行列式-上海財經大學

——上海財經大學應用數學系線性代數第一章

行列式一、n

階行列式的定義

(sect.1,2,3)二、行列式的計算

(sect.4,5)三、Cramer法則

(sect.6)一、n

階行列式的定義

(sect.1,2,3)1.二階與三階行列式二階行列式的計算（對角線法）如主對角線反對角線注意 紅線上三元素的乘積冠以正號,藍線上三元素的乘積冠以負號.說明 對角線法則只適用于二階與三階行列式.三階行列式的計算（對角線法）例1

(1)

計算的數值,(2)

求的根.2.排列與逆序定義1.1把n個不同的元素排成一排,叫做這n個元素的全排列,也稱n級全排列（簡稱排列).n個不同的元素的所有排列種數=n!定義1.2在n個不同元素的排列中,當某兩個元素的先后次序與標準次序不同時，就說有一個逆序.一個排列中逆序的總數叫做這個排列的逆序數.排列 的逆序數記為定義1.3 逆序數為偶數或零的排列稱為偶排列,逆序數為奇數的排列稱為奇排列.定義1.4 把一個排列中某兩個數的位置互換,而其余的數不動,就得到另一個排列,這樣一個變換稱為一個對換.定理1.1 一個排列中任意兩個元素對換,排列改變奇偶性.定理1.2所有n 級排列中(n >1),奇排列與偶排列各占一半.例2

計算3.n

階行列式的定義叫做n 階行列式.其中∑ 表示對所有的排列求和.共有n!項.注:每一項是n個元素的乘積，且這n個元素取自不同的行不同的列,其符號由列指標的逆序數所確定.最高次的系數和常數項.特別地,

定義一階行列式例3

求多項式重要結論:下三角形行列式上三角形行列式的值

和對角形行列式（主對角線元素以外的元素全為零的行列式）的值也等于主對角元素的連乘積.斜對角形行列式斜上(下)三角形行列式具有同樣結果.二、行列式的計算

(sect4,5)1.利用行列式的性質計算D=行列式

稱為行列式

的轉置行列式..性質1 行列式轉置值不變,即記性質2 互換行列式的某兩行（列）元素,行列式變號.推論 若行列式中有兩行（列）元素對應相同,則行列式的值為零.性質3 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一數k,等于用k去乘此行列式.推論 若行列式中某行（列）的元素全為零,則行列式的值為零.性質4 行列式中若有兩行（列）對應元素成比例,其值為零.性質5性質6 把某一行（列）元素的k倍加到另一行（列）的對應元素上去,行列式的值不變.將D

化至上三角行列式.

這一過程一般是從左到右逐列逐列進行.例5

證明例4

計算行列式的值.例6

計算行列式的值.特征: 每一行或列的元素之和相等.方法: 將第2，3，……，n 列都加到第1列.2.利用展開式計算在n階行列式中,把元素 所在的第i行第j列劃去后留下的n-1階行列式叫做元素的余子式,記作 .叫做元素

的代數余子式.展開定理行列式D等于它的任意一行（列）的各元素與其對應的代數余子式的乘積之和.推論

行列式D的任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數余子式乘積之和等于零.例7

利用行列式的展開計算行列式的值一般應選取零元素最多的行或列進行展開;或者選取一行或列,利用行列式的性質6,將這一行或列的元素盡可能多的化為零,然后按一行或列進行展開;這樣以便計算.例8

證明范德蒙(

Vandermonde)行列式例9

計算

n

階三對角行列式的值.將行列式按第一列展開,注意到于是成立遞推關系:三、Cramer法則

(sect6)含有n個未知量n個方程的線性方程組一般形式為:其中稱為方程組的系數;稱為常數項.稱為n元齊次線性方特別地,程組 .記作由系數構成的行列式:叫做方程組的系數行列式 .,那克萊姆（Cramer）法則如果線性方程組

式的系數行列式么它有唯一解,其解為: