足分別為點D,E.求證：DE=BD+CE.

（2）如圖2,將（1）中的條件改為:在AABC中，AB=AC,。,AE三點都在直線m上,并且有ABDA=

NAEC=NBAC.請寫出DE,三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

13.（23-24八年級上.山西大同.階段練習）某學習小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖

形.

___________F

圖1圖2圖3

（1）如圖L已知:在△ABC中，/R4C=90°,AB=AC,直線，經(jīng)過點4,80,直線Z,CEL直線Z,垂

足分別為點。、及證明：。E=BD+CE.

（2）組員小明對圖2進行了探究，若/R4C=90°,AB=AC,直線Z經(jīng)過點4直線Z,CE,直

線Z,垂足分別為點0、E.他發(fā)現(xiàn)線段DE、80、CE之間也存在著一定的數(shù)量關(guān)系，請你直接寫出段

小、BO、CE之間的數(shù)量關(guān)系，

（3）數(shù)學老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：

如圖3,過AABC的邊AB.AC向外作正方形人氏陽和正方形ACFG（正方形的4條邊都相等，4個角

都是直角），是8C邊上的高，延長交EG于點/，若BH=3,CH=7,求AT的長.

14.（23-24八年級上?河北石家莊?階段練習）通過對如圖數(shù)學模型的研究學習，解決下列問題：

圖1圖2圖3

（1）如圖1,ABAD=90°,AB=4D,過點B作BdC于點C,過點。作Z1E，/C于點E.由/I+

/2=/2+/。=90°,得/1=/。.又乙4cB=/AED=90°,可以推理得到△ABC竺△DAE.進而得

到AC=,BC=AE.我們把這個數(shù)學模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；

（2）如圖2,NBAD=NCAE=90°,AB=AD,AC=AB,連接口。,。及且BC,4F1于點F,0E與直

線AR交于點G.求證:點G是。E的中點；

⑶如圖3,已知四邊形ABCD和DEGF為正方形,AAFD的面積為&,ADCE的面積為S2,Si+S2=

10.求出Si的值.

15.（23-24七年級下?廣東深圳?期末）【材料閱讀】小明在學習完全等三角形后，為了進一步探究，他嘗試用

三種不同方式擺放一副三角板（在△ABC中，/ABC=90°,4B=CB；△DEF中，NDEF=90°,ZEDF

=30°）,并提出了相應的問題.

【發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1,將兩個三角板互不重疊地擺放在一起，當頂點B擺放在線段。尸上時,過點A作AM

，?？冢棺銥辄c河，過點。作尸，垂足為點N,

①請在圖1找出一對全等三角形,在橫線上填出推理所得結(jié)論；

ZABC=90°,

：.AABM+ACBN=90°,

?：AM_LDF,CN±DF,

：.AAMB=90°,Z.CNB=90°,

/.AABM+ABAM=90°,

ABAM=Z.CBN,

■：^BAM=NCBN

ZAMB=ZCNB=90

AB=BC,

②AW=2,CN=7,則MV=；

【類比】（2）如圖2,將兩個三角板疊放在一起,當頂點8在線段DE上且頂點A在線段EF上時,過點。

作垂足為點P,猜想CP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【拓展】（3）如圖3,將兩個三角板疊放在一起,當頂點A在線段。E上且頂點B在線段EF上時，若AE=

5,BE=1,連接CE，則4ACE的面積為.

全等三角形中輔助線的添法（三大模型）

【模型一:倍長中線模型】

1.（23—24八年級上?江蘇?期末）如圖，在△ABC中.AD是8C邊上的中線，交于點D

⑴如下圖，延長AD到點E,使_DE=AD,連接BE.求證：4ACD學4EBD.

⑵如下圖，若NBAC=90°,試探究AD與有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（3）如下圖，若CE是邊4B上的中線，且CE交AD于點O.請你猜想線段AO與OD之間的數(shù)量關(guān)系,

并說明理由.

【思路點撥】

⑴利用SAS可得△ACD^^EBD;

（2）延長AD到點E,使DE=AD,連接BE,先根據(jù)AACDg^EBD證得/C=ZCBE,A。=班,進而得到

AC//EB,AD=^AE-,再證得ZVlBC空/\BAE{SAS）利用全等三角形全等的性質(zhì)即可；

⑶延長OE到點M,使EM=OE,連接AM.延長OD到點N,使DN=OD,連接BM,BN,BO,證得

△MOB篤ZWBO（ASA）可得MB=NO,進而得到AO=20。，

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中線，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

【解題過程】

（1）證明：在&ACD和&EBD中，

（DA^DE

〈NADC=/EDB

[DC=DB

：./\ACD空^EBD（SAS）;

⑵解：=理由如下：

延長AD到點E,使DE=AD,連接BE,如圖

由(1)得AACD經(jīng)△EBD,

AZC=ZCBE,AC=BE

：.ACHEB,AD=^AE

：./K4C+/ABE=180°,

?.?/BAG=90°,

A/ABE=90°,

ZBAC=NABE

在△ABC和ABAE中

(AC=BE

[ABAC^AABE

[AB=AB

△ABC空ABAE(SAS)

：.BC=AE,

：.AD=^-BC-,

(3)AO=2OD,理由如下：

延長OE到點M,使EM=OE,連接AM.延長OD到點N,使DN=OD,連接BM,BN,BO,如《

由(!)得△AOEWABME,/XODC^^NDB,

NAOE=ZBME,2OCD=ANBD,AO=BM,

AOIIBM,OC//NB,

AMBO=2BON,/MOB=ANBO

在ZWOB和△NBO中，

(AMBO^ABON

\OB=OB,

[AMOB=ZNBO

：.4MOB篤dNBO(ASA)

:.MB=NO,

：.AO^2OD.

2.(23-24八年級上?廣西北海?期末)八年級數(shù)學課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：

如圖LZVLBC中，若AB=9,47=5,求邊上的中線AD的取值范圍.小紅在組內(nèi)經(jīng)過合作交流,

得到了如下的解決方法:延長AD到點E,使DE=AD,請根據(jù)小紅的方法思考作答：

(1)由已知和作圖能得到△ADC篤△EDB的理由是

A.SSSB.SASC.AASD.HL

⑵求得AD的取值范圍是；

A.5<AD<9B.5WAO49

C.2<AD<7D.2WAOW7

⑶歸納總結(jié):題目中出現(xiàn)“中點”“中線”等條件，可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和

所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中.完成上題之后，小紅善于探究，她又提出了如下的問題,請你解

答.

如圖2,在△ABC中，點E在上，且。E。，過E作即〃且E尸=47.求證：AD平分

ABAC.

【思路點撥】

本題是三角形綜合題，考查了倍長中線法解題，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌

握倍長中線法，靈活進行三角形全等的證明，是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)三角形全等的判定定理去選擇即可；

(2)根據(jù)三角形全等的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系定理計算即可；

⑶由“SAS”可證4EFDWLCMD,可得EF=DM,/EFD=/"，由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可

證ABAD=ACAM,可得AD平分ABAC.

【解題過程】

(1)解:延長到點E,使?！?4D,

?：BD=CD,

在△4DC和△石。8中，

(CD=BD

1/ADC=/BDE,

[AD=DE

：./\ADC^/\EDB(SAS),

故選：R

(2)解：丁叢ADC空AEOB,

???AC=EB,

?：AB=9,AC=5,AB-BE<AE<AB-\-BE,

???4<2ADV14,

：.2<AD<7f

故選：C;

⑶證明：如圖，延長AO至河，使連接CM,

/EDF=/CDM,DF=DM,

?：DE=DC9

：.ABFD豈△CMD(SAS),

：.EF=DM,/EFD=/M,

：.EF//CM,

?：EF//AB,

：.CM//AB,圖2

??.ABAD=AM,

?：EF=AC,

：,EF=DM=AC,

：.ZCAM=ZM,

???/BAD=/CAM,

人。平分/BAC.

3.（23—24八年級上?安徽安慶?期末）（1）如圖①，在△ABC中，若AB=6,AC=4,4D為BC邊上的中線,

求人。的取值范圍；

（2）如圖②，在4ABe中，點。是的中點，0E，OF,OE交AB于點E,DF交AC于點尸，連接EF,

判斷BE+C尸與EF的大小關(guān)系并證明；

（3）如圖③，在四邊形ABCD中，AB〃CD,人尸與。。的延長線交于點尸，點E是的中點，若AE是

NR49的角平分線.試探究線段AB,AF,CF之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.

圖①圖②圖③

【思路點撥】

（1）由已知得出AB-BE<AE<AB+BE,^6-4<A￡；<6+4,人。為AE的一半，即可得出答案；

⑵延長FD至點、M,使DM=DF,連接BM,EM,可得ABMD空△CFD,得出BM=CF,由線段垂直平分線

的性質(zhì)得出EM=EF,在△BME中，由三甬形的三邊關(guān)系得出+即可得出結(jié)論;

（3）延長AE,DF交于點G,根據(jù)平行和角平分線可證AF=FG,也可證得AABE竺AGCE，從而可得=

CG,即可得到結(jié)論.

【解題過程】

解：⑴如圖①，延長人。到點E,使DE=4D,連接BE,

\?。是的中點，

：.BD=CD,

?：ZADC=ABDE,

：./\ACD空/\EBD(SAS),

:.BE=AC=4,

在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE,

6—4<AE<6+4,,

：.2<AE<W,

：.1<AD<5,

故答案為：1<AO<5;

(2)BE+CF>EF,理由如下：

延長FD至點“，使DM=DF,連接?W、,如圖②所示.

同(1)得：ABMD經(jīng)4CFD(SAS),

：.BM=CF,

,:DE_LDF,DM=DF,

:.EM=EF,

在中，由三角形的三邊關(guān)系得：

BE+BM>EM,

：.BE+CF>EF-,

（3）AF+CF=48,理由如下：

如圖③，延長AE,OF交于點G,

?：ABIICD,

：./BAG=/G,

CE=BE,

/.ABAG=ZGAF,'、、\

???爾G=/G,圖③弋G

/.AF=GF,

■;FG+CF=CG,

：.AF+CF=AB.

4.（23—24八年級上?江蘇南通?期中）課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1,△ABC中，若

=6,AC=4,求邊上的中線AD的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方

法:如圖1所示，延長AD到點E,使OE=4D,連接BE.請根據(jù)小明的思路繼續(xù)思考：

BDE

圖3

（1）由已知和作圖能證得△4DC篤得到BE=AC,在△4BE中求得2AD的取值范圍,從而求得

的取值范圍是.

方法總結(jié):上述方法我們稱為“倍長中線法”.“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)

系；

⑵如圖2,AD是AABC的中線，48=AE,AC=AF,/BAE+ACAF=180°,試判斷線段AD與EF

的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

（3）如圖3,在△4BC中，。,后是的三等分點.求證：4B+AC>4D+AE.

【思路點撥】

本題考查了三角形三邊關(guān)系，三角形全等的性質(zhì)與判定，利用倍長中線輔助線方法是解題的關(guān)鍵.

⑴延長人。到點E,使DE=AD,連接BE,根據(jù)題意證明^MDB空△40。,可知AC,在4ABM中，根

據(jù)AB—,即可；

⑵延長人。到河,使得DM=AD,連接BM,由⑴的結(jié)論以及已知條件證明4ABMT^EAF，進而可得

AM=2AD,由AM=EF,即可求得4D與EF的數(shù)量關(guān)系；

⑶，取DE中點H,連接并延長至Q點，使得AH=QH,連接QE和QC,通過“倍長中線”思想全等證明，

進而得到AB=CQ,AD=EQ,然后結(jié)合三角形的三邊關(guān)系建立不等式證明即可得出結(jié)論.

【解題過程】

⑴解:如圖1所示，延長40到點、E,使DE=AD,連接BE.

???40是△ABC的中線，

：.BD=CD9

(BD=CD

在ZWDB和△ADC中，(/B7W=/CDA,

[DM=AD

???ZWDB空AADC(SAS),

??.BN=AC=4,

在△ABM中，AB-BM<AM<AB+BM,

???6-4VAM<6+4,即2VAM<10,

：.1<AD<5,

故答案為：1VAOV5.

⑵理由：

如圖2，延長AD到M,使得DM=40,連接BM,

由(1)知，/XBDM名△CDA(SAS),

??.BM=AC,ZM=/.MAC

??,AC=AF,

:.BM=AF,

???/.MBA+ZM+ABAM=180°,即/MBA+4BAC=180°,

又???ZBAE+ZCAF=180°,

??.AEAF+ZBAC=180°,

???ZEAF=/MBA,

又AB=EA,

???LABMm△區(qū)4F(S4S),

??.AM=EF,

???AD=DM,

：.AM=2AD,

?：AM=EF,

：.EF=2AD.

⑶證明：如圖所示，取DS中點H,連接4H并延長至Q點，使得連接。石和Q。,

???H為DE中點、,D、E為BC三等分點、,

:,DH=EH,BD=DE=CE,

:,DH=CH,

(BH=CH

在△ABH和/XQCH中，IABHA=ACHQ,

[AH=OH

：./XABH咨AQCH(SAS),

同理可得：4ADH注4QEH,

：.AB=CQ,AD=EQ,

此時，延長人后交。Q于K點,

??,AC+CQ=AC+CK+QK,AC+CK>AK,

??.AC+CQ>AK+QK9

??,AK+QK=AE+EK+QK>QE,EK+QK>QE,

：.AK+QK>AE+QE,

___________F

AC+CQ>AK+QK>AE+QE,

,:AB=CQ,AD=EQ,

：.AB+AOAD+AE.

5.（23-24七年級下?廣東佛山?期中）【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：

如圖，ZVIBC中，AB=8,AC=6,求邊上的中線4D的取值范圍，經(jīng)過組內(nèi)合作交流.小明得到了

如下的解決方法：延長AD到點E,使OE=4D

請根據(jù)小明的方法思考：

E

⑴求得AD的取值范圍是；

【問題解決】請利用上述方法（倍長中線）解決下列三個問題

如圖，已知ABAC+ZCDE=180°,=AC,=DE,P為BE的中點.

⑶如圖2,若4。，。不共線,求證：人尸，。?；

（4）如圖3,若點。在跳;上,記銳角/R4C=/,且AB=AC=CD=OE,則/PDC的度數(shù)是

（用含力的代數(shù)式表示）.

【思路點撥】

（1）根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，即可進行解答；

（2）延長DP交AB延長線于點F,證AAPF篤AAPD即可；

（3）延長DP至點F,使得PF=PD,連接BF、AF、AD,證△APF名AAPD即可；

（4）過點。作CM_LBC交AP于點“，由（3）可得ZAPD=90°,證△ACM篤ADCP，用含c的代數(shù)式表示

出/PDC即可.

【解題過程】

（1）：AD為邊上的中線，

：.BD=CD,

（BD=CD

在AAZX7和岫DB中,{/ADO=ZEDB

[AD=ED

.?.△ADC空△EDB（SAS）,

：.BE=AC=6,

AB=89

8—6VAEV8+6,

即2V4EV14,

?：DE=AD,

：.AD^^-AE,

：.1<AD<7,

故答案為：IVADV7

(2)如下圖，DP交AB延長線于點F

ZBAC+ZGDE；=180o,

AAFV/DE(同旁內(nèi)角互補，兩直線平行)，

ZPFB=NPDE,NPBF=APED,

?:P為BE的中點

:.BP=PE,

：.ABPF名^EPD(AAS),

/.BF=DE=DC,PD=PF,

又：AB=AC,

：.AB+BF=AC+即AF^AD,

在和△APD中

(PF^PD

IAP=AP

[AF^AD

：.△APF空△APD(SSS),

ZPAF=4R4。(全等三角形的對應角相等)，即4P平分ABAC

⑶延長DP至點F,使得PF=PD,連接BF、AF,AD

由(1)同理易知APPE空△FBP(SAS),

：.BF=DE=CD,NE=2FBP,

?：ABAC+4CDE=180°,且/BAC+ACAD+^ADC+NCDE+/E=360°,

ACAD+AC+ZADC=180°,

NABF=AACD,AB=AC,

：./\ABF^^ACD(SAS),

：.AF=AD,

：.△APFW△APD(SSS),

NAPD=NAPF=180°+2=90°,

AP±DP

(4)過點。作CM_LBC交AP于點Al,由(3)可得乙4P0=90°,ABAC^x,/BAC+/GDE=180°,AB=

AC=CD=DE,

AACB=嗎F=90°-y,

NDCE=90°_4c=90。_180；一①=氣,

NACB和ZDCE互余,2ACD=AMCP=AAPD=90°,

：.ZACM=NDCP=y,ZCAM=ZCDP

：./XACM^AnCP(ASA),

:.MC=PC,

：./BB4=45°,

又；ZACB=90°-y,

ZPDC=APAC=NACB-Z.APB=45°-y,

故答案為：45°—5

【模型二:旋轉(zhuǎn)模型（蠢長補短）】

6.（23-24八年級上?湖北武漢?期末）如圖，在五邊形ABCDE中，/E=90°,ACAD=3/BAE,

AB=4B,且CD=3,AB=4,則五邊形ABCDE的面積為（)

A.6B.8C.10D.12

【思路點撥】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三點共線，解題的關(guān)鍵是利用全等的性質(zhì)將面積進行轉(zhuǎn)

化.

將&ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△AEF,首先證明點D,E,F三點共線，證明AACD空AAFD（SAS）,得到

CD=DF=3,S^5=S摻㈤,再將所求面積轉(zhuǎn)化為2s堤㈤進行計算即可.

【解題過程】

解:如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至4AEF,

?：AB^AE,/B=/E=90°,

則AF^AC,NAED=NAEF=90°,

ZDEF=180°,即點。，況F三點共線,

NCAD=3/BAE,

ABAC+NDAE=4DAE+NEAF=ACAD,

即2FAD=NCAD,

（AC=AF

在/\ACD和4AFD中，（/CAD=AFAD,

[AD=AD

???/\ACDn^AFD(SAS)

?**CD=DF,S^ACD=S^AFD

???CD=3,

DF=3,

五邊形ABCDE的面積為：

=

S四邊形ACDE+S4ABeS四邊形ZCDE+

=S2ACD+S^AFD~2s”即，

=2x^-xDFxAE,

=2XyX3x4

=12.

故選：D.

7.(23—24八年級上?上海?期中)如圖所示，已知AC平分/SAD,ZB+Z￡)=180o,CELAB于點E,判

斷AB、AD與跳;之間有怎樣的等量關(guān)系，并證明.

【思路點撥】

在AB上截取EF，使EF=BE,聯(lián)結(jié)CF.證明ABCE篤AECF(SAS),得到ZB=ZBFC,又證明&AFC衛(wèi)

△ADC,得到AF=AD,最后結(jié)論可證了.

【解題過程】

證明：在AB上截取EF,使EF=BE,聯(lián)結(jié)CR.

?：CE±AB

：.4BEC=4FEC=90°

在ZBCE和獨CF

{BE=EF

NBEC=2FEC

CE=CE

：.ABC?空^ECF(SAS)

：.2B=NBFC

?：乙8+/。=180°

又VABFC+NAFC=180°

ZD=ZAFC

?：AC平分/BAO

AFAC=ADAC

在△AFU和△ADC中

{AAFCAD

AFAC^ADAC

AC=AC

______________即

???4AFC^^ADC（AAS）

：.AF=AD

?：AB=AF+BE+EF

：.AB=AD+2BE

8.（23-24八年級上?山東臨沂?期中）【基本模型】

⑴如圖1,ABCD是正方形，/瓦4斤=45°,當E在邊上，尸在CD邊上時，請你探究BE、DF與EF

之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【模型運用】

（2）如圖2,ABCD是正方形，45°,當E在的延長線上，尸在CD的延長線上時,請你探究

BE、DF與E尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

F

4-------1D/—X

BEC

圖1圖2

【思路點撥】

本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì).本題蘊含半角模型，遇到半角經(jīng)常要通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形.

⑴結(jié)論：EF^BE+DF.將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，得到△ABF，，然后求出NEAP

=/EAF=45°,利用“邊角邊”證明AAEF和△AEF，全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得從而

得解；

（2）結(jié)論：EF=BE—OF,證明方法同法（1）.

【解題過程】

解：（1）結(jié)論:EF=BE+DF.

