數(shù)學(xué)課后導(dǎo)練：離散型隨機(jī)變量的均值

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課后導(dǎo)練基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1。袋中有7個白球，3個紅球，現(xiàn)采取不放回方式取球，直到取到紅球?yàn)橹?以ξ表示取球次數(shù)，則Eξ=()A.B。C。D。答案：A2。某隨機(jī)變量ξ的概率分布為:ξ0123P0。1ab0.1且Eξ=1。5，則a=_________，b=_________。答案：a=b=0。43。已知盒中有10個燈泡，其中8個正品，2個次品。需要從中取出2個正品,每次取出1個,取出后不放回，直到取出2個正品為止，設(shè)ξ為取出的次數(shù)，求ξ的分布列及Eξ.解析：每次取1件產(chǎn)品，∴至少需2次，即ξ最小為2，有2件次品，當(dāng)前2次取得的都是次品時，ξ=4，所以ξ可以取2，3，4。P（ξ=2)=；P（ξ=3）=；P（ξ=4)=1-.∴ξ的分布列如下：Ξ234PEξ=2×P（ξ=2）+3×P(ξ=3)+4×P(ξ=4)=。4。某工廠對2月份的獎金發(fā)放作出了如下規(guī)定：在這四周時間里有1周完成生產(chǎn)任務(wù)，則得獎金48元；如果有2周完成生產(chǎn)任務(wù)，則可得獎金80元；如果有3周完成生產(chǎn)任務(wù)，則可得獎金128元;如果4周都完成了生產(chǎn)任務(wù)，則可得獎金160元；如果4周都未完成任務(wù),則沒有獎金，假設(shè)某工人每周完成任務(wù)與否是等可能的，求一工人在2月份所得獎金的期望。解析：設(shè)該工人在2月份所得獎金為ξ,他每周完成任務(wù)的概率為，P（ξ=0）=(）0（)4=，P（ξ=48）=()1（)3=P（ξ=80）=（）2（）2=P(ξ=128）=（）3（）=P(ξ=160）=（）4=∴Eξ=0×+48×+80×+128×+160×=84.5。甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6道，乙能答對其中的8道，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測試，至少答對2題才算合格.（1)求甲答對的試題數(shù)ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望。（2）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率。解析：（1）ξ的分布列如下：ξ0123P甲答對試題數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×+1×+2×+3×=。(2)設(shè)甲、乙兩人考試合格的事件分別為A，B，則P（A）=,P（B）=，∴甲、乙兩人考試均不合格的概率為:P(·)=P(）P（）=(1—）·（1—）=∴甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為P=1—P（·）=1—=綜合運(yùn)用6.某保險(xiǎn)公司新開設(shè)了一項(xiàng)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，若在一年內(nèi)事件E發(fā)生，該公司要賠償a元，設(shè)在一年內(nèi)E發(fā)生的概率為P，為使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司應(yīng)要求顧客交多少保險(xiǎn)金?解析:設(shè)保險(xiǎn)公司要求賠償顧客交x元保險(xiǎn)金，若以ξ表示公司每年的收益額,則ξ的分布列為：ξxx—aP1-pp∵公司每年收益ξ的期望值為Eξ=x(1-p）+（x—a）p=x-ap要使公司收益的期望值等于a的百分之十，只需Eξ=0.1a，即x-ap=0.1a，x=（0。1+p）a，∴應(yīng)交的保險(xiǎn)金為（0.1+p)a.7.一批商品共100件，商家稱其中只有10件是次品.為檢驗(yàn)其質(zhì)量的真實(shí)情況，現(xiàn)從中隨機(jī)地抽出5件。（1）求抽出的5件商品中次品數(shù)的分布列與期望值；（2）如果抽出的5件商品中，有3件是次品，你如何評價該批商品的質(zhì)量。解析:（1）按商家所說，抽出的5件商品中的次品數(shù)是隨機(jī)變量ξ，則ξ可以取0到5的6個整數(shù)。如果抽出的5件商品中恰好有k（k=0，1,2，3，4，5）件次品，則其相應(yīng)的概率為P(ξ=k）=。按這個計(jì)算公式,并精確到0.001，則可求得ξ的分布列是ξ012345P0。5840。