分式（講義）（原卷版）-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第03講分式

目錄

考點三分式的運算

一、考情分析題型01分式的加減法

二、知識建構(gòu)題型02分式的乘除法

考點一分式的相關(guān)概念題型03分式的混合運算

題型01分式的判斷題型04分式的化簡求值

題型02利用分式有無意義的條件，求未題型05零指數(shù)幕

知數(shù)的值或取值范圍題型06分式運算的八種技巧

題型03利用分式值為正、負(fù)數(shù)或0的條技巧一約分計算法

件，求未知數(shù)的值或取值范圍技巧二整體通分法

題型04約分與最簡公式技巧三換元通分法

題型05最簡公分母技巧四順次相加法

考點二分式的基本性質(zhì)技巧五裂項相消法

題型01利用分式的基本性質(zhì)進行變形技巧六消元法

題型02利用分式的基本性質(zhì)判斷分式技巧七倒數(shù)求值法

值的變化技巧八整體代入法

題型03利用分式的符號法則，將分式恒

等變形

考點要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測

在中考，主要考查分

分式的相關(guān)概念>理解分式和最簡分式的概念.

式的意義和分式值為零

情況，常以選擇題、填空

分式的基本性質(zhì)>能利用分式的基本性質(zhì)進行約分與通分.題為主；分式的基本性質(zhì)

和分式的運算考查常以

選擇題、填空題、解答

分式的運算>能對簡單的分式進行加、減、乘、除運算.

題的形式命題.

考點一分式的相關(guān)概念

f夯基?必備基礎(chǔ)知識梳理__________

分式的概念：如果A,B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子g叫做分式，A為分子，B為分母.

對于分式3來說：①當(dāng)BWO時，分式有意義；當(dāng)B=0時，分式無意義.

②當(dāng)A=0且BWO這兩個條件同時滿足時，分式值為0.

③當(dāng)A=B時，分式的值為1.當(dāng)A+B=O時，分式的值為-1.

④若9>0，則A、B同號；若，〈。，則A、B異號.

約分的定義：把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫分式的約分.

最簡公式的定義：分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式.

通分的定義：把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母分式，這一過程叫做分式的通分.

通分步驟：①定最簡公分母；②化異分母為最簡公分母.

約分與通分的聯(lián)系與區(qū)別：

聯(lián)系都是根據(jù)分式的基本性質(zhì)對分式進行恒等變形，即每個分式變形之后都不改變原分式的值.

區(qū)別1）約分是針對一個分式而言，約分可使分式變簡單.

2）通分是針對兩個或兩個以上的分式來說的，通分可使異分母分式化為同分母分式.

最簡公分母的定義：通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次鼎的積作為公分母，這樣的

分母叫做最簡公分母.

確定最簡公分母的方法：

類型方法步驟

1）取單項式中所有系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡公分母的系數(shù)；

分母為單項式

2）取單項式中每個字母出現(xiàn)的最高次數(shù)作為最簡公分母中該字母的次數(shù).

1）對每個分母因式分解；

分母為多項式2）找出每個出現(xiàn)的因式的最高次累，它們的積為最簡公分母；

3）若有系數(shù),求各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡公分母的系數(shù).

1.判斷一個式子是不是分式，需看它是否符合分式的條件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化簡

后再判斷，例如：”就是分式.

a

2.分式的值為0,必須保證分母W0,否則分式無意義.

3.約分是對分子、分母同時進行的，即分子的整體和分母的整體都除以同一個因式,約分要徹底，使分子、

分母沒有公因式，而且約分前后分式的值相等.

4.約分與通分都是根據(jù)是分式的基本性質(zhì).約分的關(guān)鍵是找出分子和分母的公因式，通分的關(guān)鍵是確定幾

個分式的最簡公分母.

.提升-必考題型歸納

題型01分式的判斷

【例1】（2。22?湖南懷化?中考真題）代數(shù)式|x，i,島,X-|-%*中，屬于分式的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【變式1-1］（2。22?上海?上外附中校考模擬預(yù)測）下列各式中：半，手,嬰,思萬，子，，+押,

是分式的共有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式1-2］（2021?四川遂寧?中考真題）下列說法正確的是（）

A.角平分線上的點到角兩邊的距離相等

B.平行四邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形

C.在代數(shù)式\2x,985,-+2b,"y中，。2b是分式

aJia3aTta

D.若一組數(shù)據(jù)2、3、x、1、5的平均數(shù)是3,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是4

判斷式子是不是分式是從原始形式上看，看分母是否還有字母，而不是從化簡后的結(jié)果上看，如:

4a

一就是分式，而不是整式.

a

題型02利用分式有無意義的條件，求未知數(shù)的值或取值范圍

【例2】（2023?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）使分式會有意義的x的取值范圍是.