理由：如圖1,將△4DF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使人。與AB重合，得至I^ABF',

---------\D

/|\^*****^^

則：AF'AB=zLDAF,AABF'=AD=90°,AF=AF',BF'=DF,

：.AABF'+AABC=180°,即：三點共線，

?/ZSAF=45°,

/.ADAF+ABAE=90°-AEAF=45°,

：.ABAF'+ZBAE=45°,

/EAF'=ZEAF=45°,

c

圖2

(AF=AF'

在△AEF和/\AEF'中，(NEAF=AEAF',

[AE=AE

：.△AEF空^EAF(SAS),

:.EF=EP,

又EF，=BE+BF\

：.EF—BE+DF.

(2)結(jié)論：EF=BE-DF.

理由：如圖2,將AADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，得到AABF,

則：_BF'=DF,AF'=AF,

同法(1)可得：4AEF篤△AEF^SAS),

:.EF=EF，,

大EF=BE—BF=BE—DF,

：.EF-BE-DF.

9.(23—24八年級上.湖北武漢.周測)⑴如圖，在四邊形48co中，48=AD,NB+乙D=180°,E、F分

別是邊、CD上的點，且ZEAF=-j-ZBAD.求證：EF=BE+；

（2）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,+AADC=180°,E、歹分別是邊BC、CD延長線上的點,

且/EA尸（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明;若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量

關(guān)系，并證明.

【思路點撥】

⑴延長CB至朋r，使連接4W.先證明△ABMZ44DF,得到AF=4W,/2=/3,再證明

△AME竺ZVIFE,得到EF=ME,進行線段代換，問題得證；

（2）在BE上截取BG，使BG=DF,連接AG.先證明4ABGW/\ADF,得到4G=AF,再證明△AEG空

△AEF,得到EG=EF,進行線段代換即可證明EF=BE—FD.

【解題過程】

解：⑴證明：如圖，延長CB至“，使連接4W.

________________________________.

???AABC+ZZ?=180,Z1+AABC=180,

??.zi=zn,

在△ABAI與AADF中,

(AB=AD

[BM=DF

：./\ADF(SAS).

AAF=AM,Z2=Z3.

???/EAF=]ZBAD,

.?.Z2+Z4=-j-ZBAD=AEAF.

：.N3+N4=AEAF,即/MAE=AEAF,

在△AM?與△APE中，

(AM=AF

IAMAE=AEAF,

[AE=AE

：.AAME空AAFE(SAS).

:?EF=ME,即EF=BE+BM,

：.EF=BE+DF;

(2)結(jié)論EF=BE+FD不前立，應當是EF=BE-FD.

證明：如圖，在跳;上截取BG,使石G=OF,連接AG.

???ZB+乙ADC=180°,AADF+AADC=180°,

.?./B=/ADF.

???在4ABG與A4OF1中，

(AB=AD

bABG=ZADFf

[BG=DF

：./\ABG經(jīng)△ADF(SAS),

???ABAG=ADAF,AG^AF,

???/.BAG+/LEAD=ADAF+AEAD=ZEAF=yZBAD,

??.NGAE=NEAF.

在ZVIGE與中，

(AG=AF

IAGAE=AEAF,

[AE=AE

：./^AEG^/\AEF,

??.EG=EF,

?：EG=BE-BG,

：.EF=BE-FD.

10.（23-24八年級上?貴州黔東南?期末）【初步探索】⑴如圖1,在四邊形ABCD中，48=AD,/8=

AADC=90°,ABAD=120。，石、F分別是、CD上的點，且/LEAF=60°,探究圖中8E、E尸、FD之

間的數(shù)量關(guān)系.小芮同學探究此問題的方法是：延長尸。到點G,使OG=8E,連接AG,先證明：

△ABE空△AOG,再證明尸，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應是；

G

圖1

【靈活運用】（2）如圖2,若在四邊形ABCD中，AB=AD,+NO=Z180°,ABAD=120°,E、尸分別

是BC、CD上的點，且NEA尸=60°,（1）中的結(jié)論是否仍然成立，說明理由.

圖2

【拓展延伸】（3）如圖3,在四邊形ABCD中，/48。+/40。=180°,48=40,若點七在儂的延長線

上，點F在CD的延長線上,滿足EF=BE+FD,請判斷ZEAF與ADAB的數(shù)量關(guān)系.并證明你的結(jié)

論.

【思路點撥】

本題屬于四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)的綜合應用，解決問題的關(guān)鍵

是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應角相等進行推導變形.解題時注意：同角的補角相等.

