人教版六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練講義-第五講比例（二）（含答案）

第五講比例（二）第一部分：趣味數(shù)學(xué)話(huà)說(shuō)唐僧和三個(gè)徒弟為普渡眾生去西天取經(jīng)，要經(jīng)歷九九八十一難，困難重重，關(guān)卡層層，是常人很難辦到的。師徒四人走了一天，覺(jué)得累了，便休息一下。八戒把釘耙一丟，倒地便睡，唐僧與沙僧打坐，悟空舞動(dòng)金箍棒。只見(jiàn)悟空一聲“變”，金箍棒由原來(lái)的繡花針變成了高聳入云的大柱子。悟空叫道:“八戒，你猜我的金箍棒現(xiàn)在有多長(zhǎng)?”八戒說(shuō):“能有多長(zhǎng)，不過(guò)10米罷了?！蔽蚩照f(shuō):“這金箍棒可神了，5秒能變10米?！薄澳?5秒能變15米的?！卑私潆S口說(shuō)道。沙僧說(shuō):“這節(jié)定算錯(cuò)了，5秒比10米小，25秒比15米大?！卑私湔f(shuō):＂扯淡，這個(gè)理由一點(diǎn)也不充分?！蔽蚩照f(shuō):“那我就說(shuō)說(shuō)理由，讓你們心服口服?！卑私湔f(shuō):“愿聞其詳?！蔽蚩照f(shuō):“用解比例的方法，設(shè)25秒能變x米，比例是5:10＝25:x，5x=250，X＝50，答案應(yīng)該是50米啊?！薄斑@…這…”八戒啞口無(wú)言，還有一種方法沙僧補(bǔ)充道:“5秒能變10米，10÷5＝2米，意思是1秒能變2米長(zhǎng)，25秒就能變25×2＝50米長(zhǎng)?！卑私淙珲囗?，連連稱(chēng)是。唐僧在一旁聽(tīng)著，說(shuō)道：你們都很聰明，用不同的方法解開(kāi)這道題。以后遇到事情要要深思熟慮。八戒，你以后可不能瞎掰了，要用理由說(shuō)明問(wèn)題?！薄耙欢?，一定，徒兒謹(jǐn)記師父教誨，今后要學(xué)好數(shù)學(xué)……”哈哈哈，師徒四人伴著笑聲又啟程了。第二部分：習(xí)題精講在應(yīng)用題的各種類(lèi)型中，有一類(lèi)與數(shù)量之間的（正、反）比例關(guān)系有關(guān)．在解答這類(lèi)應(yīng)用題時(shí)，我們需要對(duì)題中各個(gè)量之間的關(guān)系作出正確的判斷。成正比或反比的量中都有兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量（記作x）變化時(shí)另一種量（記作y）也隨著變化．與這兩個(gè)量聯(lián)系著，有一個(gè)不變的量（記為k）．在判斷變量x與y是否成正、反比例時(shí)，我們要緊緊抓住這個(gè)不變量k。如成正比例；如果k是y與x的積，即在x變化時(shí)，y與x的積不變：xy＝k，那么y與x成反比例．如果這兩個(gè)關(guān)系式都不成立，那么y與x不成（正和反）比例。下面我們從最基本的判斷兩種量是否成比例的例題開(kāi)始。例題1：一條路全長(zhǎng)60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程長(zhǎng)的比依次是1：2：3，某人走各段路程所用時(shí)間之比依次是4∶5∶6，已知他上坡的速度是每小時(shí)3千米，問(wèn)此人走完全程用了多少時(shí)間？分析：要求此人走完全程用了多少時(shí)間，必須根據(jù)已知條件先求出此人走上坡路用了多少時(shí)間，必須知道走上坡路的速度（題中每小時(shí)行3千米）和上坡路的路程，已知全程60千米，又知道上坡、平路、下坡三段路程比是1∶2∶3，就可以求出上坡路的路程。