【變式2-1］（2022?黑龍江哈爾濱?中考真題）在函數(shù)y=羔中，自變量x的取值范圍是.

【變式2-2］（2023?河南南陽?校聯(lián)考三模）若代數(shù)式上無意義，則實數(shù)x的值是—.

【變式2-3］（2023?山東臨沂?一模）要使分式交二無意義，則x的取值范圍是______.

X+1

【變式2-4］（2023?湖北恩施?一模）函數(shù)y=旦的自變量x的取值范圍是（）

Jx-3

A.xH3B.x>3C.xZ—1且xW3D.x>—1

方法技巧

1.分式有意義的條件：分式的分母不等于0.

2.分式無意義的條件：分式的分母等于0.

題型03利用分式值為或負(fù)數(shù)或0的條件，求東知數(shù)的值或取值范圍

【例3】（2023?浙江湖州?中考真題）若分式目的值為0,則x的值是（）

A.1B.0C.-1D.-3

2

【變式3-1］（2023?四川涼山?中考真題）分式0的值為0,貝收的值是（）

x-1

A.0B.-1C.1D.0或1

|m|-4

【變式3-2］（2023?河北廊坊??？既＃┤舴质?=0,則（）

m2-16

A.m=4B.m=—4

C.m=±4D.不存在m,使得黑=。

【變式3-3］（2021?江蘇揚州?中考真題）不論x取何值，下列代數(shù)式的值不可能為。的是（）

A.x+1B.x2-1。擊D.(x+I)2

【變式3-4］（202!南充市一模）若分式律的值是負(fù)數(shù)，則x的取值范圍是（）

.、3

A.x>-Bx>C.x<|D.x智

2-l

【變式3-5】分式出的值為負(fù)數(shù)的條件是（）

A.x<3B.x>0且xW1

C.x<1且xH0D.0<x<3,且xW1

【變式3-6】若分式合的值大于零，則x的取值范圍是

（X-

【變式3-71下列關(guān)于分式的判斷，正確的是（)

A.當(dāng)x=2時，=的值為零B.當(dāng)X為任意實數(shù)時，島的值總為正數(shù)

x-2

C.無論X為何值，三不可能得整數(shù)值D.當(dāng)x力3時，濘有意義

X+1

方法技巧

1）分式值為0的條件：分式的分子等于0且分母不等于0,這兩個條件必須同時考慮，進而求解問題.

2）分式值為正的條件：分式的分子、分母同號.

3）分式值為負(fù)的條件：分式的分子、分母異號.

題型04約分與最簡分式

【例4】（2023?甘肅蘭州?中考真題）計算：貯二更=（）

a-5

A.a-5B.a+5C.5D.a

【變式4-1］（2022?貴州銅仁?中考真題）下列計算錯誤的是（

2-3

A.I-21=2B.a-ac.老二=a+1D.(a2)3=a3

11aa-1

【變式4-2］（2023?河北保定?模擬預(yù)測）如圖，若x為正整數(shù),則表示分式M的值落在（)

①②③④

,―一、?,-—

/，、、//、、//、、//、、

卜WWWNA

-10123

A.段①處B.段②處C.段③處D.段④處

【變式4-3］（2023?安徽?中考真題）先化簡，再求值：士上，其中x=/-1.

x+1

【變式4-4］（2021?河北?模擬預(yù)測）下列分式屬于最簡分式的是（）

A.塔B."C.史叱D,立史

5x2y-xx+yx+3y

方法技巧

分式的約分子和分母必須都是乘積的形式才能進行約分，約分要徹底，使分子、分母沒有公因式.

確定分子、分母的公因式的方法：

分子、分母類型具體方法

單項式1）系數(shù)取各系數(shù)的最大公約數(shù);2）相同字母取字母的最低次幕.

多項式先把分子、分母進行因式分解,再確定公因式

題型05最簡公分母

【例5】（2021?河北唐山?一模）要把分式心;與左券通分，分式的最簡公分母是（）

2a2babzc

A.2a2b2cB.2a3b3C.2a3b3cD.6a3b3c

【變式5-1］（2021?內(nèi)蒙古?二模）分式右，生的最簡公分母是______,士+』=_________

—az+laz+a—az+laz+a

考點二分式的基本性質(zhì)

夯基?必備基礎(chǔ)能識

AA?C

分式的基本性質(zhì):分式的分子和分母同乘（或除以）一個不等于°的整式'分式的值不變.即:后=-（C.0）

或白篝C°），其中A，B，C是整式.