3400.0700.0060.0000。000次品數(shù)ξ的期望值是Eξ=0×0.584+1×0.340+2×0。070+3×0。006+4×0.000+5×0。000=0。498.這表明，通常情況下,抽出的5件商品中，只能約有半個次品.（2)由上面的分布列可知，P(ξ=3）=0.006?？梢?所抽取的5件商品中有3件是次品的可能性極小，只有0。6%.如此小的概率，在一般情況下是不可能發(fā)生的。因此，商家“100件商品中只有10件次品”的說法是不可信的。8。有一個賭場,3個骰子設(shè)賭，任何人投擲一次若出現(xiàn)3個六點(diǎn)，可贏100元,否則輸?shù)?元。問這個賭規(guī)是否公平？為什么？在上述賭規(guī)下，賭場出現(xiàn)了一件意外的事，有人擲出了兩個六點(diǎn)，另一顆骰子卻被突如其來的不速之客--貓撞飛了,于是賭場出現(xiàn)了激烈的爭執(zhí),賭主要求重?cái)S，賭客當(dāng)然不干，看客中說贏的,輸?shù)?，平的都有，請你用概率理論作分?提出一種對賭注（1+100=101元）作分配的公平方案。解析：該賭規(guī)不公平，因?yàn)橥瑫r擲出3個六點(diǎn)的概率是（)3=，若賭規(guī)規(guī)定為1∶215就公平了.（即擲不出3個六點(diǎn)，輸1元，擲出3個六點(diǎn)，贏215元）。賭事因無法預(yù)見的原因而夭折，論輸贏都無依據(jù)；已出現(xiàn)兩個六點(diǎn),勝率已由提升到,說平了也不對，比較公平的方案是,將賭資（100+1=101元）按5∶1分配,賭主留下，賭客拿走。9。一種電路控制在出廠時每四件一等品裝成一箱，工人在裝箱時不小心把二件二等品和兩件一等品裝入了一箱，為了找出該箱中的二等品,我們對該箱中的產(chǎn)品逐一取出測試。（1)求前兩次取出的都是二等品的概率;(2）求第二次取出的是二等品的概率；（3)用隨機(jī)變量ξ表示第二個二等品被取出時共取出的件數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望。解析：（1)四件產(chǎn)品逐一取出排成一列共有種方法，前兩次取出的產(chǎn)品都是二等品的共有×種方法，∴前兩次取出的產(chǎn)品都是二等品的概率為。（2)四件產(chǎn)品逐一取出排成一列共有種方法，第二次取出的產(chǎn)品是二等品的共有×種方法，∴第二次取出的產(chǎn)品是二等品的概率為.（3）ξ的分布列為ξ234P∴Eξ=2×+3×+4×=。拓展探究10.在一塊傾斜放置的矩形木板上釘著一個形如“等腰三角形”的九行鐵訂,釘子之間留有間隙作為通道，自上而下第1行2個鐵釘之間有1個空隙,第2行3個鐵釘之間有2個空隙,…，第9行10個鐵釘之間有9個空隙（如圖所示)，一個玻璃球通過第1行的空隙向下滾動，玻璃球碰到第2行居中的鐵釘后以相等的概率滾入第2行的左空隙或者右空隙，以后玻璃球按類似方式繼續(xù)往下滾動，落入第9行的某一個空隙內(nèi)，最后掉入木板下方的相應(yīng)槽內(nèi)，玻璃球落入不同的球槽得到不同的分?jǐn)?shù)ξ在圖中給出，求Eξ（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）。解析：本題解決的關(guān)鍵是讀懂題意，看清圖形從第1行開始，玻璃球從一個空隙往下滾,玻璃球碰到此下方的一個鐵釘后以的概率落入鐵釘左邊空隙.同樣以的概率落入鐵釘右邊空隙,玻璃球繼續(xù)往下滾時，總有落入鐵釘左邊和右邊空隙兩種結(jié)果，直到最后掉入某一個球槽內(nèi),一共進(jìn)行了8次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，若設(shè)8次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中落入鐵釘左邊空隙的次數(shù)為η，則η-B（8，）?！逷(ξ=10）=P（η=0或η=8）=P（η=0)+P（η=8）=（）0（)8+（）8（)0=，P（ξ=8）=P（η=1或η=7)=P（η=1)+P（η=7）=(）1(）7+（）7（)1=，P（ξ=6）=P（η=2或η=6）=P（η=2）+P（η=6)=(）2（）6+（）6（）2=，P(ξ=4）=P（η=3或η=5)=P（η=3）+P（η=5)=C38（）3（）5+（）5(）3=P（ξ=2）=P(η=4）=（）4（）4=,∴Eξ=10×+8×+6×+4×+2×≈4。19.備選習(xí)題11.某同學(xué)參加科普知識競賽，需回答三個問題，競賽規(guī)則規(guī)定:每題回答正確得100分，回答不正確得-100分，假設(shè)這名同學(xué)每題回答正確的概率均為0。8，且各題回答正確與否相互之間沒有影響.