解：上坡路的路程：60×EQ\F(1,1+2+3)=10（千米）走上坡路用的時(shí)間：10÷3=3EQ\F(1,3)（小時(shí)）上坡路所用時(shí)間與全程所用時(shí)間比：4:(4+5+6)=4:15=EQ\F(4,15)走完全程所用時(shí)間：3EQ\F(1,3)÷EQ\F(4,15)=12EQ\F(1,2)（小時(shí)）答：此人走完全程共用12EQ\F(1,2)小時(shí)。練習(xí)1：1.小剛讀一本書(shū)，第一天讀了全書(shū)的EQ\F(2,15)，第二天比第一天多讀了6頁(yè)，這時(shí)已讀的頁(yè)數(shù)與剩下的頁(yè)數(shù)的比是3：7。小剛再讀多少頁(yè)就能讀完這本書(shū)？2.甲、乙兩車(chē)由A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲、乙兩車(chē)速度比是2：3，已知甲車(chē)走完全程用5EQ\F(1,2)小時(shí)。求兩車(chē)幾小時(shí)后在中途相遇？3.“長(zhǎng)江”號(hào)輪船第一次順流航行21公里又逆流航行4公里，第二次在同一河流中順流航行12公里，逆流航行7公里，結(jié)果兩次所用的時(shí)間相等。求順?biāo)倥c逆水船速的比。例題2：一塊合金內(nèi)銅和鋅的比是2∶3，現(xiàn)在再加入6克鋅，共得新合金36克，求新合金內(nèi)銅和鋅的比？分析：要求新合金內(nèi)銅和鋅的比，必須分別求出新合金內(nèi)銅和鋅各自的重量。應(yīng)該注意到銅和鋅的比是2∶3時(shí)，合金的重量不是36克，而是（36－6）克。銅的重量始終沒(méi)有變。解：銅和鋅的比是2∶3時(shí)，合金重量：36－6＝30（克）。銅的重量：30×EQ\F(2,2+3)=12（克）新合金中鋅的重量：36－12＝24（克）。新合金內(nèi)銅和鋅的比：12∶24＝1∶2。答：新合金內(nèi)銅和鋅的比是1∶2。練習(xí)2：1.甲乙兩個(gè)長(zhǎng)方形，它們的周長(zhǎng)相等，甲的長(zhǎng)與寬的比是3：2，乙的長(zhǎng)與寬的比是7：5，那么甲與乙的面積之比是多少？2.有兩個(gè)圓，它們的面積之差是209平方厘米，已知大圓周長(zhǎng)和小圓周長(zhǎng)的比是10:9，小圓的面積是多少？3.兄弟兩人，每月的收入比是4：3，支出比是18：13。從年初到年底，他們都結(jié)余360元。他們每人每月收入分別回是多少元？例題3：洗衣機(jī)廠計(jì)劃20天生產(chǎn)洗衣機(jī)1600臺(tái)，生產(chǎn)5天后由于改進(jìn)技術(shù)，效率提高25％，完成計(jì)劃還要多少天？分析：這是一道比例應(yīng)用題，工效和工時(shí)是變量，不變量是計(jì)劃生產(chǎn)5天后剩下的臺(tái)數(shù)。從工效看，有原來(lái)的效率1600÷20＝80臺(tái)/天，又有提高后的效率80×（1＋25％）＝100臺(tái)/天。從時(shí)間看，有原來(lái)計(jì)劃的天數(shù)，要求效率提高后還需要的天數(shù)。根據(jù)工效和工時(shí)成反比例的關(guān)系，得：提高后的效率×所需天數(shù)＝剩下的臺(tái)數(shù)。解法1：設(shè)完成計(jì)劃還需x天。1600÷20×（1＋25%）×x＝1600－1600÷20×580×1.25×x＝1600－400100x＝1200x＝12。答：完成計(jì)劃還需12天。解法2：此題還可以轉(zhuǎn)化成正比例。根據(jù)實(shí)際效率是原來(lái)效率的1＋25%=1.25倍，把原來(lái)效率看成“1”，實(shí)際和原來(lái)效率的比是1.25：1=5：4。