圖形的變化（測試）（解析版）-2025年中考數(shù)學一輪復習

第七章圖形的變化

（考試時間：100分鐘試卷滿分：120分）

選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分

1.【原創(chuàng)題】古典園林中的花窗通常利用對稱構(gòu)圖，體現(xiàn)對稱美.下面四個花窗圖案，既是軸對稱圖形又

是中心對稱圖形的是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)中心對稱圖形和軸對稱圖形定義進行解答即可.

【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

B、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

C、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

故選：C.

【點睛】此題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形定義，關鍵是掌握如果一個圖形沿著一條直線對折后

兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.如果一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。后

能夠與自身重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心.

2.如圖是一個由6個相同的正方體組成的立體圖形，它的主視圖是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)主視圖的定義判斷.

【詳解】根據(jù)主視圖的定義，從正面（圖中箭頭方向）看到的圖形應為兩層，上層有2個，下層有3個小

正方形,

故答案為：C.

【點睛】本題考查主視圖的定義，注意觀察的方向，掌握主視圖的定義判斷是解題的關鍵.

3.在直角坐標系中，把點2(瓶,2)先向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到點B.若點B的橫坐標和

縱坐標相等，則m=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】先根據(jù)平移方式確定點B的坐標，再根據(jù)點B的橫坐標和縱坐標相等列方程，解方程即可.

【詳解】解：???點4(孫2)先向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到點B,

???B(m+1,2+3),即B(m+1,5),

???點B的橫坐標和縱坐標相等，

m+1=5,

???m=4,

故選C.

【點睛】本題考查平面直角坐標系內(nèi)點的平移，一元一次方程的應用等，解題的關鍵是掌握平面直角坐標

系內(nèi)點平移時坐標的變化規(guī)律：橫坐標右加左減，縱坐標上加下減.

【新考法】數(shù)學與實際生活一一利用數(shù)學知識解決實際問題

4.如圖，小兵同學從4處出發(fā)向正東方向走x米到達B處，再向正北方向走到C處，已知=則力，

C兩處相距()

A.上米B.3米C.x-sina米D.x-cosa米

sinacosa

【答案】B

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)中余弦值的定義即可求出答案.

【詳解】解：小兵同學從a處出發(fā)向正東方向走X米到達8處，再向正北方向走到c處,

???AABC=90°,AB=X米.

AB

■■cosa=——

AC

故選：B.

【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)中的余弦值，解題的關鍵在于熟練掌握余弦值的定義.余弦值就是在直角

三角形中，銳角的鄰邊與斜邊之比.

5.如圖，把△48C以點A為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到△力DE,點、B,C的對應點分別是點。，E,且點￡在BC

的延長線上，連接BD,則下列結(jié)論一定正確的是（）

A./.CAE=乙BEDB.AB=AEC.NACE=AADED.CE=BD

【答案】A

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可解答.

【詳解】根據(jù)題意，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，

可得AC=AE,BC=DE,

無法證明力B=4E,CE=BD,故B選項和D選項不符合題意，

/.ABC=/.ADE

???Z.ACE=z.ABC+Z.BAC

：.^ACE=^ADE+ABAC,故C選項不符合題意，

^ACB=^AED

???Z.ACB=Z-CAE+Z.CEA

Z.AED—Z.CEA+Z.BED

：.乙CAE=4BED,故A選項符合題意，

故選：A.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形外角運用是解題的關鍵.

6.【原創(chuàng)題】如圖，對正方體進行兩次切割，得到如圖⑤所示的幾何體，則圖⑤幾何體的俯視圖為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)俯視圖的定義，即可進行解答.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：從該幾何體正上方看，棱4E的投影為點E,棱的投影為線段BE,棱4。的

投影為線段ED,棱4c的投影為正方形BCDE的對角線，

故選：A

【點睛】本題主要考查了俯視圖，解題的關鍵是熟練掌握俯視圖的定義：從物體正上方看到的圖形是俯視

圖.