分式符號法則：分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個,分式的值不變，即：［=蕓=一二

D-DD

A

易易錯

運用分式的基本性質(zhì)時，要注意：①限制條件：同乘（或除以）一個不等于0的整式;

②隱含條件：分式的分母不等于0.

提升-必考題型歸納

題型01利用分式的基本性質(zhì)進行變形

【例1】（2023?廣東茂名?一模）下列等式中正確的是（）

-aa+a7

A—二--B?/震cD.-=—

*bb+b-bb2

【變式1-1］（2023?福建福州?模擬預(yù)測）下列分式從左到右變形錯誤的是（）

C1ca?—4a—2

AA.—=-B.八生D.---------=------

5c54a4aba2+4a+4a+2

方法技巧

分式的基本性質(zhì)是分式恒等變形和分式運算的理論依據(jù)，正確理解和熟練掌握這一性質(zhì)是學(xué)好分式

的關(guān)鍵，利用分式的基本性質(zhì)可將分式恒等變形，從而達到化簡的分式，簡化計算的目的.

題型02利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化

【例2】（2023南通市二模）如果把分式中的x和y都擴大到原來的20倍，那么分式的值（）

A.擴大到原來的20倍B.縮小到原來的高

C.擴大到原來的2倍D.不變

【變式2-1］如果將分式立片中x,y都擴大到原來的2倍，則分式的值（）

x+y

A.擴大到原來的2倍B.不變

C.擴大到原來的4倍D.縮小到原來的!.

4

【變式2-2］（2022?河北?一模）如果要使分式二三的值保持不變，那么分式應(yīng)（）

A.a擴大2倍，b擴大3倍B.a,b同時擴大3倍

C.a擴大2倍，b縮小3倍D.a縮小2倍，b縮小3倍

【變式2-3］（2022武安市中考二模）若m,n的值均擴大到原來的3倍，則下列分式的值保持不變的是（）.

AA.-m-+-3D.—

nB?瑞c?震m-n

題型03利用分式的符號法則，將分式恒等變形

【例3】（2022年湖北省黃岡咸寧孝感三市中考模擬）不改變分式的值，使分子、分母的第一項系數(shù)都是正

數(shù)，則葺$一

【變式3-1］（2023?河北石家莊?二模）若A=A（m豐n）,則A可以是（）

.n—3

A.——B.—c.—D.—

m-3m+3-mm2

【變式3-2］（2022邢臺市新河縣二模）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式可變形為（）

a-D

a-a-a-a

ABc-FD.--

-啟-京b-a

考點三分式的運算

夯基-必備基礎(chǔ)知識梳理

分式運算說明

1）同分母：分母不變，分子相加減，即：巴士2=出.

CCC

分式的加減法

2）異分母：先通分，化為同分母的分式，再加減.即：胃土：=喀.

1）乘法：用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母.即：￡?（=熟

分式的乘除法

2）除法：把除式的分子、分母顛倒位置，再與被除式相乘.即：￡+5=￡?&=等

babeb*c

分式的乘方把分子、分母分別乘方，即：的7號

\bJbn

運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減。有括號的，先算括號里的.靈活運用運算

分式的混合運算

住.話留年里必締星曷簡介忒或塾擾____________________________________________,

1.異分母分式通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，通分時應(yīng)確定幾個分式的最簡公分母.

2.整式和分式進行運算時，可以把整式看成分母為1的分式.

3.分式與分式相乘，

①若分子、分母是單項式，則先將分子、分母分別相乘，然后約去公因式，化為最簡分式或整式；

②若分子、分母是多項式，則先把分子、分母分解因式，看能否約分，再相乘.

4.當(dāng)分式與整式相乘時,要把整式與分子相乘作為積的分子,分母不變.

5.乘方時,一定要把分式加上括號,并且一定要把分子、分母分別乘方.

6.分式乘方時,確定乘方結(jié)果的符號與有理數(shù)乘方相同，即：

①正分式的任何次塞都為正；②負(fù)分式的偶次幕為正,奇次幕為負(fù).

7.分式乘方時,分式的分子或分母是多項式時,應(yīng)把分子、分母分別看作一個整體.

\a-bJ（a-bYa2-b2

8.分式的混合運算，一般按常規(guī)運算順序，但有時應(yīng)先根據(jù)題目的特點，運用乘法的運算律進行靈活運

算.

