2023-2024學(xué)年四川省成都實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校高二（下）零診數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年四川省成都實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校高二（下）零診數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a2A.272 B.270 C.157 D.1532.直線l：x+y=1，圓C：x2+y2?2x?2y?2=0.則直線l被圓A.2 B.23 C.23.若f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f(x)=x22+3xf′(3)，則A.?152 B.?92 C.4.某校舉辦了數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，并將1000名學(xué)生的競(jìng)賽成績(滿分100分，成績?nèi)≌麛?shù))整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則以下四個(gè)說法正確的個(gè)數(shù)為(

)

①a的值為0.005

②估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75

③估計(jì)這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為60

④估計(jì)成績高于80分的有300人A.1 B.2 C.3 D.45.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,A.n?1 B.1n?1 C.n D.6.設(shè)函數(shù)f(x)=2x?2x?alnx在(1,2)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.[4,5] B.(5,+∞) C.[4,+∞) D.[5,+∞)7.某學(xué)校有A，B兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時(shí)隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐.如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.4.計(jì)算王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率(

)A.0.24 B.0.36 C.0.5 D.0.528.設(shè)函數(shù)f(x)=ex(2x?1)?ax+a，其中a<1，若存在唯一的整數(shù)x0，使得f(x0A.[?32e,1) B.[?32e,二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說法中正確的是(

)A.樣本數(shù)據(jù)3，4，5，6，7，8，9的第80百分位數(shù)是7.5

B.隨機(jī)變量X～B(4,p)，若E(X)=43，則D(X)=89

C.已知隨機(jī)事件A，B，且0<P(A)<1，0<P(B)<1，若P(B|A)+P(B?)=1，則事件A，B相互獨(dú)立

D.若隨機(jī)變量10.如圖，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，A.AA1?BC=1

B.AA1⊥BD

C.A11.定義：在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫作該數(shù)列的一次“美好成長”.將數(shù)列1，3進(jìn)行“美好成長”，第一次得到數(shù)列1，3，3；第二次得到數(shù)列1，3，3，9，3，…；設(shè)第n次“美好成長”后得到的數(shù)列為1，x1，x2，…，xk，3，并記anA.a3=12 B.k=2n?1

C.an+1=3a三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知點(diǎn)A(1,1,0)、B(0,3,0)、C(2,2,2)，則向量AB在AC上的投影向量是______．13.在(2x?1x)5的展開式中，x的系數(shù)為______14.已知雙曲線x264?y257=1左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為右支上一動(dòng)點(diǎn)，圓M與F1四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題15分)

如圖，四棱錐P?ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，BC=2，M為BC的中點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)B到平面PAM的距離；

(2)求平面PAM與平面PDC16.(本小題15分)

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且該數(shù)列滿足an+1=2an+3，a1=?2．

(1)求證：數(shù)列{an+3}17.(本小題15分)

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離與它到直線l：x=4的距離之比等于12，記P的軌跡為Γ.點(diǎn)A，B在Γ上，F(xiàn)，A，B三點(diǎn)共線，M為線段AB的中點(diǎn)．

(1)求證：直線OM與直線AB的斜率之積為定值；

(2)若直線y=kx?2與曲線Γ交于G，T兩點(diǎn)，求△OGT面積的最大值．18.(本小題15分)

現(xiàn)有標(biāo)號(hào)依次為1，2，…，n的n個(gè)盒子，標(biāo)號(hào)為1號(hào)的盒子里有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，其余盒子里都是1個(gè)紅球和1個(gè)白球.現(xiàn)從1號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入2號(hào)盒子，再從2號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入3號(hào)盒子，…，依次進(jìn)行到從n?1號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入n號(hào)盒子為止．

(1)當(dāng)n=2時(shí)，求2號(hào)盒子里有2個(gè)紅球的概率；

(2)當(dāng)n=3時(shí)，求3號(hào)盒子里的紅球的個(gè)數(shù)ξ的分布列；

(3)記n號(hào)盒子中紅球的個(gè)數(shù)為Xn，求Xn的期望19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ax?2lnx．