7.如圖，在平面直角坐標中，矩形2BCD的邊AD=5,04。。=1:4,將矩形48CD沿直線0E折疊到如圖

所示的位置，線段。4恰好經(jīng)過點8,點C落在y軸的點G位置，點E的坐標是（）

A.(1,2)B.(-1,2)C.(V5-1,2)D.(1-V5,2)

【答案】D

【分析】首先證明△AOB?ADiCi。，求出4B=CD=2,連結(jié)。C,設BC與。C1交于點孔然后求出

oc=OCX=2V5,可得C/=2西一2,再用含EF的式子表示出EC「最后在RtAEFC1中，利用勾股定理

構(gòu)建方程求出EF即可解決問題.

【詳解】解：：矩形4BCD的邊4。=5,OA-.OD-1:4,

/.0A=1,0D=4,BC=5,

由題意知力BIIOG，

Z-ABO=乙。1。。1，

又???484。=4。OiG=90°,

△AOB?△OiG。，

?OAD]C]

??-9

ABOD1

由折疊知0。1=OD=4,D1cl=DC=AB,

.1_AB

"AB~4'

：.AB=2,即CD=2,

連接。C,設BC與。Cl交于點R

OC=VOD2+CD2=V42+22=2Vs,

'：Z.FOA=/.OAB=/.ABF=90°,

.?.四邊形。ABF是矩形，

：.AB=OF=2,ABFO=90°=乙EFC「OA=BF1,

CF=5—1=4,

由折疊知。G=OC=2V5,EG=EC=CF-EF=4-EF,

：.CrF=0cl-OF=2V5-2,

22

?在RtAEFC1中，EF+CrF=ECJ,

2

.,.￡F2+(2V5-2)=(4一EF)2,

解得：EF=V5-1,

點E的坐標是(1一逐,2),

故選：D.

y

a

【點睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)以及勾股定理的應用等知

識，通過證明三角形相似，利用相似三角形的性質(zhì)求出4B的長是解題的關鍵.

8.一個幾何體的三視圖如圖所示，則它表示的幾何體可能是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)三視圖判斷圓柱上面放著小圓錐，確定具體位置后即可得到答案.

【詳解】解：由主視圖和左視圖可以得到該幾何體是圓柱和小圓錐的復合體，

由俯視圖可以得到小圓錐的底面和圓柱的底面完全重合，

故選：D.

【點睛】題考查了由三視圖判斷幾何體，解題時不僅要有一定的數(shù)學知識，而且還應有一定的生活經(jīng)驗.

9.如圖，用平移方法說明平行四邊形的面積公式S=a九時，若A4BE平移至必。CF,a=4,h=3,則4

ABE的平移距離為（）

A.3B.4C.5D.12

【答案】B

【分析】根據(jù)平移的方向可得，AABE平移到ADCF,則點4與點D重合，故AABE的平移距離為4D的長.

【詳解】解：用平移方法說明平行四邊形的面積公式S=a無時，將AABE平移到△OCF,

故平移后點4與點D重合，貝必4BE的平移距離為2D=a=4,

故選：B.

【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關鍵.

10.【創(chuàng)新題】如圖，四邊形4BCD為正方形，將AEDC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。至AH8C,點D,B,"在同一

直線上，HE與4B交于點G,延長HE與CD的延長線交于點F,HB=2,HG=3.以下結(jié)論：

①NEDC=135。；②EC?=CD?CF；③HG=EF；④sin/CED=/.其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，可判斷①正確；利用三角形相似的判定及性質(zhì)可知②正確；證

明△GBH-AEOC,得到第=黑，即￡■（：=*=?,利用△HEC是等腰直角三角形，求出HE=字，

tiDHuriDzz

再證明AHGBSAH。尸即可求出EF=3可知③正確；過點E作EM_LFO交尸。于點M,求出sin/EFC=

—再證明NDEC=NEFC,即可知④正確.