一提升?必考題型幽

題型01分式的加減法

【例1】（2023?天津?中考真題）計算￡-看的結(jié)果等于（)

D-*

A.-1B.x—1c-a

【變式「1】（2021?黑龍江大慶?中考真題）已知b>a>0,則分式:與含的大小關(guān)系是（）

Db+\

a〃+1-aQ+1

A.—<------B..二---------D.不能確定

bb+1bb+1c?公震

【變式「2】（2023?上海?中考真題）化簡：￡一息的結(jié)果為——.

【變式1-3］（2023?吉林?中考真題）下面是一道例題及其解答過程的一部分，其中M是單項式.請寫出單

項式M,并將該例題的解答過程補充完整.

例先化簡，再求值：弟一段，其中a=10。.

2

解：原式=a1

a(a+l)a(a+l)

【變式『4】（2023?江蘇南京?校聯(lián)考三模）已知a>0,b>0,證明：-+

aba+b

B2.x—6

【變式1-5］（2021?四川樂山?中考真題）已知￡一，求、的值.

X_±2—x(%—l)(x-2)2B

題型02分式的乘除法

【例2】（2023?河北?中考真題）化簡/I的結(jié)果是（）

A.xy6B.xy5C.x2y5D.x2y6

【變式2-1］（2022?內(nèi)蒙古?中考真題）下列計算正確的是（）

,iC

A.a3+a3=a6Bn-a+b『a'言一六=2D-O3=￡

【變式2-2］（2022?河北石家莊?一模）若百丁y2—x2.運算的結(jié)果為整式，則“口”中的式子可能是（）

A.y—xB.y+xC.2xD.-

X

2

【變式2-3】關(guān)于式子.X-9喜，下列說法正確（）

X2+6X+9

A.當(dāng)x=3時，其值為0B.當(dāng)x=—3時，其值為2

C.當(dāng)0<x<3時，其值為正數(shù)D.當(dāng)x<0時，其值為負(fù)數(shù)

【變式2-4］（2023?安徽?一模）計算（一的結(jié)果是（）

A.m3B.—mC.m2D.m

【變式2-5］（2023?江蘇揚州?中考真題）計算：⑴四+tan6O。；（2）臺|+伍-。）.

題型03分式的混合運算

【例3】（2022?山東威海?中考真題）試卷上一個正確的式子（2+々）+*=2被小穎同學(xué)不小心滴上

a+ba-ba+b

墨汁.被墨汁遮住部分的代數(shù)式為（）

A.義B.㈡C.啖D.

a-baa+b/一從

【變式3-1］（2023?遼寧大連?中考真題）計算：（去+方\卜三.

+3d—y）2,CI+O

【變式3-2］（2023?四川瀘州?中考真題）化簡：（如F+m-l）+=.

\m+1/m+1

【變式3-3］（2023?江西?中考真題）化簡（系+a）.下面是甲、乙兩同學(xué)的部分運算過程：

￡解：原式=［（優(yōu)可

甲同學(xué)

解：原式=2L?年1+JL?年1*

x+1xx-1X

.?

乙同學(xué)

（1）甲同學(xué)解法的依據(jù)是,乙同學(xué)解法的依據(jù)是；（填序號）

①等式的基本性質(zhì)；②分式的基本性質(zhì)；③乘法分配律；④乘法交換律.

（2）請選擇一種解法，寫出完整的解答過程.

題型04分式的化簡求值

計算—的值是（）

［例4］（2023?湖北武漢?中考真題）已知/-x-l=0,

A.1B.-1C.2D.—2

2

（AX+X—1廿+/—

【變式4-1］（2023?福建?中考真題）先化簡，再求值：1?2，其中X—V2—1.

Vx）x-x

【變式4-2］（2023?北京?中考真題）已知x+2y—1=0,求代數(shù)式/二藍年的值?

【變式4-3］（2023?四川廣安?中考真題）先化簡，+1土,再從不等式-2＜。＜3中選擇一

）a產(chǎn)+2；a+l

個適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，代入求值.

【變式4-4】（2。23?山東濱州?中考真題）先化簡，再求值：-鼻）其中。滿足

方法技巧

先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應(yīng)的值代入求出分式的值.在化簡的過程中要注意運算順序

和分式的化簡.化簡的最后結(jié)果分子、分母要進行約分，注意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式.

【規(guī)律方法】分式化簡求值時需注意的問題

1）化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值.化簡時不能跨度太大，而缺少必要的步

驟，代入求值的模式一般為“當(dāng)…時，原式=???”.

2）代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法.解題時可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方

法.當(dāng)未知數(shù)的值沒有明確給出時，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能

為0.

題型05零指數(shù)塞

【例5】（2023?山東聊城?中考真題）（—2023）。的值為（）A.0B.IC.-1D.一康

【變式5-1］（2022?四川南充?中考真題）比較大?。?-23。.（選填＞，=,＜）

【變式5-2］（2021?重慶?中考真題）計算：1）°=.