(1)試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x>1時(shí)，不等式f(x)<(x?2)lnx+2x+a?1恒成立，求整數(shù)a的最大值；

(3)當(dāng)a=0，b>0時(shí)，關(guān)于x的不等式bebx+f(x)≤2ln2有解，求正實(shí)數(shù)b的最大值．參考答案1.D

2.D

3.A

4.D

5.D

6.D

7.C

8.D

9.BCD

10.BD

11.BCD

12.(113.80

14.3

15.解：(1)依題意，棱DA，DC，DP兩兩互相垂直．以點(diǎn)D為原點(diǎn)，依次以DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．

則B(2,1,0)，P(0,0,1)，A(2,0,0)，M(22,1,0)．

可得PB=(2,1,?1)，AM=(?22,1,0)，AP=(?2,0,1)，

設(shè)平面PAM的一個(gè)法向量為n1=(x,y,z)，則n1?AM=0n1?AP=0，即?22x+y=0?2x+z=0，

令z=22，則x=216.解：(1)證明：因?yàn)閍n+1=2an+3，a1=?2，

所以an+1+3=2an+3+3=2(an+3)，a1+3=1，

顯然an+3≠0，則an+1+3an+3=2，

故{an+3}是首項(xiàng)為1，公比為17.解：(1)證明：設(shè)P(x,y)，

因?yàn)辄c(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離與它到直線l：x=4的距離之比等于12，

所以(x?1)2+y2|x?4|=12，

整理得x24+y23=1，

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x0,y0)，

可得x0=x1+x22，y0=y1+y22，

因?yàn)锳，B兩點(diǎn)均在Γ上，

所以3x12+4y12=123x22+4y22=12，

兩式相減得

3(x1?x2)(x1+x2)+4(y1?y2)(y1+y2)=0，

此時(shí)3(x18.解：(1)由題可知2號(hào)盒子里有2個(gè)紅球的概率為P=C2lC21C42=23；

(2)由題可知，ξ可取1，2，3，

P(ξ=1)=C2ξ

1

23

P7

117(3)記an?1為第n(n≥2)號(hào)盒子有三個(gè)紅球和一個(gè)白球的概率，則a1=16，

bn?1為第n(n≥2)號(hào)盒子有兩個(gè)紅球和兩個(gè)白球的概率，則b1=23,b2=1118，

則第n(n≥2)號(hào)盒子有一個(gè)紅球和三個(gè)白球的概率為1?an?1?bn?1，且bn?1=23bn?2+12an?2+119.解：(1)函數(shù)f(x)=ax?2lnx的定義域?yàn)?0,+∞)，且f′(x)=a?2x=ax?2x(x>0)，

當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)<0恒成立，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+∞)，無單調(diào)遞增區(qū)間．

當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)=0，解得x=2a，

令f′(x)<0，解得x∈(0,2a)；令f′(x)>0，解得x∈(2a,+∞)，

所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2a)，單調(diào)遞增區(qū)間是(2a,+∞)；

綜上，a≤0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+∞)，無單調(diào)遞增區(qū)間；

a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2a)，單調(diào)遞增區(qū)間是(2a,+∞)．

(2)當(dāng)x>1時(shí)，不等式f(x)<(x?2)lnx+2x+a?1恒成立，

即ax?2lnx<(x?2)lnx+2x+a?1，整理得a<xlnxx?1+1x?1+2，

原題等價(jià)于a<xlnxx?1+1x?1+2

對(duì)任意x>1恒成立，

令g(x)=xlnxx?1+1x?1+2(x>1)，

則g′(x)=(1+lnx)(x?1)?xlnx(x?1)2?1(x?1)2=x?lnx?2(x?1)2，

令?(x)=x?lnx?2，x>1，則?′(x)=1?1x=x