EF3

【詳解】解：:△EDC旋轉(zhuǎn)得到AHBC,

:.乙EDC=4HBC,

,.NBCD為正方形，D,B,"在同一直線上，

."HBC=180°-45°=135°,

：.NEDC=135°,故①正確；

「△EOC旋轉(zhuǎn)得至!

：.EC=HC,AECH=90°,

AzHEC=45°,

：.Z.FEC=180°-45°=135°,

?:(ECD=cECF,

△EFCDEC,

.EC_FC

..DC-EC'

：.EC2=CD-CF,故②正確；

設正方形邊長為a,

■:乙GHB+乙BHC=45。,乙GHB+ZH(7B=45°,

;?乙BHC=^HGB=乙DEC,

■:(GBH=ZEDC=135°,

A△GBH?△EDC,

,DCECH[-|口"CD'HG3a

'?HB-HG'~HB~2

:△"EC是等腰直角三角形,

?HE=3ma

??-2

■:乙GHB=(FHD,乙GBH=LHDF=13S。,

：.LHBG八HDF,

.HBHG口n23

..—=—,即3a,解得：EF=3,

HDHF2+V2a-^?cr

?;HG=3,

：.HG=EF,故③正確;

過點E作EM1FD交FD于點M,

???"￡)M=45。，

U：ED=HB=2,

:?MD=ME=五,

*：EF=3,

...口廠廠MEV2

??sin^-ErC——，

EF3

VzZ)EC+zDCE=45°,Z.EFC+^DCE=45°,

:?乙DEC=LEFC,

：.sinADEC=sinNEFC=—=—,故④正確

EF3

綜上所述：正確結(jié)論有4個，

故選：D

【點睛】本題考查正方形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形相似的判定及性質(zhì)，解直角三角形，解題的關鍵是熟

練掌握以上知識點，結(jié)合圖形求解.

二.填空題(共6小題，滿分18分，每小題3分)

H.點A(1,-5)關于原點的對稱點為點8,則點B的坐標為.

【答案】(-1,5)

【分析】根據(jù)若兩點關于坐標原點對稱，橫縱坐標均互為相反數(shù)，即可求解.

【詳解】解：：點A(1,-5)關于原點的對稱點為點8,

.,.點B的坐標為(-1,5).

故答案為：(-1,5)

【點睛】本題主要考查了平面直角坐標系內(nèi)點關于原點對稱的特征，熟練掌握若兩點關于坐標原點對稱，

橫縱坐標均互為相反數(shù)是解題的關鍵.

12.【創(chuàng)新題】如圖，在扇形AOB中，點C,。在AB上，將CS沿弦CD折疊后恰好與040B相切于點E,

F.已知N40B=120。，0A=6,則底的度數(shù)為；折痕CD的長為.

OFB

【答案】60。/60度4V6

【分析】根據(jù)對稱性作。關于。的對稱點M,則點。、E、F、B都在以M為圓心，半徑為6的圓上，再

結(jié)合切線的性質(zhì)和垂徑定理求解即可.

【詳解】作。關于CD的對稱點M,則ON=MN

連接A/D、ME、MF、MO,MO交CD于■N

:將◎沿弦CD折疊

；.點D、E、F、B都在以M為圓心，半徑為6的圓上

:將6沿弦CD折疊后恰好與。4。8相切于點E,F.

J.MELOA,MF±OB

:.乙MEO=Z.MF0=90°

,：Z.AOB=120°

四邊形MEOF中NEMF=360°-Z.AOB-乙MEO-/.MFO=60°

即呼的度數(shù)為60。；

；4MEO=NMF。=90°,ME=MF

：.AMEO=^MFO(HL)

1

."EMO=Z.FMO=-ZLFME=30°

2

/.OM=———=---=4V3

COSZ.EMOcos30

:.MN=2V3

'：MO_LDC

：.DN=y/DM2-MN2=呼_(2V3)2=2n=|CD

/.CD=4V6

故答案為：60°；4V6

【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理；熟練掌握折疊的性質(zhì)作出輔助線是

解題的關鍵.