⑴根據(jù)SAS可判定AABEg/SADG，進而得出NBAE=ZDAG,AE^AG,再根據(jù)SAS判定4AEF空

△AGF,可得出EF=GF=DG+OF=BE+DF,據(jù)此得出結(jié)論；

（2）延長FD到點G,使DG=BE,連接AG,先根據(jù)SAS判定4ABE空/\ADG，進而得出NBAE=ADAG,

AE=AG,再根據(jù)SAS判定△AEF咨4AGF,可得出EF=GF=DG+DF=BE+DF;

⑶在。。延長線上取一點G，使得DG=BE,連接AG,先根據(jù)SAS判定ZXADG咨/XABE,再根據(jù)SAS判定

△AEFW4AGF，得出AFAE=AFAG,最后根據(jù)AFAE+AFAG+NGAE=360°,

推導得到2NFAE+/DAB=360°，即可得出結(jié)論.

【解題過程】

解：(1)BE+FD=EF.理由如下：

如圖1,延長FD到點G,使。G=BE,連接AG,

乙4。。=90°,

A/ADG=180°-/ADC=90°,

又：ZB=90°,

???ZB=/4DG,

(AB=AD

在/\ABE與ZXADG中，(NB=AADG,

[BE=DG

???/\ABE篤△ADG(SAS),

???/BAE=/.DAG,AE=AG,

???ABAD=120°,AEAF=60°,

??.ABAE+ADAF=ABAD一/LEAF=60°,

???ZDAG+ZZMF=60°,

即/GAF=60°,

???/GAF=NEAF;

(AE=AG

在/\AEF與ZVIGF中,(/EAF=AGAF,

[AF=AF

：.4AEFm△AGF(SAS),

:?EF=GF,

???GF=DG+DF,

:?EF=BE+DF,

故答案為：BE+FD=EF;

(2)(1)中的結(jié)論仍成立，理由如下：

如圖2,延長ED到點G,使。G=跳;，連接AG,

ZB+ZADF=180°,ZADG+ZADF=180°,

??.ZB=ZADG,

又AB=AD,

???/XABE四△ADG(SAS),

???/.BAE=/.DAG,AE=AG,

???ABAD=120°120°,ZEAF=60°,

圖2

??.ABAE+ADAF=6Q°,

：.ZZMG+ZDAF=60°,

??.AGAF=AEAF=60°,

又AF=AF,

：.△4EF空△AGF(SAS),

：.EF=FG=DG+DF=BE+DF;

⑶NEAF=180°-yZZMB.

證明：如圖3,延長。。到點G,使0G=B石，連接4G,

???AABC+乙ADC=180°,AABC+/ABE=180°,

???AADC=/ABE,

(AB=AD

在LABE與XADG中，(ZB=AADG,

[BE=DG

：./XADG豈^ABE(SAS),

：.AG=AE,/DAG=/BAE,

?:EF=BE+FD,

:.EF=DG+FD,

：.EF=GF,

(AE=AG

在△AEF與ZkAGF中,(EF=GF,

[AF^AF

：.△AEF空△AGF(SSS),

/.AFAE^AFAG,

4FAE+AFAG+NGAE=360°,

/.2AFAE+UGAB+^BAE)=360°,

2AFAE+UGAB+^DAG)=360°,

即2/FAE+ADAB=360°,

/.NEAF=180°-^-ADAB.

【模型三:“K子”型(一線三垂直)】

n.(23—24八年級上?廣東江門?階段練習)已知，△ABC中，ABAC=90°,AB=AC,直線小過點A,且

80,小于DCEL/n于E,當直線小繞點人旋轉(zhuǎn)至圖1位置時，我們可以發(fā)現(xiàn)。￡；=BD+CE.

(1)當直線m繞點A旋轉(zhuǎn)至圖2位置時，問：BD與DE、CE的關(guān)系如何？請予證明；

(2)直線m在繞點A旋轉(zhuǎn)一周的過程中，BD、DE、⑵存在哪幾種不同的數(shù)量關(guān)系？(直接寫出，不必

證明)

【思路點撥】

(1)利用條件證明△ABO空△C4E,再結(jié)合線段的和差可得出結(jié)論；

⑵根據(jù)圖，可得BD、DE、CE存在3種不同的數(shù)量關(guān)系