（1)求這名同學(xué)回答這三個問題的總得分ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）求這名同學(xué)總得分不為負(fù)分（即ξ≥0）的概率.解析:（1）ξ的可能值為：-300，—100，100,300。P（ξ=-300）=0。23=0.008P（ξ=—100）=3×0。22×0。8=0.096P（ξ=100)=3×0。2×0.82=0。384P（ξ=300）=0。83=0.512所以ξ的分布列為：ξ-300-100100300P0.0080.0960.3840.512于是：Eξ=（—300）×0.008+（-100）×0。096+100×0.384+300×0。512=180（2）這名同學(xué)總得分不為負(fù)分的概率為P(ξ≥0）=0.384+0.512=0。896。12。在一個人數(shù)很多的單位中普查某種疾病，n個人去驗(yàn)血，可以用兩種方案進(jìn)行：（1）每個人的血分別化驗(yàn)，這需要n次；（2)按k個人一組進(jìn)行分組,把k個人的血混在一起化驗(yàn)，如果結(jié)果是陰性的，那么這k個人只作一次化驗(yàn)就夠了，如果結(jié)果是陽性的,那么就必須對這k個人逐一化驗(yàn),即對這k個人進(jìn)行k+1次化驗(yàn)，假定對所有人來說，化驗(yàn)是陽性反應(yīng)的概率都是p，且這些人的化驗(yàn)是相互獨(dú)立的,求按第二種方案這n個人平均需要化驗(yàn)的次數(shù).點(diǎn)拔：第二種方案中k個人一組化驗(yàn)，呈陰性和呈陽性時每個人的血化驗(yàn)的次數(shù)為隨機(jī)變量ξ的取值,所以第二種方案這n個人平均化驗(yàn)的次數(shù)即為nEξ.解析:按第二種方案，k個人一組化驗(yàn)，若混合呈陰性，則一個人的血化驗(yàn)次,若混合呈陽性，則一個人的血化驗(yàn)次.又k個人的混合血化驗(yàn)是陰性的概率是（1-p）k，呈陽性的概率是1-（1—p）k。于是有分布列ξP（1-p）k1-（1-p）k∴平均化驗(yàn)次數(shù)即ξ的數(shù)學(xué)期望?！郋ξ=（1—p）k+［1-（1-p）k］=1+-（1-p)k.∴按第二種方案這n個人平均需要化驗(yàn)的次數(shù)為n［1+-(1-p）k]。13.某先生居住在城鎮(zhèn)的A處，準(zhǔn)備開車到單位B處上班，若該地路段發(fā)生堵車事件都是相互獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次,發(fā)生堵車事件的概率如圖（例如A→C→D算作兩個路段:路段AC發(fā)生堵車事件的概率為，路段CD發(fā)生堵車事件的概率為）。（1）請你為其選擇一條由A到B的路線，使得途中發(fā)生堵車事件的概率最?。唬?）若記路線A→C→F→B中遇到堵車次數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望。解析:(1）記路段MN不發(fā)生堵車事件為，因?yàn)楦髀范伟l(fā)生堵車事件都是獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次。所以路線A→C→D→B中遇到堵車的概率為P1為1-P（）=1-P（）·P(）·P(）=1—［1-p(AC）][1—P(CD）]［1-P(DB)］=1-;同理路線A→C→F→B中遇到堵車的概率P2=1-P（)=(小于）;路線A→E→F→B中遇到堵車的概率為P3=1-P(）=（大于）；顯然要使得由A到B的路線途中發(fā)生堵車事件的概率最小，只可能在以上三條路線中選擇，因此選擇路線A→C→F→B可使得途中堵車事件的概率最小。(2）路線A→C→F→B中遇到堵車次數(shù)ξ可取值為0,1，2，3，P（ξ=0）=P()=；P（ξ=1）=P（）+P(）+P（)=;P（ξ=2）=P(AC·CF·）+P（AC··FB）+P(·CF·FB）=;P（ξ=3）=P（AC·CF·FB)=∴Eξ=0·。答：路線A→C→F→B中遇到堵車次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為。14。據(jù)統(tǒng)計(jì)，一年中一個家庭萬元以上財(cái)產(chǎn)被竊的概率為0.01.保險(xiǎn)公司開辦一年期萬元以上家庭財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)，參加者須交保險(xiǎn)費(fèi)100元,若在一年以內(nèi)，萬元以上財(cái)產(chǎn)被竊,保險(xiǎn)公司賠償a元（a＞100）.問a如何確定，可使保險(xiǎn)公司期望獲利?解析：設(shè)保險(xiǎn)公司的獲利為ξ,ξ所有可能的取值為100、100-a，則ξ的分布列為ξ100100-aP0.990。01∴Eξ=100·0。99+（100—a）·0.01=100—0.0