【新考法】數(shù)學與實際生活一一利用數(shù)學知識解決實際問題

13.某項目學習小組為了測量直立在水平地面上的旗桿的高度，把標桿。E直立在同一水平地面上

(如圖).同一時刻測得旗桿和標桿在太陽光下的影長分別是BC=8.72m,EF=2.18m.已知8,C,E,F在

同一直線上，AB±BC,DELEF,￡>E=2.47m,則42=m.

【答案】9.88

【分析】根據(jù)平行投影得AC〃OE,可得NACB=NDFE,證明出"BCs△.△￡)￡廠,然后利用相似三角

形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：???同一時刻測得旗桿和標桿在太陽光下的影長分別是BC=8.72m,EF=2.18m.

J.AC//DF,

：.ZACB=ZDFE,

'CABLBC,DELEF,

：.ZABC=ZDEF=90°,

RtAABCsRt^DEF,

.HD_DC日nAD_O./Z

"DE-EF'2.47-2.18’

解得AB=9.88,

旗桿的高度為9.88m.

故答案為：9.88.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在

太陽光的照射下形成的影子就是平行投影.證明及是解題的關鍵.

14.在AABC中，ZC=90°,a、b、c分別為N4、4B、/C的對邊，若廬=ac,貝!JsinA的值為

在RtAABC中，由勾股定理可知：a2+/)2=c2,

ac=b2,

■■■a2+ac=c2,

■■■a>0,b>0,c>0,

a2+acc2/a、2

:F-即Hn：d+la=l'

求出巴=卓或士=三些（舍去），

.,.在RtAABC中：5也4=￡=苫與

故答案為：二手.

【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的概念及勾股定理,熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關

鍵.在Rt△ABC中，sinA=邊,cos4=，髻t.anA,=乙—4的—對邊.

斜邊斜邊乙4的鄰邊

15.如圖，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=BC=2<2,點。為A8的中點，點P在AC上，且CP

1,將CP繞點C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點尸的對應點為點。，連接A。，DQ.當NAZ）Q=90。時，A0的長

為.

A

【答案】近或g/VH或有

【分析】連接CD,根據(jù)題意可得，當/4。。=90。時，分Q點在線段CD上和DC的延長線上，且CQ=CP=

1,勾股定理求得力Q即可.

【詳解】如圖，連接CD,

???在RtZXABC中，ZACB=90°,4C=BC=2?

AB=4,CD_LAD,

1

CD=-AB=2,

2

根據(jù)題意可得，當NA￡>Q=90。時，Q點在CD上，且CQ=CP=1,

DQ=CD-CQ=2-1=1,

如圖，在RtAADQ中，AQ=JAD2+DQ2=V22+l2=V5,

在RtA/WQ中，AD=CD=2,QD=CD+CQ=3

???AQ=yjAD2+DQ2=々2+32=V13

故答案為：或“

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，確定點Q的位置是解題的關

鍵.

16.如圖，在△48C中，。是邊4B上一點，按以下步驟作圖：①以點4為圓心，以適當長為半徑作弧，分

別交4B,4C于點M,N；②以點。為圓心，以力M長為半徑作弧，交DB于點M'；③以點為圓心，以MN

長為半徑作弧，在N8"內(nèi)部交前面的弧于點N，：④過點N，作射線DN咬BC于點￡若ABDE與四邊形

4或。的面積比為4:21,則差的值為.

【分析】根據(jù)作圖可得ABDE=41,然后得出DEII4C,可證明ABDESABAC,進而根據(jù)相似三角形的性

質(zhì)即可求解.

【詳解】解：根據(jù)作圖可得/即組=乙4,

：.DE\\AC,

△BDEBAC,

ABDE與四MACED的面積比為4：21,

.SABDC=_±_=fBE\2

S^BAC~21+4-\BC)

.BE_2

"BC~5

,BE_2

??~CE~=一3，

故答案為：|.