因?yàn)楣ばШ凸r(shí)成反比例，所以實(shí)際與原來(lái)所需時(shí)間的比是4∶5，如果設(shè)實(shí)際還需要x天，原來(lái)計(jì)劃的天數(shù)是20－5＝15天，根據(jù)實(shí)際與原來(lái)時(shí)間的比等于實(shí)際天數(shù)與原來(lái)天數(shù)的比，可以用正比例解答。設(shè)完成計(jì)劃還需x天。解得x＝12。解法3：（按工程問(wèn)題解）設(shè)完成計(jì)劃還需x天。EQ\F(1,20)×（1＋25%）×x=1－EQ\F(1,20)×5解得x=12練習(xí)3：1.小李和小張兩人同時(shí)錄入一份文稿,已知兩人的效率比為5:6,完成任務(wù)時(shí),小張比小李多錄入11個(gè)字,這篇文稿有多少個(gè)字?2.一車(chē)間和二車(chē)間共同加工一批服裝,完成任務(wù)時(shí),一車(chē)間比二車(chē)間多加工150套服裝,已知兩個(gè)車(chē)間的工作效率之比為9:7.這批服裝共有多少套?3.客車(chē)和貨車(chē)同時(shí)從甲、乙兩地出發(fā)相向而行,相遇時(shí),客車(chē)比貨車(chē)多行22千米,兩車(chē)的速度之比為9:8.甲、乙兩地相距多少千米?例題4：客車(chē)和貨車(chē)同時(shí)從甲、乙兩地相向開(kāi)出,相遇時(shí)客車(chē)與貨車(chē)所行的路程的比是5:4,相遇后貨車(chē)每小時(shí)比相遇前每小時(shí)多走36千米.客車(chē)仍按原速度前進(jìn),結(jié)果兩車(chē)同時(shí)到達(dá)對(duì)方的出發(fā)點(diǎn)。已知客車(chē)一共行了3.6小時(shí),那么,甲、乙兩地相距多少千米?思路點(diǎn)撥：我們知道,從兩車(chē)相遇到同時(shí)到達(dá)對(duì)方的出發(fā)點(diǎn),貨車(chē)和客車(chē)所行的路程比為5:4,因?yàn)闀r(shí)間相同,路程與速度成正比例,所以,相遇后貨車(chē)和客車(chē)的速度比為5:4,即相遇后貨車(chē)速度是客車(chē)速度的EQ\F(5,4)，又因?yàn)橄嘤銮柏涇?chē)速度是客車(chē)速度的EQ\F(4,5),速度差36千米就相當(dāng)于客車(chē)速度的(EQ\F(5,4)-EQ\F(4,5)),不難求出客車(chē)的速度,也就可以求出兩地之間的距離。36÷(EQ\F(5,4)-EQ\F(4,5))×3.6=36÷EQ\F(9,20)×3.6=288千米)答:甲、乙兩地相距288千米練習(xí)4：1.客車(chē)和貨車(chē)同時(shí)從甲、乙兩地相向開(kāi)出,相遇時(shí)客車(chē)與貨車(chē)所行的路程的比是6:5,相遇后貨車(chē)每小時(shí)比相遇前每小時(shí)多走33千米。客車(chē)仍按原速度前進(jìn),結(jié)果兩車(chē)同時(shí)到達(dá)對(duì)方的出發(fā)點(diǎn)。已知客車(chē)一共行了4.2小時(shí),那么,甲、乙兩地相距多少千米?2.甲車(chē)和乙車(chē)同時(shí)從A、B兩地相向開(kāi)出,相遇時(shí)甲車(chē)與乙車(chē)所行的路程比是4:3,相遇后乙車(chē)每小時(shí)比相遇前每小時(shí)多走42千米.甲車(chē)仍按原速度前進(jìn),結(jié)果兩車(chē)同時(shí)到達(dá)對(duì)方的出發(fā)點(diǎn).那么,相遇前乙車(chē)的速度是多少？3.李叔叔開(kāi)車(chē)從合肥去武漢,如果每小時(shí)比原來(lái)多行20千米,那么所用的時(shí)間是原來(lái)的EQ\F(5,6);如果每小時(shí)少行20千米,那么所花的時(shí)間要比原來(lái)多1小時(shí)。那么,合肥與武漢相距多少千米?