【變式5-3］（2023?湖南?中考真題）下列計算正確的是（）

A.^-=a2B.（a2）3=a5

a3

ab/n。

c-7d-（4）=1

【變式5-4］（2022?浙江衢州?中考真題）計算結(jié)果等于2的是（）

A.|-2|B.-|2|C.2TD.（-2）°

題型06分式運算的八種技巧

技巧一約分計算法

方法介紹：在通分比較麻煩的情況下，我們可以先將分子、分母因式分解，因式分解后進行約分，最后通

分計算.

【例6】（2022?浙江衢州?中考真題）化簡：照+充.

【變式6-1］（2022?廣東揭陽?二模）下面是小明同學(xué)進行分式化簡的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)問題.

%2-92x+l

+6%+92x+6

(x+3)(x—3)2%+l

第一步

(%+3)22(x+3)

_x-32x+l

第二步

x+32(%+3)

2(%—3)2x+l

-2(x+3)2(x+3)第三步

2.x—6一(2%+1)

—2(%+3)第四步

_2%—6—2x+l

—2(%+3)第五步

_5第六步

2x4-6

⑴填空：

①以上化簡步驟中，第一步是進行分式的通分，通分的依據(jù)是」

②第步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是；

（2）請直接寫出該分式化簡后的正確結(jié)果：

技巧二整體通分法

方法介紹：可以通過加括號或化為分母為1的分?jǐn)?shù)，將整數(shù)部分看成一個整體，再進行化簡通分得出答案.

【例7】（2023?陜西西安??？级＃┗啠?+空止—2a+b.

2a+b2a+b

2

【變式7-1］（2023?浙江嘉興?一模）化簡：久+1+工.以下是小嘉同學(xué)的解答過程：

%2

X+1+-------=(%+1)(%—1)—X2你認(rèn)為他的解法是否正確？（）

X人

若正確，請在括號內(nèi)打r”；

=x2—41—X7

=-1若錯誤，請在括號內(nèi)打“X”，并寫出正確的解答過程.

【變式7-2］（2021?河南信陽?河南省淮濱縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）計算.

⑴(1-沙三

小、bb3ab+b1

(2)------+—-----------------+———-

ci—bci—2。h+abb—a

⑶㈡一3+(1。2+廬

\a+ba-bj\a2-2ab+b2

⑷匕-a-l.

技巧三換元通分法

方法介紹：在分式中有相同的復(fù)雜項時，可以通過換元的方法，使計算更加簡單.注意，整理結(jié)束后要將原

式轉(zhuǎn)換回來.

【例8】計算：(3吁2切+黑孺-(3吁2方+靠含

技巧四順次相加法

方法介紹：當(dāng)分式項數(shù)過多、分母不同，不容易通分時.我們采用順次相加的方法提高正確率.先把前兩個分

式計算整理，將所得結(jié)果和第三個式子通分化簡，最后再和第四個式子通分化簡.

【例9】計算：二；124

X+1x2+lx4+l*

112x4x3

【變式9-1】計算:---1----1----H----.

x-lx+1x2+l%4+1

技巧五裂項相消法

方法介紹：根據(jù)公式把每一項寫成兩個分式差的形式.分裂后各項相加減只剩下頭和尾，即可求得結(jié)果.

【例10］觀察下面的變形規(guī)律：

—=i-i,-=---……解答下面的問題：

1X222X3233X434

(1)若"為正整數(shù)，請你猜想/a=.

(2)若w為正整數(shù)，請你用所學(xué)的知識證明(一^=花扁.

【變式10T】計算：a(a+l)+(a+l)(a+2)+(a+2)(a+3)+…+(a+99)(a+100>

技巧六消元法

方法介紹：用于分式中未知數(shù)過多的情況.通過各未知數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系化簡并達到消元的目的，將含未知

數(shù)的代數(shù)式代入所求式，化簡約分，得到結(jié)果.

【例11］已知4x—3y—6z=0,x+2y—7z=0,且xyz/),求a匚禽?的值，

【變式11T】已知孫z片0,且滿足x+3y+7z=O,3x-4y-18z=。，求智學(xué)寫的值.

Jx2+2y2+8z2

技巧七倒數(shù)求值法

方法介紹：當(dāng)分母的次數(shù)大于分子的次數(shù)時，可把分子分母顛倒.利用已知條件，將其分子分母顛倒得到化

簡后的式子.整理并將式子代入所求分式的倒數(shù)，化簡得出結(jié)果.(注意：結(jié)果要再次顛倒回來)

【例12］已