【點睛】本題考查了作一個角等于已知角，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握基本作圖與相似三角形的

性質(zhì)與判定是解題的關鍵.

三.解答題(共9小題，滿分72分，其中17、18、19題每題6分，20題、21題每題7分，22題8分，23

題9分，24題10分，25題13分)

17.先化簡，再求值：1+1—六)+貯魯其中a=tan45o+G)-1—iT°

【答案】三，0

a+2

【分析】先算括號內(nèi)的減法，再將除法變成乘法進行計算，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)，負指數(shù)累和零次癌的

性質(zhì)求出最后代入計算.

【詳解】解：(a+/三)一1等1

(a2—13\(a+2)2

yCL-1CL-1jCL-1

_a2-4(a+2)2

a—1ct—1

(a+2)(a—2)CL—1

ct—1(a+2)2

--a-2?

a+2‘

?：a=tan45°+(j)-1—TT°=1+2—1=2,

原式===三=0.

a+22+2

【點睛】本題考查了分式的化簡求值，銳角三角函數(shù)，負指數(shù)幕和零次幕的性質(zhì)，熟練掌握運算法則是解

題的關鍵.

18.如圖，在平面直角坐標系中，AABC的三個頂點分別是A(1,3),B(4,4),C(2,1).

(1)把△ABC向左平移4個單位后得到對應的請畫出平移后的

(2)把△ABC繞原點。旋轉(zhuǎn)180。后得到對應的AABzCz,請畫出旋轉(zhuǎn)后的AAZ&CZ;

(3)觀察圖形可知，A4乃］。與ZkA232c2關于點()中心對稱.

>

X

【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析；(3)-2,0.

【分析】(1)依據(jù)平移的方向和距離，即可得到平移后的

(2)依據(jù)AABC繞原點。旋轉(zhuǎn)180。，即可畫出旋轉(zhuǎn)后的AA282c2；

(3)依據(jù)對稱點連線的中點的位置，即可得到對稱中心的坐標.

【詳解】解：(1)如圖所示，分別確定平移后的對應點41，/，6,

得到即為所求；

(2)如圖所示，分別確定4B,C旋轉(zhuǎn)后的對應點42*2，。2，

得到△A2&C2即為所求；

C21'O

5

2—

,

（3）由圖可得，與△A2B2C2關于點（一2,0）成中心對稱.

故答案為：-2,0.

【點睛】本題考查的是平移，旋轉(zhuǎn)的作圖，以及判斷中心對稱的對稱中心的坐標，掌握以上知識是解題的

關鍵.

19.在數(shù)學活動課上，王老師要求學生將圖1所示的3x3正方形方格紙，剪掉其中兩個方格，使之成為軸

對稱圖形.規(guī)定：凡通過旋轉(zhuǎn)能重合的圖形視為同一種圖形，如圖2的四幅圖就視為同一種設計方案（陰

影部分為要剪掉部分）

D

BHC

圖1圖2

請在圖中畫出4種不同的設計方案,將每種方案中要剪掉的兩個方格涂黑（每個3x3的正方形方格畫一

種，例圖除外）

圖3

【答案】見解析.

【分析】根據(jù)軸對稱圖形和旋轉(zhuǎn)對稱圖形的概念作圖即可得.

【詳解】解：根據(jù)剪掉其中兩個方格，使之成為軸對稱圖形；即如圖所示:

S3

【點睛】本題主要考查利用旋轉(zhuǎn)設計圖案，解題的關鍵是掌握軸對稱圖形和旋轉(zhuǎn)對稱圖形的概念.