例題5：“奔騰”汽車(chē)美容公司每天要洗100輛汽車(chē),如果工作效率提高25%,那么就能提前1小時(shí)完成，這家公司原來(lái)每小時(shí)能洗多少輛汽車(chē)？思路點(diǎn)撥：由于洗車(chē)的總數(shù)量不變,也就是說(shuō):工作總量一定,工作效率和工作時(shí)間成反比例，因此,可以根據(jù)計(jì)劃效率與實(shí)際效率的比,得到計(jì)劃時(shí)間與實(shí)際時(shí)間的比,然后由計(jì)劃時(shí)間與實(shí)際時(shí)間相差1小時(shí),先求出計(jì)劃時(shí)間,再求出計(jì)劃的工作效率,所以計(jì)劃效率:實(shí)際效率=1:(1+25%)=4：5計(jì)劃時(shí)間:實(shí)際時(shí)間=5:4計(jì)劃時(shí)間:1÷(5-4)×5=5(小時(shí));計(jì)劃效率:100÷5=20輛)答:這家公司原來(lái)每小時(shí)能洗20輛汽車(chē)。練習(xí)5：1.某臺(tái)機(jī)器要加工180個(gè)零件,由于技術(shù)革新,這臺(tái)機(jī)器的工作效率提高了20%,結(jié)果提前了一個(gè)小時(shí)完成，這臺(tái)機(jī)器原來(lái)每小時(shí)加工多少個(gè)零件?2.“彬彬”羽絨服有限公司食堂運(yùn)來(lái)12噸煤,由于每天比原來(lái)節(jié)約用煤EQ\F(1,11),因此就可以比原計(jì)劃多燒2天,這個(gè)食堂原來(lái)每天燒煤多少?lài)?3.李師傅要加工60雙皮鞋,實(shí)際加工時(shí)效率提高了15%,結(jié)果提前1.5小時(shí)完成。李師傅實(shí)際每小時(shí)加工多少雙皮鞋?第三部分：數(shù)學(xué)史泰勒斯巧測(cè)金字塔2600多年前的古希臘港口城市米利都，泰勒斯出生在一個(gè)奴隸主貴族家庭。從小就受到了良好的教育。泰勒斯早年也是一個(gè)商人，曾到過(guò)不少東方國(guó)家，學(xué)習(xí)了古巴比倫觀測(cè)日食月食的方法和測(cè)算海上船只距離等知識(shí)，知道了古埃及土地丈量的方法和規(guī)則等。他還到美索不達(dá)米亞平原，在那里學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)和天文學(xué)知識(shí)。據(jù)說(shuō)，一年春天，泰勒斯來(lái)到埃及，人們想試探一下他的能力，就問(wèn)他是否能測(cè)量出金字塔的高度來(lái)。泰勒斯很有把握地說(shuō)可以，但有一個(gè)條件--法老必須在場(chǎng)。第二天，法老如約而至，金字塔周?chē)簿奂瞬簧賴(lài)^的老百姓。泰勒斯來(lái)到金字塔前，陽(yáng)光把他的影子投在地面上。每過(guò)一會(huì)兒，他就讓別人測(cè)量他影子的長(zhǎng)度，當(dāng)測(cè)量值與他的身高完全吻合時(shí)，他立刻將大金字塔在地面的投影處作一記號(hào)，然后在丈量金字塔底到投影尖頂?shù)木嚯x。這樣，他就報(bào)出了金字塔確切的高度。在法老的請(qǐng)求下，他向大家講解了如何從"影長(zhǎng)等于身長(zhǎng)"推到"塔影等于塔高"的原理。也就是今天所說(shuō)的相似三角形定理。命題證明的思想和平面幾何的貢獻(xiàn)泰勒斯在數(shù)學(xué)方面劃時(shí)代的貢獻(xiàn)是引入了命題證明的思想。它標(biāo)志著人們對(duì)客觀事物的認(rèn)識(shí)從經(jīng)驗(yàn)上升到理論，這在數(shù)學(xué)史上是一次不尋常的飛躍。在數(shù)學(xué)中引入邏輯證明，它的重要意義在于：保證了命題的正確