【新考法】數(shù)學與實際生活一一利用數(shù)學知識解決實際問題

20.我市的花果山景區(qū)大圣湖畔屹立著一座古塔一阿育王塔，是蘇北地區(qū)現(xiàn)存最高和最古老的寶塔.小

明與小亮要測量阿育王塔的高度，如圖所示，小明在點a處測得阿育王塔最高點C的仰角NC4E=45。，再

沿正對阿育王塔方向前進至B處測得最高點C的仰角NCBE=53°,AB=10m；小亮在點G處豎立標桿FG,

小亮的所在位置點標桿頂F、最高點C在一條直線上，F(xiàn)G=1.5m,GD=2m.（注：結(jié)果精確到

0.01m,參考數(shù)據(jù)：sin53°?0.799,cos53°?0.602,tan53°?1.327)

ABEG〃

(1)求阿育王塔的高度CE;

⑵求小亮與阿育王塔之間的距離ED.

【答案】⑴40.58m

(2)54.11m

【分析】⑴在CEB中，由tan53。=解方程即可求解.

BECE—10

(2)證明Rt△FGD-Rt△CED,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】⑴在RMCCE中,VzCi4￡1=45°,

：.CE=AE.

9：AB=10,

：.BE=AE-10=CE-10.

在CEB中，由tan53。=*=

BECE-10

得tan53°(CE-10)=CE,

解得CE?40.58.

經(jīng)檢驗CEx40.58是方程的解

答：阿育王塔的高度約為40.58m.

(2)由題意知RtAFGD-RMCED,

.FG_GD

??—f

CEED

prt1.52

即---=—,

40.58ED

：.EDx54.11.

經(jīng)檢驗EDx54.11是方程的解

答：小亮與阿育王塔之間的距離約為54.11m.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，相似三角形的應用，掌握以上知識是解題的關鍵.

【新考法】閱讀理解題

21.中國清朝末期的幾何作圖教科書《最新中學教科書用器畫》由國人自編（圖1）,書中記載了大量幾何

作圖題，所有內(nèi)容均用淺近的文言文表述，第一編記載了這樣一道幾何作圖題：

原文釋義

甲乙丙為定直角.

如圖2,N2BC為直角.

以乙為圓心，以任何半徑作丁戊??；

以點B為圓心，以任意長為半徑畫弧，交射線B4BC分別于

以丁為圓心，以乙丁為半徑畫弧得交

點。，E；

點己；

以點。為圓心，以BD長為半徑畫弧與近交于點尸；

再以戊為圓心，仍以原半徑畫弧得交

再以點E為圓心，仍以BD長為半徑畫弧與北交于點G；

點庚；

作射線BF,BG.

乙與己及庚相連作線.

圖1圖2（1）根據(jù)以上信息，請你用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，在圖2中

完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫作法）;

⑵根據(jù)（1）完成的圖，直接寫出NDBG,乙GBF,NFBE的大小關系.

【答案】⑴見解析

⑵乙DBG=乙GBF=4FBE

【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形即可；

（2）連接DREG,可得ABOF和ABEG均為等邊三角形，乙DBF=AEBG=6?！?進而可得/。BG=

乙GBF=乙FBE=30°.

【詳解】（1）解：（1）如圖:

(2)乙DBG=乙GBF=乙FBE.

理由：連接。尸，EG如圖所示

貝IJ2￡>=2尸=￡>RBE=BG=EG

即48。尸和48EG均為等邊三角形

."DBF=乙EBG=60°

VZXBC=90°

:.乙DBG=乙GBF=Z.FBE=30°

【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，根據(jù)題意正確作出圖形是解題的關鍵.

22.如圖CD是。。直徑，A是。。上異于C,。的一點，點2是DC延長線上一點，連接AB、AC.AD,且

Z.BAC=/.ADB.

(1)求證：直線4B是。。的切線；

⑵若BC=2OC,求tanNaD8的值；

(3)在(2)的條件下，作NC4D的平分線力P交。。于尸，交CD于E,連接PC、PD,若AB=2網(wǎng),求4E?

AP的值.

【答案】⑴見解析

(3)472

【分析】(1)如圖所示，連接OA,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到NOAC+NO4D=90。，再證明

AOAD=NB4C即可證明結(jié)論；

(2)先證明ABai"△BAD,得到絲=吧，令半徑。C=04=r,貝?。軧C=2r,OB=3r,利用勾股定理

ADBA

求出4B=2/r,解直角三角形即可答案；

222

(3)先求出0=2同在RtACW中，有=號，AC+AD=CD,解得AC=2,AD=2VL證明△

CAP-^EAD,得到生="，則4E-4P=404。=4&.

AEAD

【詳解】(1)解：如圖所示，連接04

?.?co是。。直徑，

：.Z.CAD=90°,

：.^0AC+Z.0AD=90°,

又???。4=0D,

/.Z.0AD=Z.0DA,

,：AC=^LADB,

：.^0AD=/-BAC,

：./-BAC+^OAC=90°,即484。=90°,

：.AB10Af

又???。4為半徑，

直線4B是。。的切線；

⑵解：'J/.BAC=/.ADB,4B=4B,

△BCAs&BAD,

.AC_BC

""AD-BA,

由8c=20C知，令半徑0C=04=r,則BC=2r,OB=3r,

在Rt△BA。中，AB=y/OB2-0A2=2s/2r,

在Rt△CAD中，tan/ADC=—=—=^=—,

ADBA2y/2r2

BPtanZi4￡)B=?；

A

BD

P

(3)解：在(2)的條件下，AB=2V2r=2V6,

r—V3)

/.CD=2V3,

在RtACAD中，*今AC-+AD-=CD-,

解得4c=2,AD=2A/2,

平分“a。,

J./.CAP=Z.EAD,

又\ZPC=/LADE,

△CAPEAD,

,ACAP

??--=--9

AEAD

：.AE-AP=AC-AD=2x22=4位.

【點睛】本題主要考查了圓切線的判定，直徑所對的圓周角是直角，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三

角形，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等等，熟知相關知識是解題的關鍵.

23.如圖，在AABC巾，^ABC=30°,48=4C,點。為的中點，點。是線段0c上的動點(點。不

與點O,C重合)，將△力CD沿折疊得到△力ED,連接BE.

備用圖

(1)當2E18c時，乙AEB=°；

⑵探究N4EB與NC4D之間的數(shù)量關系，并給出證明；

(3)設力C=4,△4CD的面積為無，以AO為邊長的正方形的面積為y,求y關于x的函數(shù)解析式.

【答案】(1)60

(2)4AEB=30°+/.CAD

(3)y=(2V3-x)2+4

【分析】(1)首先由折疊的性質(zhì)可得AC=AE=AB,再由等腰三角形的性質(zhì)可求解；

(2)首先由折疊的性質(zhì)可得AE=AC,乙CAD=AEAD,再由等腰三角形的性質(zhì)可得AC=AE=AB,

Z.ABE=Z.AEB,最后根據(jù)角度關系即可求解；

(3)首先由等腰直角三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求4。的長，由勾股定理可求。D的長，最后根據(jù)

面積和差關系可求解.

【詳解】(1)???^ABC=30°,AB=AC,AE1BC,

???乙BAE=60°,

?.?將A4CD沿4。折疊得到A4ED,

???AC—AE,

???AB—AE,

???AABE是等邊三角形，

???乙AEB=60°,

故答案為：60；

(2)AAEB=^理由如下：

???將AAC。沿/。折疊得至必AED,

AE=AC,Z.CAD=Z.EAD,

???乙ABC=30°,AB=/C,

??.ABAC=120°,

ABAE=120°-2zfX￡),

vAB=AE=AC,

：.AAEB=180。-(120。-2皿D)=30。+aCAD

2

(3)如圖，連接。4,

VAB=AC,點。是BC的中點，

???OA1BCf

???乙ABC=^ACB=30°,AC=4,

???AO—2,OC—2A/3,

???OD2=AD2-AO2,

???OD=Jy-4,

ii

,?*SA4℃=&xOCxAO——xODxOA?

x——X2X2*\/3——X2XJy-4,

y=(2-\/3-x)2+4.

【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是熟練

掌握相關性質(zhì)并能夠靈活運用.

24.【創(chuàng)新題】綜合與實踐

問題情境：在RdABC中，ZBAC=9Q°,AB=6,AC=8.直角三角板EDE中/EOF=90。，將三角板的直角

頂點。放在Rt^ABC斜邊BC的中點處,并將三角板繞點。旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊。E,。尸分別與邊A8,

AC交于點M,N,猜想證明:

E

(1)如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當點M為邊A8的中點時,試判斷四邊形AMON的形狀，并說明理

由；

問題解決:

(2)如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當=時，求線段CN的長;

(3)如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當時，直接寫出線段m的長.

【答案】(1)四邊形AMDN為矩形；理由見解析；(2)CN=g；(3)AN=弓

【分析】(1)由三角形中位線定理得到MDII4C,證明/A=NAM￡)=/MDN=90。，即可證明結(jié)論;

(2)證明ANOC是等腰三角形，過點N作NG_LBC于點G,證明△CGNSACAB,利用相似三角形的性質(zhì)

即可求解；

(3)延長ND,使DH=DN,證明ABZ汨0△CON,推出①/=CN,ZDBH=ZC,證明NAffi#=90。，設

AM=AN=x,在RfABMH中,利用勾股定理列方程，解方程即可求解.

【詳解】解：(1)四邊形AMDV為矩形.

理由如下：：點M為AB的中點，點。為BC的中點，

：.MD\\AC,

：.NAAffl+NA=180°,

,?ZA=90°,

/.ZAMD=90°,

,?ZEDF=90°,

：.ZA=ZAMD=ZMDN=9Q°,

四邊形AMDN為矩形；

(2)在RfAABC中，ZA=90°,AB=6,AC=8,

ZB+ZC=90°,BC=yjAB2+AC2=10.

?點。是3C的中點，

1

：.CD=-BC=5.

2

NED尸=90。，

???ZMDB+Z1=9O°.

?IZB=ZMDB,

：.Z1=ZC.

：.ND=NC.

過點N作NG_LBC于點G,貝!JNCGN=9O。.

Z.CG=-CD=-.

22

???NC=NC,ZCGN=ZCAB=90°,

:.bCGNsRCAB.

5

.CG_CN日門5_CN

CACB810

25

:?CN-

(3)延長ND至H,使DH=DN,連接M”，NM,BH,

H

■:MD工HN,：?MN=MH,

???。是5C中點，

:.BD=DC,

又,：/BDH=/CDN,

：./\BDH^/\CDN,

；?BH=CN,ZDBH=ZC,

'：ZBAC=90°,

VZC+ZABC=90°,

???ZDBH+ZABC=90°f

：.ZMBH=90°,

AM=AN=x,貝BH=CN=8-x,MN=MH=>/2xf

222

在放中，BM+BH=MHf

(6-X)2+(8-X)2=(V2X)2,

解得x=F，

線段AN的長為

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，勾股定理，解第

(3)問的關鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

25.已知二次函數(shù)y=-；久2+6%+c圖像的對稱軸與x軸交于點4(1,。)，圖像與y軸交于點3(0,

4

3),C、。為該二次函數(shù)圖像上的兩個動點(點C在點。的左側(cè))，且NC4D=90。.

⑴求該二次函數(shù)的表達式；

⑵若點C與點、B重合，求tanZCDA的值；

(3)點C是否存在其他的位置，使得tan/C/M的值與(2)中所求的值相等？若存在，請求出點C的坐

標；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)丫=一：/+：%+3

4Z

(2)1

(3)(-2,1),(3-VT7,V17-2),(-l-V17,-2-VT7)

【分析】(1)二次函數(shù)與y軸交于點B(